课时规范练71　概率与统计中的综合问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 概率与统计综合问题专项训练，以真实情境为载体，融合分布列、回归分析、独立性检验等核心知识，强化数据分析与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率综合|2题|离散型随机变量分布列、数学期望、条件概率|从频率估计概率到全概率公式应用，构建概率计算逻辑链| |统计综合|2题|回归分析、正态分布、独立性检验|从数据相关性分析到统计推断，形成“收集-分析-推断”完整研究路径|

课时规范练71　概率与统计中的综合问题 (分值:59分) 1.(15分)(2025·福建福州模拟)右图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图,评分在区间[90,100],[70,90),[60,70),[50,60)上,分别对应为A,B,C,D四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获A等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生,学校将进行一次复评.复评中,原获B等级的学生有的概率提升为A等级;原获C等级的学生有的概率提升为B等级;原获D等级的学生有的概率提升为C等级.用频率估计概率,假设每名学生复评结果相互独立. (1)若初评中甲获得C等级,乙、丙获得D等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为C的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; (2)从全体高三学生中任选1人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是B等级的概率. 2.(15分)某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数之间的关系,他们记录了某六天的温差,并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数,得到数据如下: 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x/℃ 4 7 8 9 14 12 新增感冒就诊人数y/位 y1 y2 y3 y4 y5 y6 参考数据:=3 463,(yi-)2=289. (1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生,从第一天新增的感冒就诊的学生中随机取2位,其中男生人数记为X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率为,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数r=,请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程x+,据此估计昼夜温差为15 ℃时,该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据:r=. 3.(17分)(2025·云南玉溪模拟)某个景点取消门票实行免费开放,下表是该景点免费开放后五个月的打卡人数y(单位:万人)与第x个月的数据: x 1 2 3 4 5 y 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8 (1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系,且经验回归方程x+中的=32.88,请计算样本相关系数r(精确到0.01),并判断是否可以认为y与x的线性相关性强; (2)景点对每位游客进行了满意度调查,已知评分X近似服从正态分布N(86,9),评分低于m的游客约占15.865%,求m的值; (3)为进一步了解游客性别与满意度的关系,随机抽查200名游客,得到如下列联表,请填写下面的2×2列联表,根据小概率值α=0.001的独立性检验,能否推断游客是否满意与性别有关? 性别 喜欢 不喜欢 合计 男 100 女 60 合计 110 参考公式: 相关系数:若|r|≥0.75,则认为y与x有较强的线性相关性.r=. 经验回归方程x+中斜率的最小二乘法估计公式为:. χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.010 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 参考数据:yi=384,≈77,=55,≈40 954,336.32≈113 090,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5. 4.(12分)(2023·新高考Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 参考答案 课时规范练71　概率与统计中的综合问题 1.解 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3, P(ξ=0)=,P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)=. 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)=0×+1×+2×+3×. (2)记M=“该学生复评晋级”,N1=“该学生初评是B”,N2=“该学生初评是C”,N3=“该学生初评是D”,则Ω=N1∪N2∪N3,且N1,N2,N3两两互斥,根据题意得,P(N1)=,P(N2)=,P(N3)=,P(M|N1)=,P(M|N2)=,P(M|N3)=,由全概率公式可得,P(M)=P(N1)P(M|N1)+P(N2)·P(M|N2)+P(N3)P(M|N3)=, 所以P(N1|M)=. 2.解 (1)因为1-, 所以, 所以y1(y1-1)=4×3×6,解得y1=9(负值舍去),即第一天新增患感冒就诊的学生有9位,其中男生4位,女生5位,则随机变量X的可能取值为0,1,2,且X服从超几何分布, P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×. (2)因为xi=54,所以=9, 所以(xi-)2=64. 由于r=, 所以(xi-)(yi-)=8×16, 所以=2. 因为=3 463,(yi-)2=-2yi+6-6=289, 解得=23,所以=23-2×9=5,所以=2x+5. 当x=15时,=30+5=35, 据此估计昼夜温差为15 ℃时,该校新增感冒就诊的学生人数为35. 3.解 (1)由题可知,=3,-5=55-5×32=10,-5≈40 954-5×772=11 309, 则=32.88,可得xiyi-5=328.8, 故样本相关系数 r= = = ≈≈0.98>0.75, 可以认为y与x有较强的线性相关性. (2)因为X~N(86,9),则μ=86,σ=3.因为P(X<μ-σ)==0.158 65, 则m=μ-σ=86-3=83. (3)由题可得列联表如下: 性别 喜欢 不喜欢 合计 男 70 30 100 女 40 60 100 合计 110 90 200 零假设为H0:游客是否满意与性别无关,则χ2=≈18.182>10.828=x0.001. 所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,能推断游客是否满意与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.001. 4.解 (1)第2次投篮的人是乙分两种情况:第1次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5×(1-0.6)=0.2;第1次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5×0.8=0.4,所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6. (2)记第i次投篮的人是甲的概率是pi,则第i次乙投篮的概率是1-pi,其中p1=0.5. 接下来分析第i+1次投篮的人是甲的概率,分两种情况:①第i次为甲投篮的概率为pi,投中的概率为0.6,则第i+1次还是甲投篮;②第i次为乙投篮的概率为1-pi,没有投中的概率为0.2,则第i+1次是甲投篮,所以pi+1=pi×0.6+(1-pi)×0.2=0.2+0.4pi,变形得pi+1-(pi-). 又p1-,所以数列{pi-}是首项为,公比为的等比数列, 所以pi-·()i-1, 化简得pi=)i-1,i∈N*. (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi,则Xi的可能取值为0或1,当Xi=0时,表示第i次投篮的人是乙,当Xi=1时,表示第i次投篮的人是甲,所以P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi, 所以E(Xi)=pi. Y=X1+X2+X3+…+Xn, 则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn, 由(2)知,pi=×()i-1, 所以p1+p2+p3+…+pn=×[1++()2+…+()n-1]=×[1-()n]. 2 学科网（北京）股份有限公司 $