第13章三角形 章末检测试题 2026-2027学年初中数学人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上学期第13章三角形单元检测卷，覆盖三角形分类、稳定性、三边关系等核心知识点，结合生活情境（如太阳能支架）与动态探究（折叠、动点问题），适配新授课巩固与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|三角形按边分类、稳定性应用、三边关系|第2题以太阳能支架考稳定性，体现应用意识；第6题通过辅助线设计考查推理能力| |填空题|6题|周长计算、高的长度、角平分线性质|第15题结合几何画板探究角平分线交点定值，培养几何直观| |解答题|8题|内角和证明、中线面积关系、动点分类讨论|第24题动点问题需分类讨论角度关系，发展创新意识与推理能力|

第13章三角形 章末检测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（     ） A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 3．若三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长度可能是（     ） A．1 B．2 C．7 D．15 4．如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 5．等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．12 6．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 7．如图，在中，，，是边，上两点，将沿翻折，使点落在点处，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．有四根长度分别是2，3，5，7的线段，从中选出三条线段首尾顺次相接围成三角形，则三角形的周长是_________． 12．如图，在中，，，，．若是边上的高，则的长为__________．    13．如图，在中，，平分，若，，则___________． 14．a，b，c为ΔABC的三边，化简|a-b-c|-|a+b-c|+2a结果是____. 15．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90º，并画出了两锐角的角平分线AD， BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为________． 16．当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为______． 三、解答题 17．如图，是的外角，平分，若，，求的度数． 18．已知的周长为，三条边的边长满足，，求的三边长． 19．如图，为边延长线上的一点，于点，交于点，，，求的度数． 20．如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线． （1）求证：． （2）若，求证：． 21．如图，已知在中，，，，求的度数． 22．如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)若于点D，，证明：是直角三角形． 23．已知a，b，c是的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若a，b，c满足，试判断的形状； (3)化简：． 24．已知：，平分，点A、B、C分别是射线上的动点（A、B、C不与点O重合）连接交射线于点D．设．    (1)如图1，若，则 ①的度数是______； ②当时，______；当时，________． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B D B A C C 1．D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2．A 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性． 3．C 【分析】解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度． 【详解】解：设三角形第三边的长度为， ∵ 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为和， ∴ ，即 ， 对比选项，只有在该范围内，因此选C． 4．D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 6．D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 7．B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 8．A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 9．C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 10．C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 11．15 【分析】根据三角形三边不等关系进行分析即可． 【详解】解：从长度为2，3，5，7的四根线段中取三根能组成三角形的只有3，5，7一种， 所以三角形的周长为：3+5+7=15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查三角形三边不等关系，理解三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键． 12．/ 【分析】利用三角形等面积法即可求解． 【详解】解：由题意得： ，即：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高线，熟练掌握利用等面积法求三角形的高是解题的关键． 13．35 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线定义，垂直定义，先由角平分线定义，得出，进而求出的度数，再根据垂直定义得出，在中，由三角形的内角和定理可得出，最后根据三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵在中，于点D， ∴， 在中，∵， ∴ ． ∵是的一个外角， ∴， ∴， 故答案为：35． 14．2c 【分析】根据三角形三边关系，确定a-b-c，a+b-c的正负，然后去绝对值，最后化简即可． 【详解】∵a，b，c为ΔABC的三边 ∴a-b-c=a-（b+c）＜0，a+b-c=（a+b）-c＞0 ∴|a-b-c|-|a+b-c|+2a =-（a-b-c）-（a+b-c）+2a =b+c-a-a-b+c+2a =2c 故答案为：2c 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，解答的关键在于应用三角形的三边关系判定a-b-c，a+b-c的正负． 15．135° 【分析】利用三角形的内角和定理求解即可 【详解】解：在Rt△ABC中，， 由∵AD，BE分别平分，， ∴=，= ∴=， ∴， 故无论怎么变动Rt△ABC，只要∠C＝90º，∠AFB的度数是定值，始终为135° 故答案为：135° 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16．或或 【分析】分角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 【详解】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为； ②角是β，则， ∴ ∴“希望角”度数为； ③角既不是α也不是β， 则， ∴ 解得， ∴“希望角”度数为； 综上所述，“希望角”度数为或或 故答案为：或或 17． 【分析】本题考查了三角形的外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．由，以及三角形外角的性质，可得，再利用角平分线的定义即可解答． 【详解】解：，， ， 平分， ． 18．的三边长分别为，， 【分析】根据题意列出方程，然后解方程组即可； 【详解】根据题意，得 ， 化简，得， 解得， 故的三边长分别为，，． 【点睛】本题考查了三角形，三元一次方程组的应用，解题的关键是得出隐形方程． 19． 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形的三个内角和为，以及三角形外角定理．根据三角形内角和定理以及三角形外角定理即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ∴ 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证； （2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE． 【详解】证明：（1）∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴，． ∵是外角的平分线，是的平分线， ∴，， ∴ ． （2）由（1）可知． ∵，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 21． 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出，根据已知和三角形内角和定理求出，，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴ ． 22．(1)44° (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解题的关键是掌握垂直的定义、角平分线的性质和三角形的内角和定理等知识点． （1）先根据内角和定理求得，再由角平分线性质可得答案； （2）先根据知，，结合可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． （2）略 23．(1)等边三角形 (2)等腰三角形 (3) 【分析】本题主要考查非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b、c关系是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的关系可求得答案． （2）根据求出或，即可得出绪论； （3）根据三角形三边关系确定出，，，进一步化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形． （3）解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． 24．(1)①；②， (2)存在，、35、50、125 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，角平分线的相关计算，平行线性质，分类讨论的运用是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义结合平行线的性质可求解；②可分两种情况：当时，当时，根据三角形点的内角和定理分别计算可求解； （2）可分两种情况：当点D在线段上时；当点D在线段延长线上时，再分别从当时，当时，当∠时，三个角度分别计算可求解． 【详解】（1）解：①平分， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：①；②，； （2）①当点D在线段上时， 是的角平分线， ， ， ， ， 若，则， 若，则， 若，则，则， ②当点D在射线上时，因为， 所以只有，此时． 综上可知，存在这样的x的值，且、35、50、125． 学科网（北京）股份有限公司 $