开学摸底模拟试题02-2025-2026学年北师大版九年级数学上册开学摸底试题

2025年-2026学年北师大版九年级数学上册开学摸底模拟试题 满分:120分 考试时间:120分钟 范围：北师大版八年级下册内容 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（本题3分）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若分式的值为零，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．2 7．（本题3分）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 8．（本题3分）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，平行四边形的底边的长是15厘米，线段的长是6厘米，那么平行四边形中阴影部分的面积是（    ）平方厘米． A．45 B．90 C．75 D．60 10．（本题3分）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点D旋转，C为与的交点，下列结论中正确的是（      ） ①若平分，则；②若，则； ③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若，，则代数式的值为 ． 12．（本题3分）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 13．（本题3分）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 ． 15．（本题3分）若，则 ． 16．（本题3分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为 ． 17．（本题3分）若关于的分式方程的解是，则的值为 ． 18．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD中，，E，F分别为 CD，AB 上的动点，，分别以所在直线为对称轴翻折，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，，且，则的长是 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）化简求值：，其中． 20．（本题9分）如图，，，且，求证：． 21．（本题9分）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（本题9分）在平面直角坐标系中，三角形位置如图所示，经过向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到三角形． (1)在平面直角坐标系中画出平移后的三角形； (2)若点是三角形内一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． (3)求三角形的面积． 23．（本题10分）先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或， ∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： (1)若，求和的值． (2)已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． (3)若，，则______，______，______． 24．（本题11分）某校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本． (1)求A和B两种图书的单价； (2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售，学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？ 25．（本题12分）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年-2026学年北师大版九年级数学上册开学摸底模拟试题 满分:120分 考试时间:120分钟 范围：北师大版八年级下册内容 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，在平面内，一个图形绕某个点旋转后，如果旋转前后的图形能够重合则称为中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形则称为轴对称图形． 【详解】、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 2．（本题3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，先求出两个不等式的解集，再求出公共部分，最后在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选A． 3．（本题3分）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得平移的距离为的长，再根据即可得． 【详解】解：， ， 即平移的距离为2， 故选：A． 4．（本题3分）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的概念，解题的关键是掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案； 【详解】解：．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，是整式乘法不是因式分解，故该选项不符合题意； ．，是因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（本题3分）如图，在中，，，如果D是的中点，，垂足是E，那么的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，连接，三线合一，得到，等边对等角，求出，进而求出，利用含30度的直角三角形的性质，得出，进一步求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 6．（本题3分）若分式的值为零，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零得到，再计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故选：B 7．（本题3分）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 8．（本题3分）如图，在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图，设，交于点, 四边形是平行四边形，，相交于点O，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9．（本题3分）如图，平行四边形的底边的长是15厘米，线段的长是6厘米，那么平行四边形中阴影部分的面积是（    ）平方厘米． A．45 B．90 C．75 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的面积、三角形的面积，弄清阴影部分面积之间的关系是解题的关键． 推出，再根据三角形面积进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， ， ∴阴影部分的面积是（平方厘米） 故选：B ． 10．（本题3分）将一副三角板按如图放置，三角板可绕点D旋转，C为与的交点，下列结论中正确的是（      ） ①若平分，则；②若，则； ③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解． 【详解】解：由三角板可知，，，，， ①当平分， 则， ， 故①错误； ②若，且在的上方， 则， ， 故②错误； ③若，且在的下方时， 则， 故③错误； ④若，且， 则， 故④正确， 故选：A． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）若，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值、平方差公式等，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则求出，根据加法法则求出，把原式利用提公因式法因式分解，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则． 12．（本题3分）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键． 根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案． 【详解】解：， 且， ，，即， ，是直角三角形， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 13．（本题3分）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，不等式组的整数解，掌握知识点是解题的关键． 分别解两个不等式，根据不等式组有且只有两个整数解，得到关于a的不等式组，解之即可． 【详解】解： 由①，得 ， 由②，得 ， 由该不等式组有解，得 ， ∵关于的不等式组有且只有两个整数解， ∴， 解得． 故答案为：． 14．（本题3分）在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ， 解得：， ． 故答案为：． 15．（本题3分）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，根据已知条件得，代入分式化简求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点A，的对应点分别为点，，延长交于点，与相交于点，则的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键。 先根据旋转的性质得、，结合可得,然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解： ∵将绕点顺时针旋转得到，， ∴、， ∴， ∴. 故答案为：60． 17．（本题3分）若关于的分式方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，将解代入原方程，从而求出． 【详解】解：将代入分式方程 得： 解得： 故答案为：． 18．（本题3分）如图，在平行四边形ABCD中，，E，F分别为 CD，AB 上的动点，，分别以所在直线为对称轴翻折，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，，且，则的长是 ． 【答案】7 【分析】由折叠的性质得，再过点G作，交于点K，可知，结合勾股定理求出，根据平行四边形的性质可得，进而得出，然后设，接下来根据勾股定理得，即可求出x，则此题可解． 【详解】解：根据折叠的性质得， 过点G作，交于点K， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 解得． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， 则，， ∴，， 则． 根据勾股定理，得， 即， 解得或（舍去）， ∴ ∴ 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则及运算顺序是解题的关键；先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的，化简后代入x的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 20．（本题9分）如图，，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 21．（本题9分）如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理， （）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证； （）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 【详解】（1）证明：， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 22．（本题9分）在平面直角坐标系中，三角形位置如图所示，经过向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到三角形． (1)在平面直角坐标系中画出平移后的三角形； (2)若点是三角形内一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)7 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质作图即可． 根据平移的性质可得，，求出的值即可． 利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：平移后点的对应点的坐标为， ，， ，； （3）解：三角形的面积为． 23．（本题10分）先阅读下面的内容，再解决问题． 材料一：若，求和的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 材料二：方程就可以这样来解： 解：原方程可化为， ∴或， ∴原方程的解为或， 请根据上述材料解决下列问题： (1)若，求和的值． (2)已知：、、为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． (3)若，，则______，______，______． 【答案】(1)； (2)为等腰三角形，理由见解析 (3)，， 【分析】本题考查了因式分解得应用，等腰三角形的定义，利用完全平方公式与提公因式法因式分解，熟练运用因式分解是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解得到，得到，，进而求解即可； （2）利用分组分解法因式分解得到，得到，进而求解即可； （3）利用完全平方公式把变形为，将变形为，再代入计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵、、为的三边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 把代入可得：，解得， ∴， 故答案为：；；． 24．（本题11分）某校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本． (1)求A和B两种图书的单价； (2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售，学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？ 【答案】(1)种图书的单价为30元，种图书的单价为20元． (2)共花费880元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设种图书的单价为元，则种图书的单价为元，根据数量总价单价结合花3000元购买的种图书比花1600元购买的种图书多20本，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论. （2）根据总价单价数量，即可求出结论． 【详解】（1）解：设种图书的单价为元，则种图书的单价为元， 依题意得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：种图书的单价为30元，种图书的单价为20元． （2）解：（元）． 答：共花费880元． 25．（本题12分）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)（1）中结论成立，理由见解析 (3)（1）中结论不成立， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，根据旋转的性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （2）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （3）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； 【详解】（1）解：如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中结论成立，理由如下： 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（1）中结论不成立， 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第20页，共21页 第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$