第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

该高中数学单元复习讲义以集合与常用逻辑用语为核心，通过知识框架图、对比表格系统梳理概念及运算，用表格呈现集合关系、逻辑条件判定，结合韦恩图直观展示运算，突出含参数集合、逻辑条件判定等重难点，构建“概念-关系-应用”递进脉络。 讲义亮点在于10类精准题型设计，如子集个数、新定义问题等，典例与变式结合，通过“和谐集”“对称差集”培养数学抽象与逻辑推理素养，基础题巩固概念，综合题提升分类讨论能力，配套答题模板与易错提示，助力学生自主复习，为教师提供分层教学资源。

第一章 集合与常用逻辑用语 教学目标 1.掌握集合的概念、表示方法及集合间的基本关系与运算，理解充分、必要、充要条件及全称、存在量词的定义，具备基础的逻辑辨析能力。 2.通过数形结合、命题辨析、题型归类的学习方式，培养数形转化、逻辑推理与分类讨论的数学思维。 3.体会集合语言、逻辑语言的简洁严谨，养成规范书写、严谨推理、精准审题的解题习惯 教学重难点 1. 重点 集合的交、并、补基本运算，子集、真子集、相等集合的关系判断与应用。 充分条件、必要条件、充要条件的辨析与命题间逻辑关系的判定。 全称量词与存在量词命题的真假判断及命题否定的规范书写。 2. 难点 含参数集合的运算问题，空集的隐藏分类讨论及区间端点取舍问题。 结合集合包含关系判定逻辑条件关系，突破逻辑推导方向混淆的误区。 由全称、特称命题的真假，求解复杂的参数取值范围问题。 知识点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素完全相同 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 知识点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 知识点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 知识点05 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （2）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （3）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 题型01 子集的个数问题 【典例1】已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【详解】已知，，且，所以的个数为. 【变式1】满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】D 【详解】由题意得，集合中的元素可能为2，3，4个 当集合中含有两个元素时，可为； 当集合中含有三个元素时，可为； 当集合中含有四个元素时，可为； 综上所述满足条件的集合的个数为7个． 【变式2】满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 【变式3】若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由且可得： 若，则， 所以“和谐集”不含元素； 若，不存在，所以“和谐集”不含元素； 若，则，要求也属于该集合，产生矛盾， 所以“和谐集”不含元素； 若，则， 若，则， 若，则； 所以集合的子集中“和谐集”只有. 故选：B． 题型02 判断集合与集合的关系 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 【变式2】已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 【变式3】已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A， ，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足 且，故选项A正确； 对于选项B， ，这是存在性命题，因集合是集合的真子集，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C， ，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误． 题型03 韦恩图的应用 【典例1】为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【详解】25-15=10（人），因此仅参加编程社团的有10人，同理可得仅参加创客社团的有20人，因此仅参加一个社团的学生数为10+20=30（人）. 又因为每个学生至少参加了一个社团，因此只需将仅参加一个社团的学生数加上参加两个社团的学生数，即为该班学生总数. 因此该班学生总数为30+15=45（人）. 故选：B. 【变式1】在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【详解】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 【变式2】2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 【答案】4 【详解】如图所示： 因为有15人既去过米公祠也去过植物园，10人三个地方都去过， 则同时去过米公祠和植物园，且未去过黄金塔的有人； 同理可得：同时去过米公祠和黄金塔，且未去过植物园的有8人； 同时去过植物园和黄金塔，且未去过米公祠的有6人； 则只去过米公祠有人，只去过植物园有人，只去过黄金塔有人， 可得至少去过一个地方的有人， 所以三个地方都没去过的同学有人. 故答案为：4. 【变式3】现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 【答案】A 【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为． 故选：A 题型04 集合新定义问题 【典例1】已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【答案】C 【分析】求出集合，按集合的特性求出的最值即可. 【详解】集合， 由每个集合均恰有5个元素，且， 知集合的最小元素必为1，最大元素必为20， 要使的值最小，则集合的最小元素的一个排列为， 除20外，另外3个最大元素尽可能地小，最大元素的一个排列为， 因此的最小值为，AB不可能； 要使的值最大，则集合的最大元素的一个排列为， 除1外，另外3个最小元素尽可能地大，最小元素的一个排列为， 因此的最大值为，C可能，D不可能. 【变式1】（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 【变式2】设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素． 【答案】(1) (2)证明：因为均为正整数，且，所以 又所以 下面求和． 固定数组的项数，若其中两个数相差至少，把较小的数增加、较大的数减少，则各项之和不变，而乘积增大． 反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积：      2 3 4 5 6 对应数值依次为． 当时，最优数组中的各项只能为或，故 因此取得最大值的数组为和． 对于 ，同理有      2 3 4 5 6 7 对应数值依次为 ． 当 时， 因此. (3)中相应的元素为和. 【详解】（1）的所有元素有． 理由：因为或或或或或， 而又要满足，即各项数字乘积大于2， 则中满足的所有元素有． （2）略. （3）设且，当时， ①．事实上，若存在不大于的正整数，使得，则，此时 ，令， 设，则，这与矛盾，所以； ②，事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令，因为， 所以， 令， 则，这与矛盾，所以； ③中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设， 则，因为，所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： ④中最多有一个4．事实上，，而， 所以中最多有一个4； ⑤中最多有两个2，事实上，，而，所以中最多有两个2： 所以当时，，或， 或，而， 所以中相应的元素为和. 【变式3】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 题型05 充分条件与必要条件的判断 【典例1】“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 【变式1】“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由不等式的性质可得，即“”“”； 当时，不妨取，则“”“”. 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 【变式2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 【变式3】设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式可化为， 所以，若成立， 一定满足，因此充分性成立， 若满足，不一定满足（例如）， 因此，必要性不成立. 题型06 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值 【典例1】设，集合，若，则______. 【答案】2或或 【详解】因为，所以或，解得或. 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 故或或. 【变式1】已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 【变式2】已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 【变式3】已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 题型07 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 【典例1】已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解方程，因式分解得，解得或，故. 当时，方程无解，即，空集是任意非空集合的真子集，满足. 当时，，由可知： 若，解得； 若，解得. 综上，实数的取值集合为. 【变式1】已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 【变式2】已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，解得. 故选：D. 【变式3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，符合； 当时，，，又， ， 综上，． 题型08 根据集合运算的结果确定参数的取值范围 【典例1】已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ，且 . 若，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，此时，符合题意. 若，则，，不满足集合元素的互异性，舍去. 综上，. 【变式1】已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【答案】 2 【详解】（1）由题意得，当时，，则． （2）因为，所以，因为，所以， 所以2是关于x的方程的解，即，解得． 故答案为：；. 【变式2】记全集，已知集合，.若，求的取值范围. 【答案】 【详解】依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为. 【变式3】集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 题型09 利用充分必要条件求参数的策略 【典例1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式1】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 【变式2】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 【变式3】已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 故实数的取值范围是. 题型10 根据全称（存在）量词命题的真假求参数 【典例1】已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由命题为真命题，可知关于的方程无解， 则，解得， 故集合； （2）由条件可知， ①当时，，解得，满足； ②当，则需使，解得. 由①②可知，实数的取值范围为. 【变式1】若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 【变式3】已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 1．命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 可得命题，的否定是：，. 故选：A 2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”， “攻破楼兰”“返回家乡”，满足必要性，而“返回家乡”不一定是“攻破楼兰”的唯一条件，如“进京述职”等，故不满足充分性， “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件． 故选：B． 3．已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 【答案】C 【详解】由题意可知， 结合两个性质可知若，则，若，则； 若，则，若，则； 因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制， 所以符合题意的集合有, 共16个. 故选：C 4．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得阴影部分区域内元素且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D. 5．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 6．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 7．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当时，，因为， 此时，都有， 所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又，， 则，解得. 8．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 9．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 10．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 11．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 12．已知，则中所有元素的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【详解】， 所以， 故中所有元素的和为5. 13．已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知若，解得，即当时，，， 故命题为真命题，为假命题； 对于，，故，， 故命题为真命题，为假命题； 再根据逻辑联结词且联结的两个命题同真为真，有假则假，故为真命题. 故选：A. 14．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-3(2) 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 15．已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或(2) 【详解】（1）把代入集合，得 ，， 或. （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 教学目标 1.掌握集合的概念、表示方法及集合间的基本关系与运算，理解充分、必要、充要条件及全称、存在量词的定义，具备基础的逻辑辨析能力。 2.通过数形结合、命题辨析、题型归类的学习方式，培养数形转化、逻辑推理与分类讨论的数学思维。 3.体会集合语言、逻辑语言的简洁严谨，养成规范书写、严谨推理、精准审题的解题习惯 教学重难点 1. 重点 集合的交、并、补基本运算，子集、真子集、相等集合的关系判断与应用。 充分条件、必要条件、充要条件的辨析与命题间逻辑关系的判定。 全称量词与存在量词命题的真假判断及命题否定的规范书写。 2. 难点 含参数集合的运算问题，空集的隐藏分类讨论及区间端点取舍问题。 结合集合包含关系判定逻辑条件关系，突破逻辑推导方向混淆的误区。 由全称、特称命题的真假，求解复杂的参数取值范围问题。 知识点01 集合与元素 1、集合元素的三个特性：确定性、_________、无序性； 2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示 3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法 4、常见数集的记法与关系图 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点02 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 图形语言 基本关系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（则） 或 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A 或 相等 集合A，B的元素_________ 空集 不含任何元素的集合．_________是任何集合A的子集 知识点03 集合的基本运算 1、集合交并补运算的表示 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 2、集合运算中的常用二级结论 （1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. （2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. （3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)． 知识点04 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 2、充要条件 （1）充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 （2）充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 知识点05 全称量词与存在量词 1、全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． （2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含_________； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 2、存在量词与存在量词命题 （1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． （2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题 3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （1）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是_________命题： ． （2）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （3）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能_________． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （4）常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 题型01 子集的个数问题 【典例1】已知集合A，B，，，，则满足条件的B的个数为（    ） A．16 B．32 C．36 D．64 【变式1】满足条件Ü的集合M的个数为（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【变式2】满足条件的集合的个数是____ 【变式3】若对任意，都有，则称非空集合为“和谐集”，已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 判断集合与集合的关系 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【变式1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合 ，则（ ） A． B． C． D． 题型03 韦恩图的应用 【典例1】为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【变式1】在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【变式2】2025年国庆节来临之际，无为市某学校组织了“迎国庆，游无为”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加游玩活动，据统计其中有25人去过米公祠，30人去过植物园，30人去过黄金塔，有15人既去过米公祠也去过植物园，16人既去过植物园也去过黄金塔，18人既去过米公祠也去过黄金塔，10人三个地方都去过，则三个地方都没去过的同学有________人. 【变式3】现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（    ） A．10 B．8 C．9 D．14 题型04 集合新定义问题 【典例1】已知集合，且集合，，，满足如下两个条件： ①每个集合均恰有5个元素； ②． 称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数（）， 则的值可能为（    ） A．64 B．65 C．102 D．103 【变式1】（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【变式2】设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素．      2 3 4 5 6      2 3 4 5 6 7 【变式3】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 题型05 充分条件与必要条件的判断 【典例1】“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3】设，则“”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型06 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值 【典例1】设，集合，若，则______. 【变式1】已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【变式3】已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型07 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 【典例1】已知集合，，若，则实数m的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型08 根据集合运算的结果确定参数的取值范围 【典例1】已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，集合． （1）当时，求________； （2）当时，则实数m的值为________． 【变式2】记全集，已知集合，.若，求的取值范围. 【变式3】集合或.若，求的取值范围； 题型09 利用充分必要条件求参数的策略 【典例1】设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式2】已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式3】已知集合，已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型10 根据全称（存在）量词命题的真假求参数 【典例1】已知命题：“”为真命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合A； (2)设集合，求实数的取值范围. 【变式1】若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【变式2】若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【变式3】已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 1．命题，的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 4．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（   ） A． B． C． D． 5．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 7．已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 8．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 9．已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 12．已知，则中所有元素的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 13．已知命题：，命题：，则下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 14．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 15．已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $