12.3 一次函数与二元一次方程-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

12.3一次函数与二元一次方程 第1课时 一次函数与二元一次方程 森要梳理 一般地，一个二元一次方程可以转化成一次函数y三kx十b(k,b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一 次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线， 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点一次函数与二元一次方程 5.数形结合思想【探究】(1)在平面直角坐标 1.以方程2x一y=一2的解为坐标的点组成的 系中，把方程x十y=4的解中的x值和y值 图象是 分别作为点的横、纵坐标.请完成表格信息， 并在下面的平面直角坐标系中描出对应点. 0 …② 3 2 … B D 【发现】(2)过这些点中的任意两点画直线， 2.若以二元一次方程x十2y一b=0的解为坐 你有什么发现？ 标的点(x,y)都在直线y=一 2x+b-1 【归纳】以方程x十y=4的解为坐标的点的 上，则常数b= 全体叫作方程的图象.一般地，在平面直角 A号 坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都 B.2 C.-1 D.1 是一条直线 3.以方程2x十y=14的解为坐标的点组成的 【应用】(3)二元一次方程a.x十by=-1的图 图象是一条直线，这条直线对应的一次函数 象上有两个点分别为（一1,1），(1，一3)，请 表达式为 求出这个二元一次方程. 4.已知二元一次方程2x+3y一6=0，若把y 看成x的函数，画出它的图象，并根据图象 回答下列问题： (1)当y=一4,0,2时，对应的x的值是多少？ (2)从图象上看，二元一次方程2x+3y-6 =0有几组解？ 426 八年级数学HK版 第2课时一次函数与二元一次方程组 要闾梳理 设直线y1=k1x十b1和直线y2=k2x十b2的交点坐标为(a,b),则a,b满足这两个函数表达式，所以直线 y1=k1x十b1, y1=k1x十b1和直线y2=k2x十b2的交点坐标是二元一次方程组 的解 y2=k2x十b2 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点一次函数与二元一次方程组 4.几何直观(2025一2026池州期中)如下图，在 x-y=一b, 平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x十6(k 1.若二元一次方程组 的解为 ax-y=3 是常数，且k1≠0)的图象分别与x轴和y轴交 x=2, 于点B和点A,一次函数y2=k2x一6(k2是常 则一次函数y=x十b与y=ax一3 y=1, 数，且k2≠0)的图象分别与x轴和y轴交于点 的图象的交点坐标为 E和点C,直线AB,CE交于点D(4,2). A.(-1,2) B.(2,1) (1)k1= ,k2= C.(1,2) D.(-2,1) (2)不等式k1x十6≥k2x一6的解集为 k1x一y1+6=0, 变式题已知方程的解求交点坐标→已知 ;方程组 的 k2x一y2-6=0 交点坐标求方程的解 如图，直线L1:y=x十4与 解为 直线l2:y=kx十b交于点 (3)若P是直线AB上一点，且S三角形BPE A,则关于x,y的方程组 2S三角形BDE,求点P的坐标， x-y+4=0, 的解为 1 y2=kx-6 kx-y+b=0 变式题图 /D 0 2.一次函数y=kx十b的图象上一部分点的坐 yi=kx+6 标如下表： 23… y=kx十b, 方程组 的解为 ly=x 3.(2025一2026安庆太湖期中)两条直线y= 2x一1和y=2x一3的位置关系为 由此可知，方程组 2x-y=1, 的解的情况为 2x-y=3 上册第12章 第3课时一次函数的实际应用 要闾梳理 在实际生活中，应用函数知识来解决实际问题的关键是根据题意及图表信息得出函数表达式，再利用一次 函数和方程、不等式的关系建立方程、不等式模型， 已课内基础闯关 (2)当温度是34℃时，在100g水中加入37g 知识点①利用一次函数解决单函数问题 氯化钾，充分搅拌，是否能完全溶解？请说 明理由. 1.某种商品的销售额y(单位：万元)与广告投 入x(单位：万元)成一次函数关系.当投入 10万元时，销售额为1000万元；当投入90 万元时，销售额为5000万元.故投入80万 元时，销售额为 万元 知识点②利用一次函数解决双函数问题 2.小明同学在一次学科综合实践活动中发现， 某品牌鞋子的长度y(单位：cm)与鞋子的码 4.(2025一2026合肥包河区期中）如下图，11， 数x之间满足一次函数关系.下表给出y与 12分别表示某工厂甲、乙两车间的钢铁产量 x的一些对应值： y(单位：t)与甲车间生产的时间x(单位：天) 之间关系的函数图象.根据图象解答下列 码数x 28 32 44 46 问题， 长度y/cm 19 21 27 28 (1)分别求出11，l2对应的函数关系式。 根据小明的数据，可以得出该品牌42码鞋 (2)若甲、乙两车间的钢铁产量相差100t,求 子的长度为 甲车间生产的时间. 3.跨化学学科如下图，在0℃~100℃条件 y/t' 下，氣化钾的溶解度y(单位：g)与温度x(单 600 400 位：℃)之间近似满足一次函数关系（注：氯 200 1020天 化钾的溶解度表示在一定温度下，氯化钾在 100g水中达到饱和状态时所溶解的氯化钾 质量) (1)求y关于x的函数表达式. y/gt 40 30 010 40x/℃ 428 八年级数学HK版 已课外拓展提高 (2)求出(1)中所画图象的表达式！ 5.跨物理学科在物理实验课上，小鹏利用滑 (3)若本次实验记录的开始时间是上午 轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力 8:00,则当箭尺读数为76cm时是什么时间？ F(单位：N)和所悬挂物体的重力G(单位： N)的几组数据用电脑绘制成如图所示的图 象（不计绳重和摩擦）.根据图象判断，以下 结论正确的是 FIN 13 0. 0.5 01234567GN 色综合能力提升 第5题图 7.某学校采购体育用品，需要购买三种球类， ①拉力随着重力的增加而增大： 已知某体育用品商店排球的单价为30元 ②当物体的重力G=7N时，拉力F=2.2N; ①篮球、足球、排球各买1个的价格为140元 ③拉力F与重力G成正比例函数关系； ④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力 ②购买2个足球的价格比购买1个篮球多花费40元 为0.5N. ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 A.①②B.②④C.①④ D.③④ (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条 6.古代数学文化《九章算术》中记载，浮箭漏 件，求出篮球和足球的单价， (如图①)出现于汉武帝时期，它主要由供水 (2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足 壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地 球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买 从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上 多少个篮球时花费最少？最少费用是多少？ 升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计 算时间.某实验小组仿制了一套浮箭漏，并 从函数角度进行了如下实验探究.实验小组 每两小时记录一次箭尺读数，得到下表： 供水时间x/h 0 2 6 P 箭尺读数y/cm 16 28 40 52 浮箭漏示意图 y/em 箭尺 6 6 0123456789xM 图① 图② (1)在图②中描出以上表格中数据为坐标的 各点，并依次连接。 上册第12章 29△所以y1=(4-b)x十b,y2=bx十4-b.如图. Y2 因为0<a<4,即0<4-b<4,且x<1时，y1>y2成 立，所以由图象，得4一b<b,所以2<b<4. 安徽热点专题动态问题中的函数图象 1.D2.B3.C4.D 12.3一次函数与二元一次方程 第1课时一次函数与二元一次方程 1.B2.B3.y=-2x+14 4.解：把y看成x的函数，得y= 2% x十2.作该函数图 象如图所示 2 t+2入 (1)当y=一4,0,2时，对应的x的值分别是9,3,0. (2)因为图象是一条直线，是由无数个点组成的，所有 点的坐标就是二元一次方程的解， 所以二元一次方程2x十3y一6=0有无数组解. 5.解：(1)①2②5 (2)如图所示，所有的点都在同一条直线上. y↑ -2 -21 c9 j..=5h (3)因为二元一次方程a.x十by=一1的图象上有两个 点分别为(-1,1)，(1，-3)， 所以 。解得a2, b=1. 所以这个二元一次方程为2x十y=一1. 第2课时一次函数与二元一次方程组 1B变式题=3、2.x-2 y=2 3.平行无解 4.解：(1)-12 (2)x≤4 /x=4, y=2 (3)由(1)可知直线AB的表达式为y1=一x+6,直线 CD的表达式为y2=2x-6. 当y1=0时，一x十6=0，解得x=6, 所以B(6,0),即OB=6. 当y2=0时，2x一6=0，解得x=3, 所以E(3,0),即OE=3, 所以BE=OB-OE=6-3=3, 1 1 所以S三角形mE=2BE·Vn=2X3X2=3. 设点P的坐标为(t,一t+6). 因为S三角形BPE=2S三角形BDE' 所以号BE,1=×31-4+61=6 解得1=2或t=10. 当t=2时，一t+6=4:当t=10时，-t+6=-4. 故点P的坐标为(2,4)或(10，-4). 第3课时一次函数的实际应用 1.4500 2.26cm【解析】设y关于x的函数表达式为y=kx+ b.因为点(28,19)，(32,21)在该函数图象上，所以 28k+b=19, 解得=2'所以y关于工的函数表达 32k+b=21, b=5, 式为y=2x+5.当x=42时，y=2×42+5=26. 3.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 把点(10,30)，(40,40)代入， 1 得106+6=30， 得 k (40k+b=40, 80 b= 3 1 所以y关于x的函数表达式为y=3x+. (2)能完全溶解.理由： 1 80 当x=34时y=3×34+3=38. 因为38>37，所以能完全溶解. 4.解：(1)设11对应的函数关系式为y1=k1x,l2对应的 函数关系式为y2=k2x十b. 因为l1经过点(20,600)，所以20k1=600, 解得k1=30, 所以l1对应的函数关系式为y1=30x. 因为l2经过点(0,400)，(20,600)， 所以b=400,20k2+400=600,解得k2=10, 所以l2对应的函数关系式为y2=10.x十400. (2)由题意可得|30x-10.x-400|=100, 解得x=15或x=25. 故甲车间生产的时间为15天或25天. 5.C 6.解：(1)cm1 54 42 30 18 0123456789x/ 上册详解详析 (2)设(1)中所画图象的表达式为y=k.x十b. 把点(0,4)，(2,16)代入y=k.x+b, 得64， k=6, 2k+b=16 解得b=4, 即(1)中所画图象的表达式为y=6x十4. (3)当y=76时，76=6x+4,解得x=12. 因为8+12=20，所以当箭尺读数为76cm时是 20:00. 7.解：(1)示例：选择条件①②.设篮球的单价为x元，足 球的单价为y元 根据题意，得亿+y+30=140 2y-x=40, 解得r60. 1y=50. 故篮球的单价为60元，足球的单价为50元 (2)设该学校购买篮球m个，则购买足球(10一m)个 10 根据题意，得10-m≤2m,解得m≥ 又因为m<10,所以智≤m<10, 设学校要购买篮球、足球的总费用为元. 根据题意，得=60m+50(10一m)=10m十500， 因为10>0， 所以随m的增大而增大。 因为9m≤10，且m为正整数， 所以当m=4时，0最小，最小值为10×4+500=540. 故购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元. 应用技巧专题一次函数的应用一 最优及优化决策问题（真实情境） 1.解：(1)由题意，得y=12.x+8(120一x)=4.x+960. (2)由条件可知，x≥2(120一x),解得x≥80. 因为y=4x+960,4>0, 所以y随x的增大而增大， 所以当x=80时，y取得最小值，最小值为4×80十960 =1280, 此时120一x=120一80=40 故当购买A种跳绳80根，B种跳绳40根时，实际所花 费用最少，最少的费用为1280元. 2.解：(1)甲商店的方案所需费用y甲关于x的函数表达 式为y甲=20(x-30)+100×30=20x+2400(x> 30). 乙商店的方案所需费用yz关于x的函数表达式为yz =0.9×(100×30+20x)=18x+2700(x>30) (2)①20x+2400=18.x+2700,解得x=150, 此时按照甲、乙两家商店的方案所需费用一样； ②20x十2400>18.x+2700,解得x>150, 此时按照乙商店的方案购买更合算； ③20x+2400<18x+2700,解得x<150, 此时按照甲商店的方案购买更合算 故x=150时，按照甲、乙两家商店的方案所需费用一 样；x>150时，按照乙商店的方案购买更合算；30<x <150时，按照甲商店的方案购买更合算， 3.解：(1)填表如下： 410 八年级数学HK版 购进书 进价/ 售价/ 获得利 品牌 包个数 (元/个) (元/个) 润/元 A x 50 60 10x B 100-x 40 55 15(100-x) (2)由题意，得 50x+40(100-x)≤4500， 解得25≤x 100一x3.x, ≤50. 因为y=10.x+15(100-x)=-5x+1500,-5<0, 所以y随x的增大而减小， 所以当x=25时，y有最大值，最大值为一5×25+ 1500=1375. 故当购进A种书包25个，B种书包75个时，超市才能 获得最大利润，最大利润为1375元. 4.解：(1)600元、800元 (2)①根据题意，得 200-x≥60·解得120≤x≤140. x≥120， y=600.x+800(200-x)+200×10=-200.x +162000, 所以y与x之间的函数关系式为y=一200x十 162000(120≤x≤140). ②因为在y=-200.x+162000(120≤x≤140)中，k 一200<0，所以y随x的增大而减小， 所以当x=140时，总费用最少，此时200一x=60, 所以当购买A型打印机140台，B型打印机60台时， 总费用最少. 【解析】(1)设A型打印机每台m元，B型打印机每台n 元，则3m十2=3400解得m=60. m+3n=3000, ln=800. 故A型打印机每台600元，B型打印机每台800元. 5.解：(1)260 (2)y=20x+6000 (3)根据题意，得300-x≥2x,解得x≤100. 因为y=20x十6000,20>0，所以y随x的增大而增 大，所以当x=100时，y值最大，最大值为y=20× 100+6000=8000, 此时300一x=200. 故购进A种配件100件和B种配件200件才能使本 次销售获得的总利润最大，最大利润是8000元. 【解析】(1)根据题意，得50a+80×25=15000,解得a =260. (2)由题意，得y=(300一260)x+(100一80)(300一x) =20x+6000. 6.解：(1)y=20x+3000 （2)由题意，得≥60， 160.x+120(100-x)≤15000. 解得60≤x≤75. 因为在y=20x+3000中，20>0， 所以y随x的增大而增大，所以当x=75时，y有最大 值，最大值为20×75+3000=4500， 所以最大利润为4500元. (3)y=(210-160-a)x+(150-120+b)(100-x)=