考点02 分式方程（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统整合分式方程的判定、求解、参数分析及实际应用，通过分类题型提炼解题通法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念判定|5题|形式判定法（只看原式，不化简）|从分式方程定义出发，辨析整式方程与分式方程的本质区别| |解法应用|4题|化整-求解-验根三步法|通过去分母转化整式方程，强调验根的必要性（分母不为0）| |参数问题|12题|分类讨论法（已知解/无解/增根）|结合整式方程解的情况与分式方程分母限制，构建参数取值模型| |实际应用|16题|等量关系建模法（行程/工程/经济等）|运用分式表示数量关系，体现模型观念，解决现实问题|

考点02 分式方程 考点一：分式方程的概念 ·分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． ·分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 考点二：解分式方程的一般步骤 步骤1.分式方程化整式方程——同乘最简公分母； 步骤2.解整式方程——去分母、去括号、合并同类项、系数化1； 步骤3.验根（检验整式方程的解）——将整式方程的解代入原分式方程的分母中，所有分母≠0； 考点三：分式方程无解 考点四：分式方程的应用 题型一：分式方程的判断 分母中含有未知数的方程即为分式方程，只看原式形式，不化简判断。 1. 误将化简后整式方程判定为分式方程 2. 忽略分母含未知数这一核心条件 3. 混淆分式与分式方程概念 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 题型二：解分式方程 1. 去分母时常数项漏乘最简公分母 2. 括号去符号出错，因式分解遗漏 3. 忘记检验步骤，增根直接当作解 ·一般步骤：化整→求解→验根→写解； ·验根：解后必须代入最简公分母验证，不为0才是有效解。 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）分式方程的解为（　　） A． B． C． D．无解 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程： (1)； (2)． 题型三：根据分式方程解的情况求值（参数） 1. 代值计算运算失误 2. 忽略分母不为零的隐藏限制条件 3. 多解情况取舍不当 ·已知解为数值：将已知解代入分式方程，转化为含参数整式方程计算，最后验证取值不使分母为0。 ·已知解非数值（正数、整数等）： ①带着参数化整式方程； ②用参数表示整式方程的解； ③根据解的情况求参数的取值范围。 ④将参数的取值代入原分式方程的最简公分母中，检验并确定最后范围。 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 4．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 5．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______． 题型四：根据分式方程无解求参数 1. 只考虑增根情况，遗漏整式方程本身无解 2. 增根取值判断错误，分类讨论不完整 ·无解分两类：①解为增根，②化简后整式方程无解；可分类讨论求出参数，逐一核验取值。 1．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 4．（25-26八年级下·海南海口·期中）解方程： (1)； (2)若关于x的方程无解，求实数a的值． 5．（25-26八年级下·福建漳州·期中）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． (1)点的“2系雅培点”，则的坐标为 ； (2)已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 题型五：列分式方程 1. 等量关系梳理不清，等量式列反 2. 单位不统一，数量关系表述偏差 找准题干核心等量关系，设未知数，用分式表示相关量，依据相等关系列出方程。 ·分析数量关系和等量关系的方法：表格分析法 1．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为里/天，依题意列出关于的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）重庆是全国闻名的火锅之城，花椒作为火锅底料的核心原料，市场需求量巨大．某花椒种植基地计划采摘亩花椒，因市场行情变化需提前上市，实际每天采摘面积是原计划的倍，结果提前天完成采摘任务．设原计划每天采摘亩，由题意可得方程（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A． B． C． D． 题型六：分式方程的应用——行程问题 1. 速度、时间、路程公式混用 2. 往返、变速行驶的时间差值梳理错误 3. 速度单位换算出错 依托公式：①、②，以时间差、路程差、速度差建立等量关系列式求解。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 2．（25-26八年级下·山西长治·期中）下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 3．的时间是从乙港到甲港逆流航行的时间的，水流的速度为10千米/小时，求船在静水中的速度．（注：逆水船速静水船速水速，顺水船速静水船速水速） (2)若船在静水中的速度为v千米/小时，水流的速度为a千米/小时（）．该船从甲港顺流航行到乙港，再从乙港逆流返回到甲港所需的时间为；若该船从甲港航行到乙港再返回甲港都处于静水航行，且所用时间为，试比较与的大小，说明理由． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 题型七：分式方程的应用——工程问题 1. 工作效率、工作时间对应错乱 2. 合作做工效率直接简单相加出错 1.把总工程量看作单位1，单独效率、合作效率分清，按工作总量列等式构建方程。 2.依托公式：①、②，以总工程量和为1建立等量关系列式求解。 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 6．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换120公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少20小时．求一辆该型号换轨车每小时更换钢轨的公里数． 7．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 题型八：分式方程的应用——经济问题 1. 单价、数量、总价关系混淆 2. 涨价降价、优惠折扣的数量关系理解偏差 紧扣①、②，围绕价格变动、采购数量差异找寻等量关系列方程。 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价． (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）阅读下列素材，完成任务． 问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设． 素材一 已知一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元． 素材二 学校用2500元购进款机车模型的数量是用1500元购进款机车模型数量的2倍． 任务1 甲同学：设①__________的单价为元，由题意得方程：； 乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：②__________． 任务2 求A、B两款机车模型的单价． (1)任务1中横线①处应填__________，横线②处应填__________； (2)请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）“智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一 计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二 比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三 设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进两种型号的清洁机器人，每台型机器人比每台型机器人平均每小时少清扫3平方米，一台型机器人清扫60平方米所用时间是一台型机器人清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台型机器人和每台型机器人平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司计划用不超过52000元共购进20台机器人，型机器人2000元／台，型机器人3000元／台，公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，该物业公司有哪几种购买方案（两种都要买），并计算出哪种方案才能使总成本最低？ 题型九：分式方程的应用——搭配问题（含溶液浓度问题） 1. 溶液、溶质、溶剂概念混淆 2. 混合调配后浓度计算列式错误 浓度公式：，调配前后溶质总量不变，以此不变量建立方程。 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成相关任务． 探索实践：探索奶茶甜度 素材一 奶茶的甜度由含糖浓度决定，定义为：奶茶甜度糖的质量/奶茶总质量，已知一杯质量为a克的奶茶，含糖b克时为标准糖，则甜度为，其他常见甜度对应含糖量如下： 七分糖：含糖克；五分糖：含糖克； 三分糖：含糖克． 素材二 小明点了一杯a克七分糖奶茶，店员误做成五分糖奶茶，后又向这杯奶茶中加入了克糖． 素材三 小红有一杯500克的三分糖奶茶（标准糖为每500克含糖50克），喝掉一半后想调成五分糖． 问题解决： (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖20克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二：比较奶茶的最终甜度与七分糖甜度的大小，并说明理由； (3)任务三：小红需要向剩下的奶茶中再加入多少克糖，才能将其调制成五分糖？（结果精确到1克） 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)完成任务二． 题型十：根据新定义列分式方程 1. 看不懂新运算规则，套用公式出错 2. 转化方程时分式结构书写错误 ·按规则替换数值与字母，规范转化为常规分式方程再求解 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取，，代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取，，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 (1)下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“级和谐系数”的有________（填序号）；①②③ (2)若实数对是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； (3)若整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足（P为整数）求整数n的值． 3．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 1．（25-26八年级下·全国·周测）有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 2．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么______________． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 6．若关于x的方程无解，则________． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 10．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 11．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 12．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，已知每个种机器人比A种机器人贵万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． (1)求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过种机器人数量的倍，据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大． 14．（25-26八年级下·四川成都·期中）某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 分式方程 考点一：分式方程的概念 ·分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． ·分式方程的解法：解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 考点二：解分式方程的一般步骤 步骤1.分式方程化整式方程——同乘最简公分母； 步骤2.解整式方程——去分母、去括号、合并同类项、系数化1； 步骤3.验根（检验整式方程的解）——将整式方程的解代入原分式方程的分母中，所有分母≠0； 考点三：分式方程无解 考点四：分式方程的应用 题型一：分式方程的判断 分母中含有未知数的方程即为分式方程，只看原式形式，不化简判断。 1. 误将化简后整式方程判定为分式方程 2. 忽略分母含未知数这一核心条件 3. 混淆分式与分式方程概念 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【详解】解：选项A ，分母是常数，不是未知数，是整式方程，不符合要求； 选项B，不是等式，不是方程，不符合要求； 选项C，分母都是常数，是整式方程，不符合要求； 选项D ，是等式，且分母都含有未知数，符合分式方程的定义． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 3．（25-26八年级上·广西贺州·期末）下列方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握知识点是解题的关键． 分式方程是指分母中含有未知数的方程，根据此定义判断各选项即可． 【详解】解：分式方程需满足分母中含有未知数， 选项A：，分母无未知数，不是分式方程； 选项B：，分母x是未知数，是分式方程； 选项C：，分母2是常数，不是分式方程； 选项D：，分母无未知数，不是分式方程． 故选：B． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，哪些是分式方程（    ） ①；②；③；④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【难度】0.85 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于的方程：；；；；；中，_____是整式方程，_____是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【难度】0.94 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 题型二：解分式方程 1. 去分母时常数项漏乘最简公分母 2. 括号去符号出错，因式分解遗漏 3. 忘记检验步骤，增根直接当作解 ·一般步骤：化整→求解→验根→写解； ·验根：解后必须代入最简公分母验证，不为0才是有效解。 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）分式方程的解为（　　） A． B． C． D．无解 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母去分母，得， 去括号得， 移项合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 【答案】 10 1 【难度】0.7 【分析】（1）等式两边同乘，化简后解方程即可； （2）将原方程变形为，化简后解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得， 经检验是分式方程的根； （2）由题意得 经检验是分式方程的根． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【难度】0.77 【分析】先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解： 则 化为整式方程， 则 ， 得， 解得， 经检验：当时， 故为原方程的解． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【难度】0.77 【详解】（1）解：， 两边同乘得， 解得， 检验，时，， ∴原分式方程的解为； （2）解： ， 整理得 ， 同乘得， ， 解得， 检验：时，，则是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 题型三：根据分式方程解的情况求值（参数） 1. 代值计算运算失误 2. 忽略分母不为零的隐藏限制条件 3. 多解情况取舍不当 ·已知解为数值：将已知解代入分式方程，转化为含参数整式方程计算，最后验证取值不使分母为0。 ·已知解非数值（正数、整数等）： ①带着参数化整式方程； ②用参数表示整式方程的解； ③根据解的情况求参数的取值范围。 ④将参数的取值代入原分式方程的最简公分母中，检验并确定最后范围。 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【难度】0.77 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．1 C．3 D． 【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的值，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出m的值. 【详解】解：∵ 原分式方程有增根， ∴ 最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘，得， 把代入整式方程，得， 解得. 4．（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【难度】0.8 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 5．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）若数使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ 　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.55 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为零得到的初步范围，再解不等式组，根据不等式组有解得到的最终范围，最后找出范围内符合条件的整数． 【详解】解：解方程， 得． ∵分式方程有正数解，且， ∴，且． ∴，且． 解不等式组， 解不等式，得． 解不等式，得． ∵不等式组有解， ∴， ∴． 综上所述，的取值范围是，且． 所以符合条件的整数为，，，共个． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 【答案】且 【难度】0.6 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出用表示的解；再根据解为正数和分母不为零（分式方程有意义）两个条件，列不等式求解的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 方程的解是正数， , 解得, 分式方程分母不为， 即 解得， ∴实数的取值范围是且． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【难度】0.85 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 题型四：根据分式方程无解求参数 1. 只考虑增根情况，遗漏整式方程本身无解 2. 增根取值判断错误，分类讨论不完整 ·无解分两类：①解为增根，②化简后整式方程无解；可分类讨论求出参数，逐一核验取值。 1．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 2．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【难度】0.65 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为______． 【答案】1 【难度】0.65 【分析】先将原分式方程去分母化为整式方程，分式方程无解说明原方程存在增根，增根使原方程分母为零，求出增根后代入整式方程即可求解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母得：， 关于的分式方程无解， 原分式方程有增根，增根使分母，即， 将代入得：． 4．（25-26八年级下·海南海口·期中）解方程： (1)； (2)若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】(1)是原方程的解 (2)或 【难度】0.49 【分析】（1）方程两边同时乘以，得整式方程，解这个整式方程，再进行检验即可； （2）先把原方程去分母并整理得，解得，根据方程无解可得，然后求出a的值即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，得， 所以，是原方程的解． （2）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 因为方程无解，所以是方程的增根，即， 解得：或． 5．（25-26八年级下·福建漳州·期中）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且）则称点为点P的“系雅培点”；例如：的“3系雅培点”为，即． (1)点的“2系雅培点”，则的坐标为 ； (2)已知点在第四象限，且满足，点A是点的“系雅培点”； ①求m与n之间的数量关系； ②若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)①；②2或 【难度】0.56 【分析】（1）根据新定义的运算法则，即可求出的坐标； （2）①根据点A是点的“系雅培点”，且点在第四象限，结合，即可求解；②由①可得出的值，代入方程，再根据分式方程无解，即可求出c的值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴点P的“2系雅培点”的坐标为， ∴的坐标为． （2）解：①∵点A是点的“系雅培点”， 同理可得：点， ∵，故，即， ∵点A在第四象限，故， ∴． ②由①得，代入分式方程得， 整理得， 当时，方程无解； 当时，则， ∵该方程无解，即方程有增根为3， ∴，即， 解得， 综上所述，或． 题型五：列分式方程 1. 等量关系梳理不清，等量式列反 2. 单位不统一，数量关系表述偏差 找准题干核心等量关系，设未知数，用分式表示相关量，依据相等关系列出方程。 ·分析数量关系和等量关系的方法：表格分析法 1．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为里/天，依题意列出关于的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据速度关系表示出快马速度，再分别用两种马的行程表示规定时间，根据相等关系列方程即可． 【详解】解：设慢马速度为里/天，则快马速度为里/天． 慢马走里的时间为天，且该时间比规定时间多天， 规定时间为天， 快马走里的时间为天，且该时间比规定时间少天， 规定时间为天， 规定时间固定相等， ． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品，某电商用2500元购进这种柑橘进行销售，面市后，供不应求，该电商又用1500元购进第二批这种柑橘，单价比第一批每箱便宜了4元，但数量与第一批的数量一样多，设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】结合数量总价单价的关系列出方程即可． 【详解】解：设购进的第一批柑橘的单价为元，则第二批单价为元， 根据题意得：． 3．（25-26八年级下·重庆·期中）重庆是全国闻名的火锅之城，花椒作为火锅底料的核心原料，市场需求量巨大．某花椒种植基地计划采摘亩花椒，因市场行情变化需提前上市，实际每天采摘面积是原计划的倍，结果提前天完成采摘任务．设原计划每天采摘亩，由题意可得方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【分析】先根据已知条件分别表示出原计划和实际的采摘天数，再根据“实际比原计划提前天完成”的等量关系列出方程即可． 【详解】据题意，建立表格： 每天采摘（亩） 采摘面积（亩） 采摘天数（天） 原计划 实际 ∵实际比原计划提前天完成， ∴可得方程 ． 4．（25-26七年级下·河南南阳·期中）小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据“实际总阅读时间原计划总阅读时间多花的10天”这一等量关系，分别表示出各段时间即可列出方程． 【详解】解：∵设总页数为，原计划每天读页， ∴原计划总阅读时间为天． ∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半， ∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天． ∵ 实际比原计划多花天读完， ∴可得方程． 因此A选项正确． 5．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，体现出中国古老的文化和智慧．小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，所列的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【分析】本题考查了列分式方程，先理解题意，根据设制作1个榫需要的木材为x千克，则制作1个卯需要的木材为千克，再结合用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设制作1个榫需要的木材为x千克， 则制作1个卯需要的木材为千克， 由题意得： 题型六：分式方程的应用——行程问题 1. 速度、时间、路程公式混用 2. 往返、变速行驶的时间差值梳理错误 3. 速度单位换算出错 依托公式：①、②，以时间差、路程差、速度差建立等量关系列式求解。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【难度】0.65 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 2．（25-26八年级下·山西长治·期中）下面是学习分式方程的应用时，老师在课堂上展示的一道实际问题，以及两名同学根据题意列出的方程，我们一起来分析并解决它： 分式方程的应用 长治到太原的距离约为，长治到郑州的距离约为，一辆从长治开往太原的大巴速度比从长治开往郑州的大巴速度快，结果从长治到太原和郑州的行驶时间相同．求这两辆大巴的速度． 芳芳同学：    橙橙同学： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)芳芳同学所列方程中表示的实际意义是________；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是________． (2)请你选择其中一名同学的解法完成上面的问题． 【答案】(1)长治到郑州的大巴速度；两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间 (2)长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 【难度】0.73 【分析】（1）根据题意和所列方程可得答案； （2）选芳芳的解法，解方程求出x的值，检验后求出的值即可得到答案；选橙橙的解法，解方程求出t，再根据速度等于路程除以时间求出对应的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意可得芳芳同学所列方程中表示的实际意义是长治到郑州的大巴速度；橙橙同学所列方程中表示的实际意义是两辆（或长治到太原或长治到郑州）大巴车的行驶时间． （2）解：选芳芳同学的解法： ， 去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意 ； 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为 选橙橙的解法： ， 去分母得， 解得， ，， 答：长治到郑州大巴的速度为，长治到太原大巴的速度为． 3．的时间是从乙港到甲港逆流航行的时间的，水流的速度为10千米/小时，求船在静水中的速度．（注：逆水船速静水船速水速，顺水船速静水船速水速） (2)若船在静水中的速度为v千米/小时，水流的速度为a千米/小时（）．该船从甲港顺流航行到乙港，再从乙港逆流返回到甲港所需的时间为；若该船从甲港航行到乙港再返回甲港都处于静水航行，且所用时间为，试比较与的大小，说明理由． 【答案】(1)千米/小时 (2)，理由见解析 【难度】0.62 【分析】（1）设船在静水的速度为x千米/时，则顺水中的速度为千米/时，逆水中的速度为千米/时，利用时间关系列方程，解方程，再进行检验得到x的值即可； （2）由时间等于路程除以速度可得：，，然后利用求差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为x千米/时，则 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 答：船在静水的速度为50千米/时． （2）解：，， ， 因为，，， 所以， 即． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【难度】0.65 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 题型七：分式方程的应用——工程问题 1. 工作效率、工作时间对应错乱 2. 合作做工效率直接简单相加出错 1.把总工程量看作单位1，单独效率、合作效率分清，按工作总量列等式构建方程。 2.依托公式：①、②，以总工程量和为1建立等量关系列式求解。 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【难度】0.57 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 6．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换120公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少20小时．求一辆该型号换轨车每小时更换钢轨的公里数． 【答案】一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里 【难度】0.65 【分析】设一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里，根据“换轨车更换公里钢轨比一个工作队人工更换公里钢轨所用时间少小时”列分式方程即可得解． 【详解】解：设一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里，则一个工作队每小时人工更换钢轨公里， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号换轨车每小时更换钢轨公里． 7．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 【答案】(1) (2) (3)方案③最节省费用 【难度】0.68 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为； （2）解：由题意，列方程得，，           化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴． （3）解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用． 题型八：分式方程的应用——经济问题 1. 单价、数量、总价关系混淆 2. 涨价降价、优惠折扣的数量关系理解偏差 紧扣①、②，围绕价格变动、采购数量差异找寻等量关系列方程。 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）某校开设智能机器人编程的社团活动，并购买了，两种型号的机器人模型．若型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，且用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型，型机器人模型的单价． (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型不超过型机器人模型的倍．记购买费用为元，若购买型编程机器人模型台，求的最小值． 【答案】(1)型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； (2)元． 【难度】0.74 【分析】（）设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，先求出，然后根据题意得，最后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人模型单价是元，则型机器人模型单价是元， 根据题意，， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元； （2）解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为（元）． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）阅读下列素材，完成任务． 问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设． 素材一 已知一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元． 素材二 学校用2500元购进款机车模型的数量是用1500元购进款机车模型数量的2倍． 任务1 甲同学：设①__________的单价为元，由题意得方程：； 乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：②__________． 任务2 求A、B两款机车模型的单价． (1)任务1中横线①处应填__________，横线②处应填__________； (2)请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价． 【答案】(1)①款机车模型；② (2)款机车模型的单价为元，B款机车模型的单价为元 【难度】0.67 【分析】（1）①根据“一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元”，结合方程即可得到①为款机车模型的单价为元；②设购买款机车模型辆，根据“一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元”建立方程即可； （2）根据所列方程，解分式方程，并且检验即可． 【详解】（1）解：甲同学：设款机车模型的单价为元，由题意得方程：； 乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：． （2）解：甲同学：设款机车模型的单价为元， 由题意得方程： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为（元）； 乙同学：设购买款机车模型辆， 由题意得方程： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为（元），款机车模型的单价为（元） 答：款机车模型的单价为元，B款机车模型的单价为元． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）“智能引领未来，科技赋能生活”，为提高清洁效率，某体育馆购置一台智能洗地机器人（如图），但因机器人处理顽固污渍能力有限，该体育馆计划采用“人机协同”的清洁模式，即在机器人完成基础清洁后，由人工进行顽固污渍的处理．具体流程如下： 机器人按规划路线完成基础清洁，同步识别并向系统上报顽固污渍点信息； 系统生成污渍分布图，将污渍点按空间分布位置生成多个任务包和任务预估处理工时； 系统智能分配任务包给清洁工，清洁工按照任务包提供的污渍点信息完成清洁工作． 由于近期赛事安排紧凑，为了进一步提高清洁效率，体育馆又购置了一台同品牌的洗地机器人（工作效率更高但未超过原机器人的1.5倍），并将人工清洁外包给甲、乙两个清洁团队． 已知该体育馆一共有两层，第一层需清扫的面积为平方米，第二层需清扫的面积为平方米，其中． 任务一 计算机器人的工作效率 原购置的洗地机器人每小时清洁面积相当于一个清洁工的6倍，用这台机器人清洁2400平方米场地所需时间比一个清洁工清洁1200平方米场地少用2小时．求原购置的机器人每小时清洁面积． 任务二 比较机器人的清洁时长 体育馆安排新购置机器人清洁面积大的楼层，而原机器人清洁面积小的楼层，请计算说明哪台机器人先完成基础清洁任务． 任务三 设计人工清洁方案 某场比赛结束，两台机器人完成清洁工作后，系统生成4个任务包，并将任务分配给相应的清洁团队，如表1．甲、乙两个团队收费标准如表2，其中基础费只收取一次，工时费不足0.5小时按0.5小时算． 表1 任务包编号 位置 系统分配团队 处理工时（min） 观众席 甲 75 比赛场地 乙 40 出入通道 甲、乙合作 35 内场角落 乙 70 表2 团队 基础收费（元） 工时费（元/小时） 甲 500 1200 乙 800 1000 请设计人工清洁方案，使完成时间最少，并尽量减少外包费用．（转场时间忽略不计） （要求：每个任务包由系统分配的团队完成；每个团队的工时从开始工作算起到本团队所有任务结束；甲乙合作的任务需两个团队同时开始；设计的清洁方案需包含清洁流程、完成时间和外包费用；所有的任务包的任务都要完成）． 【答案】 任务一：原购置的机器人每小时清洁平方米； 任务二：原机器人先完成基础清洁任务； 任务三：见解析． 【难度】0.65 【分析】本题考查分式方程的实际应用，不等式的实际应用，方案选择问题． 任务一：设原购置的机器人每小时清洁平方米，根据题意列方程求解即可； 任务二：通过比较各楼层的清扫面积，可得新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层，设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为，比较清扫时间即可； 任务三：依据完成时间最少为优先原则，尽量减少费用，先合作，再分工，减少等待时间，可确定最佳方案，计算完成时间和外包费用即可． 【详解】任务一： 解：设原购置的机器人每小时清洁平方米， 根据题意可得 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴原购置的机器人每小时清洁平方米． 任务二： 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴新购置机器人清洁第一层，原机器人清洁第二层， 设原机器人的工作效率为，新购置的机器人的工作效率为， 根据题意可得， 又∵， ∴， ∵ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴原机器人先完成基础清洁任务． 任务三： 解：依据完成时间最少为优先原则，最佳人工清洁方案为： 清扫流程：甲乙两个团队先合作完成任务包后，甲团队完成任务包，乙团队完成和任务包； 完成时间：；甲工时为，乙工时为； 外包费用：，，（元） 4．（25-26八年级下·重庆·期中）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进两种型号的清洁机器人，每台型机器人比每台型机器人平均每小时少清扫3平方米，一台型机器人清扫60平方米所用时间是一台型机器人清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台型机器人和每台型机器人平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司计划用不超过52000元共购进20台机器人，型机器人2000元／台，型机器人3000元／台，公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，该物业公司有哪几种购买方案（两种都要买），并计算出哪种方案才能使总成本最低？ 【答案】(1)每台A型机器人平均每小时清扫30平方米，每台B型机器人平均每小时清扫33平方米. (2)共有3种购买方案，分别为①购买A型机器人8台，B型机器人12台；②购买A型机器人9台，B型机器人11台；③购买A型机器人10台，B型机器人10台.购买A型机器人10台，B型机器人10台时总成本最低，最低总成本为50000元. 【难度】0.52 【分析】（1）设每台A型机器人平均每小时清扫平方米，根据A型清扫60平方米的时间是B型清扫33平方米时间的2倍列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设购买A型机器人台，根据总费用不超过52000元、每小时清扫面积不低于630平方米列不等式组，求出的整数取值得到所有方案，再根据一次函数的增减性求出最低总成本． 【详解】（1）解：设每台A型机器人平均每小时清扫平方米，则每台B型机器人平均每小时清扫平方米. 由题意得： ， 解方程得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每台A型机器人平均每小时清扫30平方米，每台B型机器人平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购买A型机器人台，则购买B型机器人台，为正整数. 由题意得： ， 解不等式组得：； ∵为正整数，且两种机器人都要买， ∴， 因此共有3种购买方案： 方案一：购买A型机器人8台，B型机器人12台； 方案二：购买A型机器人9台，B型机器人11台； 方案三：购买A型机器人10台，B型机器人10台． 设总成本为元，则：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值10时，取得最小值，最小值， 答：共有3种购买方案，购买A型机器人10台，B型机器人10台时总成本最低，最低总成本为50000元． 题型九：分式方程的应用——搭配问题（含溶液浓度问题） 1. 溶液、溶质、溶剂概念混淆 2. 混合调配后浓度计算列式错误 浓度公式：，调配前后溶质总量不变，以此不变量建立方程。 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成相关任务． 探索实践：探索奶茶甜度 素材一 奶茶的甜度由含糖浓度决定，定义为：奶茶甜度糖的质量/奶茶总质量，已知一杯质量为a克的奶茶，含糖b克时为标准糖，则甜度为，其他常见甜度对应含糖量如下： 七分糖：含糖克；五分糖：含糖克； 三分糖：含糖克． 素材二 小明点了一杯a克七分糖奶茶，店员误做成五分糖奶茶，后又向这杯奶茶中加入了克糖． 素材三 小红有一杯500克的三分糖奶茶（标准糖为每500克含糖50克），喝掉一半后想调成五分糖． 问题解决： (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖20克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二：比较奶茶的最终甜度与七分糖甜度的大小，并说明理由； (3)任务三：小红需要向剩下的奶茶中再加入多少克糖，才能将其调制成五分糖？（结果精确到1克） 【答案】(1)5% (2)奶茶最终甜度比七分糖甜度小，理由见解析 (3)加入5克的糖 【难度】0.6 【分析】（1）根据素材一的公式计算即可； （2）先计算加糖后奶茶甜度，然后利用作差法比较七分糖奶茶的甜度和加糖后的奶茶甜度的大小，即可解答； （3）设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖，则奶茶质量克，含糖量克，根据五分糖的甜度列方程解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：七分糖奶茶甜度：， 奶茶最终甜度为：， ∵，且， ，， ， ， 即， 故奶茶最终甜度比七分糖甜度小； （3）解：设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖， 原来奶茶质量500克，含糖量克， 喝掉一半后奶茶质量250克，含糖量克， 加入x克糖后，奶茶质量克，含糖量克， 得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合实际， 克， 答：需要再向剩下的奶茶中加入5克的糖，才能将其调制成五分糖． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)完成任务二． 【答案】(1)；每枝A种花卉的价格为a元 (2) 【难度】0.66 【分析】（1）若设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，则每枝A种花卉的价格为元，每枝种花卉的价格为元，表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可求解； （2）单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列方程．即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉的价格为元． 故答案为：；每枝A种花卉的价格为a元． （2）解：由题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 题型十：根据新定义列分式方程 1. 看不懂新运算规则，套用公式出错 2. 转化方程时分式结构书写错误 ·按规则替换数值与字母，规范转化为常规分式方程再求解 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“”． ①（ ）；②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对，是关于的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2) (3) 【难度】0.49 【分析】（1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义，可得， 即，从而可用k表示出M，N，再利用作差法解答即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （2）结论：时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”， 理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴ ， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴，，， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取，，代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取，，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】 (1)下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“级和谐系数”的有________（填序号）；①②③ (2)若实数对是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； (3)若整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足（P为整数）求整数n的值． 【答案】(1)② (2)或 (3)或 【难度】0.42 【分析】（1）分别求出两个分式方程的解，根据“k级和谐系数”定义得出这两个解乘积为，整理得，代入后逐一验证即可； （2）“6级和谐系数” 代入，得到关于的方程并求解即可； （3）先由“k级和谐系数”定义得到，代入，再转化为平方差形式，最后通过整数因数分解求解整数． 【详解】（1）解：解方程得，解方程得， ∵是该组方程的一对“k级和谐系数”， 则两个分式方程的解互为倒数， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ①∵， ∴不是“级和谐系数”； ②∵， ∴是“级和谐系数”； ③∵， ∴不是“级和谐系数”； （2）解：∵是 “级和谐系数”， ∴， 解得或； （3）解：整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的整数因数对为，，，， ∴分为以下四种情况讨论： ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得， 综上，整数的值为或． 3．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列各式中，是根分式的是_______； A．    B．    C．    D． (2)写出根分式中的取值范围_______（直接写出答案）； (3)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数x的值． 【答案】(1)B (2)且 (3)①不存在，经检验，是方程的增根；② 【难度】0.4 【分析】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算，根据是一个整数，求得的值，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：A．的分子不是二次根式，不是根分式， B．的分母是整式，是根分式， C．的分母不是整式，不是根分式， D．不符合根分式的形式，不是根分式， 故选：B； （2）由题意得：且， 解得：且， 故x的取值范围是：且， 故答案为：且， （3）当与时， ①不存在的值使得，理由如下： ， ， ， ， 解得：， 经检验，是增根，原方程无解； 即不存在的值使得； ② ， ∵是一个整数， ∴是一个整数， 或， 解得：或或或1， 当时，意义；当或1时。不是无理数；当时，符合题意． 4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【难度】0.4 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 1．（25-26八年级下·全国·周测）有下列方程：①；②；③；④．其中是关于的分式方程的有（    ） A．① B．② C．②③ D．②④ 【答案】C 【难度】0.85 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，据此逐一判断各方程即可. 【详解】解：∵ 方程①分母为和，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∵ 方程②分母为和，均含，∴ 是分式方程； ∵ 方程③可化为：，分母中含，∴ 是分式方程； ∵ 方程④可化为：，分母为，是常数，不含，∴ 不是分式方程； ∴ 是关于的分式方程的有②③. 故选：C. 2．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】先根据总长得到罗布的长度，再利用单价总价钱长度分别表示两种布的单价，最后根据“绫罗各一尺共值钱120文”列出方程即可． 【详解】解：∵ 1丈尺， ∴绫布和罗布总长尺． 设绫布有尺，则罗布长度为尺， ∵单价等于总售价除以长度，绫布总售价为896文， ∴绫布每尺价格为文， 同理，罗布总售价为896文， ∴罗布每尺价格为文， 根据“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”， 可得：． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么______________． 【答案】4 【难度】0.65 【分析】根据二阶行列式的运算法则列出分式方程，解分式方程并检验得到的值． 【详解】解：由二阶行列式运算法则，可得： 整理得： 方程两边同乘以得： 解得： 检验：当时，，， ∴是原方程的解． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 【答案】 【难度】0.4 【分析】根据不等式组有解，求出的范围，再根据分式方程的解为非负整数，求出所有满足条件的负整数a，求和即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，能被2整除， ∴且， ∴且， 又∵能被2整除， ∴满足条件的负整数， ∴． 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）若关于的分式方程的解是正数，且一次函数不经过第二象限，则满足所有条件的整数的和为______． 【答案】3 【难度】0.6 【分析】先求解分式方程，根据解为正数且分母不为0得到m的取值范围，一次函数的图象分布确定一个范围，综合确定解集，找出范围内所有整数，求和即可得到结果． 【详解】解：解分式方程 方程两边同乘 得 整理得 ， ∵分式方程的解为正数，且分母不能为0 ∴ 且 解得且 因为一次函数不经过第二象限， 所以 ，且， 故； 综上所述，且； 符合条件的整数为：， 故. 6．若关于x的方程无解，则________． 【答案】，1 【难度】0.56 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 7．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2.6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 【答案】 【难度】0.85 【分析】抓住追上时甲乙运动时间相等的等量关系，结合路程速度时间的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设甲接下来的平均速度为米/秒． 由题意可知，甲想再跑300米刚好追上乙，此时甲落后乙40米，因此乙跑的路程为米，甲乙运动时间相等． 根据公式，可得乙运动时间为，甲运动时间为． 由时间相等可得方程： ． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【难度】0.65 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 9．（25-26八年级上·河北·期中）已知关于的分式方程． (1)若该方程有增根，求的值． (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． (3)若该方程的解为整数，直接写出整数的值 【答案】(1) (2)且 (3) 【难度】0.4 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可； （3）根据方程的根为整数，结合（2）所求可，，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：a的值为3； （2）解：∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且； （3）解：∵该方程的解为整数，， ∴，， 解得或或或， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 10．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 11．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【难度】0.4 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 12．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【难度】0.4 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 13．（25-26八年级下·四川成都·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，已知每个种机器人比A种机器人贵万元，用1200万元购进A种机器人的数量是用650万元购进B种机器人数量的2倍． (1)求购买一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过种机器人数量的倍，据市场销售分析，当A种机器人提价，B种机器售价为购买价的倍时，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大． 【答案】(1)购买一个A种机器人需要60万元，购买一个B种机器人需要65万元 (2)购进A种机器人60个，B种机器人40个时，获得的利润最大 【难度】0.51 【分析】（1）设购买一个A种机器人需要万元，购买一个B种机器人需要万元，列出分式方程即可得到答案； （2）设购进A种机器人个，则购进B种机器人，求出，再设总利润为，得到随的增大而减小，当时，最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种机器人需要万元，购买一个B种机器人需要万元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， B种机器人的单价为：（万元）， 答：购买一个A种机器人需要60万元，购买一个B种机器人需要65万元； （2）解：设购进A种机器人个，则购进B种机器人， ， 解得， A种机器人的单个利润：（万元）， B种机器人单个利润：（万元）， 设总利润为， ， 即， ，随的增大而减小， 当时，最大， 此时B种机器人的数量为（个）． 答：购进A种机器人60个，B种机器人40个时，获得的利润最大． 14．（25-26八年级下·四川成都·期中）某学校计划采购A、B两种型号的收纳箱，用于教室书本收纳，相关信息如下： ①已知商家购进A种收纳箱的单价是B种收纳箱单价的倍，用1200元单独购进A种收纳箱的数量，比用1000元单独购进B种收纳箱的数量少10个． ②A种收纳箱每个售价60元，B种收纳箱每个售价40元，商家推出优惠：购进A种收纳箱超过15个时，每个A种收纳箱降价3元，B种收纳箱价格不变．学校计划购进A、B两种收纳箱共80个，且A种收纳箱的数量不低于B种收纳箱数量的，又不超过B种收纳箱数量的． (1)A、B两种收纳箱的单价各是多少元？ (2)设购进A种收纳箱个，收纳箱的总费用为元，请设计出最省钱的购进方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元 (2)最省钱的购进方案为购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元 【难度】0.46 【分析】（1）根据A、B单价的倍数关系设未知数，结合购买数量的差列分式方程，求解后检验即可得到单价； （2）先根据A种收纳箱数量的限制条件求出的取值范围，再根据优惠政策得到总费用关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应方案． 【详解】（1）解：设B种收纳箱的单价为元，则A种收纳箱的单价为元， 根据题意得 化简得 ，即 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意.， 则 答：A种收纳箱单价为30元，B种收纳箱单价为20元； （2）解：由题意得，购进A种收纳箱个，则购进B种收纳箱个， 根据题意得 解不等式①得：， 解不等式②得： ∵为正整数， ∴， ∵ ， ∴每个A种收纳箱售价为 元，B种收纳箱售价不变为40元， 总费用 ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，最小， 此时 ， （元） 答：最省钱的购进方案是购进A种收纳箱20个，B种收纳箱60个，最少费用为3540元． 15．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）我们把形如（a、b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则______，______； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求代数式的值； (3)若关于x的“十字分式方程”的两个解分别为、，其中，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【难度】0.4 【分析】本题考查解分式方程、分式的化简求值，正确理解“十字分式方程”的定义是解题的关键． （1）根据“十字分式方程”的定义进行求解即可； （2）根据题意得，、，通过提公因式和完全平方公式进行化简计算即可； （3）关于x的“十字分式方程”转换为关于的 “十字分式方程”，再进行化简求值即可． 【详解】（1）解：可化为， 则， 故答案为：，； （2）解：根据题意得，的两个解分别为，， 则、， ； （3）解：可化为， 设，则原方程可化为， 令的解为、， 由于可得，， 则、， ， 由于， 则， 解得、， ∵， 即、， 则、， 因此，． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【难度】0.4 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ （2）设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； （3）∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $