专题1.1.6 平面直角坐标系中的距离公式（高效培优讲义）数学北师大版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦平面直角坐标系中的距离公式，系统梳理平面内两点间距离（含坐标轴上、平行坐标轴线段等特殊情况）、点到直线距离、两条平行直线间距离等核心公式，通过思维导图构建知识脉络，并延伸至用距离公式判定三角形形状、解决距离最值问题的应用，形成递进式学习支架。 资料以“即学即练”夯实基础，通过典例与变式（如“将军饮马”“光线反射”应用题）培养数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念、应用意识）。课中辅助教师系统授课，课后通过综合题型帮助学生查漏补缺，提升解决几何综合问题的能力。

专题1.6 平面直角坐标系中的距离公式 教学目标 掌握平面内两点间距离公式、坐标轴上两点距离、平行坐标轴线段距离； 熟记点到直线距离公式、两平行直线间距离公式，能规范代入计算； 会利用距离公式求解参数、判断图形形状、求最值、解决几何综合问题； 区分距离公式适用条件，规避绝对值、分母不为 0、直线平行等易错点； 建立数形结合思维，能用代数距离计算解决平面几何图形（三角形、平行四边形、圆）问题。 教学重难点 1.重点 ① 平面两点间距离公式及其坐标运算； ② 点到直线的距离公式基础计算； ③ 两条平行直线间的距离推导与计算。 2.难点 ① 含参数坐标 / 直线方程的距离综合计算； ② 利用距离相等、距离最值求动点轨迹与参数范围； ③ 几何图形判定（等腰、直角、平行四边形）结合距离公式综合大题； ④ 平行直线距离需统一 x、y 系数的易错细节。 知识点 01 平面内两点间距离公式 核心公式 设，则 特殊简化形式 两点在 x 轴上： 两点在 y 轴上： 线段平行 x 轴： 线段平行 y 轴： 【即学即练】 已知，且，则________． 知识点 02 点到直线的距离公式 核心公式 直线一般式 ，点 使用注意事项 直线必须先整理为一般式； 分母，不会为 0； 分子带绝对值，距离恒为非负数。 【即学即练】 点到直线的距离是________． 知识点 03 两条平行直线间的距离公式 推导前提 两条直线必须平行，且统一x、y系数：距离： 易错提醒 若两条平行直线系数不统一，先同乘倍数化成相同A、B再计算。 【即学即练】 平行直线与之间的距离为__________. 知识点 04 利用距离判定三角形形状 判定依据 等腰三角形：两边距离相等； 等边三角形：三边距离全部相等； 直角三角形：满足勾股定理（两边平方和 = 第三边平方）。 解题步骤 计算三点两两之间距离； 对比边长关系判断图形类型。 【即学即练】 已知的三个顶点，，，则的形状为______． 知识点 05 距离最值问题（点到点、点到直线） 两类核心最值 定点到直线上动点的最小距离 = ； 两定点到直线上动点距离和 / 差最值（对称法）。 解题思路 最小距离直接用点到直线公式； 和差最值作对称点，两点之间线段最短。 【即学即练】 已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 题型 01 利用距离相等求参数范围 / 未知数 【典例1】已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【变式1】已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【变式2】写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【变式3】已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 题型 02 两点间距离基础计算与判定 【典例1】已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________． 【变式1】函数的最大值为__________. 【变式2】已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 题型 03 距离法求几何 / 函数最值（含将军饮马） 【典例1】古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】函数的最大值是__________. 【变式3】已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【变式4】已知，则动点与点的距离的最小值是________． 题型 04 点到直线距离计算与参量求解 【典例1】点到直线的最大距离是______． 【变式1】若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【变式2】已知点到直线的距离为1，则____________. 【变式3】对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 题型 05 直线围合图形面积与轨迹方程 【典例1】已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【变式1】已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【变式2】已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【变式3】已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 题型 06 各类对称问题（点对线、线对线、线对点） 【典例1】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【变式1】94．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【变式2】已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 题型 07 平行直线间距及平行线求解 【典例1】直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知为等腰直角三角形，且，若A，C的坐标分别为，. (1)求点B的坐标； (2)求过点B与所在边平行的直线方程. 【变式3】求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 题型 08 光线反射实际应用题 【典例1】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【变式1】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 1．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 2．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 3．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 4．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 5．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 6．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 10．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 11．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 12．已知点到直线：的距离为1，则＝________． 1．一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 2．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 3．在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点. (1)求点的坐标； (2)求过点且与直线垂直的直线. 4．已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 5．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线，在中，已知，，若其欧拉线的方程为.求： (1)外心F的坐标； (2)重心G的坐标； (3)垂心H的坐标. 参考公式：若三角形三个顶点坐标分别为，，，则三角形重心的坐标为. 6．求函数的最小值． 7．已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点．求： (1)点到直线的距离； (2)直线到面的距离． 8．已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 9．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 10．已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 11．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 12．已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 13．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 平面直角坐标系中的距离公式 教学目标 掌握平面内两点间距离公式、坐标轴上两点距离、平行坐标轴线段距离； 熟记点到直线距离公式、两平行直线间距离公式，能规范代入计算； 会利用距离公式求解参数、判断图形形状、求最值、解决几何综合问题； 区分距离公式适用条件，规避绝对值、分母不为 0、直线平行等易错点； 建立数形结合思维，能用代数距离计算解决平面几何图形（三角形、平行四边形、圆）问题。 教学重难点 1.重点 ① 平面两点间距离公式及其坐标运算； ② 点到直线的距离公式基础计算； ③ 两条平行直线间的距离推导与计算。 2.难点 ① 含参数坐标 / 直线方程的距离综合计算； ② 利用距离相等、距离最值求动点轨迹与参数范围； ③ 几何图形判定（等腰、直角、平行四边形）结合距离公式综合大题； ④ 平行直线距离需统一 x、y 系数的易错细节。 知识点 01 平面内两点间距离公式 核心公式 设，则 特殊简化形式 两点在 x 轴上： 两点在 y 轴上： 线段平行 x 轴： 线段平行 y 轴： 【即学即练】 已知，且，则________． 【答案】 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 知识点 02 点到直线的距离公式 核心公式 直线一般式 ，点 使用注意事项 直线必须先整理为一般式； 分母，不会为 0； 分子带绝对值，距离恒为非负数。 【即学即练】 点到直线的距离是________． 【答案】 【详解】点到直线的距离是. 知识点 03 两条平行直线间的距离公式 推导前提 两条直线必须平行，且统一x、y系数：距离： 易错提醒 若两条平行直线系数不统一，先同乘倍数化成相同A、B再计算。 【即学即练】 平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 知识点 04 利用距离判定三角形形状 判定依据 等腰三角形：两边距离相等； 等边三角形：三边距离全部相等； 直角三角形：满足勾股定理（两边平方和 = 第三边平方）。 解题步骤 计算三点两两之间距离； 对比边长关系判断图形类型。 【即学即练】 已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 知识点 05 距离最值问题（点到点、点到直线） 两类核心最值 定点到直线上动点的最小距离 = 点到直线垂线段距离； 两定点到直线上动点距离和 / 差最值（对称法）。 解题思路 最小距离直接用点到直线公式； 和差最值作对称点，两点之间线段最短。 【即学即练】 已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）联立方程求出坐标，然后根据两直线垂直确定所求直线的斜率，进而得到所求直线的方程. （2）①根据两直线平行计算即可；②先求出点关于直线对称的点为，进而确定的最小值. 【详解】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 题型 01 利用距离相等求参数范围 / 未知数 【典例1】已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 【变式1】已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 【变式2】写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 【变式3】已知关于实数的方程有两组实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式将方程有两组实数解问题转化为判断定点到动直线的距离等于定长的直线条数，进而求解即可. 【详解】不妨令，此时有， 所以， 即点与点到直线的距离相等，且有且仅有两条这样的直线． 此时或重合或者过中点． 又，当过中点时，，当时，与为同一条直线； 当时，， 当时，有4条直线满足条件（与平行2条，过中点2条），不合题意； 当时，有3条直线满足条件（与平行2条，过中点1条），不合题意； 所以要有且仅有两条直线，必然有， 由于不过原点，则过原点且与平行时只有一条，直线，则， 所以的取值范围为． 题型 02 两点间距离基础计算与判定 【典例1】已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________． 【答案】或 【分析】代入两点间距离公式，即可求解. 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 【变式1】函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 【变式2】已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 【变式3】已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 题型 03 距离法求几何 / 函数最值（含将军饮马） 【典例1】古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C 【变式1】已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】作出点关于直线的对称点为，数形结合并利用两点距离公式求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值. 故选：D.    【变式2】函数的最大值是__________. 【答案】 【分析】根据题意，的几何意义为点到点与两点的距离之差，故，再根据距离公式求解即可. 【详解】， 在平面直角坐标系中，设点，，. 则，当点在线段的延长线上时，等号成立， ，， 由，有，即，解得， 其中时，，不合题意； 当时， ，满足点在线段的延长线上， 所以时，. 【变式3】已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. 【变式4】已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 题型 04 点到直线距离计算与参量求解 【典例1】点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 【变式1】若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【变式2】已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 【变式3】对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 题型 05 直线围合图形面积与轨迹方程 【典例1】已知点，试判断此三角形的形状，并求其面积． 【答案】是等腰直角三角形，. 【分析】根据两点间的距离公式求出的三边的长，然后根据三边的关系判断出三角形的形状，再根据三角形的面积公式求三角形的面积． 【详解】解法一  因为， ， 又， 所以，且， 所以是等腰直角三角形， ． 解法二  因为，， 则， 所以． 又， ， 所以， 所以是等腰直角三角形， ． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式的应用，通过三角形的三边之长判断三角形的形状. 【变式1】已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 【变式2】已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 【变式3】已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； （2）因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； （3）依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 题型 06 各类对称问题（点对线、线对线、线对点） 【典例1】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 【变式1】94．已知直线，点．求： (1)直线关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解； （2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程 【详解】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 则在直线上，， 即． （2）在直线上取一点， 则关于直线的对称点必在上． 设对称点为， 则解得． 设与的交点为，则由得， 则经过点， 直线的方程为，即． 【变式2】已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【变式3】在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 题型 07 平行直线间距及平行线求解 【典例1】直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式 【变式1】下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 【变式2】已知为等腰直角三角形，且，若A，C的坐标分别为，. (1)求点B的坐标； (2)求过点B与所在边平行的直线方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由题意得点满足，设点坐标，根据斜率关系与两点间距离公式列方程组求解即可； （2）由点斜式方程可得. 【详解】（1）设B点坐标为，根据题意可得 即 解得或所以或. （2）由题知； 当时，直线为：，即. 当时，直线为：，即. 故所求直线为或. 【变式3】求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 题型 08 光线反射实际应用题 【典例1】如图所示，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，直线的方程为，设关于直线的对称点为， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， 所以光线所经过的路程为. 【变式1】一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 【变式2】在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 1．已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 2．已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 3．已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 4．已知点，向量，若与直线垂直，则到直线的距离等于（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与垂直求出，再由点到直线的距离求解. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 又与直线垂直，所以， 解得，所以直线， 所以到直线的距离为. 5．点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 6．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 7．若动点，分别在直线：和：上移动，则线段的中点点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出M的轨迹，再求到原点的距离的最小值. 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l， 因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A 8．与直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取所求直线上任意一点，可求得关于轴的对称点的坐标，将其代入即可求解. 【详解】设与直线关于轴对称的直线为l, 取l上任意一点，则关于轴的对称点为， 所以在直线上，即，亦即. 故选：D. 9．数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若的顶点，则欧拉线方程为__________． 【答案】 【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后由点斜式即可求得欧拉线的方程. 【详解】因的顶点，则其重心为,即； 显然的外心在线段的中垂线上，故可设， 由，可得，解得, 则外心坐标为，于是, 故欧拉线方程为：，即. 故答案为：. 10．已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 11．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 12．已知点到直线：的距离为1，则＝________． 【答案】或 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点到直线：的距离为1，则， 解得：或. 故答案为：或 1．一条光线从点射出，经轴上的点反射后，与圆1有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出反射光线所在直线的方程，然后求出圆心到的距离的表达式，然后根据题意列出不等式，求解不等式的解集即可. 【详解】当时，反射光线所在直线方程为，该直线与圆不相交，不符合题意； 当时，由题可知反射光线所在直线经过点， 则直线的方程为，即． 依题意得圆的圆心到的距离，解得． 故的取值范围为． 2．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解直线方程， （2）根据两点距离可得三角形为等腰三角形，进而得中点坐标，根据两点斜率公式即可求解斜率. 【详解】（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率， 所以，所以， 故所求直线方程为，即. （2）由题意得，， 所以，则为等腰三角形， 的中点为，故， 由等腰三角形的性质知，为的平分线， 故所求直线方程为，即.    3．在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点. (1)求点的坐标； (2)求过点且与直线垂直的直线. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出, （2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案． 【详解】（1）四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍或，． ，中点坐标为， 由于，且是中点，点坐标为， （2），,由中点坐标公式得， 又，， 则过点且与直线垂直的直线斜率为：， 所求直线方程为：，即． 4．已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 5．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线，在中，已知，，若其欧拉线的方程为.求： (1)外心F的坐标； (2)重心G的坐标； (3)垂心H的坐标. 参考公式：若三角形三个顶点坐标分别为，，，则三角形重心的坐标为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用AB的垂直平分线方程联立欧拉线的方程求解可得； （2）设，则，根据点G在欧拉线上，可得关系，然后根据可得； （3）先求AB边上的高所在直线，然后联立欧拉线方程求解可得. 【详解】（1）因为三角形三边的垂直平分线交点为外心， 所以外心F在AB的垂直平分线上， 因为，所以AB的垂直平分线斜率为， 又AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即， 由题知，外心F在直线上， 解方程组得，即坐标为. （2）设，则， 因为重心G在直线上， 所以，即， 因为，所以，解得或， 当时，点C坐标为，与点B重合，舍去， 所以C点坐标为. 所以. （3）垂线H在AB边上的高所在直线上， 由上可知，AB边上的高所在直线斜率为，所以直线方程为， 解方程组，得，即.    6．求函数的最小值． 【答案】 【详解】解析 因为，所以函数是轴上的点与两定点、距离之和．的最小值就是的最小值．由平面几何知识可知，若关于轴的对称点为，则的最小值等于，即．所以． 7．已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点．求： (1)点到直线的距离； (2)直线到面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证，则即为所求距离；再在直角三角形中，通过勾股定理求出和，进而算出斜边. （2）先通过中位线证明平面，将线面距离转化为点到该平面的距离；再利用等体积法，以三棱锥 和体积相等列方程，由已知底面积和高求出距离. 【详解】（1）连结、， ∵平面平面，所以. 因为，平面，所以平面，因此. 就是点到直线的距离． 在中， ，， ， 即点到直线的距离为． （2）设与交于点E，连结 则，面． 又与面交于的中点D， 到平面的距离等于C点到面的距离，也就等于三棱锥的高． ， ． ， ∴直线到平面的距离是． 8．已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 9．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【答案】(1)， (2)5 【详解】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 10．已知直线方程为，其中. (1)当m变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，可得定点坐标，点到直线的距离最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值． 【详解】（1）直线方程为即为， 由可得则已知直线恒过定点， 所以到直线的最大距离为. （2）设直线的斜率为，则其方程为， 可得，， 则. 由，可得，所以， 当且仅当， 即时取等号. 所以的面积的最小值是4. 11．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）求得直线恒过定点，即可得证； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）直线的方程可以改写为， 令，所以直线过定点， 因为在第一象限，所以不论为何值，直线总经过第一象限； （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，， 令，得；令，得， 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 12．已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）分过原点和不过原点两种情况讨论，当不过原点时，设的方程为：，代入点解出即可求解. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 所以，，此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或； （2）当过原点时，满足题意，可求出的方程为：，即. 当不过原点时，设的方程为：，把代入， 则有，，，此时的方程为：. 综上，直线的方程为：或. 13．已知的顶点，，直线l：过定点． (1)若是的重心，求三边所在直线的方程； (2)若，且，求顶点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程； （2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标. 【详解】（1）将l：整理得， 由，得，所以， 设，因为是的重心， 所以，解得，所以， 故所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得， 所在直线的方程为，整理得； （2）因为点到直线的距离， 又，所以点C到直线的距离为， 因为，所以点C在的垂直平分线上， 中点坐标为，即， 则的垂直平分线的方程为，即， 所以，解得或， 所以或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $