方法技巧专题 全等三角形中常见辅助线的作法-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

方法技巧专题 全等三角形中常见辅助线的作法 题型① 补作垂线法 题型② 倍长中线法 1.如图，在△ACB中，∠ACB= 3.综合与实践 90°，AC=BC.若点C的坐标为 【问题引入】课外兴趣小组活动时，老师提出 (一2,0)，点A的坐标为（一6， 这样的问题：如图①，在△ABC中，AB=5, 3),则点B的坐标是( 第1题图 AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围. A.(2,4) B.(1,4) 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解 C.(3,6) D.(1,5) 决方法：延长AD至点E,使得DE=AD,再 2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC= 连接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE BC,E为线段CB上一动点，连接AE,作 中，利用三角形的三边关系从而求出AD的 AF⊥AE,且AF=AE. 取值范围.从中他总结出：解题时，条件中若 (1)如图①，过点F作FD⊥AC交AC于点 出现“中线”“中点”等条件，可以考虑将中线 D.求证：FD=BC. 加倍延长，构造全等三角形，把分散的条件 (2)如图②，连接BF交AC于点G.若AG= 和需求证的结论集中到同一个三角形中. 3,CG=1,求证：E为BC的中点。 【理解应用】(1)请你根据小明的思路，写出 AD的取值范围： 【感悟应用】(2)如图②，在△ABC中，D是 BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD =AB,∠BDA=∠BAD.求证：AC=2AE. 图② 图① 图② 上册第14章 9△ 题型③截长补短法 4.如右图，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=30°，D是 △ABC内一点，DB=DC, ∠DCB=30°，E是BD延长 线上一点，AE=AB. (1)求∠ADE的度数： (2)求证：DE=AD+DC 题型⑤ 作平行线法 6.如右图，在△ABC中， ∠BAC=60°，∠C=40°， AP平分∠BAC交BC于 点P,BQ平分∠ABC交 AC于点Q,且AP与BQ相交于点O.求证： AB+BP=AQ+BQ. 题型④补全图形法 5.如右图，在正方形ABCD中， E为BC上的一点，F为CD 上的一点.若BE十DF=EF, B 求∠EAF的度数. 40 八年级数学HK版模型构建专题全等三角形中常见的模型 1.证明：AD=BE,点A,B,D,E在同一条直线上， ∴.AD-BD=BE-BD,∴AB=DE. I∠A=∠EDF, 在△ABC和△DEF中，AB=DE, ∠E=∠ABC, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). (AB=AD. 2.证明：在△ABC和△ADC中，{BC=DC, AC=AC, ,∴.△ABC≌△ADC(SSS). 3.证明：：AC,BD相交于点E,∠A=∠D=90°， ∴.△ABC和△DCB是直角三角形. 在Rt△ABC和R△DCB中，BC=CB, (AC=DB, ..Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), .∠ACB=∠DBC,.BE=CE 4.解：(1)证明：BD⊥1，CE⊥l, ∴.∠BDA=∠CEA=90°，∴.∠ABD+∠BAD=90. AB⊥AC,.∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAE 90°，∴.∠CAE=∠ABD. ∠ADB=∠CEA, 在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE, AB=CA. ∴.△ABD≌△CAE(AAS). (2)DE=BD十EC.理由如下： 由(1)可知△ABD≌△CAE, ∴.BD=AE,CE=AD,∴.DE=AD+AE=BD+EC 5.证明：，∠ADB=∠BAC, ∴.∠ADB+∠BAD=∠BAC+∠BAD. .'∠ADB+∠BAD=180°-∠ABD,∠BAC+ ∠BAD=180°-∠CAE, .180°-∠ABD=180°-∠CAE, ∴.∠ABD=∠CAE ∠ADB=∠CEA, 在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE, AB=CA. ∴.△ABD≌△CAE(AAS),.AD=CE. 6.证明：在Rt△ABC与R△DEF中，AC=DF, (AB=DE, .Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),.∠A=∠D. AC=DF,..AC-FC=DF-FC,AF=DC. (AF=DC, 在△ABF与△DEC中，∠A=∠D, AB=DE, ∴.△ABF≌△DEC(SAS),∴∠AFB=∠DCE, ∴∠BFC=∠ECF,∴.BF∥CE. 7.解：(1)证明：：∠1=∠AEB, ∴.∠1+∠AED=∠AEB+∠AED, 即∠AEC=∠BED. 在△AEC和△BED中， EA=EB. ∠AEC=∠BED, EC=ED, ∴.△AEC≌△BED(SAS),.∠A=∠B. :∠A+∠2=∠B+∠AEB, .∠2=∠AEB,.∠1=∠2. (2),△AEC≌△BED,.AC=BD=9, ∴.AD=AC-CD=9-4=5. 方法技巧专题全等三角形中常见辅助线的作法 1.B 2.证明：(1)，FD⊥AC,∴.∠FDA=90°， .∠DFA+∠DAF=90 同理，∠CAE十∠DAF=90°，∴.∠DFA=∠CAE, I∠AFD=∠EAC, 在△AFD和△EAC中，∠ADF=∠ECA=90°， AF=EA, ∴.△AFD≌△EAC(AAS),.DF=CA .AC=BC,∴.FD=BC. (2)如图，过点F作FD⊥AC于点D, 由(1)，得FD=AC=BC,AD=CE. 在△FDG和△BCG中， ∠FDG=∠BCG=90°， ∠FGD=∠BGC, FD=BC. ∴△FDG≌△BCG(AAS),.DG=CG=1, ∴AD=AG-DG=2,.CE=2. .BC=AC=AG+CG=4=2CE, E为BC的中点 3.解：(1)1<AD<4 (2)证明：如图①，延长AE至点F,使得EF=AE,连 接DF,则AF=EF十AE=2AE ,AE是△ABD的中线，即E是BD中C 点，.DE=BE. 在△EDF和△EBA中， DE=BE. ∠DEF=∠BEA, 图① EF=EA, .△EDF≌△EBA(SAS), ∴.DF=BA=CD,∠B=∠EDF,∠F=∠EAB. :∠CDA=∠B+∠BAD,∠ADF=∠BDA+ ∠EDF,∠BDA=∠BAD,∴.∠ADC=∠ADF. (CD=FD, 在△ACD和△AFD中，∠ADC=∠ADF, AD=AD, .△ACD≌△AFD(SAS),∴.AC=AF,∴.AC=2AE. 【解析】(1)如图②，延长AD至点E,使DE=AD,连接 BE. ,AD是BC边上的中线，BD=DC. (AD=ED, 在△ACD和△EBD中， ∠ADC=∠EDB, CD-BD, 上册详解详析 23 .△ACD≌△EBD(SAS), ..AC=EB=3. 在△ABE中， AB-BE<AE<AB+EB. 即AB-BE<2AD<AB+BE. 图② .5-3<2AD<5+3, .1<AD<4. 4.解：(1)：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°， ÷∠ABC=∠ACB=2×180°-30)=75 ,DB=DC,∠DCB=30°， ∴.∠DBC=∠DCB=30°， .∠ABD=∠ACD=75°-30°=45°. .AB=AC.DB=DC. .△ABD≌△ACD(SAS), ∴.∠BAD=∠CAD= 2∠BAC=15. ∴.∠ADE=∠ABD+∠BAD=60 (2)证明：如图，在线段DE上截取 DM=AD,连接AM. '∠ADE=60°，DM=AD, 1 .∠DAM=∠DMA= (180 ∠ADE)=60°， ∴.∠ADB=∠AME=120°. ,AE=AB,∠ABD=∠E. ∠ADB=∠AME, 在△ABD和△AEM中，{∠ABD=∠E, AB=AE. .△ABD≌△AEM(AAS),∴.BD=EM. .DB=DC,.'.DC=ME, ∴.DE=DM+ME=AD+DC 5.解：如图，延长CB至点G,使BG= DF,连接AG. 由题意，得AB=AD,∠ABG=∠D =90°， ∴.△ABG≌△ADF(SAS), .AG=AF,∠BAG=∠DAF BG=DF..'.EF=BE+DF=BE+BG=EG. 又：AE=AE,AF=AG,.△AEF≌△AEG(SSS), ∴·∠EAF=∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+ ∠DAF ∠EAF+∠BAE+∠DAF=90°，∠EAF=45°. 6.证明：过点O作OD∥BC交AB于 点D,过点D作DM⊥BQ于点 M,过点B作BN⊥OP于点N,如 图所示， 则∠ADO=∠ABC ,∠BAC=60°，∠C=40°，.∠ABC=80°， ∴.∠ADO=80. ,BQ平分∠ABC,∴∠ABQ=∠QBC=40°， ∴.∠AQO=∠C+∠QBC=80°，.∠ADO=∠AQO 八年级数学HK版 ,AP平分∠BAC,∠DAO=∠QAO=30°. 又，OA=OA,.△ADO≌△AQO(AAS), ∴.OD=OQ,AD=AQ. OD∥BP,∴.∠PBO=∠DOB. 又：∠PBO=∠DBO,∴.∠DBO=∠DOB. .∠DMB=∠DMO=90°，DM=DM,.△DMB≌ △DMO(AAS),∴.BD=OD,∴.BD=OQ. :∠BOP=∠BAP+∠ABQ=30°+40°=70°， ∴.∠APB=180°-∠QBC-∠BOP=70°， ∴.∠BOP=∠APB. :∠BNO=∠BNP=90°，BN=BN,∠BON=∠BPN, .△BNO≌△BNP(AAS),.BO=BP, ..AB+BP =AD+BD+BP=AQ+OQ+BO= AQ+BQ. 章末对点导练 1.C 2.D【解析】，△AOB≌△ADC,∴.∠OAB=∠DAC, AB=AC,.∠BAC=∠OAD=a. BC∥OA,.∠ABC=∠ACB=90°-B.在△ABC 中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，.a+90°-B+ 90°-3=180°，∴.a=23. 3.证明：：D是BC延长线上一点，DE∥AB, ∴.∠D=∠ABC. BD=AB. 在△BDE和△ABC中，∠D=∠ABC, DE=BC, ∴.△BDE≌△ABC(SAS),.BE=AC. 4.A5.27° 6.8或10或12【解析】如图，延长AD至点E,使DE= AD=5,连接CE. AD为BC边上的中线， ∴BD=CD. D 在△ABD和△ECD中， (AD=ED, ∠ADB=∠EDC, BD=CD, ∴.△ABD≌△ECD(SAS),∴.AB=EC. .AC=4,AE=AD+DE=10. AE-AC<EC<AC+AE,..6<EC<14, ∴.AB的取值范围是6<EC<14. AB为偶数，.AB的所有可能值为8或10或12. (AB=DC, 7.证明：在△ABC与△DCB中，AC=DB, BC=CB, ∴.△ABC≌△DCB(SSS). 8.C【解析】，BE平分∠ABC,∴.∠DBE=∠CBE. :CD⊥BE,.∠CEB=∠DEB=90°.在△CBE与 ∠CBE=∠DBE, △DBE中， BE=BE, ∴.△CBE≌△DBE ∠CEB=∠DEB, (ASA)..'BC=BD=3,CE=DE=1,.CD=2,