第22天 计数原理与概率 专项练习 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦计数原理与概率核心考点，通过各地模拟题构建从基础概念到综合应用的训练体系，强化数学推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|3题（单选1/填空10/12）|组合计数、排列限制、三项展开式|从基本计数原理到排列组合应用，推导展开式系数计算逻辑| |概率基础|4题（单选3/4/填空11/多选8）|独立事件、古典概型、条件概率|以古典概型为基础，构建事件独立性与条件概率的推理链条| |概率应用|5题（单选5/6/7/解答13/14）|全概率公式、贝叶斯公式、实际情境|从实际问题抽象概率模型，运用全概率公式与贝叶斯公式解决决策问题| |二项式定理|1题（单选2）|二项式系数计算|通过换元法转化展开式，强化代数变形与系数提取能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 答案与解析 第22天 计数原理与概率 1.答案　B 解析　先从四对双胞胎中选出一对,有4种选择; 然后从剩下的六个人中选出两个人,且不能是同一对双胞胎, 这相当于从三对双胞胎中选出两对,再从每对中选出一个人,共有3×2×2=12种选择. 根据分步乘法计数原理,总共有4×12=48种选法.故选B. 2.答案　D 解析　因为(2x-1)5=a0+a1(x-1)+ a2(x-1)2+…+a5(x-1)5, 令t=x-1,则x=t+1,所以(2t+1)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5, 又因为(2t+1)5展开式的通项为Tr+1=·(2t)5-r·1r=25-rt5-r(0≤r≤5,r∈N), 令5-r=1,解得r=4,所以a1=·2=10,故选D. 3.答案　B 解析　因为事件A,B相互独立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=×=.] 4.答案　D 解析　法一　给定的数字是1,2,2,3,3,3,其中有一个1,两个2,三个3,总共有6个数字,因此总排列数为:==60. 符合条件的排列数(两个2恰好相邻的情况): 将两个2视为一个整体(即“超级元素”),这样剩下的元素为1,3,3,3和这个“超级元素”,共5个元素. 其中三个3是重复的,因此符合条件的排列数为:==20,所以符合条件的排列数除以总排列数:=. 法二　考虑两个2的位置组合,共有=15种可能的位置组合,其中相邻的位置对数为5种,概率为:=, 因此,数字2,2恰好相邻的概率为. 故选D. 5.答案　B 解析　设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”,则=“发送的信号为1”,=“接收到的信号为1”.由题意得 P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1,P(B|)=0.05,P(|)=0.95, P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475, P(|B)===.故选B. 6.答案　C 解析　由题意,设王同学第一天去A餐厅为事件A1,第二天去A餐厅为事件A2, 第一天去B餐厅为事件B1,第二天去B餐厅为事件B2, 则P(A1)=,P(B1)=,P(A2|A1)=,P(A2|B1)=, 则根据全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=. 故选C. 7.答案　C 解析　记事件A1:取到的零件为甲车床加工的,事件A2:取到的零件为乙车床加工的, 事件A3:取到的零件为丙车床加工的,事件B:取到的零件是次品, 则P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=, P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, 由贝叶斯公式可得 P(A1|B)====. 因此,如果取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为.故选C. 8.答案　BCD 解析　A.由题意得,P(AB)===,A错误. B.由题意得,P(A)===, 故P(B|A)==,B正确. C.对于事件B可分为两种情况:第一位出场的是男生,第二位出场的是女生;第一位出场的是女生,第二位出场的是女生, ∴P(B)===, ∴P(A)=P(B),C正确. D.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=+-=,D正确. 故选BCD. 9.答案　BCD 解析　根据范德蒙德恒等式++…+=,而不是=. 例如n=2,m=3,r=s=1时,左边=6,右边=10,此时≠,A错误. 对于++…+,这里n=5,m=6,r=6.根据范德蒙德恒等式,此时n+m=5+6=11,r=6. 所以++…+==,B正确. 对于++…+,这里n=10,m=10,r=9. 由范德蒙德恒等式,n+m=10+10=20,r=9. 所以++…+=++…+==,C正确. 对于()2+()2+…+()2,可以看作++…+(因为=). 这里n=m,r=n,根据范德蒙德恒等式++…+==, 而=1. 所以()2+()2+…+()2=-=-1,D正确. 故选BCD. 10.答案　288 解析　先排队列的头和尾,有=12(种)排法, 再排中间的4人,有=24(种)排法, 则不同的排法有12×24=288(种).] 11.答案　 解析　三个人任意选择景点,不同的选择方案有43=64种,若三人选择的景点互不相同,则不同的选择方案有=24种,故所求的概率为=. 12.答案　120 解析　(x+y+2z)5=[x+(y+2z)]5的展开式通项为 ·x5-r·(y+2z)r(0≤r≤5,r∈N), (y+2z)r的展开式通项为·yr-k·(2z)k=·2kyr-kzk(0≤k≤r,r∈N), 所以(x+y+2z)5的展开式通项为 Tr+1,k+1=··2k·x5-ryr-k·zk(0≤k≤r≤5,k,r∈N), 由 因此展开式中xy2z2的系数为·22=5×6×4=120. 13.解　(1)设“甲平台向该用户推送A”为事件M,“甲平台向该用户推送B”为事件N,则“甲平台没有向该用户推送A”为事件,“甲平台没有向该用户推送B”为事件, 依题意得,P(M)=0.7,P(N)=0.5,P(MN)=0.3,所以P()=1-P(M)=1-0.7=0.3. 因为N=MN∪N, 所以P(N)=P(N)-P(MN)=0.5-0.3=0.2. 所以P(N|)===. 所以在甲平台没有向该用户推送A的条件下,它向该用户推送B的概率为. (2)设“乙平台向该用户推送C”为事件L,“这两个平台至少向该用户推送A,B,C中的一种”为事件R,则P(L)=0.6,所以P()=1-P(L)=1-0.6=0.4. 依题意,“甲平台向该用户推送A或B”为事件M∪N,“甲平台既不向该用户推送A,也不向该用户推送B”为事件. 因为P(M)=0.7,P(N)=0.5,P(MN)=0.3,由概率的基本性质可得: P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=0.7+0.5-0.3=0.9. 所以P()=1-P(M∪N)= 1-0.9=0.1. 依题意,R与互为对立事件,且相互独立, 所以P(R)=1-P() =1-P()P()=1-0.1×0.4=0.96. 所以这两个平台至少向该用户推送A,B,C中的一种的概率为0.96. 14.解　(1)由题图知,第3次停留在网页D上的事件有A→B→D,A→C→D, 其概率为P=×+×=. (2)由题意知,A→B,A→C;B→C,B→D;C→A,C→D;D→A,D→B,D→C, 设事件Ai为“在网页A第i次停留”,事件Bi为“在网页B第i次停留”,事件Ci为“在网页C第i次停留”,事件Di为“在网页D第i次停留”,i=1,2,3,4,E(B)为在网页B停留的平均次数,E(C)为在网页C停留的平均次数. 则P(A3)=×=,P(B3)=0, P(C3)=×=,P(D3)=, 所以P(B4)=×+×=, P(C4)=×+×=, P(B1)=P(C1)=0,P(B2)=P(C2)=, 所以E(B)=+, E(C)=++>E(B), 故该公司应该选择C网页. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第22天 计数原理与概率 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·武汉二调)有四对双胞胎共8人,从中随机选出4人,则其中恰有一对双胞胎的选法种数为(　　) A.40 B.48 C.52 D.60 2.(2025·济南质检)若(2x-1)5=a0+a1(x-1)+…+a5(x-1)5,则a1=(　　) A.-10 B.-1 C.1 D.10 3.(2025·上海卷,13)已知事件A,B相互独立,事件A发生的概率P(A)=,事件B发生的概率为P(B)=,则事件A∩B发生的概率为(　　) A. B. C. D.0 4.(2025·宜宾二诊)现有数字1,2,2,3,3,3,若将这六个数字排成一排,则数字2,2恰好相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 5.(2025·石家庄一模)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别是0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,已知接收的信号为0,则发送的信号是1的概率为(　　) A. B. C. D. 6.(2025·赤峰模拟)某学校有A,B两家餐厅,王同学第一天去A,B两个餐厅的概率分别是和,如果第一天去A餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为;如果第一天去B餐厅,那么第二天去A餐厅的概率为,则王同学第二天去A餐厅的概率为(　　) A. B. C. D. 7.(2025·邵阳二联)有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,加工的次品率分别为6%,5%,3%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%,40%,30%.任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为(　　) A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·厦门二模)某校开展“强国有我,筑梦前行”主题演讲比赛,共有6位男生,4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序,记事件A表示“第一位出场的是女生”,事件B表示“第二位出场的是女生”,则(　　) A.P(AB)= B.P(B|A)= C.P(A)=P(B) D.P(A∪B)= 9.(2025·南充二模)数学家波利亚说过:为了得到一个方程,我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来,即将一个量算两次,从而建立相等关系.根据波利亚的思想,由恒等式(1+x)m·(1+x)n=(1+x)m+n(m,n∈N*)左右两边展开式xr(其中r∈N*,r≤n,r≤m)系数相同,可得恒等式++…+=,我们称之为范德蒙德恒等式,下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是(　　) A.=(s∈N*) B.++…+= C.++…+= D.()2+()2+…+()2=-1 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山,6个人需要排成一条队列,要求队列的头和尾均是家长,则不同的排列种数为　　　　.  11.(2025·四省联考)A,B,C三人计划假期去旅游,有甲、乙、丙、丁四个景点供选择,若每人随机选一个景点,则三人选择的景点互不相同的概率为　　　　.  12.(2025·陕西适考)(x+y+2z)5的展开式中,xy2z2的系数是　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品的.某体育用品供应商在甲电商平台推广新品A和B,在乙电商平台推广新品C.已知甲平台向一用户推送A的概率为0.7,推送B的概率为0.5,同时推送A和B的概率为0.3;乙平台向该用户推送C的概率为0.6,且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响. (1)在甲平台没有向该用户推送A的条件下,求它向该用户推送B的概率; (2)求这两个平台至少向该用户推送A,B,C中的一种的概率. 14.(2025·温州二模)PageRank算法是Google搜索引擎用来衡量网页重要性的一种经典算法.其核心思想是通过分析网页之间的链接关系,评估每个网页的相对重要性.假设一个小型的互联网由A,B,C,D四个网页组成,它们之间按图中的箭头方向等可能地单向链接,假设某用户从网页A开始浏览(记为第1次停留). (1)求该用户第3次停留在网页D上的概率; (2)某广告公司准备在网页B,C中选择一个投放广告,以用户前4次在该网页上停留的平均次数作为决策依据.试问该公司应该选择哪个网页?请说明理由. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $