专题03 三角形全等模型（竞赛培优专项训练）八年级数学全国通用

**基本信息** 以六大全等模型为核心，通过题型化训练构建“模型识别-方法应用-迁移拓展”的解题体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公共边公共角模型|4题|利用公共元素构造全等|基础模型，培养图形观察能力| |倍长中线|4题|延长中线构造全等三角形|线段转化，体现转化思想| |截长补短|4题|线段截取或延长实现等量代换|解决线段和差问题，强化推理意识| |一线三等角|4题|利用等角关系构建全等|动态几何中角的转化，发展空间观念| |手拉手模型|4题|旋转全等证明线段/角关系|图形变换应用，培养模型观念| |半角模型|4题|旋转法转化半角为整角|综合应用，提升创新意识|

专题03 三角形全等模型 目 录 A组 考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01公共边公共角模型 题型02倍长中线 题型03截长补短 题型04一线三等角 题型05手拉手模型 题型06半角模型 B组 选拔真题冲奖练 （精选各地竞赛试题12道） 考点一 公共边公共角模型 1．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 3．如图，在四边形中，，为上一点，连接，交于点，且， (1)连接，求证：直线是线段的垂直平分线； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 4．在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 考点二 倍长中线 1．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是____________． 2．如图，中，D、E在上，平分，且，．求证：． 3．【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段． 【问题探究】 （1）如图1，在中，平分交于点，，点在边上，且，连接，试说明：． 【综合研究】 （2）2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在中，米，校学生会在边、上分别取点、，使得点为的中点，于点，在线段上找点，使得米，为等腰直角三角形，，并沿其三条边搭建安全文化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区．为了预算，需要知道的长，请你帮助校学生会计算出的长． 4．（1）凸四边形中，，为上一点，． ①如图1，连，将线段绕点顺时针旋转，得到，连，画线段，； ②连，将绕点逆时针旋转得到，连，取中点，连，，如图，请判断的形状，并说明理由． （2）如图3，凸四边形中，将绕点顺时针旋转，使点的对应点在上，将绕点逆时针旋转，使点的对应点在上，连并取其中点，连，，若于点，直接写出，满足的数量关系，不需要说明理由． 考点三 截长补短 1．如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 2．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 3．实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 4．已知在中，，射线、在内部，分别交线段于点、． (1)如图1，若，，作于点，分别交、于点、． ①求证：； ②若，连接，求的度数； (2)如图2，点为上一点，交于点，连接．若，求的值． 考点四 一线三等角 1．如图，已知且，且，按照图中所标注的数据，则图中阴影部分图形的面积S等于______． 2．如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 3．综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： 【建立模型】： (1)如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________； 【实践探究】： (2)如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度． 【拓展应用】： (3)如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①线段和有何数量关系，并说明理由； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 4．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 考点五 手拉手模型 1．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点D为三角形内部一点且，点E为中点，连接，，作，且，当_____________时，为直角三角形． 3．如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 4．综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 考点六 半角模型 1．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 2．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 3．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． 4．【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 （2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系． 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·全国·竞赛）如图，在中，、分别是、的角平分线，且、交于点，于点，下列结论： ； ； ； ．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·山东滨州·竞赛）如图，的两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．（2023八年级·福建泉州·竞赛）如图，中，，，，则______度． 5．（七年级下·江苏苏州竞赛）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 6．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为_______． 7．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在中，，平分．求证：． 8．（2022七年级下·广东揭阳·竞赛）如图，在中，，，平分． (1)求的度数； (2)延长至点E，使，求证：． 9．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，中，点是线段上两动点，且，，垂足为，的延长线交于点，直线与直线相交于点．试判断的形状，并加以证明． 10．（八年级上·甘肃庆阳竞赛）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    11．（2024八年级上·广东·竞赛）如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 12．（八年级上·重庆合川竞赛）与均为等腰直角三角形，． (1)如图1，当在同一直线时，的延长线与交于点F．求证：； (2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点F，猜想的大小并证明你的结论； (3)如图3，当在同一直线时（在点E的异侧），与交于点，求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形全等模型 目录 A组考点专项过关练 竞赛核心题型速览 题型01公共边公共角模型 题型02倍长中线 题型03截长补短 题型04一线三等角 题型05手拉手模型 题型06半角模型 B组选拔真题冲奖练（精选各地竞赛试题12道） A组 考点专项过关练 考点一公共边公共角模型 1.如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE,垂足为D,求证：∠2=∠1+∠C. B 证明：如图，延长AD交BC于点F δ .AD⊥BE B ∴.∠ADB=∠FDB=90° ,BE是角平分线， ∴.∠ABD=∠FBD, 在△ABD和△FBD中， b, ∴.△ABD≌△FBD ASA, ∴.∠2=∠AFB 1154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又.·∠AFB=∠1+∠C, .∴.∠2=∠1+∠C. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的角平分线. (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)： (2)求证：AD=AE. 【答案】(I)如图所示，CE即为所求. E B (2) 证明：，AB=AC, LABC=∠ACB, BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ÷∠ABD=号∠ABC,∠ACE=2∠ACB, ∴LABD=∠ACE, AB=AC,∠A=∠A, △ACE≌△ABD(ASA), AD=AE. 3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,∠A=60°，E为AD上一点，连接BD,CE交于 点F,且CE‖BA, 2154 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)连接AC,求证：直线AC是线段BD的垂直平分线： (2)求证：△EDF是等边三角形； (3)若AD=12,CE=8,求CF的长. (1)证明：连接AC, F .AB=AD,CB=CD,AC=AC: ∴.△ABC≌△ADC|SSS: ∴.∠BAC=∠DAC: ,∴.AC垂直平分BD(等腰三角形三线合一)； ∴.直线AC是线段BD的垂直平分线： (2)证明：.AB=AD,∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形. ∴.∠ABD=∠ADB=60° .CE‖BA, .∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°， .∠CED=∠ADB=∠DFE, ∴△就是等边三角形： (3)解：如图所示， 3154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E AB=AD CB=CD F ∴.AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD .AB=AD,∠BAD=60°， ∴.∠BAC=∠DAC=30°. CE BA, ∴.∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°， ∴.AE=CE=8, ∴.DE=AD-AE=12-8=4. .△就是等边三角形， ∴.EF=DE=4, .∴.CF=CE-EF=8-4=4. 4.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以AD为 直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE(∠DAE=90°，AD=AE),连接CE. (1)如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CB的位置关系，并说明理由： (2)如图2，当点D在线段CB的延长线上时，(1)题的结论是否仍然成立？说明理由： (3)如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论(1)题的结论是否仍然成立？不需要说明理由 A B D B 图1 图2 图3 解：(1)BC与CE的位置关系是BCLCE,理由是： .∠BAC=∠DAE=90°， 4154 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， b, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴4=∠5， :∠BAC=90°，AB=AC ∴44∠6-45°， ∴L5=45°， ∴.∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°， 即BCLCE: 人4 6 B D 图1 (2)成立.理由是： LBAC=LDAE-90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， b, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE, ∠BAC=90°，AB=AC, ∴LABC=∠ACB-45°， ∴LABD=∠ACE=135°， ∴.∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°， 即BCLCE: 5154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 (3)成立 .∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=LCAE, 在△ABD和△ACE中， L, △ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ABD=∠ACE， LBAC=90°，AB=AC, ∴LABC=LACB=45°， ∴LABD=LACE-45°， ∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45=90°. A C D 图3 考点二倍长中线 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC=3,AD=5,则AB的取值范围是 6154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】7<AB<13 【详解】解：如图，延长AD至E,使DE=AD=5,连接CE, B D ,AD为BC边上的中线， ∴BD=CD 在△ABD和△ECD中， d, ∴.△ABD≌△ECD SAS, .'.AB=EC, .AC=3,AE=AD+DE=10. ∴.7<EC<13, ∴.AB的取值范围是：7<AB<13 2.如图，△ABC中，D、E在BC上，AE平分∠BAC,且DE=EC,DF=AC.求证：AB‖DF. B D E 证明：如图，延长AE至G,使得EG=EF,连接CG, B D A 在△就和△CEG中， i, ∴.△g≌△CEG SAS, 7154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠G=∠DFE,DF=CG, .·DF=AC, ∴.AC=CG,即△ACG为等腰三角形， 则∠CAG=∠G, .AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠CAG,则∠BAE=∠G, 又.∠G=∠DFE, ∴.∠DFE=∠BAE, ∴AB‖DF 3.【问题背景】“转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等转化线段或角，将零散的 线段或角集中在一个图形上，建立数量关系是处理问题的重要手段， 【问题探究】 (1)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,∠C=2∠B,点K在边AB上，且AK=AC, 连接DK,试说明：AB=AC+CD B D 图1 图2 【综合研究】 (2)2025年是国家安全法颁布施行十周年，在第十个全民国家安全教育日来临之际，某校组织了一次推 动人工智能技术与国家安全深度融合的校园活动，如图2是活动场地平面示意图，在△ABC中， AC=100米，校学生会在边AB、AC上分别取点E、F,使得点E为AB的中点，EF⊥AC于点F,在线 段EF上找点G,使得EG=30米，△BCG为等腰直角三角形，∠BGC=90°，并沿其三条边搭建安全文 化宣传长廊（宽度不计），其他区域规划为展示区.为了预算，需要知道CF的长，请你帮助校学生会计 算出CF的长. (1),AD平分∠BAC, :.∠KAD=∠CAD ,在△ADK和△ADC中， ， 8154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ADK≌△ADC|SAS, ∴∠AKD=∠C,KD=CD, ∠C=2∠B, ∴.∠AKD=2∠B, :∠AKD是△KBD的外角， ∴.∠AKD=∠B+∠KDB, ∴2∠B=∠B+∠KDB, ∴∠B=∠KDB ∴KD=KB, 又：KD=CD, ..KB=CD ..AB=AK+KB=AC+CD (2)80过点B作BH⊥EF,交FE的延长线于点H,如图2所示： E 图2 ∴.∠H=90°， .EF⊥AC, ∴.∠H=∠CFG=∠EFA=90°， ∴∠FGC+∠FCG=90°， ,△BCG是等腰直角三角形，∠BGC=90°， ∴.GB=GC,∠HGB+∠FGC=90°， ∴.∠HGB=∠FCG, ,在△BGH和△GCF中， b, ∴.△BGH≌△GCF AAS, ∴.BH=GF,GH=CF, ,点E是AB的中点， ∴.BE=AE, 9154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在△BEH和△AEF中， b, ∴.△BEH≌△AEF AAS, ÷BH=AE,EH=EF=号H, ..GF=AF, :AC=100米， .HF=HG+GF=CF+AF=100(米)， EH=EF=2HE=50米， EG=30米， .CF=GH=EH+EG=50+30=80(米). 4.(1)凸四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，E为AB上一点，AD=AE. ①如图1，连AC,将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到AH,连EH,画线段AH,EH; B A E E B 图1 图2 图3 ②连AC,将CD绕C点逆时针旋转90°得到CF,连EF,取EF中点G,连CG,AG,如图2，请判断 △AGC的形状，并说明理由 (2)如图3，凸四边形ABCD中，将AD绕点A顺时针旋转m°，使点D的对应点E在AB上，将CD绕C点 逆时针旋转n°，使点D的对应点F在BC上，连EF并取其中点G,连AG,CG,若CG⊥AG于点G,直 接写出m,n满足的数量关系，不需要说明理由 (1)①解：如图所示： 10/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图，延长AG作GM=AG,连接CM, -=M B 图2 ,将CD绕C点逆时针旋转90°得到CF, ∴CD=CF, :点G为EF中， ∴.AG=GM, ,在△AGE和△MGF, L, ∴.△AGE≌△MGFSAS, .FM=AE,∠GEA=∠GFM, AD=AE. ∴.AD=FM, :五边形AEFCD的内角和为：(5-2×180°=540°， ,∠DAB=∠BCD=90°， ∴.∠CDA+∠AEF+∠EFC=540°-∠DAB-∠BCD=360°， ,∠CFM+∠DFM+∠EFC=360°， ∴.∠CDA=∠CFM, 在△CDA和△CFM, 6, .△CDA≌△CFM SAS ∴.AC=CM,∠DCA=∠FCM, :∠DCA+∠ACF=∠BCD=90, .∠FCM+∠ACF=∠ACM=90°， ∴.△CAM为等腰直角三角形， ∴.∠CAG=45°， .AG=GM, ∴.∠CGA=90°， 11/54 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，△AGC为等腰直角三角形： (2)如图，延长AG作GN=AG,连接FN,AC,CN, E 图3 :AD绕点A顺时针旋转m°得AE,CD绕C点逆时针旋转n°得CP, .AD=AE,CD=CF,∠DCF=n°，∠DAE=m°， :点G为EF中点， ∴.AG=GN, ,CG⊥AG, ∴，△CAN为等腰三角形， ∴.AC=CN, ∴.∠NAC=∠CNA, ,在△AGE和△NGF, 6, ∴.△AGE≌△NGF SAS, ∴FN=AE,∠GAE=∠GNF, .AD=AE. ∴.AD=FN, :在△CDA和△CFN, b, ∴.△CDA≌△CFN SSS, ∴，∠DCA=∠FCN,∠CAD=∠CNF, ∴.∠DCF=∠DCA+∠ACF=∠NCF+∠ACF=∠ACN=n°， 12/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图3 :∠DAE=∠CAD+∠CAN+∠GAE=m°， :.∠CNF+∠CAN+∠GNF=∠CAN+∠GNC=m°， ,△CAN内角和为180°， ∴.∠ACN+∠CAN+∠GNC=180°， n°+m°=180°， .m+n=180 考点三截长补短 1.如图，AP是△ABC的高，∠BAP=&,AD=AC,∠DAC=2C,过点D作DE‖AB交BC于点E. 下列四个结论中： D ①∠ACB=∠BDE;②当Q=45时，BD⊥BC:③BD=DE;④BC=2BP+BE 所有正确结论的序号是 【答案】②④ 【详解】解：①在线段PC上截取PF=BP,连接AF, F B D :AP是△ABC的高， .∠APF=∠APB=90°， 13/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AP=AP, ∴.△APF≌△APBSAS, ∴.AF=AB,∠PAF=∠BAP=C, ,∠DAC=2, ∴.∠CAF=∠DAC-∠PAF-∠PAD=a-∠PAD, :∠DAB=∠BAP-∠PAD=C-∠PAD, ∴.∠CAF=∠DAB, .AD=AC. ∴.△CAF≌△DAB SAS, ∴.∠ACB=∠ADB, 即∠ACB≠∠BDE: 则①错误： ②当a=45时，∠DAC=2a=90°， .AD=AC. ∴.∠ACD=∠ADC=45°， ∴.∠ACB+∠BCD=45°， .∠ACB=∠ADB, ∴.∠ADB+∠BCD=45°， ∴.∠ADB+∠BCD+∠ADC=∠BDC+∠BCD=90°， ∴.∠CBD=90°， ∴BD⊥BC: 则②正确： ③DE‖AB, ∴.∠BED=∠ABC, △APF≌△APB, ∴.∠AFP=∠ABC, :∠AFP=∠CAF+∠ACF,∠CAF=∠BAD,∠ACF=∠ADB, ∴，∠ABC=∠BAD+∠ADB, .∠DBE=180°-∠BAD-∠ADB-∠ABC=180°-2∠ABC=180°-2∠BED. 即∠DBE=180°-2∠BED, 则当∠DBE=∠BED=60时，BD=DE, 14/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时∠BAP=a=90°-60°=30°， 但题目中未给出C的具体值，所以BD与DE不一定相等： 则③错误： ④，△CAF≌△DAB, ..CF=BD. .'BC=BP+PF+BD=2BP+BD, 由③得∠BED=∠ABC=∠BAD+∠ADB, .DE‖AB ∴.∠BAD=∠ADE, 则∠BED=∠ADE+∠ADB=∠BDE, ..BD=BE, ∴.BC=2BP+BE: 则④正确： 故答案为：②④. 2.如图，己知AP‖BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E,CE的连线交AP于点D,求证： AD+BC=AB P B 【详解】证明：如图，在AB上截取AF=AD,连接EF, .AE∠PAB B 平分 .∴.∠DAE=∠FAE, 又.AE=AE, .∴.△DAE≌△FAE SAS, ∴.∠ADE=∠AFE, ,AP‖BC, 15/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADE+∠C=180°， .:∠AFE+∠EFB=180°， ∴.∠EFB=∠C, .BE平分∠ABC, .∠EBF=∠EBC, BE=BE, ∴.△BEF≌△BECAAS, .∴.BF=BC, ,∴.AD+BC=AF+BF=AB. 3.实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那 么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣 小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1(1)，在△ABC中，AB>AC,怎样证明∠C>∠B呢？ 把AC沿∠A的平分线AD翻折，因为AB>AC,所以点C落在AB上的点C处（如图1(2）).由 ∠ACD=∠C,∠ACD>∠B,可得∠C>∠B. C D (1) (2) 图1 【类比探究】 (1)如图2，在△ABC中，∠C>∠B,类比上述的方法，请证明AB>AC. 图2 【方法运用】 (2)如图3，在△ABC中，∠C=2∠B,若AD⊥BC,写出AC,CD,BD之间的数量关系并说明理 由. 16/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图3 (1)证明：把△ABC翻折，使点B落在点C上，折痕分别交AB、BC于点D、E B-- E 由翻折的性质可知，CD=BD, AD+CD>AC, .AD+BD=AB>AC,AB>AC; (2)BD=AC+CD,理由如下： 如图(3)，在BD上取E,使DE=CD,连接AE, .'DE=CD∠ADE=90°=∠ADC AD=AD ■■ E D (3) ∴.△ADE≌△ADC(SAS), ∴.AE=AC,∠AED=∠C=2∠B, :∠AED=∠B+∠BAE, ∴.∠B=∠BAE, ∴.BE=AE=AC, ∴.BD=BE+DE=AC+CD,即BD=AC+CD; 4.已知在△ABC中，AB=AC,射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H. 17/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B 图1 图2 (1)如图1，若∠ABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D,分别交BC、BM于点E、F. ①求证：AE=BG: ②若AD=BF,连接CF,求∠CFE的度数： SACE的 ②如图2，点E为BC上一点，AE交BM于点E,连接CP.若∠BFE=∠BAC=2LGFE,水S 值. (1)解：①.AB=AC,∠ABC=60°， ∴.△ABC为等边三角形， 则∠BAC=∠ACB=60°，AB=CA, .'AD⊥BN,∠MBN=30°， .∴.∠BFD=∠AFG=60°， .∠ABF+∠BAF=60°，∠BAF+∠EAC=60°， ∴.∠EAC=∠GBA, 在△GBA与△EAC中， L, .△GBA≌△EAC ASA, ∴.AE=BG: ②如图1，取BF的中点K连接AK, 4 D LN:'∠GBA=∠EAC 图1 .∴.∠BAE=∠CBG, 18/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'∠ABG+∠CBG=60, .∴.∠BFD=∠ABF+∠BAF=60°， .AD⊥BN, ∴.∠ADB=90, .∠DBF=30°， ∴.BF=2DF, AD=BF, .∴.BF=2AF, AF=BK=FK=B即 ∴.△FAK是等腰三角形， ∴.∠AK=∠FKA, .∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF, .'∠BFD=60, ∠AKF=号∠BFD=30, .△GBA≌△EAC, ∴.AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC, .KG=BG-BK=AE-AF=FE, 在△GAK与△EFC中， 6, ∴.△GAK≌△EFC SAS, ∴.∠CFE=∠AKF, ∴.∠CFE=∠AKF=30°： (2)解：如图2，在BF上取BN=AF,连接AN, .'∠BFE=∠BAF+∠ABF 图2 19/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠BFE=∠BAC .∴.∠BAF+∠EAC=∠BAF+∠ABF, ∴.∠EAC=∠FBA, 在△ABN与△ACF中， 6, .∴.△ABN≌△AFC SAS, .S△ABN=S△ACF,∠ANB=∠AFC, .∠BFE=2∠CFE, ∴.∠BFE=2∠ANF, .'∠BFE=2∠ANF=∠ANF+∠NAF, ∴.∠ANF=∠NAF, ∴.△AN是等腰三角形， ∴.AF=FN, ∴.BN=AF=FN, .S△ABN=S△AFN, :'SAABF=SA ABN+S△AFN=2S△ABN=2S△ACF, .S△ACF=1 SABF 2 考点四一线三等角 1.如图，已知AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据，则图中阴影部分 图形的面积S等于一· E D 31 4 ----- A 【答案】72 【详解】解：，'AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH ∴.∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°， .:∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90° 20/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAF=∠ABG, .∴.AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG ∴.△EFA≌△ABG AAS】 ∴.AF=BG,AG=EF. 同理可证△BGC≌△CHD. ∴.GC=DH,CH=BG, ∴.FH=FA+AG+GC+CH=3+8+4+3=18, 5=28+4×13-3×4-8x3=72. 故答案为：72 2.如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与 直线AF交于点G.若BC=m,AF=n,则△ADG的面积为一· D G 1 【答案】4mn 【详解】解：如图，过点D作DP⊥AG于P,过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q, D E ,∠BAD=90°，BC⊥AF ∴.∠BAF+∠DAP=∠BAF+∠ABF=90°， ∠DAP=∠ABF :AB=AD,∠BFA=∠APD=90° ∴.△AFB≌△DPA AAS, 同理可证△AFC≌△EQA|AAS) ..DP=AF=n,EQ=AF=n,AP=BF,AQ=CF, 21/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△DPG与△EQG中， b, ∴.△DPG≌△EQG AAS, ..PG=GQ, BC=m, ∴.AQ+AP=m, ..AP+AP+PG+GQ=AP+AP+PG+PG=m, 1 .'.AG=AP+PG=m, 2 1 11 1 ∴S△ADc=7×AG×DP=5×5m×n=4mn 22 4 3.综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征 去推测另一事物的相应特征存在的思维活动，请尝试用类比思维解决以下问题： B B E DI B D D 图1 图2 图3 【建立模型】： (1)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线l经过点C,过点A作AD⊥1于点 D,过点B作BE⊥I于点E,直接写出DE、AD、BE之间的数量关系： 【实践探究】： (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在边BC、AC上，且DA=DE,∠B=∠ADE.若 BC=12,AB=8,求CE的长度. 【拓展应用】： (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,∠A=45°，点D、E分别是边AC、AB上的动点，以DE为腰向右 作等腰△竺乙，使得DE=DF,且∠EDF=45°，连接CF、BF,∠FCA=22.5 ①线段BE和AD有何数量关系，并说明理由： ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若BC=16,当线段BF取得最小值时，求△BFC的 面积. (1)解：DE=AD+BE,理由如下： .∠ACB=90°， 22/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.∠ACD+∠BCE=90°， .AD⊥1，BE⊥1， ∴.∠ADC=∠CEB=90, ∴.∠ACD+∠CAD=90°， ∴.∠CAD=∠BCE 在△ADC和△CEB中： b, .△ADC≌△CEB AAS, ∴.AD=CE,CD=BE, 又DE=CE+CD, ∴.DE=AD+BE. (2)解：，AB=AC, ∠B=∠C, .∠B=∠ADE, ∴.∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠DAB ∴.∠EDC=∠DAB, 在△EDC和△DAB中： 6, .∴.△EDC≌△DABAAS, ..AB=CD=8,BD=CE,BC=12. .CE=BD=BC-CD=BC-AB=12-8=4. (3)①①BE=2AD 证明：如图，在AC上取一点M,使得DM=AE,连接FM, B E 图3 :∠A=45°，∠EDF=45°， ∴.∠A=∠EDF .AB=AC,AE=DM. 23/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.AB-AE=AC-DM,即BE=AD+CM, ,∠EDM=∠EDF+∠FDM=∠EAD+∠AED, ∴.∠FDM=∠DEA, 在△AED和△MDF中： b, .△AED≌△MDF SAS, ∴.AD=FM,∠DMF=∠A=45°， ,∠FCD=22.5°，∠FMD=∠FCD+∠MFC. .∠MFC=45°-22.5°=22.5°=∠FCD ∴.FM=CM=AD, .BE=AD+CM. ∴.BE=2AD: ②，∠FCA=22.5°， ∴CF为定直线， ∴.当BF⊥CF时，BF最小， 如图，过点F作FG⊥BC于点G, B ·∠BFC=90° :AB=AC,∠A=45°， ∠ACB=180°-45。 =67.5 2 ∴.∠GCF=∠ACB-∠FCA=45, ∴.∠GFC=90°-45°=45°=∠GCF, ∴.GF=GC,∠BFG=90°-∠GFC=45°， ∴.∠FBG=90°-45°=45°=∠BFG, ∴.BG=FG=CG, .∴.BC=BG+CG=2FG=16, ∴.FG=8, 24/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△BFC的面积为2×16×8=64 4.根据图形解决以下问题 图1 图2 图3 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线l经过点C,过点A作AD⊥I于点D, 过点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD 的垂线，垂足分别为点E,F: ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. (1)证明：：AD⊥1，BE⊥1， ∴.∠ADC=∠BEC=90°， 又∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE, 在△ADC和△CEB中，U, ∴.△ADC≌△CEBAAS: (2)解：①①△AEC≌△CFB 理由：AE⊥CD,BF⊥CD, ∴.∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, 在△AEC和△CFB中，i, ∴.△AEC≌△CFB AAS: ②，AE⊥CD,BF⊥CD, ∴.∠E=∠BFC=90°， 又∠ACB=90°， ∴.∠ACE=∠CBF=90°-∠BCF, 在△AEC和△CFB中，i, 25/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AEC≌△CFBAAS, .'CE=BF=1,AE=CF=3, .EF=CF+CE=3+1=4. 考点五手拉手 1.已知：如图，在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,C,D,E三 点在同一条直线上，连接BD.以下四个结论：①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE: ④∠BAE+∠DAC=180°.其中错误的个数是(). 】 B A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【详解】解：，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE ∴，△ABC和△AED为等腰直角三角形， ,∠ABC=∠ACB=∠AED=∠ADE=45°， ,∠BAD+∠CAD=∠EAD+∠CAD, .∠DAB=∠EAC, 在△ABD和△ACE中， 6, ∴.△ABD≈△ACESAS, ∴BD=CE,故①正确，不符合题意： ∴.∠ACE=∠ABD. ,∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°， ·∠ACE+∠DBC=45°，故②正确，不符合题意： :∠DBC+∠BCD, =∠DBC+∠ACB+∠ACE, =∠ACB+∠DBC+∠ABD, =∠ACB+∠ABC 26/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =90°， .∠BDC=90°， :BD⊥CE,故③正确，不符合题意； ,如图，延长射线BA交CE于点M, 】 B ∴.∠MAC=∠BAC=90°， :∠EAC=∠EAD+∠DAC=∠MAC+∠EAM, ∴.∠DAC=∠EAM, :∠BAE+∠EAM=180°， ∴.∠BAE+∠DAC=180°，故④正确，不符合题意： 综上，符合题意共0个. 故选：A. 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=100°，点D为三角形内部一点且∠BDC=140°，点E为 BC中点，连接AD,DE,作∠FDC=∠EDC,且DF=2DE,当∠ADB= 时， △DFC为直角三角形 【答案】130°或90° 【详解】解：①当∠DFC=90°时，如图，延长DE到点G,使DG=2DE,连接CG,AF, DF=2DE G ∴.DF=DG 在△DFC和△DGC中， 27/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t, .△DFC≌△DGC(SAS), .∴.CG=CF,∠DFC=∠G=90°， ,点E为BC中点， ∴.BE=CE, 在△BDE和△CGE中， t .△BDE≌△CGE(SAS): .∴.∠BDE=∠G=90°，∠DBE=∠GCE,BD=CG, ∴BD=CF, .∠BDC=140°， ∴.∠EDC=∠BDC-∠BDE=50°=∠FDC, ∴.∠FCD=∠GCD=40°，则∠FCG=80°， .∠BAC=100°，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=40°， ∴.∠ABD+∠DBE=40°，∠ACF+∠GCE=∠FCG-∠ABC=80°-40°=40°， ,∠DBE=∠GCE, ∴.∠ABD=∠ACF, 在△ABD和△ACF中： i ∴.△ABD≌△ACF(SAS), ∴.∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴.∠DAF=∠BAC=100°， ∠ADF=180,100°=40， 2 ∴.∠ADB=360°-∠BDC-∠FDC-∠ADF=360°-140°-50°-40°=130°： ②当∠FDC=90°时，如图，延长DE到点G,使DG=2DE,连接CG、AF, 28/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E G 同①理可得∠ADF=40°， .∴.∠ADB=360°-∠BDC-∠FDC-∠ADF=360°-140°-90°-40°=90°： 综上，∠ADB的度数为130°或90° 故答案为：130°或90° 3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，连接BD,将BD绕点B逆时针旋转60°得到BE,连接 AE,DE. E (I)求证：AE=CD: (2)若BC=12cm,BD=8cm,求△ADE的周长， 【答案】(1)见解析：(2)20cm 【详解】(1)解：，△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABC=60, :BD绕点B逆时针旋转60°得到BE, ∴.BD=BE,∠DBE=60°， ∴.∠ABC=∠DBE,∠ABC-∠ABD=∠DBE-∠ABD,即∠ABE=∠CBD, 在△ABE和△CBD中，i, △ABE≌△CBD SAS, ∴.AE=CD (2)解：：BD绕点B逆时针旋转60°得到BE, :.BD=BE,∠DBE=60°，△BDE是等边三角形， ∴.DE=BD=8cm, 29/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABC是等边三角形， .'.AC=BC=12cm, 由(1)知AE=CD, CAADE=AD+AE+DE=AD+CD+DE=AC+DE=12+8=20cm 4.综合与探究 问题背景：△ABE和△CDE为等腰直角三角形，∠AEB=∠CED=90°，AE=BE,CE=DE,连接 BD,AC. 图1 图2 图3 问题初探： (1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中BD与AC的位置 关系和数量关系是否发生变化，并说明理由， (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断(2)中BD 与AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. 【答案】(1)①BD⊥AC:②BD=AC；(2)BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化，见 解析：(3)BD与AC的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系： 【详解】解：(1)理由：延长BD交AC于点F,如图 B 在△BED和△AEC中， 30/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BED≌△AEC(SAS) ∴.BD=AC,∠DBE=∠CAE ∴.∠BED=90 ·∠DBE+∠BDE=90° ∠BDE=∠ADF ∴∠ADF+∠CAE=90° .∠AFD=180°-∠ADF+∠CAE=180°-90°=90°， BD⊥AC 故答案为：①BD⊥AC:②BD=AC: (2)由题意得∠AEB=∠CED=90°， ∴.∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED ∴.∠BED=∠AEC, 在△BED和△AEC中， 乙 .△BED≌△AEC(SAS), ∴.BD=AC,∠DBE=∠CAE, ∴.∠BEA=90°， 设AE与BD交于点G;如图： .∠DBE+∠BGE=90°， ∴.∠BGE=∠AGF, ∴.∠CAE+∠AGF=90°， ∴.∠AFG=180°-∠CAE+∠AGF=180°-90°=90°， .BD⊥AC, ∴，BD与AC的位置关系和数量关系没有发生变化： (3)设∠AEB=∠CED=a, ∴.∠AEB+∠AED=∠CED+∠AED, .∠BED=∠AEC, 31/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BED和△AEC中， .△BED≌△AEC(SAS), .BD=AC,∠DBE=∠CAE, ∴.∠BEA=a, 设AE与BD交于点H:如图： D .∠DBE+∠BEA+∠BHE=180°， .∠BHE=∠AHF, ∴.∠CAE+∠AFH+∠AHF=180°， ∴.∠AFH=∠BEH≠90°， .BD不垂直AC, ∴，BD与AC的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系： 考点六半角模型 1.如图，正方形ABCD中，M,N分别在CD、BC上，连接AM、AN、MN,∠MAN=45° 459 M N (1)若将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE;请你补全图形， (2)直接写出线段DM、BN、MN之间的数量关系： (3)根据(2)的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求△CMN的周长. (1)解：如图所示： 32/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 45 M E-- N (2)解：MN=DM+BN: (3)证明：由旋转可知：△ADM≌△ABE, ∴.AM=AE,∠DAM=∠BAE,DM=BE, :∠MAN=45°，∠BAD=90°，， ∴.∠DAM+∠BAN=45°=∠BAE+∠BAN=∠EAN, ∴.∠EAN=∠MAN, ∴.△EAN≌△MAN .'.MN=EN=BE+BN=DM+BN: (4)解：，△CMN的周长=MN+CN+CM,MN=DM+BN, ∴.△CMN的周长=DM+CM+BN+CN=BC+CD=10 2.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若 ∠EAF=号∠BAD,可求得EF、BE、FD之间的数量关系为 (只思考解题思路，完成填空 即可，不必书写证明过程) (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上 的点，若∠EAF=∠BAD,判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若 不成立，请说明理由. B E C E 图1 图2 【答案】(I)BE+DF=EF;(2)EF+DF=BE.理由见解析 【详解】(1)解：线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF=EF. 33154 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，延长CB至M,使BM=DF,连接AM, D M B E :∠ABC=∠D=90°，∠ABC+∠1=180°，即：∠ABC+∠D=180°， ∴.∠1=∠D 在△ABM和△ADF中，乙， .△ABM≌△ADF SAS, ∴.AM=AF,∠3=∠2， :∠EAF=克∠BMD,∠EAF+∠2+∠4=∠BAD, ∴.∠2+∠4=∠EAF, ∴.∠EAM=∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF, 在△MAE和△FAE中，乙， ∴.△MAE≌△FAE|SAS, ∴EF=EM, .EM=BM+BE=BE+DF. .EF=BE+FD. 故答案为：BE+DF=EF】 (2)结论：EF+DF=BE. 理由：在BE上截取BM=DF,连接AM, M E :∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADE=180°， 34/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠ADF, 在△ABM与△ADF中，U, ∴.△ABM≌△ADF SAS, .∴，AM=AF,∠BAM=∠DAF,则∠BAM+∠MAD=∠DAF+∠MAD, .∠BAD=∠MAF :∠EAF=∠BMD,∠EAF+∠EAM=∠MAE, ∴.∠EAF=∠EAM. 在△AEM与△AEF中，乙， ∴△AEM≌△AEFSAS, ∴，EM=EF, 即BE-BM=EF, 即BE-DF=EF, ∴.EF+DF=BE」 3.我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请 补充完整， 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF,则 EF=BE+DF,试说明理由. B ⊙ D G 图1 图2 D (①)思路梳理 .AB=AD. ∴.把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合. ,∠ADC=∠B=90°， ∴.∠FDG=180°，点F、D、G共线. 易证△AFE≌_，得EF=BE+DF. (2)类比引申 如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°.若 35/54 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D=180时，是否仍有EF=BE+DF,并说明理由 (1)解：：AB=AD, ∴.把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合， ,∠ADC=∠B=90°， .∠FDG=180°，点F、DG共线， 则∠DAG=∠BAE,AE=AG,BE=DG, ∴.∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF, 在△EAF和△GAF中， 6, ∴.△AFG≌△AFE SAS, ∴，EF=FG=DG+DF=BE+DF: 故答案为：△AFG: (2)当∠B+∠D=180°时，仍有EF=BE+DF;理由如下： .AB=AD ∴，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合，如图2所示： B B D、 图2 G ∴.∠BAE=∠DAG,BE=DG. .∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴.∠FAG=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°， ∴.∠EAF=∠FAG, ,∠ADC+∠B=180°， ·∠ADC+∠ADG=180° .点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， b, .∴△AFE≌△AFGSAS, 36/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴EF=FG, .FG=DG+DF, .'EF=BE+DF: 4.【模型建立】如图1，四边形ABCD是正方形，点M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我 们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法.如图1，将△ADM绕点A 顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN (1)试判断DM,BN,MN之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 (2)如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN,请写 出MN,DM,BN之间的数量关系，并写出证明过程： 【模型迁移】 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N,M分别在边 BC,CD上，∠MAN=60°，请直接写出线段BN,DM,MN之间的数量关系. M E B 图1 图2 图3 (1)解：MN=DM+BN,证明如下： 由旋转的性质，得AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°，∠ABE=∠D=90°， ∴.∠ABE+∠ABC=180°， ∴点E,B,C共线， :∠MAN=45°， ∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中U ∴.△EAN≌△MAN SAS, .EN=MN, ..EN=BE+BN, ∴.MN=DM+BN (2)解：MN=BN-DM,证明如下： 如图1，在BC上取BE=MD,连接AE 37/54 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E C W 图1 AB=AD,∠B=∠ADM, .△ABE≌△ADM SAS, ∴.AE=AM,∠BAE=∠DAM. .∠EAM=∠DAE+∠DAM=∠DAE+∠BAE=90°， :∠MAN=45, ∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. 在△EAN和△MAN中U ∴.△EAN≌△MAN SAS, ∴.EN=MN, .EN=BN-BE, ..MN=BN-DM. (3)解：如图2，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得△ADE, E A M B 图2 ∴.∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE, .∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADE+∠ADC=180°， 点E,DC共线 .:∠BAD=∠NAE=120°，∠MAN=60°， .∴.∠MAE=∠MAN=60°， .AN=AE,AM=AM, 38/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△EAM≌△NAM SAS, ∴.EM=MN, EM=DE+DM, ∴.MN=DM+BN」 B组 选拔真题冲奖练 1.(2024八年级·全国竞赛)如图，在△ABC中，已知△ABD与△ACD的面积相等，如果AC=10, AD=8,那么AB的取值范围是() D A.2<AB<18 B.6<AB<26 C.10<AB<26 D.18<AB<26 【答案】B 【详解】解：延长AD到E,使AD=DE, B C D .△ABD△ACD E ,已知 与 的面积相等， ∴.AD为△ABC的底边BC的中线， ∴.BD=CD, 39154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABD和△ECD中 b, ∴.△ABD≌△ECD, ∴.AB=EC, ,AC=10,AD=8, ∴.AE=2AD=16, 在△ACE中，AE+AC<CE<AE+AC, 16-10<CE<16+10, ..6<CE<26, .∴.6<AB<26: 故选：B 2.(2023九年级·全国·竞赛)如图，在△ABC中，AD、CF分别是∠BAC、∠ACB的角平分线，且 AD,CF交于点1，E⊥BC于点E,下列结论：①∠BE=∠CID,②S。Am号E(AB+BC+AC: ③BE=)AB+BC-AC:④AC=AF+DC.其中正确的结论是() ED A.①②③ B.①②④ c.②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【详解】解：如下图所示，过点I作S⊥AB,飞⊥AC, .AD平分∠BAC, 3=E,∠BM=号∠BAC .CI平分∠ACB,IE⊥BC, -t,BCI ACB. 在Rt△BM和Rt△BIE中，乙， .∴.Rt△BIM≌Rt△BIE, 40/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BIE=∠BIM,∠IBE=∠IBM= ABC. 在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， :.∠CAI+∠CBI+∠ACI=|∠ABC+∠BAC+∠ACB=90°， .:∠CID是△AC的外角， ∴.∠CID=∠CAI+∠ACI=90°-∠CBI, 又.IE⊥BC, ∴.∠IEB=90°， ∴.∠BIE=90°-∠CBI, '.∠BIE=∠CID, 故①正确： ED 由①可知IE=3=∈就， 'S△ABC=SAIBC+SAAC+S△AB =1IE-BC+1IMAB+1IN-AC 2 -IEBC+IEAB+IE-AC =1IE(BC+AB+AC). 2 故②正确： 由①可知Rt△BIM≌Rt△BIE, ∴BM=BE, 同理可证：CE=CN,AM=AN, .AB=AM+BM,BC=BE+CE,AC=AN+CN, .AB+BC+AC=2AN+2BE+2CN=2AN+CN+2BE=2AC+2BE, .2BE=AB+BC+AC-2AC=AB+BC-AC, ∴.BE=AB+BC-AC, 41/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故③正确： 由③可知AM=AN,CE=CN, ∴.AC=AN+CN=AM+CE, 故④错误： 综上所述，正确的结论有①②③ 故选：A. 3.(2024八年级上山东滨州·竞赛)如图，△ABC的两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC 于点NPM⊥AB于点M,且BD‖AC,下列结论：①PM=PN;②点P在∠CAB的平分线上；③ ∠CPB=90°-∠A;④AB=CB.其中正确的有() B D A.①②③ B.①②④ C.②③④ D. ①③④ 【答案】B 【详解】解：过P作PH⊥BC于H, B D ,△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P,PN⊥AC,PM⊥AB, .PM=PH,PN=PH, PM=PN,故①正确： PM=PN,PN⊥AC,PM⊥AB ∴.点P在∠CAB的平分线上，故②正确： ,PB平分∠CBM,PC平分∠BCN, ∠CBP5∠CBM,∠BCP-3∠BCN, ∠CBP+∠BCP=2∠CBM+∠BCN. :∠CBM=∠A+∠ACB,∠BCN=∠A+∠ABC, 42/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CBM+∠BCN=∠A+∠ACB+ABC+∠A=180°+∠A, ∴∠CBP+∠BCP=90+ 2 ∠A .∠CPB=180°-∠CBP+∠BCP=90°.1 2 ∠A,故③错误： ,PB平分∠CBM, .∠MBP=∠CBP. ..BD AC, ∴.∠A=∠MBP,∠ACB=∠CBP, ∠A=∠ACB, .AB=CB,故④正确， ∴.正确的有①②④. 故选：B 4.(2023八年级福建泉州·竞赛)如图，△ABC中，AB+BD=CD,AD⊥BC,∠B=58°，则 ∠BAC=度. B D 【答案】93 【详解】解：在DC上截取DE=DB,连接AE, :AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADE, 在△ADB和△ADE中， 6, ∴.△ADB≌△ADE SAS, .AB=AE,∠B=∠AED .∠B=58°， .∠AED=58°， .AB+BD=CD ..AE+ED=ED+EC, .'.EA=EC, 43/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAC=C :∠C+∠EAC=∠AED ∠C=58×号=29°， 2 ,∠B+∠C+∠BAC=180°， .∠BAC=180°-58°-29°=93°. 故答案为：93 B D E 5.(七年级下江苏苏州竞赛)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8.点P从A点出发沿 A→C→B路径向终点运动，终点为B点：点Q从B点出发沿B→C一A路径向终点运动，终点为A点. 点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻， 分别过P和Q作PE⊥I于E、作QF⊥于F,当点P运动秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以 Q、F、C为顶点的三角形全等. B C 7 【答案】1或2或12 【详解】解：设点P运动t秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等，分为五 种情况： ①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC=6-t,QC=8-3t, 44154 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的 O .PE⊥1QF⊥1 E F 图 ∴.∠PEC=∠QFC=90°， .∠ACB=90°， ∴.∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°， ∴.∠EPC=∠QCF, .△PCE≌△CQF, ∴.PC=CQ, 即6-t=8-3t, .t=1: ②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC=t-6,QC=3t-8, 力 Q PC=CQ F C E 图2 由①知： .t-6=3t-8, ∴.t=1: 因为此时t-6<0,所以此种情况不符合题意： ③当P、Q都在AC上时，如图3， 45/54 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P(O) PC=6-t=3t-8 E(F) C 图3 2 ④当Q到A点停止，P在BC上时，如图4，AC=PC,t-6=6时，解得t=12 B (O)A t=12<6+8 图4 ,符合题意： ⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3，P和Q都在BC上的情况不存在： 7 综上，点P运动1或)或12秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以O、F、C为顶点的三角形全等. > 故答案为：1或2或12 6.(2024八年级·全国·竞赛)如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=40°，BD与CE交于点F, 连接AF,则∠AFB的度数为 B 【答案】70°/70度 【详解】过点A作AM⊥BD于点M,AN⊥CE于点N, ,∠BAC=∠DAE=40°， .∴.∠BAD=∠CAE, .AB=AC,AD=AE, 46/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ∴.∠ADM=∠AEN, ,∠AMD=∠ANE=90°，AD=AE, .∴.△AMD≌△ANE(AAS), ∴.∠DAM=∠EAN,AM=AN, ∴.∠DAM+∠DAN=∠EAN+∠DAN, 即∠MAN=∠DAE=40°， .∠AMF=∠ANF=90°，AM=AN,AF=AF, ∴.△AMF≌△ANF(HL), ∠M=∠AN=<MN=20 ∴.∠AFB=180°-90°-∠FAM=70 故答案为：70°， M 7.(2024八年级全国竞赛)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=100°，CE平分∠ACB.求证： BC=AE+CE A E B 【答案】见解析 【详解】解：如图 A E F D 47/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在BC上截取CD=CE,连DE,过点E作EFBC交AC于点F, 由EF‖BC,有∠FEC=∠ECB=∠ACE ∴.EF=FC,又AE=AF,AB=AC, ∴.EB=FC,∴.EB=EF,① ∠AEF=∠EBD=40°，② EC=CD,∠ECD=20°， ∴.∠DEC=80°. .∠AEF=40°，∠FEC=20°， ∴.∠BED=40°，∠BED=∠AFE.③ 由①②③有 △AEF≌△DBE(ASA) .∴AE=DB .∴.BC=BD+DC=AE+CE. 8.(2022七年级下·广东揭阳·竞赛)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分 ∠CAB E D (1)求∠CAD的度数： (2)延长AC至点E,使∠E=∠CAD,求证：DA=DE. 【答案】(1)30°：(2)见解析 【详解】(1)解：：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴.∠CAB=60° 又，AD平分∠CAB ·<CAD= 2∠CAB=30: (2)证明：：∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°， ∠ECD=90° ∴.∠ACD=∠ECD 在△ACD与△ECD中，U, 48/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ACD≌△ECD ASA, ..DA=DE 9.(2024九年级下.安徽宣城竞赛)如图，Rt△ABC中AB=AC,点D、E是线段AC上两动点，且 AD=EC,AM⊥BD,垂足为M,AM的延长线交BC于点N,直线BD与直线NE相交于点F.试判断 △乙的形状，并加以证明. D B N 【答案】△乙是等腰三角形，见解析 【详解】解：△乙是等腰三角形. 证明：如图，过点C作CP⊥AC,交AN延长线于点P, .Rt△ABC AB=AC B h.. 中 ∴.∠BAC=90°，∠ACB=45°， ∴.∠BAD=∠ACP=90°，∠PCN=∠ACB=45°， .AM⊥BD, ∴.∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°， .∴.∠ABD=∠CAP, :∠ABD+∠ADB=∠P+∠CAP=90°， ∠ADB=∠P, .∴.△BAD≌△ACP|AAS, .∴.AD=CP AD=CE, ∴.CE=CP, .'CN=CN,∠PCN=∠ECN=45°，CE=CP, ∴.△CPN≌△CEN SAS, 49/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠P=∠CEN, .∴.∠CEN=∠ADB, ∠CEN=∠g,∠ADB=∠EDF, ∴.∠FDE=∠FED, ∴.△g乙是等腰三角形. 10.(八年级上·甘肃庆阳竞赛)如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点 O,求证：AE+CD=AC. E D B C 【详解】证明：∠B=60°， ∴.∠BAC+∠ACB=180°-∠B=120°， .'AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, ∠OAC=∠OAB=)∠BAC,∠OCA=∠OCB=号∠ACB, ∠0AC+∠0CA=∠BMC+号∠ACB=∠BAC+∠ACB=60, .∠A0C=120°， .∠AOE=∠COD=180°-∠AOC=60°， 如图，在AC上截取AF=AE,连接OF, A F E 0 D B C 在△AOE和△AOF中， L, .∴.△AOE≌△AOFSAS, .∴.∠AOE=∠AOF=60°， 50/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠COF=∠AOC-∠AOF=120°-60°=60°， .∠COD=60°， ∴.∠COD=∠COF, 在△COD和△COF中， L, .∴.△COD≌△COFASA, ∴CD=CF, .AF=AE, .∴.AF+CF=AE+CD=AC 11.(2024八年级上·广东竞赛)如图(1)AC⊥AB,BD⊥AB,AB=12cm,AC=BD=8Cm,点 P在线段AB上以2Cm/S的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动 的时间为ts. D P P 图(1) 图(2) (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明： (2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”，其他条件不 变.设点Q的运动速度为XCm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t 的值；若不存在，说明理由。 8 【答案】()PC1PQ,理由见解析：（②t=2s,x=2Cm/s或t=3s,X=3cm/s. 【详解】(1)解：PC⊥PQ,理由如下： 当t=2时，AP=BQ=4cm, 则BP=12-4=8cm, .∴.BP=AC=8cm, .AC⊥AB,BD⊥AB, ∴.∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPQ中， 乙， .△ACP≌△BPQ, 51/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACP=∠BPQ, .∴.∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°. .∴.∠CPQ=90°， ∴.PC⊥PQ: 2）当t=2s,X=2cm/s或t=35,X-号cm/s时，△ACP与△BPQ全等，理由如下： ①若△ACP≌△BPQ, 则AC=BP,AP=BQ, ∴.12-2t=8, 解得，t=2, 则x=2cm/s ②若△ACP≌△BQP, 则AC=BQ,AP=BP, 则2-号*12， 解得，t=3, 则x=8÷3-8cm5, 故当t=2s,X=2cm/5或t=3s,X=8cm/S时，△ACP与△BPQ全等. 3 12.(八年级上·重庆合川竞赛)△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90° A F E E E B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当D,B,C在同一直线时，CE的延长线与AD交于点F.求证：∠CFA=90°： (2)当△ABC与△BDE的位置如图2时，CE的延长线与AD交于点F,猜想∠CFA的大小并证明你的结论； (3)如图3，当A,E,D在同一直线时(A，D在点E的异侧)，CE与AB交于点 G,∠BAD=∠ACE,求证：BG+AB=AC (1)证明：，△ABC和△DBE是等腰直角三角形， ∴.AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°， 52/54 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABD和△CBE中， .∴.△ABD≌△CBE SAS, ∴.∠BAD=∠BCE, .'∠BAD+∠AFE+∠FEA=∠BCE+∠ABC+∠BEC=180°， 又.∠FEA=∠BEC, .∴.∠CFA=∠ABC=90°. (2)解：∠CFA=90° 理由如下：，△ABC和△DBE是等腰直角三角形， ∴.AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中， 就 .∴△ABD≌△CBE SAS, ∠BAD=∠BCE, .∠CFA=∠ABC=90 (3)过点G作GH⊥AC于点H,同(2)可知∠BAD=∠BCE, B ,∠BAD=∠ACE, ∴.∠ACE=∠BCE, :AB⊥BC,GH⊥AC, ∴，BG=GH, .∠BAC=45°， ∴.∠BAC=∠AGH=45°， ..GH=AH, .'.AH=BG, 在Rt△BCG和Rt△HCG中， 53/54 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t, :.Rt△BCG≌Rt△HCG HL, ∴.BC=CH, .AC=AH+CH=BG+BC=BG+AB. 54/54