第一单元1.2《分数除法（二）》(讲义)-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

本小学数学讲义围绕分数除法展开，构建从直观模型推导（饼图平均分、长方形面积验证整数除以分数规律）到通用计算法则（除以不为0的数等于乘倒数），再到算理推导（乘除互逆、等式性质）、三类基础计算（整数÷分数等）、归一分配应用题及商与被除数大小规律的递进式学习支架。 资料通过饼图分割、面积模型等直观手段培养几何直观（数学眼光），借助乘除互逆推导强化推理意识（数学思维），结合分装果汁、截取彩带等实例发展模型意识（数学语言）。课中辅助教师具象化教学，课后练习帮助学生巩固算理、查漏补缺。

第一单元1.2《分数除法（二)》(7个考点) 考点1：借助直观模型推导整数除以分数的计算规律 【核心知识】 1.饼图平均分模型：把整数张饼按分数份分割，直观发现：整数除以几分之 一，等于整数乘这个分数的倒数。 例：5÷2=5×2,7÷1=7×4 2.长方形面积验证模型：长方形面积=长×宽，已知面积、宽求长，长= 面积÷宽。 当宽固定为时，面积÷=面积×n,再次验证规律。 3.文字总结：一个整数除以几分之一，等价于这个整数乘分母。 【方法点拨】 1.饼图思路：1个整体里包含n个行，a个整体就有a×n个品 2.面积思路： 已知宽是酷 求长就要乘n,直观理解“变除为乘”。 【典型例题】 例1：有6张相同的披萨，每张分一份，一共能分成多少份： 分析：求总数里包含多少个每份的量，用除法；整数除以，等于整数×n。 详解 求6里有几个 ,列式： 1 6÷4=6×4=24 答案：一共能分成24份 例2：长方形面积是5，宽为，求长方形的长。 分析：长方形公式长=面积÷宽，整数除以几分之一，直接乘分母。 第1页共16页 详解 1 5÷5=5×5=25 答案：长方形的长是25 【对应练习】 1.8张蛋糕， 每张一份， 可以分几份？列式计算。 分析：总量÷单份数量=份数，除以等价乘3。 详解 8÷3=8×3=24(份) 答案：可以分24份 2.长方形面积7，宽 ,求长。 分析长=面积÷宽，除以×2 详解 1 7÷2=7×2=14 答案：长是14 39÷合= 12÷号= 分析整数÷几分之一，直接乘分母约分计算。 详解 .1 9÷6=9×6=54 1 12÷5=12×5=60 答案：54；60 4.一袋饼干共10块，每块装一小盒，全部装完需要多少个小盒？ 分析总块数÷每盒数量=盒子总数，除以哈×8 第2页共16页 详解 10÷后=10×8=80（个） 答案：需要80个小盒 5.长方形面积11，宽。，长比面积大多少？ 分析先求出长，再用长-面积求差值。 详解 长：11÷5=11×9=99 差值：99-11=88 答案：长比面积大88 考点2：分数除法通用计算法则：除以不为0的数=乘它的倒数 【核心知识】 1.通用法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数（所有除法通用：整 数÷分数、分数÷分数、分数÷整数) 2.倒数规则： 分数的倒数：台(a、b≠0) o整数n的倒数： n 3计算简便技巧：相乘前先交叉约分，再计算，简化大数运算。 【方法点拨】 分数除法三步计算法： ①改符号：把除号“÷”改成乘号“×”； ②取倒数：把后面的除数换成它的倒数； ③约分计算：分子分母交叉约分后，分子乘分子、分母乘分母。 【典型例题】 例1：计算7÷号 第3页共16页 分析整数除以分数，把除号变乘号，除数取倒数，约分相乘。 详解 2 535 7÷5=7×2=2 答案： 35 2 例2：计算号÷8 分析分数÷整数， 整数倒数是 ，变乘法再约分。 详解 411 5÷8= 5×8=30 答案： 30 【对应练习】 16÷号= 分析整数除以分数，乘倒数，6和3先约分。 详解 3 7 6÷7=6×3=2×7=14 答案：14 分析分数÷分数，除数取倒数，8和4约分。 详解 53545 8÷4=8×3=6 答案： 3号÷3= 第4页共16页 分析除以3等于乘，9与3约分。 详解 913 14×3=14 答案：品 418÷品 分析整数乘倒数，18与9约分。 详解 10 18× =2×10=20 答案：20 5.28 25÷15 分析变乘法，12和8、15和25交叉约分。 详解 12153×3 9 25×85 5×2-10 答案：10 考点3：利用乘除互逆、等式性质推导分数除法算理 【核心知识】 1乘除互逆关系：若A÷B=C,则C×B=A; 2.等式基本性质：等式左右两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立； 3推导逻辑：设除法算式结果为未知数，利用逆运算列出乘法等式，两边同时 乘除数的倒数，直接推出“除以一个数=乘它的倒数”。 【方法点拨】 推导模板：设a÷b=X一x×b=a一xxb×行=ax行一x=ax结完成 第5贡共16页 证明。 【典型例题】 例：用等式性质推导5÷的计算方法 分析设除法结果为X，,利用乘除互逆写出乘法等式，等式两边同乘除数倒数推 导法则。 详解 设5÷是=x 根据除法逆运算：X×=5 等式两边同时乘的倒数号： 34 4 X×4×3 =5×3 x=5×3 因此：5÷=5×号=9 3 答案： 5÷3 =5× 3 【对应练习】 1,用等式原理推导8÷号 分析设未知数，逆运算+等式同乘倒数推导。 详解 设8÷号=x 2 X×3=8 两边同乘号 3 x=8×2=12 第6页共16页 得：8÷号=8×号 答案：8÷号=12 2填空：若知÷名则口-×() 分析被除数=商×除数，除数是。 详解 被除数=商×除数，括号填除数 答案：号 3用逆运算说明明÷号昌× 分析设等式，利用乘法逆运算、等式性质证明。 详解 设÷=x 逆运算：Xx号=日 等式两边同时柔号 53 X g×2 所以8号=x经 等式成立。 4自主推导分数除以整数：分÷4=品×号 分析设未知数，逆运算推导除以整数等于乘整数倒数。 详解 设号÷4=X 逆运算：4x=号 等式两边同时乘 第7页共16页 61 X 11×4 即÷4= 6.1 5.已知x÷8=合 4 利用等式性质求X的值。 分析被除数=商×除数，两边同乘。 详解 51 X= 15×8=6 答案：X=6 1 考点4：三类分数除法基础计算（整数÷分数、分数÷分数、分数÷ 整数) 【核心知识】 1.分类梳理： ①整数÷分数：整数×分数倒数： ②分数：分数：被除数×除数倒数； ③分数÷整数：分数×整数的倒数； 2计算要求：结果必须化为最简分数，假分数可保留或化成带分数。 【方法点拨】 1.所有题型统一转化为分数乘法，不用区分类型单独记忆； 2约分优先：看到能约分的数先约分，再相乘，减少计算量。 【典型例题】 例1（整数÷分数）：16÷青= 分析整数变乘法，乘分数倒数，先约分。 详解 第8页共16页 4 9 16÷g=16×4=4×9=36 答案：36 例2（分数÷分数）： 分析除数取倒数，交叉约分后相乘。 详解 7151×5 5 12×14 4×2 =8 答案： 8 例3（分数÷整数）： ÷5= 21 分析除以5等价乘，10和5约分。 详解 1012 21×5=21 答案：员 【对应练习】 1.12÷9 分析乘倒数，12与6约分。 详解 11 12×6=2×11=22 答案：22 2号÷品 分析变乘法，14和7、3和9约分。 详解 第9页共16页 3142 7×9=3 答案： 2 3品÷4 分析乘，8和4约分。 详解 812 15×4=15 答案：后 424÷号 分析24与8约分再乘13。 详解 13 24×8= 3×13=39 答案：39 5号÷号 分析交叉约分18、12；35、25再相乘。 详解 1835 21 25×12=10 答案：吕 考点5：分数除法归一分配类实际应用题 【核心知识】 1.数量关系：总数量÷每份数量=份数 2题型特征：已知物品总数量，给出每一份的量（分数），求一共能分多少 份； 第10页共16页 3.解题思路：识别总量、每份数，直接用总量÷每份数，套用分数除法法则计 算。 【方法点拨】 三步解题： ①找总量（全部物品数量）；②找每份的数量（分数）；③总量÷每份数量 =份数，列式计算作答。 【典型例题】 例1：有9升果汁，每升装一瓶，全部装完可以装多少瓶： 分析总容量÷每瓶容量=瓶数，总量÷单份量=份数。 详解 9÷=9×号 =15(瓶) 答案：可以装15瓶 例2：一根彩带总长12米，每次截取号米，一共能截多少段？ 分析总长÷每段长度=段数。 详解 12÷号=12×7=21（段） 答案：一共能截21段 【对应练习】 1.7千克大米， 每千克分装一袋， 能装几袋？ 分析总重量÷每袋重量=袋数。 详解 7÷号=7×2= 321 2 ,(袋) 答案： 能装袋 第11页共16页 2.布料共10米，每米做一条围巾，能做几条： 分析总长÷单条用料=条数。 详解 10÷=10×号=8（条） 答案：能做8条 3桶装水共8升，每次倒。升，能倒多少次？ 分析总容量÷每次倒出量=次数。 详解 8÷号=8×=18（次） 答案：能倒18次 4.仓库有15吨蔬菜，每车运吨，至少需要几辆货车才能全部运走？ 分析总吨数÷每车运载量=车辆数。 详解 15÷8=15×号=18（辆） 答案：至少需要18辆 5.一卷铁丝长18米，手工制作每个模型需要米，最多能做多少个模型： 分析总长÷单个用料=模型数量。 详解 18÷=18×8=48(个) 答案：最多能做48个 考点6：被除数不为0时，商与被除数大小变化规律 【核心知识】 被除数不为0时，观察除数与1的大小关系，直接判断商和被除数大小： 第12页共16页 1.除数<1（真分数）→商>被除数； 2.除数=1→商=被除数： 3.除数>1（大于1的假分数、整数）→商<被除数。 【方法点拨】 不用完整计算，只对比除数和1：除数是真分数，结果比原数大；除数大于1， 结果比原数小。 【典型例题】 例：不计算，判断下面算式的商和10的大小 10÷号 10*号 10÷1 分析规律：除数<1，商>被除数；除数=1，商=被除数；除数>1，商<被 除数。 详解 1号<1,10÷号>10 2>1,10÷7<10 3.1=1,10÷1=10 答案：10÷>10：10÷号<10：10÷1=10 【对应练习】 1.圈出得数大于9的算式： 9÷月9÷99÷1 分析只有除数号<1，商大于9；其余除数≥1，商≤9。 详解 号<1，所以9÷结果大于9。 第13页共16页 答案：阁9÷号 2.7÷的商比7大还是小？说明理由。 分析除数>1，一个不为0的数除以大于1的数，商小于原数。 详解 号>1，被除数不为0，除以大于1的数，商小于被除数7。 答案：商比7小；理由：除数>1，商小于被除数。 3.12÷的商和12谁更大？ 分析除数好<1，非0数除以真分数，商更大。 详解 月<1，所以12÷>12 答案：12÷的商更大 4.下列算式中，商最小的是（) A15÷号 B.15÷ C.15÷1 分析被除数相同，除数越大，商越小：寻>1> 详解 是三个除数中最大的，所以B的商最小。 答案：B 5判断：一个数除以真分数，商一定大于这个数()，说明理由。 分析忽略数字0的特殊情况，0除以任何真分数仍得0，和原数相等。 详解 说法错误；当这个数是0时，0÷？=0，商等于原数，不是大于。 答案：×；理由：当这个数为0时，商等于原数。 第14页共16页 考点7：不计算，比较分数除法算式大小 【核心知识】 1.同一被除数，除数越小，商越大；除数越大，商越小； 2除法转乘法对比：a÷b=a×可全部转化乘法，比较乘数大小： 3特殊对比：除以一个数=乘这个数的倒数，如÷2=×分 【方法点拨】 两种快速判断思路： 思路1：看除数和1，直接判断商与被除数大小； 思路2：全部转化为乘法，对比另一个乘数大小。 【典型例题】 例：在O里填>、<、= 分析除数<1，非0数除以小于1的数，商>原数。 详解 除以真分数，结果更大，填> 答案：> 【对应练习】 1品÷30品 分析除数3>1，商小于原数。 详解 填< 答案：< 28÷108 分析任何数除以1等于本身。 第15页共16页 详解 填= 答案：= 3号0 分析号<1， 商大于原数。 详解 填> 答案：> 4g÷40层×号 分析分数除法法则：除以整数=乘整数倒数。 详解 两边完全相等，填= 答案：= 分析左边=号×6，右边=品×行6>分左边更大。 详解 转化乘法对比乘数，6>，所以左边大。 答案：> 第16页共16页 第一单元1.2《分数除法（二）》（7个考点） 考点 1 ：借助直观模型推导整数除以分数的计算规律 【核心知识】 1.饼图平均分模型：把整数张饼按分数份分割，直观发现：整数除以几分之一，等于整数乘这个分数的倒数。 例：， 2.长方形面积验证模型：长方形面积 = 长 × 宽，已知面积、宽求长，。 当宽固定为时，，再次验证规律。 3.文字总结：一个整数除以几分之一，等价于这个整数乘分母。 【方法点拨】 1.饼图思路：1 个整体里包含个，个整体就有个； 2.面积思路：已知宽是，求长就要乘，直观理解 “变除为乘”。 【典型例题】 例 1：有 6 张相同的披萨，每张分一份，一共能分成多少份？ 例 2：长方形面积是 5，宽为，求长方形的长。 【对应练习】 1.8 张蛋糕，每张一份，可以分几份？列式计算。 2.长方形面积 7，宽，求长。 3. 4.一袋饼干共 10 块，每块装一小盒，全部装完需要多少个小盒？ 5.长方形面积 11，宽，长比面积大多少？ 考点 2 ：分数除法通用计算法则：除以不为 0 的数 = 乘它的倒数 【核心知识】 1.通用法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数（所有除法通用：整数 ÷ 分数、分数 ÷ 分数、分数 ÷ 整数） 2.倒数规则： ￮分数的倒数：（） ￮整数的倒数： 3.计算简便技巧：相乘前先交叉约分，再计算，简化大数运算。 【方法点拨】 分数除法三步计算法： ① 改符号：把除号 “÷” 改成乘号 “×”； ② 取倒数：把后面的除数换成它的倒数； ③ 约分计算：分子分母交叉约分后，分子乘分子、分母乘分母。 【典型例题】 例 1：计算 例 2：计算 【对应练习】 1. 2. 3. 4. 5. 考点 3 ：利用乘除互逆、等式性质推导分数除法算理 【核心知识】 1.乘除互逆关系：若，则； 2.等式基本性质：等式左右两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍然成立； 3.推导逻辑：设除法算式结果为未知数，利用逆运算列出乘法等式，两边同时乘除数的倒数，直接推出 “除以一个数 = 乘它的倒数”。 【方法点拨】 推导模板：设 → → → ，完成证明。 【典型例题】 例：用等式性质推导的计算方法 【对应练习】 1.用等式原理推导 2.填空：若，则 3.用逆运算说明 4.自主推导分数除以整数： 5.已知，利用等式性质求的值。 考点 4 ：三类分数除法基础计算（整数 ÷ 分数、分数 ÷ 分数、分数 ÷ 整数） 【核心知识】 1.分类梳理： ① 整数 ÷ 分数：整数 × 分数倒数； ② 分数 ÷ 分数：被除数 × 除数倒数； ③ 分数 ÷ 整数：分数 × 整数的倒数； 2.计算要求：结果必须化为最简分数，假分数可保留或化成带分数。 【方法点拨】 1.所有题型统一转化为分数乘法，不用区分类型单独记忆； 2.约分优先：看到能约分的数先约分，再相乘，减少计算量。 【典型例题】 例 1（整数 ÷ 分数）： 例 2（分数 ÷ 分数）： 例 3（分数 ÷ 整数）： 【对应练习】 1. 2. 3. 4. 5. 考点 5 ： 分数除法归一分配类实际应用题 【核心知识】 1.数量关系：总数量 ÷ 每份数量 = 份数 2.题型特征：已知物品总数量，给出每一份的量（分数），求一共能分多少份； 3.解题思路：识别总量、每份数，直接用总量 ÷ 每份数，套用分数除法法则计算。 【方法点拨】 三步解题： ① 找总量（全部物品数量）；② 找每份的数量（分数）；③ 总量 ÷ 每份数量 = 份数，列式计算作答。 【典型例题】 例 1：有 9 升果汁，每升装一瓶，全部装完可以装多少瓶？ 例 2：一根彩带总长 12 米，每次截取米，一共能截多少段？ 【对应练习】 1.7 千克大米，每千克分装一袋，能装几袋？ 2.布料共 10 米，每米做一条围巾，能做几条？ 3.桶装水共 8 升，每次倒升，能倒多少次？ 4.仓库有 15 吨蔬菜，每车运吨，至少需要几辆货车才能全部运走？ 5.一卷铁丝长 18 米，手工制作每个模型需要米，最多能做多少个模型？ 考点 6 ： 被除数不为 0 时，商与被除数大小变化规律 【核心知识】 被除数不为 0 时，观察除数与 1 的大小关系，直接判断商和被除数大小： 1.除数＜1（真分数）→ 商＞被除数； 2.除数＝1 → 商＝被除数； 3.除数＞1（大于 1 的假分数、整数）→ 商＜被除数。 【方法点拨】 不用完整计算，只对比除数和 1：除数是真分数，结果比原数大；除数大于 1，结果比原数小。 【典型例题】 例：不计算，判断下面算式的商和 10 的大小 【对应练习】 1.圈出得数大于 9 的算式： 、、 2.的商比 7 大还是小？说明理由。 3.的商和 12 谁更大？ 4.下列算式中，商最小的是（ ） A. B. C. 5.判断：一个数除以真分数，商一定大于这个数（ ），说明理由。 考点 7 ：不计算，比较分数除法算式大小 【核心知识】 1.同一被除数，除数越小，商越大；除数越大，商越小； 2.除法转乘法对比：，可全部转化乘法，比较乘数大小； 3.特殊对比：除以一个数 = 乘这个数的倒数，如。 【方法点拨】 两种快速判断思路： 思路 1：看除数和 1，直接判断商与被除数大小； 思路 2：全部转化为乘法，对比另一个乘数大小。 【典型例题】 例：在○里填＞、＜、＝ ○ 【对应练习】 1.○ 2.○ 3.○ 4.○ 5.○ ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第一单元1.2《分数除法（二)》(7个考点) 考点1：借助直观模型推导整数除以分数的计算规律 【核心知识】 1.饼图平均分模型：把整数张饼按分数份分割，直观发现：整数除以几分之 一，等于整数乘这个分数的倒数。 例：5÷5=5×2,7÷1=7×4 2.长方形面积验证模型：长方形面积=长×宽，已知面积、宽求长，长= 面积÷宽。 当宽固定为时，面积÷=面积×n,再次验证规律。 3.文字总结：一个整数除以几分之一，等价于这个整数乘分母。 【方法点拨】 1.饼图思路：1个整体里包含n个日，a个整体就有a×n个品 2.面积思路： 已知宽是，求长就要乘n,直观理解“变除为乘”。 【典型例题】 例1：有6张相同的技萨，每张分一份，一共能分成多少份？ 例2：长方形面积是5，宽为，求长方形的长。 【对应练习】 1.8张蛋糕，每张一份，可以分几份？列式计算。 第1页共8页 2长方形面积7，宽，求长。 39÷言= 12÷ 4.一袋饼干共10块，每块装一小盒，全部装完需要多少个小盒？ 5.长方形面积11，宽。，长比面积大多少： 考点2：分数除法通用计算法则：除以不为0的数=乘它的倒数 【核心知识】 1通用法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数（所有除法通用：整 数÷分数、分数÷分数、分数÷整数) 2.倒数规则： o分数的倒数：台(a、b≠0) o整数n的倒数： n 3计算简便技巧：相乘前先交叉约分，再计算，简化大数运算。 【方法点拨】 分数除法三步计算法： ①改符号：把除号“÷”改成乘号“×”； ②取倒数：把后面的除数换成它的倒数； ③约分计算：分子分母交叉约分后，分子乘分子、分母乘分母。 第2页共8贡 【典型例题】 例1：计算7÷号 例2：计算号÷8 【对应练习】 1.6÷号= 2*号 3 3号÷3= 418÷8= 5号÷是= 考点3：利用乘除互逆、等式性质推导分数除法算理 【核心知识】 1.乘除互逆关系：若A÷B=C,则C×B=A; 2.等式基本性质：等式左右两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立； 3推导逻辑：设除法算式结果为未知数，利用逆运算列出乘法等式，两边同时 乘除数的倒数，直接推出“除以一个数=乘它的倒数”。 【方法点拨】 推导模板：设a÷b=x一x×b=a一x×b×行=a×号一x=a×行完成 证明。 第3贡共8贡 【典型例题】 例：用等式性质推导5÷的计算方法 【对应练习】 1用等式原理推导8÷号 2填空：如÷号=8则口=x() 3用逆运算说明明÷号-× 4自主推椎导分数除以整数：吕÷4=品×号 5.已知x÷号=号利用等式性质求x的值。 考点4：三类分数除法基础计算（整数÷分数、分数÷分数、分数÷ 整数) 【核心知识】 1.分类梳理： ①整数÷分数：整数×分数倒数： ②分数÷分数：被除数×除数倒数； ③分数÷整数：分数×整数的倒数； 2计算要求：结果必须化为最简分数，假分数可保留或化成带分数。 【方法点拨】 第4贡共8贡 1.所有题型统一转化为分数乘法，不用区分类型单独记忆； 2约分优先：看到能约分的数先约分，再相乘，减少计算量。 【典型例题】 例1（整数÷分数）：16÷4 例2（分数÷分数）：五÷普= 例3（分数÷整数）：只÷5= 【对应练习】 112÷9 2号÷品 3号÷4 424÷是 5号÷号 考点5：分数除法归一分配类实际应用题 【核心知识】 1数量关系：总数量÷每份数量=份数 2题型特征：已知物品总数量，给出每一份的量（分数），求一共能分多少 份： 3.解题思路：识别总量、每份数，直接用总量÷每份数，套用分数除法法则计 算。 【方法点拨】 三步解题： ①找总量（全部物品数量）；②找每份的数量（分数）；③总量÷每份数量 =份数，列式计算作答。 第5贡共8贡 【典型例题】 例1：有9升果汁，每升装一瓶，全部装完可以装多少瓶： 例2：一根彩带总长12米，每次截取米，一共能截多少段？ 【对应练习】 1.7千克大米，每号千克分装一袋，能装几袋 2布料共10米，每米做一条围巾，能做几条？ 3桶装水共8升，每次倒升，能倒多少次 4.仓库有15吨蔬菜，每车运。吨，至少需要几辆货车才能全部运走： 5.一卷铁丝长18米，手工制作每个模型需要。米，最多能做多少个模型： 第6页共8页 考点6：被除数不为0时，商与被除数大小变化规律 【核心知识】 被除数不为0时，观察除数与1的大小关系，直接判断商和被除数大小： 1.除数<1（真分数）→商>被除数； 2.除数=1→商=被除数； 3.除数>1（大于1的假分数、整数）→商<被除数。 【方法点拨】 不用完整计算，只对比除数和1：除数是真分数，结果比原数大；除数大于1， 结果比原数小。 【典型例题】 例：不计算，判断下面算式的商和10的大小 10÷号 10÷号 10÷1 【对应练习】 1.圈出得数大于9的算式： 9÷月9÷9÷1 2.7÷的商比7大还是小？说明理由。 3.12÷的商和12谁更大： 第7贡共8页 4.下列算式中，商最小的是（) A15÷号 B.15÷ C.15÷1 5判断：一个数除以真分数，商一定大于这个数（)，说明理由。 考点7：不计算，比较分数除法算式大小 【核心知识】 1.同一被除数，除数越小，商越大；除数越大，商越小； 2.除法转乘法对比：a÷b=a×行可全部转化乘法，比较乘数大小； 3,特殊对比：除以一个数=乘这个数的倒数，如÷2=× 【方法点拨】 两种快速判断思路： 思路1：看除数和1，直接判断商与被除数大小： 思路2：全部转化为乘法，对比另一个乘数大小。 【典型例题】 例：在O里填>、<、= 品÷o品 【对应练习】 1品÷307 28÷108 48÷4o8 8 4 5品÷品×对 第8页共8页 第一单元1.2《分数除法（二）》（7个考点） 考点 1 ：借助直观模型推导整数除以分数的计算规律 【核心知识】 1.饼图平均分模型：把整数张饼按分数份分割，直观发现：整数除以几分之一，等于整数乘这个分数的倒数。 例：， 2.长方形面积验证模型：长方形面积 = 长 × 宽，已知面积、宽求长，。 当宽固定为时，，再次验证规律。 3.文字总结：一个整数除以几分之一，等价于这个整数乘分母。 【方法点拨】 1.饼图思路：1 个整体里包含个，个整体就有个； 2.面积思路：已知宽是，求长就要乘，直观理解 “变除为乘”。 【典型例题】 例 1：有 6 张相同的披萨，每张分一份，一共能分成多少份？ 分析：求总数里包含多少个每份的量，用除法；整数除以，等于整数 ×。 详解 求 6 里有几个，列式： 答案：一共能分成 24 份 例 2：长方形面积是 5，宽为，求长方形的长。 分析：长方形公式，整数除以几分之一，直接乘分母。 详解 答案：长方形的长是 25 【对应练习】 1.8 张蛋糕，每张一份，可以分几份？列式计算。 分析：总量 ÷ 单份数量 = 份数，除以等价乘 3。 详解 （份） 答案：可以分 24 份 2.长方形面积 7，宽，求长。 分析 长 = 面积 ÷ 宽，除以=×2 详解 答案：长是 14 3. 分析 整数 ÷ 几分之一，直接乘分母约分计算。 详解 答案：54；60 4.一袋饼干共 10 块，每块装一小盒，全部装完需要多少个小盒？ 分析 总块数 ÷ 每盒数量 = 盒子总数，除以=×8 详解 （个） 答案：需要 80 个小盒 5.长方形面积 11，宽，长比面积大多少？ 分析 先求出长，再用长−面积求差值。 详解 长： 差值： 答案：长比面积大 88 考点 2 ：分数除法通用计算法则：除以不为 0 的数 = 乘它的倒数 【核心知识】 1.通用法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数（所有除法通用：整数 ÷ 分数、分数 ÷ 分数、分数 ÷ 整数） 2.倒数规则： ￮分数的倒数：（） ￮整数的倒数： 3.计算简便技巧：相乘前先交叉约分，再计算，简化大数运算。 【方法点拨】 分数除法三步计算法： ① 改符号：把除号 “÷” 改成乘号 “×”； ② 取倒数：把后面的除数换成它的倒数； ③ 约分计算：分子分母交叉约分后，分子乘分子、分母乘分母。 【典型例题】 例 1：计算 分析 整数除以分数，把除号变乘号，除数取倒数，约分相乘。 详解 答案： 例 2：计算 分析 分数 ÷ 整数，整数倒数是，变乘法再约分。 详解 答案： 【对应练习】 1. 分析 整数除以分数，乘倒数，6 和 3 先约分。 详解 答案：14 2. 分析 分数 ÷ 分数，除数取倒数，8 和 4 约分。 详解 答案： 3. 分析 除以 3 等于乘，9 与 3 约分。 详解 答案： 4. 分析 整数乘倒数，18 与 9 约分。 详解 答案：20 5. 分析 变乘法，12 和 8、15 和 25 交叉约分。 详解 答案： 考点 3 ：利用乘除互逆、等式性质推导分数除法算理 【核心知识】 1.乘除互逆关系：若，则； 2.等式基本性质：等式左右两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍然成立； 3.推导逻辑：设除法算式结果为未知数，利用逆运算列出乘法等式，两边同时乘除数的倒数，直接推出 “除以一个数 = 乘它的倒数”。 【方法点拨】 推导模板：设 → → → ，完成证明。 【典型例题】 例：用等式性质推导的计算方法 分析 设除法结果为，利用乘除互逆写出乘法等式，等式两边同乘除数倒数推导法则。 详解 设 根据除法逆运算： 等式两边同时乘的倒数： 因此： 答案： 【对应练习】 1.用等式原理推导 分析 设未知数，逆运算 + 等式同乘倒数推导。 详解 设 两边同乘： 得： 答案： 2.填空：若，则 分析 被除数 = 商 × 除数，除数是。 详解 被除数 = 商 × 除数，括号填除数 答案： 3.用逆运算说明 分析 设等式，利用乘法逆运算、等式性质证明。 详解 设 逆运算： 等式两边同时乘： 所以 ，等式成立。 4.自主推导分数除以整数： 分析 设未知数，逆运算推导除以整数等于乘整数倒数。 详解 设 逆运算： 等式两边同时乘： 即 。 5.已知，利用等式性质求的值。 分析 被除数 = 商 × 除数，两边同乘。 详解 答案： 考点 4 ：三类分数除法基础计算（整数 ÷ 分数、分数 ÷ 分数、分数 ÷ 整数） 【核心知识】 1.分类梳理： ① 整数 ÷ 分数：整数 × 分数倒数； ② 分数 ÷ 分数：被除数 × 除数倒数； ③ 分数 ÷ 整数：分数 × 整数的倒数； 2.计算要求：结果必须化为最简分数，假分数可保留或化成带分数。 【方法点拨】 1.所有题型统一转化为分数乘法，不用区分类型单独记忆； 2.约分优先：看到能约分的数先约分，再相乘，减少计算量。 【典型例题】 例 1（整数 ÷ 分数）： 分析 整数变乘法，乘分数倒数，先约分。 详解 答案：36 例 2（分数 ÷ 分数）： 分析 除数取倒数，交叉约分后相乘。 详解 答案： 例 3（分数 ÷ 整数）： 分析 除以 5 等价乘，10 和 5 约分。 详解 答案： 【对应练习】 1. 分析 乘倒数，12 与 6 约分。 详解 答案：22 2. 分析 变乘法，14 和 7、3 和 9 约分。 详解 答案： 3. 分析 乘，8 和 4 约分。 详解 答案： 4. 分析 24 与 8 约分再乘 13。 详解 答案：39 5. 分析 交叉约分 18、12；35、25 再相乘。 详解 答案： 考点 5 ： 分数除法归一分配类实际应用题 【核心知识】 1.数量关系：总数量 ÷ 每份数量 = 份数 2.题型特征：已知物品总数量，给出每一份的量（分数），求一共能分多少份； 3.解题思路：识别总量、每份数，直接用总量 ÷ 每份数，套用分数除法法则计算。 【方法点拨】 三步解题： ① 找总量（全部物品数量）；② 找每份的数量（分数）；③ 总量 ÷ 每份数量 = 份数，列式计算作答。 【典型例题】 例 1：有 9 升果汁，每升装一瓶，全部装完可以装多少瓶？ 分析 总容量 ÷ 每瓶容量 = 瓶数，总量 ÷ 单份量 = 份数。 详解 （瓶） 答案：可以装 15 瓶 例 2：一根彩带总长 12 米，每次截取米，一共能截多少段？ 分析 总长 ÷ 每段长度 = 段数。 详解 （段） 答案：一共能截 21 段 【对应练习】 1.7 千克大米，每千克分装一袋，能装几袋？ 分析 总重量 ÷ 每袋重量 = 袋数。 详解 （袋） 答案：能装袋 2.布料共 10 米，每米做一条围巾，能做几条？ 分析 总长 ÷ 单条用料 = 条数。 详解 （条） 答案：能做 8 条 3.桶装水共 8 升，每次倒升，能倒多少次？ 分析 总容量 ÷ 每次倒出量 = 次数。 详解 （次） 答案：能倒 18 次 4.仓库有 15 吨蔬菜，每车运吨，至少需要几辆货车才能全部运走？ 分析 总吨数 ÷ 每车运载量 = 车辆数。 详解 （辆） 答案：至少需要 18 辆 5.一卷铁丝长 18 米，手工制作每个模型需要米，最多能做多少个模型？ 分析 总长 ÷ 单个用料 = 模型数量。 详解 （个） 答案：最多能做 48 个 考点 6 ： 被除数不为 0 时，商与被除数大小变化规律 【核心知识】 被除数不为 0 时，观察除数与 1 的大小关系，直接判断商和被除数大小： 1.除数＜1（真分数）→ 商＞被除数； 2.除数＝1 → 商＝被除数； 3.除数＞1（大于 1 的假分数、整数）→ 商＜被除数。 【方法点拨】 不用完整计算，只对比除数和 1：除数是真分数，结果比原数大；除数大于 1，结果比原数小。 【典型例题】 例：不计算，判断下面算式的商和 10 的大小 分析 规律：除数＜1，商＞被除数；除数 = 1，商 = 被除数；除数＞1，商＜被除数。 详解 1.， 2.， 3.， 答案：；； 【对应练习】 1.圈出得数大于 9 的算式： 、、 分析 只有除数，商大于 9；其余除数≥1，商≤9。 详解 ，所以结果大于 9。 答案：圈 2.的商比 7 大还是小？说明理由。 分析 除数，一个不为 0 的数除以大于 1 的数，商小于原数。 详解 ，被除数不为 0，除以大于 1 的数，商小于被除数 7。 答案：商比 7 小；理由：除数，商小于被除数。 3.的商和 12 谁更大？ 分析 除数，非 0 数除以真分数，商更大。 详解 ，所以 答案：的商更大 4.下列算式中，商最小的是（ ） A. B. C. 分析 被除数相同，除数越大，商越小；。 详解 是三个除数中最大的，所以 B 的商最小。 答案：B 5.判断：一个数除以真分数，商一定大于这个数（ ），说明理由。 分析 忽略数字 0 的特殊情况，0 除以任何真分数仍得 0，和原数相等。 详解 说法错误；当这个数是 0 时，，商等于原数，不是大于。 答案：×；理由：当这个数为 0 时，商等于原数。 考点 7 ：不计算，比较分数除法算式大小 【核心知识】 1.同一被除数，除数越小，商越大；除数越大，商越小； 2.除法转乘法对比：，可全部转化乘法，比较乘数大小； 3.特殊对比：除以一个数 = 乘这个数的倒数，如。 【方法点拨】 两种快速判断思路： 思路 1：看除数和 1，直接判断商与被除数大小； 思路 2：全部转化为乘法，对比另一个乘数大小。 【典型例题】 例：在○里填＞、＜、＝ ○ 分析 除数，非 0 数除以小于 1 的数，商＞原数。 详解 除以真分数，结果更大，填＞ 答案： 【对应练习】 1.○ 分析 除数 3＞1，商小于原数。 详解 填 答案： 2.○ 分析 任何数除以 1 等于本身。 详解 填 答案： 3.○ 分析 ，商大于原数。 详解 填 答案： 4.○ 分析 分数除法法则：除以整数 = 乘整数倒数。 详解 两边完全相等，填 答案： 5.○ 分析 左边，右边，，左边更大。 详解 转化乘法对比乘数，，所以左边大。 答案： ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $