1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时）（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究直线、平面的平行关系，核心知识点包括线线、线面、面面平行的向量表示。课堂导入通过“空间向量可解决哪些几何问题”提问，结合前情回顾的方向向量、法向量及传统几何判定定理，搭建从几何直观到向量表达的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过“线线平行方向向量关系”等问题引导学生用数学思维抽象出三种平行的向量条件，体现数学语言的精确性。如例1用向量证明面面平行判定定理，例3解决长方体中点存在性问题，培养学生数学眼光和逻辑推理能力。学生能掌握向量工具解决几何问题，教师可获得结构化的教学流程和典型例题。

第一章 空间向量与立体几何 1.4.1(第二课时) 用空间向量研究 直线、平面的位置关系 前情回顾 用空间向量研究直线、平面的位置关系 求直线方向向量和平面的法向量 点线面的向量表示 点 线 面 OP=xa+yb 平面的法向量： 点→点的位置向量 线→直线的方向向量 平面→平面的法向量 前情回顾 符号表示： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行. 1.直线与平面平行的判定定理 2.平面与平面平行的判断定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行. 符号表示： 学 习 目 标 1 2 3 理解向量语言描述线线、线面、面面间的平行关系. 能用向量语言证明直线、平面平行的相关判定定理. 运用向量语言解决立体几何直线、平面平行的相关问题. 读教材 阅读课本P29-P31，5分钟后完成下列问题： 1. 如何用直线的方向向量表示两条直线的平行？ 我们一起来探究“空间中直线、平面的平行”吧！ 2. 如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面平行关系？ 3. 由平面与平面的平行关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ 新课引入 空间向量可以解决了哪些几何问题？ 问题 距离、长度问题 夹角问题 平行、垂直问题 直线 平面 方向向量 法向量 位置关系 位置关系 立体几何 空间向量 直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量 首先探究平行的问题 学习过程 01 03 02 目录 1 空间直线、平面的平行 2 题型训练 新知探究1 问题1 由直线与直线平行的关系，如何用向量表示它们的关系？ 这两条直线的方向向量有什么关系？ 线线平行 方向向量 如图所示，设分别是直线的方向向量，由方向向量的定义可知， 如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行， 反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以： 使得 新知探究1 问题2 由直线与平面平行的关系，如何用向量表示它们的关系？ 可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 线面平行 方向向量和法向量 如图所示，设是直线的方向向量， 是平面的法向量： 如果直线与平面平行，那么直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，所以： 新知探究1 问题3 由直线与平面平行的关系，如何用向量表示它们的关系？ 可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ 面面平行 法向量 如图所示，设是平面的法向量： 如果平面与平面平行，那么两个平面的法向量一定平行，所以： 使得 概念 空间直线、平面的平行 空间直线、平面的平行： 线线平行 线面平行 面面平行 使得 使得 练习巩固 解：因为两条直线平行， 故所以 练习1 若两条直线的方向向量分别是 =(2，4，－5)，=(－6，，)， 且两条直线平行，则=　　 ，=　　　.  －12 15 练习巩固 练习2 若平面外的一条直线的方向向量是 =(－1，2，－3)，平面的法向量 为=(4，－1，－2)，则与的位置关系是　　　　　.  解: 故 平行 练习巩固 练习3 若平面的法向量是 =(1，2，－2)，平面的法向量为=(－2，－4，)， 若，则=　　　　　.  解:平面 4 学习过程 01 03 02 目录 1 空间直线、平面的平行 2 题型训练 运用空间向量证明平行 题型1 题型探究 例1 证明“平面与平面平行的判定定理”: 若一个平面内的两条相交直线与另一个 平面平行，则这两个平面平行. α β P b a 证明：如图取平面的法向量， 直线的方向向量，. 因为，，所以. 因为 所以对任意点，存在，使得. 从而. 所以，向量也是平面的法向量. 故 运用空间向量证明平行 题型1 题型探究 例2 如图，四面体中，是的中点，直线上是否存在点， 使得？ A C D B E F 解：若点在直线上，， ，， 若//，则//，， 即即(+)， 此方程无解，直线上不存在点使得//. 运用空间向量证明平行 题型1 题型探究 例3 如图，在长方体中，. 线段上是否存在点，使得平面？ 解：以为原点，,,所在直线为轴， 建立空间直角坐标系D. ∴，，， ∴，. 设是平面的法向量， 则，，即，∴， 取，则，.∴是平面的一个法向量. A C D B C1 D1 B1 A1 P 运用空间向量证明平行 题型1 题型探究 例3 如图，在长方体中，. 线段上是否存在点，使得平面？ 解：续： ∵，，， ∴，， 设点满足 则， ∴. 令，得，解得， 此时平面，这样的点存在. ∴当，即为的中点时，平面. A C D B C1 D1 B1 A1 P 运用空间向量证明平行 题型1 题型探究 例4 已知正方体的棱长为2，分别是，的中点， 求证：平面平面. 解：建立如图所示空间直角坐标系，则有 所以，设是平面的法向量，得令，则， 所以.同理可得：平面的法向量 . ，所以平面平面. 运用空间向量证明平行 题型1 题型探究 例5 已知三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶，𝐷，𝐸，𝐹分别为棱𝑃𝐴，𝑃𝐵，𝑃𝐶的中点， 求证：平面𝐷𝐸𝐹// 平面𝐴𝐵𝐶 . 解：如图，设，，， 则，， . 的法向量为，则， ， ， . 又 ， ， ， ，是平面的法向量，而平面与平面 不重合， 平面平面 . 课堂小结 空间直线、平面 的平行 面面平行 线线平行 线面平行 使得 使得 感谢聆听! $