1.5　两条直线的交点坐标 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习以“两条直线的交点坐标”为核心，通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层递进设计，实现从单一知识点到综合应用的知识巩固，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|位置关系判断、交点坐标求解、垂直关系应用等单一知识点|选择填空为主，直接考查概念与运算，如第1题判断两直线位置关系，第4题结合垂直求参数| |综合运用|定点问题、中点坐标、三角形中线方程等知识综合|解答题为主，需结合几何情境，如第13题利用中线方程求直线BC，体现数形结合| |拓展提高|交点综合应用、截距相等直线方程、三线不能构成三角形条件等复杂问题|多问解答题，需分类讨论，如第14题分截距为零与不为零、直线平行与共点情况，培养逻辑推理与创新意识|

1.5　两条直线的交点坐标 一、基础巩固 1.直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定 2.直线l1:3x－4y＋5＝0与l2:4x－3y－＝0的交点坐标为(　　) A.(2,3) B. C. D. 3.两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|－2<a<2} B.{a|a<－2} C.{a|a>2} D.{a|a<－2或a>2} 4.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直,垂足为(1,c),则a＋b＋c＝(　　) A.－4 B.20 C.0 D.24 5.若三条直线y＝2x,x＋y＝3,mx＋2y＋5＝0相交于同一点,则m的值为(　　) A.－9 B.9 C.－6 D.6 6.(多选)若三条直线l1:ax＋y＋1＝0,l2:x＋ay＋1＝0,l3:x＋y＋a＝0不能围成三角形,则a的取值可以为(　　) A.1 B.－1 C.－2 D.2 7.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点,则实数a的值为　　　　.  8.已知点P(0,－1),点Q在直线x－y＋1＝0上,若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0,则点Q的坐标是　　　　.  9.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　.  10.已知直线l1:2x－y＝0,l2:x－2y＋3＝0,且l1,l2的交点为P. (1)求点P的坐标； (2)若直线l过点P,且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积为,求直线l的方程. 二、综合运用 11.已知实数a,b满足a＋2b＝1,则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A. B. C. D. 12.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,－1),则直线l的斜率等于　　　　.  13.如图,已知在△ABC中,A(－8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0,求直线BC的方程. 三、拓展提高 14.已知两直线l1:x－2y＋4＝0,l2:4x＋3y＋5＝0. (1)求直线l1与l2的交点P的坐标； (2)求过l1,l2交点P,且在两坐标轴截距相等的直线方程； (3)若直线l3:ax＋2y－6＝0与l1,l2不能构成三角形,求实数a的值. 1.5　两条直线的交点坐标 一、基础巩固 1.直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定 答案　B 解析　∵k1＝,k2＝－<0,∴k1≠k2的两直线相交. 2.直线l1:3x－4y＋5＝0与l2:4x－3y－＝0的交点坐标为(　　) A.(2,3) B. C. D. 答案　B 解析　由本题也可代入选项验证. 3.两条直线x＋y－a＝0与x－y－2＝0相交于第一象限,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|－2<a<2} B.{a|a<－2} C.{a|a>2} D.{a|a<－2或a>2} 答案　C 解析　联立方程,得 解得由交点在第一象限, 得解得a>2. 所以实数a的取值范围是{a|a>2}. 4.已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直,垂足为(1,c),则a＋b＋c＝(　　) A.－4 B.20 C.0 D.24 答案　A 解析　由两直线垂直得－×＝－1,故a＝10,将垂足代入ax＋4y－2＝0,得c＝－2,再代入2x－5y＋b＝0,得b＝－12,所以a＋b＋c＝－4. 5.若三条直线y＝2x,x＋y＝3,mx＋2y＋5＝0相交于同一点,则m的值为(　　) A.－9 B.9 C.－6 D.6 答案　A 解析　由∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0,即m×1＋2×2＋5＝0,∴m＝－9. 6.(多选)若三条直线l1:ax＋y＋1＝0,l2:x＋ay＋1＝0,l3:x＋y＋a＝0不能围成三角形,则a的取值可以为(　　) A.1 B.－1 C.－2 D.2 答案　ABC 解析　三条直线不能围成三角形,有可能三条直线互相平行或有其中两条平行,还可能有共同交点.若l1和l3平行,则,求得a＝1,此时l1,l2,l3重合；若l2和l3平行,则,求得a＝1,此时l1,l2,l3重合；若l1和l2平行,则,求得a＝±1,故当a＝1时,l1,l2,l3重合；当a＝－1时,l1∥l2；若三条直线交于一点,则交点为(1,－1－a),代入l2:x＋ay＋1＝0得,1－a(1＋a)＋1＝0,∴a＝－2或1(舍去).综上可得,实数a所有可能的值为－1,1,－2,故选ABC. 7.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点,则实数a的值为　　　　.  答案　－1 解析　由 把(4,－2)代入直线ax＋2y＋8＝0,可得4a－4＋8＝0,解得a＝－1. 8.已知点P(0,－1),点Q在直线x－y＋1＝0上,若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0,则点Q的坐标是　　　　.  答案　(2,3) 解析　由题意得kPQ＝2,直线PQ的方程为y＋1＝2x,又点Q在直线x－y＋1＝0上,联立解得Q(2,3). 9.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为　　　　　　.  答案　x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 解析　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0,即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0. 令x＝0,得y＝, 令y＝0,得x＝. 由,得λ＝或λ＝. 所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 10.已知直线l1:2x－y＝0,l2:x－2y＋3＝0,且l1,l2的交点为P. (1)求点P的坐标； (2)若直线l过点P,且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积为,求直线l的方程. 解　(1)由 所以点P的坐标为(1,2). (2)易知直线l与坐标轴不平行,设直线l:y－2＝k(x－1),k≠0. 当x＝0时,y＝2－k；当y＝0时,x＝1－, 因此可得 解得k＝－1或k＝－4, 故直线l的方程为y－2＝－(x－1)或 y－2＝－4(x－1), 即x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0. 综上,直线l的方程为x＋y－3＝0或4x＋y－6＝0. 二、综合运用 11.已知实数a,b满足a＋2b＝1,则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由a＋2b＝1,得a＝1－2b,则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0,整理得x＋3y－b(2x－1)＝0,所以. 12.直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为M(1,－1),则直线l的斜率等于　　　　.  答案　－ 解析　设A(xA,1),B(xB,xB－7),则有＝－1,故xB＝4,则B(4,－3),故直线l的斜率为＝－. 13.如图,已知在△ABC中,A(－8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0,求直线BC的方程. 解　设B(x0,y0), 则AB的中点E的坐标为, 由条件可得 得即B(6,4). 同理可求得C点的坐标为(5,0). 故所求直线BC的方程为, 即4x－y－20＝0. 三、拓展提高 14.已知两直线l1:x－2y＋4＝0,l2:4x＋3y＋5＝0. (1)求直线l1与l2的交点P的坐标； (2)求过l1,l2交点P,且在两坐标轴截距相等的直线方程； (3)若直线l3:ax＋2y－6＝0与l1,l2不能构成三角形,求实数a的值. 解　(1)由 所以点P的坐标为(－2,1). (2)设所求直线为l, ①当直线l在两坐标轴截距不为零时, 设直线方程为:＝1, 则＝1,解得t＝－1,所以直线l的方程为:＝1,即x＋y＋1＝0. ②当直线l在两坐标轴截距为零时,设直线方程为:y＝kx,则1＝k×(－2),解得k＝－,所以直线l的方程为y＝－x,即x＋2y＝0. 综上,直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋2y＝0. (3)①当l3与l1平行时不能构成三角形,此时:a×(－2)－2×1＝0,解得a＝－1； ②当l3与l2平行时不能构成三角形,此时:a×3－2×4＝0,解得a＝； ③当l3过l1,l2的交点时不能构成三角形,此时:a×(－2)＋2×1－6＝0,解得a＝－2. 综上,当a＝－1或或－2时,不能构成三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $