2.1必要条件与充分条件第二课时课件- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，以“主人邀请客人”的生活情境导入引发思考，通过逆命题概念过渡，构建“情境导入-新知初探-自我诊断-典型例题-跟踪训练”的学习支架，帮助学生衔接逻辑关系与数学概念。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，体现“用数学眼光观察现实世界”，如通过对话逻辑引出条件关系；分题型精研充要条件的判断、证明与应用，结合通性通法总结，培养“用数学思维思考现实世界”，如例2证明等边三角形充要条件时的严谨推理；用集合、方程等模型表达关系，强化“用数学语言表达现实世界”。学生能提升逻辑推理能力，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

第二课时　充要条件 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四 准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了， 随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭 地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大 怒，拂袖而去. 【问题】　（1）张三为什么走了？ （2）李四为什么也走了？ ⁠ ⁠ ⁠ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　逆命题 　将命题“若 p ，则 q ”中的条件 p 和结论 q 互换，就得到一个新的命 题“若 q ，则 p ”，称这个命题为原命题的逆命题. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　充要条件 1. 一般地，如果 ，且 ，那么称 p 是 q 的充分且必 要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 ⁠. 2. p 是 q 的充要条件也常常说成“ p 成立当且仅当 q 成立”，或“ p 与 q ⁠”. 3. 当 p 是 q 的充要条件时， q 也是 p 的 条件. p ⇒ q 　 q ⇒ p 　 p ⇔ q 　 等价　 充要　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题，这种说 法对吗？ 提示：正确.若 p 是 q 的充要条件，则 p ⇔ q ，即 p 等价于 q . 2. “ p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q ”的区别在哪里？ 提示：① p 是 q 的充要条件说明 p 是条件， q 是结论. ② p 的充要条件是 q 说明 q 是条件， p 是结论. 【想一想】 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）△ ABC 是直角三角形的充要条件是两边的平方之和等于第三 边的平方. （　√　） （2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等，等价于两直线平 行. （　√　） （3） ax2＋ bx ＋ c ＝0有实数根的充要条件是 b2－4 ac ＞0. （　×　） √ √ × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知 p ： x ＝1或 x ＝－1， q ： x2－1＝0.则 p 是 q 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　∵ x2－1＝0时， x ＝1或 x ＝－1.∴“ x ＝1或 x ＝－ 1”⇔“ x2－1＝0”，即 p 是 q 的充要条件，故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 设 A ， B 是两个集合， p ：“ A ∩ B ＝ A ”， q ：“ A ⊆ B ”，则 p 是 q 的 条件， q 是 p 的 条件（填“充分不必要”“必要 不充分”或“充要”）. 解析：∵ A ∩ B ＝ A ⇔ A ⊆ B ，∴ p 是 q 的充要条件， q 是 p 的充要 条件. 充要　 充要　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 充要条件的判断 【例1】　判断下列各题中， p 是否为 q 的充要条件？ （1）若 a ， b ∈R， p ： a2＋ b2＝0， q ： a ＝ b ＝0； 解：若 a2＋ b2＝0，则 a ＝ b ＝0，即 p ⇒ q ； 若 a ＝ b ＝0，则 a2＋ b2＝0，即 q ⇒ p ，故 p ⇔ q ， 所以 p 是 q 的充要条件. （2） p ：｜ x ｜＞3， q ： x2＞9. 解：由于 p ：｜ x ｜＞3⇔ q ： x2＞9，所以 p 是 q 的充要条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 判断 p 是 q 的充要条件，主要是判断 p ⇒ q 及 q ⇒ p 这两个命题是否 成立.若 p ⇒ q 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件； 若 q ⇒ p 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件. 2. 在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是 充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的 一个真子集. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 设集合 A ＝{ x ｜2 a ＋1≤ x ≤3 a －5}， B ＝{ x ｜3≤ x ≤22}，则 A ⊆（ A ∩ B ）的充要条件为 ；一个充分不必要条件可为 ⁠ ⁠. 解析： A ⊆（ A ∩ B ）⇔ A ⊆ B ， B ＝{ x ｜3≤ x ≤22}. 若 A ＝∅，则2 a ＋1＞3 a －5，解得 a ＜6； 若 A ≠∅，由 A ⊆ B ⇔⇔6≤ a ≤9. 综上可知， A ⊆（ A ∩ B ）的充要条件为 a ≤9；一个充分不必要条件 可为6≤ a ≤9. a ≤9　 6≤ a ≤9（答案不唯一）　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 充要条件的证明 【例2】　求证：△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc .（这里 a ， b ， c 是△ ABC 的三边边长） 证明：必要性：因为△ ABC 是等边三角形，所以 a ＝ b ＝ c ， 所以 ab ＋ ac ＋ bc ＝ a2＋ b2＋ c2，所以必要性成立； 充分性：由 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc 两边同时乘2得， 2 a2＋2 b2＋2 c2＝2 ab ＋2 ac ＋2 bc ，即（ a － b ）2＋（ b － c ）2＋（ c － a ）2＝0，所以 a ＝ b ＝ c ，所以△ ABC 是等边三角形，所以充分性 成立. 综上，△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc . 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 充要条件的证明策略 （1）要证明 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进 行，即证明命题“若 p ，则 q ”为真命题且命题“若 q ，则 p ” 为真命题； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的 解集是相同的. 提醒　证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 证明：一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根的充要条 件是 ac ＜0. 证明：（1）充分性：因为 ac ＜0， 所以Δ＝ b2－4 ac ＞0， ＜0. 所以方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有两个实数根. 设方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个实数根分别为 x1， x2， 则 x1 x2＝ ＜0，所以一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个 负根. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）必要性：因为一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负 根，所以Δ＝ b2－4 ac ＞0， x1 x2＝ ＜0， 所以 ac ＜0. 故一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是 ac ＜0. 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 充分、必要及充要条件的应用 【例3】　已知 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0），若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围. 解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）. 因为 p 是 q 的必要不充分条件， 所以 q 是 p 的充分不必要条件， 目录 数学·必修第一册（BSD） 即{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m }⫋{ x ｜－2≤ x ≤10}， 故有或 解得 m ≤3. 又 m ＞0，所以实数 m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ≤3}. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 （变设问）本例中 p ， q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条件？ 若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 解：因为 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）. 若 p 是 q 的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数 m ，使得 p 是 q 的充要条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 充分条件与必要条件的应用技巧 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求 参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把 p ， q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集 合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知 p ：1≤ x ≤ a （ a ≥1）， q ：1≤ x ≤2. （1）当 a 为何值时， p 是 q 的充分不必要条件？ 解：因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以{ x ｜1≤ x ≤ a }⫋{ x ｜ 1≤ x ≤2}，所以1≤ a ＜2.所以当1≤ a ＜2时， p 是 q 的充分不必 要条件. （2）当 a 为何值时， p 是 q 的充要条件？ 解：因为 p 是 q 的充要条件，所以{ x ｜1≤ x ≤2}＝{ x ｜1≤ x ≤ a }，此时 a ＝2. 所以当 a ＝2时， p 是 q 的充要条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. “三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等 边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三 条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角 形”的充要条件. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 设 x ∈R，则“ x ＞1”是“ x3＞1”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　 x ＞1⇒ x3＞1.若 x3＞1，解得 x ＞1，即 x3＞1⇒ x ＞1，综 上可知，“ x ＞1”是“ x3＞1”的充要条件，故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. “对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ”是“ a ＝ b ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　充分性：若对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ，则 a ＝ b ，满足 充分性，必要性：若有 a ＝ b ，则对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ，满 足必要性.所以“对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ”是“ a ＝ b ”的充要 条件.故选C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 函数 y ＝ x2＋ mx ＋1的图象关于直线 x ＝1对称的充要条件是 m ＝ ⁠ ⁠. 解析：函数 y ＝ x2＋ mx ＋1的对称轴为 x ＝－ ＝1，所以 m ＝－2. －2　 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $