7 1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面直角坐标系中两点间的距离公式，通过问题引导从数轴距离入手，逐步探究平面中与坐标轴平行及一般情况的距离计算，衔接旧知并推导公式，为后续应用搭建学习支架。 其亮点在于以问题链驱动公式生成培养数学眼光，通过典例变式强化运算推理发展数学思维，结合坐标法解决几何问题提升数学语言表达。采用分层评价与方法提炼小结，助力学生提升核心素养，也为教师提供系统教学资源与评价工具。

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 　 第一章　§1　直线与直线的方程 学习目标 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，提升直观想象、数 学运算的核心素养. 2.会利用两点间的距离公式解决一些相关的问题，提升逻辑 推理、数学运算的核心素养. 任务一　两点间的距离公式 1 任务二　两点间的距离公式的应用 2 随堂评价 3 课时分层评价 4 内容索引 任务一　两点间的距离公式 返回 问题导思 问题1.在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：｜AB｜＝｜xB－xA｜. 问题2.在平面直角坐标系中，若两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离｜AB｜？ 提示：(1)当AB与x轴平行时，｜AB｜＝｜x2－x1｜； (2)当AB与y轴平行时，｜AB｜＝｜y2－y1｜； (3)当AB与坐标轴不平行时，如图所示，在Rt△ABC中， ｜AB｜2＝｜AC｜2＋｜BC｜2， 所以｜AB｜ ＝. 即A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离为｜AB｜＝ . 新知构建 1.两点间的距离公式 平面上A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式｜AB｜＝. 2.两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点A(x，y)间的距离｜OA｜＝. (2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，｜AB｜＝｜x2－x1｜. (3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，｜AB｜＝｜y2－y1｜. A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离公式是否可以写成｜AB｜＝的形式？ 提示：可以，原因是＝，也就是说公式中A，B两点的位置没有先后之分，与两点的先后顺序无关. 微思考 (1)已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为 A. B. C.3 D.2 典例 1 √ 由两点间的距离公式，得｜AC｜＝＝4，｜CB｜＝＝2，所以＝＝2.故选D. (2)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值. 解：设点P的坐标为(x，0)，则有 ｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝＝. 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－. 故所求点P的坐标为. ｜PA｜＝＝. 规律方法 计算两点间的距离的方法 1.对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，则｜AB｜＝. 2.对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况｜y2－y1｜或｜x2－x1｜求解. 对点练1.求下列两点间的距离： (1)A(3，1)，B(－2，5)； 解：｜AB｜＝＝. (2)A(3，0)，B(－1，0)； 解：由于点A，B均在x轴上， 所以｜AB｜＝｜－1－3｜＝4. (3)A(a，5)，B(a，－2). 解：由于直线AB⊥x轴， 所以｜AB｜＝｜－2－5｜＝7. 返回 任务二　两点间的距离公式的应用 返回 问题导思 角度1　由两点间的距离求参数的值 若点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为___________________. 典例 2 (2，10)或(－10，10) 由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10).由两点间的距离公式，得｜MN｜＝＝10或｜MN｜＝＝10，解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2，10)或(－10，10). 变式探究 (变条件)将本例中“点M到x轴”改为“点M到y轴”，其他条件不变，求点M的坐标. 解：由点M到y轴的距离等于10可知，其横坐标为±10. 设点M的坐标为(±10，yM)， 由两点间的距离公式得 ｜MN｜＝＝10， 或｜MN｜＝＝10， 解得yM＝－6或10. 所以点M的坐标为(－10，－6)或(－10，10). 规律方法 根据两点间的距离公式得到所求参数的方程，注意含有根号需要平方，方能求解. 对点练2.已知A(a，3)，B(3，3a＋3)的距离为5，求a的值. 解：｜AB｜＝ ＝＝5， 即(a－3)2＋(3a)2＝25， 即5a2－3a－8＝0， 解得a＝－1，或a＝， 因此a的值为－1或. 角度2　判断三角形的形状 (一题多解)已知△ABC三顶点坐标为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解：法一：根据两点间的距离公式， 得｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝2， 又｜BC｜＝＝2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，且｜AB｜＝｜AC｜， 所以△ABC是等腰直角三角形. 典例 3 法二：因为kAC＝＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB. 又｜AC｜＝＝2， ｜AB｜＝＝2， 所以｜AC｜＝｜AB｜. 所以△ABC是等腰直角三角形. 规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向. 2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理. 对点练3.已知点A(5，1)关于x轴的对称点为B(x1，y1)，关于原点的对称点为C(x2，y2). (1)试判断△ABC的形状； 解：依题意得，点A(5，1)关于x轴的对称点为B(5，－1)，关于原点的对称点为C(－5，－1)， 根据两点间的距离公式， 得｜AB｜＝＝， ｜BC｜＝＝， ｜AC｜＝＝， 所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2， 所以△ABC是直角三角形. (2)求△ABC的面积. 解：S△ABC＝·＝×2×10＝10. 角度3　坐标法在平面几何中的应用 如图，在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，D是BC边上异于B，C的任意一点.求证：｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜. 证明：如图所示，以BC的中点为原点O， BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设 A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0)，－b＜m＜b， 则｜AB｜2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2， ｜AD｜2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， ｜BD｜·｜DC｜＝｜m＋b｜·｜b－m｜＝(b＋m)(b－m) ＝b2－m2， 所以｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜＝a2＋b2， 所以｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜·｜DC｜. 典例 4 规律方法 利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴. 对点练4.如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交∠C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：｜AP｜＝｜PQ｜. 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x轴、y轴的 正半轴建立平面直角坐标系.如图所示， 设正方形边长为a， 则A(0，a)，C(a，0)， 设点P的坐标为(t，0)(0＜t＜a). kAP＝－，lPQ：y＝(x－t)，① lCQ：y＝x－a.② 联立①②可得Q(a＋t，t)(或利用三角形相似求得点Q坐标). 因为｜AP｜＝，｜PQ｜＝， 所以｜AP｜＝｜PQ｜. 课堂小结 任务再现 1.两点间的距离公式.2.两点间的距离公式的应用 方法提炼 待定系数法、坐标法、设而不求、整体代入、整体消元 易错警示 1.依据距离公式求参数易漏解.2.坐标系建立不恰当 返回 随堂评价 返回 √ 1.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且｜AB｜＝5，则a的值为 A.1 B.－5 C.1或－5 D.－1或5 因为｜AB｜＝＝5，所以a2＋4a－5＝0，解得a＝1或－5.故选C. √ 2.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)，B(2，2)，C(4，－2)，则AB边上的中线长为 A. B. C. D. AB中点的坐标为D(－1，－1)，所以｜CD｜＝＝.故选B. √ 3.已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则△ABC是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝5，｜BC｜＝，所以｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2，所以△ABC是直角三角形.故选A. 4.在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面内的点P满足｜PA｜＝｜PB｜＝｜PC｜，则点P的坐标为_______. (3，1) 设点P的坐标为(x，y)，由因此点P的坐标为(3，1). 返回 课时分层评价 返回 √ 1.已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则｜AB｜＝ A. B. C.1 D.2 由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，设A(0，)；令y＝0，得x＝1，设B(1，0).所以｜AB｜＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.在直线2x－3y＋5＝0上求一点P，使点P到点A(2，3)的距离为，则点P的坐标是 A.(5，5) B.(－1，1) C.(5，5)或(－1，1) D.(5，5)或(1，－1) 设点P(x，y)，则y＝.由｜PA｜＝，得(x－2)2＋＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1，或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，所以P(－1，1)或(5，5).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.(多选题)对于，下列说法正确的是 A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 √ √ 由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故A不正确，BCD正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是 A.2 B.3＋2 C.6＋3 D.6＋ 由两点间的距离公式及题意得｜AB｜＝＝3，｜BC｜＝＝3，｜CA｜＝＝3.从而△ABC的周长为3＋3＋3＝6＋3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.若两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则｜AB｜的值为 A. B. C. D. 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得｜AB｜＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是 A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.梯形 由题意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，｜AD｜＝＝8＝｜BC｜＝，即lAD∥lBC，｜AD｜＝｜BC｜，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，｜AB｜＝＝5≠｜AD｜，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，则｜AB｜＝______. 2 因为过点A(a，4)和点B(b，2)的直线与直线x＋y＋m＝0垂直，所以kAB＝＝1，即a－b＝2，所以｜AB｜＝ ＝＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5，12)间的距离为13，则点Q的坐标为_______________. (10，0)或(0，0) 设Q(x0，0)，则有13＝，得x0＝0，或x0＝10，即点Q的坐标为(10，0)或(0，0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(双空题)点P在直线l：x－y＋4＝0上，且到点M(－2，－4)，N(4，6)的 距离相等，则点P的坐标为____________；经过点P且垂直于l的直线方程为____________. x＋y－1＝0 设点P的坐标是(a，a＋4)，由题意可知｜PM｜＝｜PN｜，即＝，解得a＝－，故点P的坐标是.所以经过点P且垂直于l的直线方程为y－＝－(x＋)，即x＋y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与已知直线l1相交于点B，且使｜AB｜＝5，求直线l的方程. 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y＋1＝k(x－1)， 解方程组 即B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由｜AB｜＝＝5， 解得k＝－， 所以直线l的方程为y＋1＝－(x－1)， 即3x＋4y＋1＝0. 当过点A的直线l的斜率不存在时，方程为x＝1. 此时，与l1的交点为(1，4)，也满足题意. 综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当｜AB｜取最小值时，实数a的 值是 A.－ B.－ C. D. 因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以｜AB｜＝ ＝＝ ＝，所以当a＝时，｜AB｜取得最小值.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则｜PA｜2＋｜PB｜2的值为 A.5 B. C. D.与m的取值有关 直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝12＋22＝5.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝____. 10 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，所以｜PA｜2＝9a2＋b2，｜PB｜2＝a2＋9b2，｜PC｜2＝a2＋b2，于是｜PA｜2＋｜PB｜2＝10(a2＋b2)＝10｜PC｜2，即＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2最小，并求此最小值. 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示. 因为正三角形ABC的边长为a， 所以B，C，A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，y)，由两点间的距离公式， 得｜PA｜2＋｜PB｜2＋｜PC｜2＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3 ＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)在平面直角坐标系内有四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)，P为该平面内的动点，则P到A，B，C，D四点的距离之和的最小 值为 A.10 B.＋ C.14 D.＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可知，四点A(－1，0)，B(2，1)，C(1，5)，D(－2，2)构成一个四边形ABCD，因为｜PA｜＋｜PC｜≥｜AC｜，当且仅当P在对角线AC上时取得等号，因为｜PB｜＋｜PD｜≥｜BD｜，当且仅当P在对角线BD上时取得等号，所以｜PA｜＋｜PC｜＋｜PB｜＋｜PD｜≥｜AC｜＋｜BD｜＝＋＝＋，当且仅当P为两条对角线的交点时取得等号.故P到A，B，C，D四点的距离之和的最小值为＋.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值. 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四 边形，则＋＋＋ ＝｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜，而｜OP｜ ＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜≥｜AO｜＋｜BC｜＝10＋8＝18，当且仅当P在平行四边形ACOB的对角线的交点E处时等号成立，此时P(3，4).故｜OP｜＋｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜的最小值为18.因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第1课时　两点间的距离公式 返回 $