专题28.1 成比例线段（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦“成比例线段”核心知识点，以线段的比为基础，延伸至比例基本性质、合比性质、等比性质及比例中项，最终拓展到黄金分割，构建从定义到性质再到应用的完整学习支架，各环节配有易错提醒与即学即练。 资料亮点在于分层递进的题型设计，典例与变式结合，通过乐器弦长、黄金矩形等实例培养抽象能力与应用意识，课中助力教师系统教学，课后综合练习帮助学生巩固知识，提升推理与解决问题能力。

专题28.1 成比例线段 教学目标 1. 理解两条线段的比、成比例线段的定义，会统一单位求线段比值，会判断四条线段是否成比例。 2. 掌握比例基本性质、更比、反比、合比、等比性质，熟练进行比例式变形、求值计算。 3. 理解比例中项概念，会求两条线段的比例中项。 4. 初步认识黄金分割与黄金比，记住近似值 0.618。 教学重难点 重点： 理解成比例线段、熟练掌握比例的性质。 难点： 比例性质的应用、黄金分割的应用； 知识点01 线段的比 1. 两条线段的比 两条线段长度的比叫作两条线段的比。 2. 线段的比值 两条线段的长度相除所得的商叫作两条线段的比值. 3. 比例尺 比例此是特殊的线段比，比例尺=图上距离：实际距离。 【易错提醒】 1. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量； 2. 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总 是正数. 3. 求比例尺时一定注意单位要统一。 【即学即练】 1. 如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键． 设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2. 在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比例线段实际应用，核心知识点是比例尺的定义：比例尺图上距离实际距离．先根据比例尺公式列等式求出实际距离的厘米数，再将单位换算为千米，从而得到最终结果． 【详解】解：设、两地的实际距离为， ∵已知比例尺为，图上距离为， ∴， 解得； ， 故选：C． 知识点02 成比例线段 1. 线段成比例的定义 对于四条线段a、b、c、d,如果a :b=c: d (或表示为,就说a、b、c、d 成比例. a 、d 是比例外项，b 、 c是比例内项. 【易错提醒】 表述比例线段时，要注意顺序.如上述四条线段a、b、c、d 是比例线段，a:b=c : d ( 或表示为,那么a 是第一比例项、b是第二比例项、c 是第三比例项、d是第四比例项. 2. 判断四条线段是否成比例的方法 判断四条线段是否成比例，首先要统一单位，并把四条线段按由小到大(或按由大到小)的顺序排列，然后分别计算前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.若相等，则成比例，否则不成比例. 3. 比例中项 如果三条线段a、b、c 满足a:b=b:c，那么线段b 叫作线段a、c的比例中项. 【易错提醒】 由比例式求线段长、比例中项时，线段长应为正数. 【即学即练】 1. 下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．，则是成比例线段，故该选项符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 2. 已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b等于（   ） A． B．6 C．36 D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例性质．比例中项的定义，且线段长度为正数，故排除负值，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】∵线段b是线段a和c的比例中项，且，， ∴， ∴， 又∵为线段长度， ∴， ∴， 故选：B 知识点03 比例线段的性质 1. 基本性质 如果，那么ad＝bc. 2. 合比性质 （1）如果，那么. （2） 如果，那么. 3. 等比性质 如果＝k，那么＝k（b＋d≠0）. 【技巧点睛】 1. 由比例线段的基本性质，可以将一个比例式做出若干种变形。如：，， 2. 设参数K是比例线段计算证明的常用方法。 3. 运用等比性质的前提条件是b＋d≠0. 【即学即练】 1. 已知，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质，检查各选项是否满足3a=2b即可． 【详解】解： 即，故A、C、D选项变形正确； 左右两边同时乘以得，不能得出，故B选项变形错误； 故选：B． 2. 已知，则k的值是______． 【详解】解：由已知条件可知，，， 若， 根据等比性质， ∴； 若，则从任一方程如 结合，得， 因，故， 故答案为∶或． 知识点04 黄金分割 1. 黄金分割 如图，点P 将线段AB 分割成两段，其中较长一段(AP) 为较短一段( BP) 和线段AB的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点P 叫作线段AB的黄金分割点. 根据线段的对称性，可以找到线段AB的另外一个黄金分割点P'. 2. 黄金数 = 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作为黄金数，它是一个无理数，近似值常取0.618. 3. 黄金三角形 如图，我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质： ①≈0.618； ②设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点； 4. 黄金矩形 我们把宽与长的比为的矩形叫作黄金矩形。 【技巧点睛】 黄金分割的相关公式简记为：，长=，短= 【即学即练】 1. 已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查黄金分割的概念，解题关键是掌握黄金分割比为，分为较长线段和为较短线段两种情况讨论，列式计算即可得到结果. 【详解】解：∵线段长度为，点是线段的黄金分割点， ∴ 或 ， 把代入得， 或 ， 解得 或 . 题型01 线段的比 【典例1】小明查阅资料得知，国际标准规格纸张的长与宽之比恰好为．已知一张如图所示的规格打印纸（长方形纸片）的宽为． (1)这张规格打印纸的长为_________； (2)若一张面积为的长方形纸张的长与宽之比恰好为，求该长方形纸张的周长； (3)如图，将一张规格的打印纸（长方形纸片）对半裁剪3次后，请你通过计算判断剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比是否还为． 【答案】(1) (2) (3)还是 【分析】（1）根据长与宽的比可得答案； （2）设长方形纸张的长为，宽为，再根据面积相等列出方程，求出解可得长方形纸张的长，宽，然后根据周长公式得出答案； （3）根据图形确定裁剪后的长，宽，进而判断即可． 【详解】（1）解：； 这张规格打印纸的长为，根据题意，得 ， 解得， 所以这张规格打印纸的长为； （2）解：设长方形纸张的长为，宽为， ， 解得（舍去）， ∴长方形纸张的长为，宽为， ∴长方形纸张的周长为； （3）解：由对半裁剪可得，， ， ∴剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比还为． 【变式1】如图所示，已知，且．求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了比例线段的计算，熟练掌握线段的加减计算是解题的关键． 先利用可得，由可得，再根据即可求得的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【变式2】在一幅比例尺是的图上，量得A地到B地的距离是9.6厘米．一辆汽车按的比例分两天行完全程，则这两天行的路程差是（     ）千米． A．120 B．150 C．180 D．200 【答案】A 【详解】解：（厘米）， 厘米千米， （千米）． 【变式3】一个机器零件长，画在图纸上长，则这幅图纸的比例尺是( )．在这幅图上量得另一个零件长，这个零件的实际长( )． 【答案】 【分析】①根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“”，求出这幅图纸的比例尺； ②零件的图上长度是，根据“实际距离图上距离比例尺” 以及进率“”，求出这个零件的实际长度． 【详解】解：， ； 零件的图上长度是， 零件的实际长度是． 【变式4】用 35 厘米的铁丝围成一个等腰三角形，已知一个腰和底的长度比是，则腰长( )厘米． 【答案】15 【分析】已知等腰三角形的周长，以及腰与底的长度比，根据等腰三角形两腰相等的性质，得到三边长度比，再按比例分配计算腰长． 【详解】解：等腰三角形两腰相等，一个腰和底的长度比是， 三角形三边长度比为，总份数为：， ∴每份的长度为：（厘米）， ∴腰长为：（厘米）． 题型02 成比例线段 【典例1】下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念，若四条线段成比例，则最小线段与最大线段的乘积等于另外两条线段的乘积，据此依次判断即可． 【详解】解：对各选项依次判断： 选项A：∵，，， ∴该组线段不成比例，A错误； 选项B：∵，，，且， ∴该组线段成比例，B正确； 选项C：∵，，， ∴ 该组线段不成比例，C错误； 选项D：∵，，， ∴该组线段不成比例，D错误． A． 【变式1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． A． 【变式2】下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于中间两线段的乘积，若相等，则成比例；否则不成比例，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：线段排序为2，3，4，6，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项B：线段排序为，5，8，15，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项C：线段排序为，∵，，，∴四条线段不成比例，符合题意； 对于选项D：线段排序为，∵ ，∴四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 【变式3】四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 【变式4】已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 题型03 线段的比例中项 【典例1】已知线段，，则的比例中项线段c等于（   ） A．36 B．6 C． D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段的概念，解决本题的关键是熟练掌握成比例线段的概念． 根据比例中项线段满足，且线段长度为正值，由此求解即可． 【详解】∵是和的比例中项， ∴， 又∵线段的长度为正数， ∴． 故选：B． 【变式1】已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 【答案】6 【分析】本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 【变式2】已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式3】知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【答案】3 【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数． 【详解】解：线段，， 线段、的比例中项． 故答案为：3． 【变式4】已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 【答案】2 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题的关键． 根据比例中项的定义，线段是和的比例中项时，满足，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵线段是、的比例中项， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为． 题型04 根据比例基本性质变形或计算 【典例1】如果，那么下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质，通过交叉相乘将原式变形，再对比各选项即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴根据比例的基本性质（交叉相乘，内项积等于外项积），得， A选项：与不符，故A错误； B选项：对交叉相乘，得，即，与原式变形结果一致，故B正确； C选项：由可知x、y的取值不唯一，的值也不唯一，故C错误； D选项：对交叉相乘，得，与不符，故D错误， 故选：B． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． 由已知等式直接求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 两边同时除以（），得， 即， 故选：C． 【变式2】已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是熟练掌握比例的性质． 根据比例的基本性质，由已知比例式可得等式，再验证各选项是否一致． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 选项A： ⇒ ，与 不符，故不成立； 选项B： ⇒ ，与 不符，故不成立； 选项C：，与已知一致，故成立； 选项D：，与 不符，故不成立． 故选：C． 【变式3】已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的基本性质，由可得，进而推导其他选项，发现选项D不成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 【变式4】若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据条件式，结合比例的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 题型05 运用合比性质计算或推理 【典例1】 如图，已知，求证：． 【分析】本题考查合比性质， 本题，由条件根据合比性质两个前项分别加上后项即可证得； 【详解】证明：， ， ， ． 【点睛】本题为后面学习平行线分线段成比例由部分比部分，得到部分比整体等比例变形打下基础。 【变式1】若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查合比性质 【详解】解：∵ ， 且， ∴ ， 故选：C． 【变式2】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合比性质 【详解】解：∵ ， 且， ∴ ， 故选：C． 【变式3】阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（合比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出合比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【答案】(1)①若，则；②若，则 (2)见解析 【分析】本题考查了比例的性质． （1）根据题意写出答案即可； （2）运用设参法，证明①时，设设，则，，求出，即可得出结论．同理可证明②． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则． （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． 【变式4】已知在四边形中，点、分别在、上，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】该题考查比例的合比性质的应用． （1）根据得出，即可得，再根据根据比例的合比性质即可证明； （2）根据和比例的合比性质即可证明； 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， 即． （2）证明：∵， 根据比例的合比性质，． 题型06 运用等比性质计算或推理 【典例1】 如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，对于，，即，，由，可得，则选项式子正确，不符合题意； ，例如，当，，，时，， 但是，，，所以选项式子不一定正确，符合题意． 【变式1】下面说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 D．相似多边形的面积比等于周长比的平方 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、菱形的判定，相似多角形的性质，比例的性质等知识．根据比例的性质可判断A和B；根据三角形中位线的性质、菱形的判定可判断C；根据相似多角形的性质可判断D． 【详解】解：A、如果，那么．故选项A说法正确，不符合题意； B、如果，设，那么，，，那么，仅当时成立．故选项B说法不正确，符合题意； C、如图， 在四边形中，，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形．故选项C说法正确，不符合题意； D、相似多边形的面积比等于周长比的平方．故选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可利用等比的性质计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【变式3】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可利用等比的性质计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 【变式4】若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． ①当时，由等比性质求出；②当时，，此时，再分别判断一次函数经过的象限即可求解． 【详解】解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 题型07 运用设参法计算或推理 【典例1】 如果，那么 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，利用比例性质，设参数表示a和b，再计算． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选C． 【变式1】已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 【变式2】已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 【变式3】若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 【变式4】已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； （1）由题意可设，然后代入进行求解即可； （2）由（1）可代入进行求解k的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由可设， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型08 黄金分割 【典例1】 已知点是线段的黄金分割点，，已知，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，，计算求解即可． 【详解】， ，则， 又∵已知点是线段的黄金分割点，， ， ， 解得：． 故答案为：． 【变式1】2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点，，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，黄金分割点的比例为，由黄金分割点定义即可求解． 【详解】解：∵点、都是线段的黄金分割点， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念和性质，根据题意列出比例式即可，熟练掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解题的关键． 【详解】解：设线段，的长为，则， 即，整理得， 解得，（不合题意舍去）， ∴黄金分割数为：． 【变式4】我们把宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为-1，求该矩形的周长. 【分析】审题关键：根据黄金矩形的定义，确定矩形的长、宽. 【详解】解：当 边 AB 为矩形的长时， 矩形的宽为（-1）= 此时矩形的周长为2×(-1+)=4. 当边AB为矩形的宽时，矩形的长为：（-1）= 此时矩形的周长为2×(-1+)=2+2 综上所述，该矩形的周长为4或2+2. 1．若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 2．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 3．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据可得，然后代入式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 6．由，可得比例式：____． 【答案】 【分析】把等式两边同时除以即可得到答案． 【详解】解：∵，且由题意得， ∴，即． 7．已知，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由设，则，再代入求解即可． 【详解】解：由设，则， ∴， 故答案为：． 8．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质、代数式求值等知识点，掌握比例的性质是解题的关键． 设比例常数为，用表示、、，然后代入所求分式计算即可． 【详解】解：设（），则，，． 代入得：． 故答案为：． 9．已知，满足，求、、的值． 【答案】，， 【分析】设，则，，，求出的值，即可求出、、的值． 【详解】解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 11. 如图，在Rt△ABC中 ，CD是斜边AB上的高.试猜想线段AB、AC、BC、CD 是否成比例.如果成比例，请写出这个比例式. 【分析】用三角形的面积法可证明。 【证明】∵∠C=90︒，CD⊥AB ∴S∆ABC=AB ∴ ∴线段AB、AC、CD、BC成比例。 1．已知（），则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵（） ∴，，，， 故A错误，B，C，D正确； 故选A． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键. 设，得到，代入中计算即可得到答案. 【详解】解：设， ， ， 故选：B. 3．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，分式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．由比例式设参数 ，用 表示 、、，代入所求分式化简即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ． 故答案为：． 4．已知为的三边，且，则__________． 【答案】1 【分析】此题主要考查了比例线段，依据，即可得出，再根据a、b、c为的三边，可得，进而得到． 【详解】解：∵， ∴，，， 可得， ∴， ∵a、b、c为的三边， ∴， ∴． 故答案为：1． 5．已知a，b，c为非零实数，且，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据等比性质，可得答案，利用等比性质，分类讨论是解题关键． 【详解】解：设 当时，即， 当时，即， 综上所述，或 故答案为：或． 6．已知点是线段的黄金分割点，，已知，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．由题意得，，计算求解即可． 【详解】∵已知点是线段的黄金分割点，， ， ， 解得：． 7．已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 8.如图，在△ABC中，AB=12cm，AE=6cm，EC= 4c，且 (1)求AD的长； (2)证明 【分析】（1）先由合比的性质得到，即可求AD的长； （2）先由合比的性质得到，再由反比得到 【详解】（1） 即 即 9.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足, (1)试求a、b、c的值； (2)判断△ABC的形状. 【分析】（1）设参数k，用含k的代数式表示出a,b,c,再代入a+b+c=12进行计算。 （2） 先由合比的性质得到，再由反比得到 【详解】解：（1）设=k 则，a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k 所以，a=3k-4，b=2k-3，c=4k-8 解之得k=3 (2) 所以三角形ABC是直角三角形。 10．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】（1）③④都真命题，③、④证明见解析；（2）；（3）的周长为18 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可得到结论； （2）由四个数，，，成比例，得到，求得．求得； （3）由，根据比例的性质得到．求得，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）答：③④都真命题． ③证明：， ． ， ． ④证明：， ． ． ． （2）解：四个数a，b，c，d成比例， ． ， ， ． ． （3）解：， ． ． 的周长与的周长的差为6， ． ． ． 即的周长为18． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.1 成比例线段 教学目标 1. 理解两条线段的比、成比例线段的定义，会统一单位求线段比值，会判断四条线段是否成比例。 2. 掌握比例基本性质、更比、反比、合比、等比性质，熟练进行比例式变形、求值计算。 3. 理解比例中项概念，会求两条线段的比例中项。 4. 初步认识黄金分割与黄金比，记住近似值 0.618。 教学重难点 重点： 理解成比例线段、熟练掌握比例的性质。 难点： 比例性质的应用、黄金分割的应用； 知识点01 线段的比 1. 两条线段的比 两条线段长度的比叫作两条线段的比。 2. 线段的比值 两条线段的长度相除所得的商叫作两条线段的比值. 3. 比例尺 比例此是特殊的线段比，比例尺=图上距离：实际距离。 【易错提醒】 1. 求两条线段的比时，对这两条线段一定要用同一长度单位来度量； 2. 因为线段的长度是正数，所以两条线段的比值总 是正数. 3. 求比例尺时一定注意单位要统一。 【即学即练】 1. 如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（    ） A． B． C． D． 2. 在比例尺是的地图上，，两地间的距离为，则，两地间的实际距离是（  ） A． B． C． D． 知识点02 成比例线段 1. 线段成比例的定义 对于四条线段a、b、c、d,如果a :b=c: d (或表示为,就说a、b、c、d 成比例. a 、d 是比例外项，b 、 c是比例内项. 【易错提醒】 表述比例线段时，要注意顺序.如上述四条线段a、b、c、d 是比例线段，a:b=c : d ( 或表示为,那么a 是第一比例项、b是第二比例项、c 是第三比例项、d是第四比例项. 2. 判断四条线段是否成比例的方法 判断四条线段是否成比例，首先要统一单位，并把四条线段按由小到大(或按由大到小)的顺序排列，然后分别计算前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比是否相等或首尾两项的积是否等于中间两项的积.若相等，则成比例，否则不成比例. 3. 比例中项 如果三条线段a、b、c 满足a:b=b:c，那么线段b 叫作线段a、c的比例中项. 【易错提醒】 由比例式求线段长、比例中项时，线段长应为正数. 【即学即练】 1. 下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2. 已知线段，，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b等于（   ） A． B．6 C．36 D． 知识点03 比例线段的性质 1. 基本性质 如果，那么ad＝bc. 2. 合比性质 （1）如果，那么. （2） 如果，那么. 3. 等比性质 如果＝k，那么＝k（b＋d≠0）. 【技巧点睛】 1. 由比例线段的基本性质，可以将一个比例式做出若干种变形。如：，， 2. 设参数K是比例线段计算证明的常用方法。 3. 运用等比性质的前提条件是b＋d≠0. 【即学即练】 1. 已知，下列变形错误的是（   ） A． B． C． D． 2. 已知，则k的值是______． 知识点04 黄金分割 1. 黄金分割 如图，点P 将线段AB 分割成两段，其中较长一段(AP) 为较短一段( BP) 和线段AB的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点P 叫作线段AB的黄金分割点. 根据线段的对称性，可以找到线段AB的另外一个黄金分割点P'. 2. 黄金数 = 黄金分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作为黄金数，它是一个无理数，近似值常取0.618. 3. 黄金三角形 如图，我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质： ①≈0.618； ②设BD是△ABC的底角的平分线，则△BCD也是黄金三角形，且点D是线段AC的黄金分割点； 4. 黄金矩形 我们把宽与长的比为的矩形叫作黄金矩形。 【技巧点睛】 黄金分割的相关公式简记为：，长=，短= 【即学即练】 1. 已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 题型01 线段的比 【典例1】小明查阅资料得知，国际标准规格纸张的长与宽之比恰好为．已知一张如图所示的规格打印纸（长方形纸片）的宽为． (1)这张规格打印纸的长为_________； (2)若一张面积为的长方形纸张的长与宽之比恰好为，求该长方形纸张的周长； (3)如图，将一张规格的打印纸（长方形纸片）对半裁剪3次后，请你通过计算判断剩余纸片（阴影部分）的长与宽之比是否还为． 【变式1】如图所示，已知，且．求的长． 【变式2】在一幅比例尺是的图上，量得A地到B地的距离是9.6厘米．一辆汽车按的比例分两天行完全程，则这两天行的路程差是（     ）千米． A．120 B．150 C．180 D．200 【变式3】一个机器零件长，画在图纸上长，则这幅图纸的比例尺是( )．在这幅图上量得另一个零件长，这个零件的实际长( )． 【变式4】用 35 厘米的铁丝围成一个等腰三角形，已知一个腰和底的长度比是，则腰长( )厘米． 题型02 成比例线段 【典例1】下列各组线段中，成比例的一组是（    ）． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， A． 【变式1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 A． 【变式2】下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 【变式3】四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【变式4】已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 题型03 线段的比例中项 【典例1】已知线段，，则的比例中项线段c等于（   ） A．36 B．6 C． D．6.5 【变式1】已知线段，则线段a和b的比例中项为_____． 【变式2】已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于__________． 【变式3】知线段，，那么线段、的比例中项等于______． 【变式4】已知线段，如果线段c是a、b的比例中项，那么c＝________________． 题型04 根据比例基本性质变形或计算 【典例1】如果，那么下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则下列比例式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4】若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型05 运用合比性质计算或推理 【典例1】 如图，已知，求证：． 【变式1】若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（合比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出合比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【变式4】已知在四边形中，点、分别在、上，．求证： (1)； (2)． 题型06 运用等比性质计算或推理 【典例1】 如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【变式1】下面说法错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形 D．相似多边形的面积比等于周长比的平方 【变式2】已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 题型07 运用设参法计算或推理 【典例1】 如果，那么 （    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【变式2】已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【变式3】若，则的值是________ ． 【变式4】已知，求 (1)的值； (2)若，求、、的值． 题型08 黄金分割 【典例1】 已知点是线段的黄金分割点，，已知，则_____． 【变式1】2025年9月13日，第五届山西乐器产业博览会在太原市中国煤炭博物馆盛大启幕，为山西演出行业与乐器产业的协同发展注入新活力．如图，乐器上的一根弦长为，两个端点A、B固定在乐器的板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即），则支撑点C到端点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图已知点、都是线段的黄金分割点，若，则的长是_____． 【变式3】如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）． 【变式4】我们把宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为-1，求该矩形的周长. 1．若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 2．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 3．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 6．由，可得比例式：____． 7．已知，则的值是_______． 8．已知，则的值为_______． 9．已知，满足，求、、的值． 10．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 11. 如图，在Rt△ABC中 ，CD是斜边AB上的高.试猜想线段AB、AC、BC、CD 是否成比例.如果成比例，请写出这个比例式. 1．已知（），则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为__________． 4．已知为的三边，且，则__________． 5．已知a，b，c为非零实数，且，则的值为______． 6．已知点是线段的黄金分割点，，已知，则_____． 7．已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 8.如图，在△ABC中，AB=12cm，AE=6cm，EC= 4c，且 (1)求AD的长； (2)证明 9.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足, (1)试求a、b、c的值； (2)判断△ABC的形状. 10．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $