1.6 第2课时 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·陕西西安检测)平行线l1：x＋y＋4＝0与l2：2x＋2y＋3＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选D．将l1的方程转化为2x＋2y＋8＝0，则l1与l2之间的距离d＝＝.故选D． 2．(2024·江西抚州月考)点(0，1)到直线kx＋y＋k＝0的最大距离为(　　) A．2 B． C． D．1 解析：选C．由题意知，直线kx＋y＋k＝0即(x＋1)k＋y＝0，所以该直线恒过定点(－1，0)，则点(0，1)到直线kx＋y＋k＝0的最大距离即为点(0，1)到定点(－1，0)的距离d＝＝.故选C． 3．已知P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．易知直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0即3x＋4y＋＝0平行，故|PQ|的最小值即两条平行直线间的距离d＝＝.故选C． 4．已知点A(6，0)，点P在直线y＝－x上，|AP|＝3，则P点的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B．因为点A(6，0)到直线y＝－x的距离为＝3＝|AP|，所以P点的个数是1.故选B． 5．(2024·河南驻马店期中)已知a<0，若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y－4＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A． B． C． D．或 解析：选A．若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y－4＝0平行，则a(a＋1)－2＝0，解得a＝1或a＝－2，当a＝1时，直线l1：x＋2y＋1＝0与直线l2：x＋2y－4＝0平行；当a＝－2时，直线l1：2x－2y－1＝0与直线l2：x－y－4＝0平行；综上所述，若直线l1与直线l2平行，则a＝1或a＝－2.因为a<0，则a＝－2，此时直线l1：2x－2y－1＝0，直线l2：2x－2y－8＝0，故直线l1，l2之间的距离d＝＝.故选A． 6．(多选)与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程为(　　) A．5x－12y－20＝0 B．5x－12y＋20＝0 C．5x－12y＋32＝0 D．5x－12y－32＝0 解析：选AC．设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，因为两直线间的距离为2，所以＝2，解得m＝32或m＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.故选AC． 7．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为______________________________________． 解析：设P(a，0)，则有＝6，解得a＝－12或a＝8，所以点P的坐标为(－12，0)或(8，0). 答案：(－12，0)或(8，0) 8．(2024·江西新余开学考试)若点P(3，1)到直线l：3x＋4y＋a＝0(a>0)的距离为3，则a＝________． 解析：因为点P(3，1)到直线l：3x＋4y＋a＝0的距离为3，可得＝3，即|a＋13|＝15，解得a＝2或a＝－28，又因为a>0，所以a＝2. 答案：2 9．一条与直线x－2y＋3＝0平行且距离大于的直线方程为________________． 解析：设该直线方程为x－2y＋b＝0(b≠3)，由距离公式可知>，解得b<－2或b>8，则该直线方程可为x－2y＋9＝0. 答案：x－2y＋9＝0(答案不唯一) 10．两条互相平行的直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围； (2)求d取最大值时，两条直线的方程． 解：(1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，显然当时，l1和l2间的距离最大，且最大值为|AB|＝＝3，所以d的取值范围为(0，3 ]. (2)由(1)知dmax＝3，kAB＝，所以d取最大值时两平行直线的斜率k＝－3，所以两直线的方程分别为y－2＝－3(x－6)或y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 11．(2024·河南南阳联考)若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为，则实数a＝(　　) A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 解析：选A．因为两直线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0平行，可得1×2＝(a－1)×a且1×1≠2a，解得a＝2或a＝－1，当a＝2时，l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋1＝0，即l1：2x＋2y＋4＝0，两平行线间的距离为d＝＝，符合题意；当a＝－1时，l1：x－2y＋2＝0，l2：－x＋2y＋1＝0，即l2：x－2y－1＝0，两平行线间的距离为d＝＝，不符合题意，舍去．综上，a＝2.故选A． 12．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________． 解析：设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝. 答案： 13．已知直线l经过点C(3，4)，且点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程为________________________． 解析：设直线AB的斜率为kAB，直线l的斜率为k，当直线AB∥l时，显然点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，如图1，则此时kAB＝k，由kAB＝＝－＝k，且直线l过C(3，4)，得直线l的方程为y－4＝－(x－3)，整理可得2x＋3y－18＝0；当直线AB与直线l相交时，设交点为D，作AE⊥l于点E，BF⊥l于点F，如图2，若AE＝BF，由∠AEF＝∠BFE＝90°，∠ADE＝∠BDF，知△AED≌△BFD，可得AD＝BD，即D为AB的中点，则D(1，0)，此时直线l的斜率k＝＝2，直线l的方程为y－0＝2(x－1)，整理可得2x－y－2＝0.综上，直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0. 答案：2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0 14．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过直线m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程； (2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系． 解：(1)当a＝0时，直线m：－x＋3y＋6＝0，联立解得即直线m与n的交点坐标为(－21，－9).当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，将(－21，－9)代入得b＝－12，所以直线l的方程为x－y＋12＝0，故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. (2)设原点O到直线m的距离为d，则d＝＝，解得a＝－或a＝－，当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n. 15．(2024·河南焦作检测)如图，直线x＝t与函数f(x)＝log4x和g(x)＝log4x－1的图象分别交于点A，B，若函数y＝f(x)的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题意可知，A(t，log4t)，B(t，log4t－1)，|AB|＝1.设C(x，log4x)，因为△ABC是等边三角形，所以点C到直线AB的距离为，则t－x＝，即x＝t－.根据中点坐标公式可得log4(t－)＝＝log4t－＝log4t－log44＝log4，所以t－＝，解得t＝.故选C． 16．已知在△ABC中，A(3，4)，B(－1，3)，C(5，0). (1)求BC边的高线所在的直线的方程； (2)过点A的直线l与直线BC的交点为D，若B，C到l的距离之比为1∶2，求D的坐标． 解：(1)由题意可知，直线BC的斜率kBC＝＝－，则BC边的高线所在的直线斜率为2，所以BC边的高线所在的直线方程为y－4＝2(x－3)，即2x－y－2＝0. (2)由(1)可知直线BC的方程为y－0＝－(x－5)，即x＋2y－5＝0，若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝3，可知B，C到l的距离分别为4，2，不符合题意；若直线l的斜率存在，设为k，则直线l：y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由题意可得，＝，即k＝－或k＝1，当k＝－时，直线l：x＋5y－23＝0，联立方程解得即D(－7，6)；当k＝1时，直线l：x－y＋1＝0，联立方程解得即D(1，2).综上所述，D的坐标为(－7，6)或(1，2). 学科网（北京）股份有限公司 $