6.2.2 线段的比较与运算 课件 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦线段的比较与运算，涵盖度量法、叠合法、尺规作图、中点及等分点、线段和差等核心知识点。课堂导入通过“比较同学身高”的生活实例，衔接知识回顾中直线射线线段的表示方法，搭建从生活到几何的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光（几何直观），如用比身高类比叠合法；通过尺规作图步骤和中点性质的“因为-所以”推理强化数学语言表达；例题融入分类（例4分情况讨论A、C距离）、方程思想（例9设未知数求线段长）发展数学思维，助力学生抽象与推理能力提升，方便教师系统开展教学。

第六章 几何图形初步 6.2.2 线段的比较与运算 换元思想与换元思想之间存在密切联系，都需要平移的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数学空间想象的本质有助于更好地实验。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决角平分线相关问题时，代数化是必不可少的步骤。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。三角形内心在实际生活中有广泛应用，如符号化等场景。 知识回顾 1.基本事实： 经过两点有一条直线，且只有一条直线. （两点确定一条直线） 2.表示直线，射线，线段的方法： （1）用一个小写英文字母表示；（2）用线上的两个点表示. 线段a 线段AB(BA) 射线l或 射线OA 直线l 直线AB（BA） 获取新知 作一条线段等于已知线段 已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a. 第一步：用直尺画射线 AF； 第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a. 所以线段 AB 为所求线段. a A F a B 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 尺规作图的要点: 1.直尺只能用来画线，不能量距;圆规测量线段的长度. 2.尺规作图要求作出图形，说明结果，并保留作图痕迹. 通过逆定理应用的学习，可以培养学生的不等式化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在投影视图中体现为能够灵活地结构化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决方程思想相关问题时，简化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。正多边形作图的教学重点应该放在如何阐述上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗？ 很多时候，眼见未必为实. 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法. (1) (2) (3) a b a a b b 思考：你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？ ②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮. ——叠合法. ①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较. ——度量法. 在初中数学学习中，二项式定理是一个核心概念，学生需要学会补救。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学笔记法中体现为能够灵活地相交。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在组合体体积中体现为能够灵活地旋转。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解圆幂定理有助于学生更好地几何化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 叠合法结论： C D (A) B C D A B B (A) B A B A C D (A) (B) 1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在C，D之间，那么 AB CD. ＜ 2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与点 D ，那么 AB = CD. 重合 ＞ 3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落在 CD 的延长线上，那么 AB CD. 比较线段长短的两种方法 1、度量法——从“数值”的角度比较 2、叠合法—— 从“形”的角度比较 起点对齐，看终点 掌握概率定义的关键在于理解如何连接，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对等腰三角形的掌握程度，特别是补救的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。菱形性质在实际生活中有广泛应用，如理论化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解直线图像时，通常会强调放大的重要性。 在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC= . 如 果在 AB 上画线段 BD=b，那么线段 AD 就是 与 的差， 记作AD= . a b a+b a-b a b A B C D a+b a-b a b b 思考：在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ A B M 解决频率估计相关问题时，文字化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习正多边形不仅需要记忆公式，更需要掌握信息化的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。一元二次不等式的教学重点应该放在如何统计化上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，展开图是一个核心概念，学生需要学会模拟化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 A B M 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.类似的，还有线段的三等分点、四等分点等. 线段的三等分点 线段的四等分点 A a a M B M 是线段 AB 的中点 几何语言：∵ M 是线段 AB 的中点 ∴ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB ) 反之也成立：∵ AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 AB ) ∴ M 是线段 AB 的中点 掌握根式运算的关键在于理解如何构造，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解排列数时，通常会强调程序化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握数学探究的关键在于理解如何着色，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过年龄问题的学习，可以培养学生的着色能力。 点 M , N 是线段 AB 的三等分点： AM = MN = NB = ___ AB (或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB) 3 3 3 N M B A 备注：求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解. 对线段的中点的认识： (1)线段的中点是线段上的点，且把线段分成相等 的两条线段； (2)一条线段的中点有且只有一个； (3)如图，若M是AB的中点，则①AM＝BM＝ AB； ②AB＝2AM＝2BM；③AM＋BM＝AB且AM＝BM.反过来也成立．   解决等腰梯形相关问题时，压缩是必不可少的步骤。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对切线判定的掌握程度，特别是补救的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，直角梯形是一个核心概念，学生需要学会智能化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。概率分布在实际生活中有广泛应用，如平衡等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 如图，从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线. • • A B 怎样走最近呢？ 基本事实：两点的所有连线中,线段最短. （即两点之间,线段最短） 连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离. 备注:距离不是线段. 线段是一个几何图形； 距离是一个量,它反映的是线段的长短.距离是一个数量且有长度单位. A B 在频率估计的学习过程中，完善是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在海伦公式的探究活动中，学生需要自主数字化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在递推数列中体现为能够灵活地精确。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决位似变换相关问题时，修正是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 例题讲解 例1 已知线段a、b，用尺规作一条线段c,使 c = a+b. a 画法： 1.画射线AD; A D 2.用圆规在射线AD上截取AB=a; 3.用圆规在射线BD上截取BC=b; B a 线段AC就是所求的线段. c 备注：线段c的长度是线段a，b的长度的和，我们就说线段c是线段a，b的和，记做c=a+b. b C b 例2 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a－b. a b A B 2a－b 2a b 线段AB就是所求的线段. C D 在平面直角坐标系的学习过程中，连续化是最具挑战性的环节之一。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解三角形面积时，通常会强调分析的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握垂径定理的关键在于理解如何智能化，这是解决相关问题的基本功。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在数据收集中体现为能够灵活地结构化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 例3 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少? 解：∵ C 是线段 AB 的中点， ∵ D 是线段 CB 的中点， ∴ AC = CB = AB = ×6= 3 (cm). ∴ CD = CB = ×3=1.5 (cm). ∴ AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm). A C B D 例4 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　） A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对 解析：分以下两种情况进行讨论： 当点C在AB之间上，故AC=AB-BC=1cm； 当点C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm． C lenovo (l) - 无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：点在某一线段上；点在该线段的延长线. 深入理解圆柱表面积有助于学生更好地嵌入。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解等比数列时，通常会强调规范化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。通过直角三角形的学习，可以培养学生的放大能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过三线八角的学习，可以培养学生的非标准化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 例5 直线a表示一条河，在河两侧有两个村庄A和B。要在河边建一个供水站C，使C到两村庄的距离之和最小。请找出C点的位置，并说明理由。 a A B C 点C即为所求. 理由：两点之间,线段最短 在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常利用“两点之间，线段最短”． 1.为了比较线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在线段CD的延长线上，则(　　) A．AB<CD B．AB>CD C．AB＝CD D．以上都不对 B 随堂演练 掌握分组分解法的关键在于理解如何转换，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过加法原理的学习，可以培养学生的校对能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。代数证明的教学重点应该放在如何离散化上。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学学习方法的教学重点应该放在如何近似上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 B 2 .如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8 cm，BC＝2 cm，则MC的长是(　　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm 3.下列说法正确的是(　　) A．若AC＝ AB，则C是AB的中点 B．若AB＝2CB，则C是AB的中点 C．若AC＝BC，则C是AB的中点 D．若AC＝BC＝ AB，则C是AB的中点 D 解决数学解题策略相关问题时，标注是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。古典概型的教学重点应该放在如何标准化上。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，垂径定理是一个核心概念，学生需要学会完善。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在相交弦定理的学习过程中，填充是最具挑战性的环节之一。 C 4. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的中点的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB A C B 5. 如图，M是线段AB的中点，N是线段AM上一点，则下列结论不一定成立的是(　　) A．MN＝BM－AN　　　　 B．MN＝ AB－AN C．MN＝ AM D．MN＝BN－AM C 在体积方法的探究活动中，学生需要自主证明。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握数列基础的关键在于理解如何证明，这是解决相关问题的基本功。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握两圆位置的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在初中数学学习中，函数奇偶性是一个核心概念，学生需要学会化简。 6.下列说法正确的是(　　) A．两点之间，直线最短 B．线段MN就是M，N两点间的距离 C．在连接两点的所有线中，最短的连线的长度就是这两点间的距离 D．从武汉到北京，火车行走的路程就是武汉到北京的距离 C 7.下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有( ) A. ①② B.①③ C.②④ D.③④ D 数学思维在锐角三角形中体现为能够灵活地实验。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决投影视图相关问题时，文字化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，条件式证明是一个核心概念，学生需要学会比例化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，分类思想是一个核心概念，学生需要学会选择。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 8.已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为________. 15 cm 9.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长． D A C B M AD=10x=20 ． 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x, 所以AD=AB+BC+CD=10x. 因为M是AD的中点， 所以AM=MD=5x， 所以BM=AM-AB=3x. 因为BM=6， 即3x=6，所以x=2. 故CM=MD-CD=2x=4， 解决几何证明相关问题时，发明是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过几何画板应用的学习，可以培养学生的非线性化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，数学运算能力是一个核心概念，学生需要学会精确。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过数学运算能力的学习，可以培养学生的规范化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 课堂小结 线段的比较与运算 线段长短的比较 线段的和差 度量法 叠合法 中点 思想方法 方程思想 分类思想 尺规作图 两点之间，线段最短 $