专题28.2 (2) 相似三角形的判定2（高效培优讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

本讲义聚焦相似三角形判定的核心知识点，系统讲解SAS、SSS判定定理及直角三角形HL定理，衔接前期相似三角形概念与判定基础，通过定理内容、图形示例、符号表示及即学即练搭建递进式学习支架。 资料以几何直观呈现常见图形，设计典例与多维度变式训练，培养学生推理能力与灵活运用判定方法的思维，结合实际情境问题（如种植基地证明）强化应用意识，课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾练习、弥补知识盲点。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题28.2 相似三角形的判定(2) 内容总览 1教学目标、重点、难点 SAS定理 2知识清单 SSS定理 HL定理 已知两边成比例判定三角形相似 已知三边成比例判定三角形相似 相似三角形的判定(2) 添加一个条件判定三角形相似 3.常见题型 判定两个直角三角形相似 判定方法的综合辨析 相似三角形判定的综合 选用合适方法判定相似 如何证明线段成比例 基础自测 4强化训练》 能力提升 教学目标 教学重难点 1.掌握相似三角形的SAS判定定理、SSS判定定理； 2. 理解直角三角形相似判定的L定理： 教学目标 3. 会根据已知元素灵活选择恰当方法判定三角形相似： 4.通过证明三角形相似从而证明四条线段成比例。 重点： 理解并掌握相似三角形判定定理： 教学重难点 难点： 判定方法的灵活选择及运用： 知识清单 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点01相似三角形判定定理2 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。（简称：S.A.S定理） 内容 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似(S.A.S) 基本图形 符号语言：如图，已知在△ABC和△DEF中， 符号表示 DE DF ∠A=∠D,ABAC (AB>DE) ∴.△ABC∽△DEF. A 常见图形 B B AO·CO=BO·DO AE·AB=AF·AC AD·AC=AB·AE 【即学即练】 求证：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 DE DF 如图，己知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,AB=AC(AB>DE)· 求证：△ABC∽△DEF. G C E 2.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,OA=2,OB=3,OC=6,OD=4. 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：aOAD与△OBC是相似三角形 (2)图中还有其他相似三角形吗？ 知识点02相似三角形判定定理3 定理：三边对应成比例两个三角形相似（简称S.S.S定理） 内容 三边对应成比例的两个三角形相似(S.S.S) 基本图形 如图，在△ABC和△A1B1C1中 符号表示 ABACBC A B AC BC △ABC∽△A1B1C1 BF_BD_DF E AB BC AC →△BFD~ABAC DE BD EC →△DEC~△BAC AB BC AC B D 基本图形 D AD DEAE AB BC AC →△DAE~ABAC B 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练】 1.如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点.求证：△DEF∽△ABC. 知识点03直角三角形相似的判定 1.定理：斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 内容 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似：.L) 基本图形 如图，在△ABC和△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°， 符号表示 ABAC A B:AC △ABC∽△A1B1C1 BC2=BD·BA→△BDC~△BCA 常见图形 D AC2=AD·AB→△ADC~△ACB 2.直角三角形相似的判定方法 直角三角形相似判定 普通判定方法(A.A、S.A.S、S.S.S) 特有判定方法(H.L) 【即学即练】 1,求证：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”，分别写出已知，求证，并进行证明. 已知：如图， 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证： 证明： 题型精讲 题型01用SAS定理判定三角形相似 【典例1】如图，已知：四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠BAO=∠CDO 求证：△OAD与△OBC是相似三角形. 【变式I】如图，在△ABC中，点D、E分别在线段AB、AC上，已知∠ADE=∠ACB 求证：△ADC∽△AEB DC_EC 【变式2】如图，四边形ABCD中，E为AB边上一点，∠ECB=∠DCA:ACBC,DE交AC于点F: 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)求证：△ECB~ADCA (2)求证：△ABC∽△DEC: 【变式3】如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若∠ACP=∠B 则可证 △ACP∽AABC APAC 小红：若ACAB' 则可证△ACP∽AABC AC_BC 小亮：若CPAC 则可证△ACP∽AABC (1)请判断三人的说法的对错：小星」 一，小红，小亮 (填“对”或“错”) (2)选择一种正确的方法，求证：△ACP∽△ABC: (3)若△4CP6ABC,且BP=l,AC=V6,求AP的长. 【变式4】如图，四边形ABCD是某学校的一块种植实践基地，其中△ABC是水果园，△ACD是蔬菜园. 已知AB∥CD,AB=18m,AC=12m,CD=8m, 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求证：△ABCn△CAD: 题型02利用S.S.S定理判定三角形相似 【典例1】如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. 请判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. B 【变式1】如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与 △EFG相似的是() E 【变式2】如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形AEFD.求证：△BCE∽△BED B D 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，分别取AD,AB的中点E,F,连接 CE,CF,EF.求证：∠CFE=∠B 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式4】如图①，△ABC内有任意一点O,D,E,F分别为OA,OB,OC的中点. 0 B 图① 图② (1)求证：△ABC∽△DEF (2)如果点O在△ABC的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证 明)· 题型03 添加一个条件判定两个三角形相似 【典例1】如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D,添加下列一个条件不能使△ABC∽aADE的是() B AB AD A.∠BAD=∠CAE B.BC-DE AB AD C.∠C=LE D.AC AE 【变式I】如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,添加下列条件，能使△ABC∽aDBA的是() 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AC BC=AD BD B.AB2=CD.BC C.AB2=BD.BC D.AC BC=AB AD 【变式2】如图，在ABCD中，E为边BC上一点，添加下列不能判定△ABE∽△DEA的是(). E BE AE BE AB A.∠B=LAED B.∠BAE=∠DEC C.AE AD D. AE DE 【变式3】如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D,要使△ABC与以点A、D、E为顶点的三角形相 似，还需满足下列条件中的) AC AB AC BC A.ADAE C. S- D.AD AE E 【变式4】如图，在线段AB同侧有CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AB=11,AC=4,BD=6,点P在AB 上运动，当AP=时，△ACP与以点B、D、P为顶点的三角形相似。 D P B 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04.判定两个直角三角形相似 【典例1】已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a,BC=b,AC=Vab,求证：DC⊥BC B 【变式1】下列说法中，错误的是（) A.顶角为70°的两个等腰三角形相似 B.一个锐角为36°的两个直角三角形相似 C.一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角 形相似 D.两个等边三角形一定相似 【变式2】如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D为边BC上一点，BC2=BDAB 求证：CD⊥AB。 D 【变式3】如图，已知：在Rt△ABC与Rt△ABC中，∠BAC=∠ABC=90°，AD⊥BC,AD⊥BG,垂足分 AB AD 别为D、D,且A,B,A,D,求证：△ABC△AB,G B. 【变式4)如图，在梯形ABCD中，AB11CD,∠A=90,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点. 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：△CDE∽△EAB: (2)△CDE与△CEB有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由. 题型05相似三角形判定的综合 【典例1】如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形 与原三角形不相似的是() X A 65 X 65 B 65° 65 R B B 【典例2】已知，如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，AD·AB=AE·AC,点F是BE与 CD的交点. E (1)求证：△FDB∽AFEC (2如果AB=15,AC=18,AD=6,求EF:DF. 【变式1】如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6,AC=8.将△ABC沿图中的DE剪开.剪下的阴影三角 形与原三角形不相似的是() 人60° B 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 E A 60 D 60° 609 D B D 5 B 【变式2】如图，点GD在线联B上，△GDP是等边三角形，且4C=2”CD-=3:BD 2·求证： △ACPP△PDB 【变式3】如图，在正方形ABCD中，AB=4,E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD (1)求证：△ABE∽△DEF (2)求证：EF⊥BF D 【变式4】在矩形ABCD中，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF位置，连接BE,CF. D B 图1 图2 (1)如图1，求证：△ABE∽aACF: (2如图2，当点E恰好落在对角线AC上时，若AB=3,BC=4,求BE的长： 题型06利用相似证明线段成比例 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DC CF 【典例1】如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F,求证：AEAD D C 【变式1】如图，在△ABC中，点D,点E分别是边AC、AB上的点，EC和BD相交于点O, ∠ABD=∠ACE,连接DE, (1)求证：AD·AC=AB·AE: DE 2 AE 2迦果BC3求AC的值. 【变式2】如图，∠1=∠2，∠D=∠A. E 求证：ABEB=DBCB 【变式3】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长 BF交CD的延长线于点G. G D B (1)若∠ABF=∠ACF,求证：CE2=EF·EG. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若DG=DC,BE=7,求EF的长 【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC,点E在边BC上，联结AE交BD于点 F,且AB2=BF·BD」 D (1)求证：点F在边AB的垂直平分线上： (2)求证：ADAE=BE.BD. 强化训练 基础自测 1.能判定△ABCAAB'C'的条件是() AB AC 8 AB A'B' A. ABA'C AC=AC且∠A=∠A AB AB' C.BC=AC且∠B=∠C 。份BB 2.如图，当x的值为多少时， △ABC∽△A,B,C1() 27 20 25 B 45 C A.20 B.27 C.36 D.45 3.如图，己知△ABC中，∠ACB>∠ABC,点P(与点B不重合)是边AB上的一点，那么当AC与AP、 AB满足时，△ABC与△ACP相似. B 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC 4.如图，若BC=BD=m,请再添加一个条件，使得△4BC∽△CBD,你添加的条件是 (写 出一个即可) A B 5.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD=3,CD=1,要使△ADBAABC,则AB的长为 6.如图，AB,CD相交于点O,且OC=45,OD=30,OB=36,当OA=时，△AOC与△BOD相 似. B 45 0 36 30D 7如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD,AC=4,AD=2,BD=6,求证：△ACD∽△ABC. B D 8.如图，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC与△DEF.求证：△ABC∽aFDE. B C 9.如图，已知点D,E,F分别是△ABC三边的中点，求证：△EDF∽△ACB. 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE交于点F,请你在图中找出4对 相似三角形（不需要写出证明过程）· d B D 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. C B D (1)求证：△CBD∽△ABC: (2)若AD=4,BD=2,求BC的长. AB BC AC 12.如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点R,点B在BD上，且AE-ED AD 求证： E B (1)∠1=∠2： (2)AE·CD=AD·BE」 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如图，在锐角三角形ABC中，AB,AC上的高CE,BF相交于点D. B (1)求证：△ABFP△ACE: (2)连接EF,求证：△AEF∽aACB 14.四边形ABCD为平行四边形，点E和点F分别为边AD,AB的中点，连接EF、CF,EF交对角线 AC于点G. (1)若AC=8,求AG的长： (2如果AB=AC,求证：△AFG∽△ACF. 能力提升 1,如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点重合），EF∥BC.添加 下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是() D A.DEl AC B.∠1+∠2=180° C.∠3=∠C D能品 2.如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,BC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原 三角形不一定相似的是（) 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 78 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，下列条件不能判定这两个三角形相似的是() A.∠A=55°，∠D=350 B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8 C.AC=3.BC=4.DF=6,DE=8 D.AB=10,BC=6,DE=15.EF=9 4.如图，∠B=90°，AB=BC=CD=DE,那么下列结论正确的是() 1入 2 D A.∠1+∠2+∠3=125° B.△ABD∽AEBA C.△ACD∽△ECA D.以上结论都对 5.如图，AD1/BC,∠ABC=90°，AD=2cm,BC=6cm,AB=7cm,点P是AB上的-个动点（点P不 与点A,B重合)，连接PC,PD.若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P个数为一 6,如图，在△ABC中，AB=6cm,AC=8Cm,AD=2cm,点E在AC上.若△ADE与△ABC相似，则 AE= cm D B 7.如图，△ABC中，AB=AC=5,BC=6,点D是BC中点，点E在AC上且CE=2AE,将线段DE绕 点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接AF,则AF的长为 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.如图，在△ABC中，AB=5,D,E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B,DE=2. D (1)求证：△ADE一△ABC: (2)求AD·BC的值 9.如图，将△ACE绕着点A按顺时针方向旋转得到△ABD,连接BC,DE,求证：△ADE一△ABC. 10.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E在BA的延长线上，点F在边AC上， ∠EDF=∠B, B (1)求证：△BDE∽△CFD: (2)若BE=12,CF=2,求BC的长. 11.如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上，∠ADE=60°， 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C (1)求证：△ADC∽△DEB: (2)若BD=3DC，,DE=3,则AD的长. 12.如图，点D、E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O,AD·AB=AE·AC,DF∥BE.求证： △ADF∽△ACD D B 13.如图，△EDC与△ABC关于点C成中心对称，AB=3,BE=5,∠ABC=90°. B (1)求BC的长： 2在BE上取一点D,连接CP.若F 5,求证：△CFE∽△BCE, 14.如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB=90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E,连接AE交 CD于点F. 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B C E (1)求证：四边形ACED是矩形： (2)连接BF,交AC于点G,若CE2=CG:CA,求证：△BCG∽△ACE. 专题28.2 相似三角形的判定(2) 教学目标 1. 掌握相似三角形的SAS判定定理、SSS判定定理； 2. 理解直角三角形相似判定的HL定理； 3. 会根据已知元素灵活选择恰当方法判定三角形相似； 4. 通过证明三角形相似从而证明四条线段成比例。 教学重难点 重点： 理解并掌握相似三角形判定定理； 难点： 判定方法的灵活选择及运用； 知识点01 相似三角形判定定理2 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。（简称：SAS定理） 内容 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似(S.A.S) 基本图形 符号表示 符号语言：如图，已知在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，（AB＞DE）. ∴△ABC∽△DEF. 常见图形 【即学即练】 求证：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，（AB＞DE）. 求证：△ABC∽△DEF. 【详解】 证明：在AB上截取AG=DE,作GH∥BC， ∴△AGH∽△ABC， ∴ ∵ AG=DE， ∴AH=DF， ∵∠A=∠D， ∴△AGH≌△DEF(SAS)， ∴△ABC∽△DEF. 2. 如图，四边形的对角线与相交于点，，，，． （1）求证：与是相似三角形 （2）图中还有其他相似三角形吗？    【答案】见解析 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】（2）证明：，，，， ， ． ， 与是相似三角形． （2），． 与是相似三角形． 知识点02 相似三角形判定定理3 定理：三边对应成比例两个三角形相似。（简称SSS定理） 内容 三边对应成比例的两个三角形相似(S.S.S) 基本图形 符号表示 符号语言：如图，在△ABC和△中 ∵ ∴△ABC∽△ 基本图形 【即学即练】 如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 首先可判断、、为的中位线，根据平行线分线段成比例的知识，可判断与的对应边成比例，继而可得出结论． 【详解】解：，，分别是的三边，，的中点， 、、为的中位线， ， ． 知识点03 直角三角形相似的判定 1. 定理：斜边和一条直角边对应成比例两个直角三角形相似。 内容 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似(H.L) 基本图形 符号表示 符号语言：如图，在△ABC和△中，∠C= ∠， ∵ ∴△ABC∽△ 常见图形 2. 直角三角形相似的判定方法 【即学即练】 1. 求证：“一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似”．分别写出已知，求证，并进行证明． 已知：如图，________． 求证：_________ 证明： 【详解】解：已知：如图，在与中，，， 求证：． 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 题型01 用SAS定理判定三角形相似 【典例1】如图，已知：四边形的对角线与相交于点，∠BAO=∠CDO 求证：与是相似三角形． 【答案】证明：∵∠BAO=∠CDO 又∵∠AOB=∠DOC ∴∆AOB∽∆DOC ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 【变式1】如图，在中，点、分别在线段、上，已知∠ADE=∠ACB 求证：∆ADC∽∆AEB 【详解】证明：∵∠ADE=∠ACB 又∵∠A=∠A ∴∆ADE∽∆ACB ∴， 又∵∠A=∠A ∴∆ADC∽∆AEB 【变式2】 如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：∆ECB∆DCA (2)求证：； 【答案】(1)证明：∵， 又∵， ∴∆ECB∆DCA (2)∵， ∴，即， 又∵， ∴； 【变式3】如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 【变式4】如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知，，，． 求证：； 【详解】证明：∵，，， ∴，，   ∴，    ∵， ∴，     ∴； 题型02 利用SSS定理判定三角形相似 【典例1】如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【变式1】 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 【变式3】如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”这一性质，求出线段和的关系以及线段和的关系，再结合三角形中位线的性质得出和的关系，最后得出和相似，根据“相似三角形对应角相等”，即可求证两角相等． 【详解】证明：，分别为的中点， ，，， ， ． 【变式4】如图①，内有任意一点O，D，E，F分别为OA，OB，OC的中点． (1)求证：． (2)如果点O在的外部（如图②），请仿照图①画出图形，并探讨①中的结论是否仍成立（无须证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）易得，，分别为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，那么的三边对应成比例，可证； （2）根据（1）中的证明方法可得． 【详解】（1）证明：分别是的中点， ∴，，分别为的中位线， ， ． （2）解：如图，（1）中结论仍成立． 题型03 添加一个条件判定两个三角形相似 【典例1】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 【变式1】如图，是的边上一点，连接，添加下列条件，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 【变式2】如图，在中，为边上一点，添加下列不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 【变式3】如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D, 要使△ABC与以点A 、D 、E 为顶点的三角形相似，还需满足下列条件中的( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵∠BAC=∠D， ∴当时，∆ABC∽∆DEA 故C符合题意； 【变式4】如图，在线段AB 同侧有CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B, 且AB=11，AC=4，BD=6，点P 在AB 上运动，当AP=________时，△ACP与以 点B 、D 、P 为顶点的三角形相似。 【答案】3、4.4或8 【分析】已知两个三角形有一组直角相等，若要使两个三角形相似，只需夹这组角的两边对应成比例即可． 【详解】解：设AP=x，则BP=11-x ∵CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B, ∴∠A=∠B ∴当时，∆ACP∽∆BPD 即 解之得，x=3或x=8; 当时，∆ACP∽∆BDP 即 解之得，x=4.4 故AP=3、4.4或8. 题型04 判定两个直角三角形相似 【典例1】已知如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ADC=90°，AD=a，BC=b,AC=，求证：DC⊥BC 【分析】由ΔABC与ΔACD都是直角三角形和，得出RtΔDCA∽RtΔABC，最后得出∠DCB=90°，从而推出结论. 【详解】∵∠BAC=∠ADC=90°， ∴ΔABC与ΔACD都是直角三角形.   ∵ ∴   ∴   ∴RtΔDCA∽RtΔABC （HL） ∴∠DCA=∠B ∵∠B+∠ACB=90° ∴∠DCA+ACB=90°，即∠DCB=90° ∴DC⊥BC 【变式1】下列说法中，错误的是（    ） A．顶角为的两个等腰三角形相似 B．一个锐角为的两个直角三角形相似 C．一个直角三角形两边长分别是12和8，另一个直角三角形两边长分别是9和6，则这两个直角三角形相似 D．两个等边三角形一定相似 【详解】解：A：∵顶角为的等腰三角形，底角均为， ∴两个等腰三角形的三个内角对应相等，故两三角形相似，原说法正确，不符合题意． B：∵两个直角三角形的一锐角都为， ∴两个直角三角形的两个角对应相等，两三角形相似，原说法正确，不符合题意． C：设第一个直角三角形两边为12和8，第二个为9和6，若第一个直角三角形的直角边为12和8，斜边为；第二个直角三角形的斜边为9，一条直角边为6，另一直角边为，此时，故两三角形此时不相似，原说法错误，符合题意； D：∵等边三角形三角均为且三边成比例， ∴两个等边三角形一定相似，原说法正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图，在△ABC中 ，∠BCA=90°，D为边BC 上一点，BC²=BD·AB 求证：CD⊥AB。 【详解】证明：∵BC²=BD·AB ∴ 又∵∠B=∠B ∴∆BDC∽∆BCA ∴∠A=∠BCD ∵∠BCA=90︒， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠DCB+∠B=90°， ∴∠CDB=90︒ ∴CD⊥AB 【变式3】如图，已知：在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，∠BAC=∠A1B1C1=90°，AD⊥BC，A1D1⊥B1C1，垂足分别为D、D1，且求证：△ABC∽△A1B1C1 【详解】证明：∵AD⊥BC，A1D1⊥B1C1， ∴∠ADB=∠=90° ∵ ∴△ADB∽△(HL) ∴∠B=∠ ∵∠BAC=∠A1B1C1=90° ∴△ABC∽△A1B1C1(AA) 【变式4】如图，在梯形中，，，E是的中点． （1）求证：； （2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由． 【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F， ∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°， ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D=180°， ∴∠D=90°， ∴四边形ADCF是矩形， ∴AF=CD=1,AD=CF， ∴BF=AB-AF=1， ∴， ∵E是AD的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵∠D=∠A=90°， ∴△CDE∽△EAB； （2）△CDE∽△CEB相似，理由如下： ∵，, ∴，，， ∴ ， ∴△CDE∽△CEB. 题型05 相似三角形判定的综合 【典例1】如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 【典例2】已知，如图，在中，点分别在边和上，，点是与CD的交点． (1)求证：． (2)如果，求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得到，即可得出结论； （2）由，，求出，得到，由，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 【变式2】如图，点C，D在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在正方形中，，是的中点，点在上，且． (1)求证：∆ABE∽∆DEF (2)求证：EF⊥BF 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：是直角三角形，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ∵， ∴是直角三角形，且． 【变式4】在矩形中，将绕点A逆时针旋转到位置，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点E恰好落在对角线上时，若，，求的长； 【答案】(1)证明：由旋转的性质可知：，，， ∴． 在和中， ∵，且， ∴． （2）解：过点C作于点G， 由折叠知，， ∵矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 题型06 利用相似证明线段成比例 【典例1】如图，平行四边形中，是延长线上的一点，交于，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据结论中两个比的前项中的线段可以找到△DCF，后项中的线段可以找到△EAD,证明△EAD即可得出结论． 【详解】解：∵▱ABCD ∴DC//AB，∠C=∠A ∴∠CDF=∠AED ∴△EAD ∴． 【变式1】如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由等积式可得到比例式，根据比例式子中的前后项中的线段即可找到； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ ∴ （2），理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 【变式2】如图, ,. 求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 将化为，证即可得证； 【详解】证明：∵， ∴， 即：， ∵， ∴； ∴， ∴． 【变式3】如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，可得，进而得出，即； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，已知平分，点E在边上，联结交于点F，且． (1)求证：点F在边的垂直平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）找到相似三角形，得到等角，再由平行及角平分线得到，得到，最后垂直平分线的性质得到点F在边的垂直平分线上； （2）通过证明，，得到边长比例，再换边进行计算即可． 【详解】（1）， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又平分， ， 又， ， ， 点F在边的垂直平分线上； （2） ， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ． 1．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 2．如图，当的值为多少时，（　　） A．20 B．27 C．36 D．45 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据根据题意当时，即可求解． 【详解】解：根据题意可知，当时，， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足______时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 4. 如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是_________．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 6．如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 7.如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 8．如图，在边长为1个单位的方格纸上，有与．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形的判定，先计算出三角形的各个边的长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似证明即可． 【详解】证明：由图知：，，， ，，． ， ． 9．如图，已知点D，E，F分别是三边的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理；由三角形中位线定理得，，，求出对应边的比值，即可得证． 【详解】证明：∵点D，E，F分别是三边的中点， ∴是的中位线， ，，， ， ． 10. 如图，在中，，垂足分别为与交于点．请你在图中找出4对相似三角形（不需要写出证明过程）． 【答案】，，，， 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法，两组对应角对应相等的三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 11. 如图，在中，，于点D． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）根据（1）中相似，然后结合相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ∴，即， ∵，， ∴， ∴ 解得：（负根舍去）． 12. 如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． 13. 如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由垂直的定义求得，利用公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由，得到，结合夹角相等，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，是，上的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 14. 四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 1．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 2．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 3．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项：，，， ， ， ； 选项：，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项：，，， ， ，，， ， ， ， ． 4．如图，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上结论都对 【答案】C 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 令，根据勾股定理求出相关边长，再根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A.根据直角三角形斜边最长和角所对的直角边等于斜边的得，， ∴； ， ∴； ∵， ∴； ∴， ∴该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴与不相似， 该选项错误，不符合题意； C.令，由勾股定理得， ∵， ∴，且， ∴， ∴该选项正确，符合题意； 故选：C． 5．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 6．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 7．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 8. 如图，在中，，，分别是边和上的点，且， (1)求证：； (2)求的值 【答案】(1) 证明， ， (2)10 【分析】本题考查相似三角形的证明及性质，能够证得三角形相似是解题关键； （1）根据即可证得三角形相似； （2）根据相似三角形的性质得到，通过变形进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 9．如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴． 10．如图，在中，是的中点，点在的延长线上，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，是等边三角形，点分别在边上，， (1)求证：； (2)若，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边三角形的性质，得到，三角形的外角，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 13. 如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称，勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据中心对称的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据勾股定理求出，结合已知可求出，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． 14. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形； （2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）证明：四边形是矩形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 即， ∵ ． 学科网（北京）股份有限公司 $