专题03 利用等腰三角形的三线合一作辅助线有关的四种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以等腰三角形三线合一性质为核心，通过“底边中点与否”“求解与证明”双维度构建四种辅助线模型，实现几何直观与推理能力的系统训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型一|5题|底边有中点连中线构造全等或直角三角形求解|从已知中点切入，强化中线与高线、角平分线的三线合一转化| |题型二|5题|底边有中点连中线利用全等或等腰性质证明|深化中点条件下的等量关系推理，培养逻辑论证能力| |题型三|5题|底边无中点作高构造直角三角形求解|通过作高补全三线合一条件，提升空间观念与计算能力| |题型四|5题|底边无中点作高借助全等或勾股定理证明|拓展非中点情境下的辅助线策略，发展问题转化意识|

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03利用等腰三角形的三线合一作辅助线有关的四种模型 题型归纳 题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 题型二等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 题型三等腰三角形中底边无中点时，作高求解 题型四等腰三角形中底边无中点时，作高证明 题型专练 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 1.15 2.15 3.12 4. 【详解】(1)解：'AB=AC,∠BAC=120°， ∠B=∠C=0802-∠B4C)-×80-120)=30, DE⊥AC于E, ∴∠AED=∠CED=90°， ∴.∠EDC=90°-30°=60° (2)解：如图：连接AD, E ,为的中点， B C .AB=AC D BC ∴.AD⊥BC. 由(1)知∠B=30°，∠EDC=60°， ∠ADE=30°， 1/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ABD中，AB=8,∠B=30°， :.AD-14B-4. 2 在Rt△ADE中，AD=4,∠ADE=30°， :AB=)AD=2, AC=AB=8. ∴CE=AC-AE=8-2=6, 5. 【详解】(I)证明：连接AD, ,D是 的中点， D C.:AB=AC BC ∴AD平分∠BAC, DE⊥AB,DF⊥AC, .DE=DF (2)解：DE⊥AB, ∴.∠BED=90°， .∠BDE=40° .∠B=50°， AB=AC, ∠C=∠B=50°， .∠BAC=180°-50°-50°=80° 题型二：等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 6. 【详解】(I)证明：连接CD 2/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D :∠ACB=90°，AC=BC,点D是AB的中点， :CD=AD=BD,CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°， ∴，∠ACD=∠B,∠EDC+∠CDF=90° DE⊥DF, ∴.∠EDF=90°， .∠BDF+∠CDF=90°， .∠EDC=∠BDF 「∠ECD=∠B 在 和 中， CD=BD △CDE ABDF ∠EDC=∠FDB :△CDE=△BDF(ASA), .DE =DF. (2)解：，△CDE兰△BDF, S.CDE=S.BDF. 、Sm边形DECr=S.cDE+S,cDF=SBDr+ScDF=S,BCD. 5.weCx2. 点D是AB中点， 1 ÷Som-23,c=16, ∴四边形DECF的面积为16 答：四边形DECF的面积为16. 7. 【详解】(1)证明：AB=AC, .∠B=∠C :∠A=120°，∠A+∠B+∠C=180°. .∠B=∠C=30° 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D是BC边的中点， .BD=CD DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠BED=∠CFD=90° 在△BDE和△CDF中， [∠B=∠C ∠BED=∠CFD BD=CD :△BDE≌aCDF(AAS), .DE DF (2)解：由(1)得∠BED=∠CFD=90°，∠B=∠C=30°， ∴.∠BDE=∠CDF=90°-30°=60°， ∴.∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=60°， .DE=DF, ∴.△DEF是等边三角形. 8. 【详解】(1)证明：连接PC, B :∠ACB=90°，AC=BC .∠A=∠B=45°， ,P为斜边AB的中点， CP⊥AB ,∠DCP=45°=∠B, ..CP=BP, PD⊥PE, .∠DPC+LCPE=∠CPE+∠EPB=90°， ∴.∠DPC=∠EPB. 在△DPC和△EPB中， 4/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠DCP=∠B PC=PB ∠DPC=∠EPB .△DPC≌aEPB(ASA), .PD=PE: (2)解：PD=PE仍成立，理由如下： 连接CP, ,·∠C=90°，AC=BC 、∠A=∠ABC=45°， :P为斜边AB的中点， .CP⊥AB ∴.∠ECP=45°=∠ABC=∠A=∠ACP, ..CP=AP. 又PD⊥PE,CP⊥AB .∠DPE=∠CPA=90° ∴.∠DPE+∠CPD=∠CPA+∠CPD, ∴.∠APD=∠CPE, 在△APD和△CPE中， [∠PAD=∠PCE PC=PA ∠APD=∠CPE .△APD≌aCPE(ASA). .PD=PE, 9. 【详解】(1)证明：如图①，连接AD, 5/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B D 图① :∠BAC=90°，AB=AC, ∴△ABC为等腰直角三角形，∠C=45° ,点D为BC的中点， :AD-8C=CD,∠EHD=45 2 :∠ADF+∠ADE=90,∠CDF+∠ADF=90°， .∠ADE=∠CDF ∠C=∠EAD 在 和 中 CD=AD △ADE△CDF ∠ADE=∠CDF :.△ADE≌△CDF(ASA). :.AE=CF; (2)解：画出图形，如图② B 图② 证明：连接AD :∠ACD=∠BAD=45°， ∴.∠EAD=∠FCD=135 AE=CF 在 和 中， ∠EAD=∠FCD △EDA△FDC CD=AD .△EDA≌△FDC(SAS) ∴∠EDA=∠FDC,ED=FD. ,∠CDE+∠EDA=90°， 6/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .LEDC+∠CDF=90°， .∠FDE=90°，aEDF是等腰直角三角形 .∠DFE=45°， ∴.∠DFE=∠ACB 10. 【答案】(I)①如图，EF即为所求： B E D M ②证明：连接AD, E F M :AB=AC,∠BAC=2a(45°<a<90),D是BC的中点， ∠BAD=1 ∠BAC=C，AD⊥BC' ∴.∠ABC=90°-a, ,将射线AE绕点A逆时针旋转C得到射线AM, .∠FAE=a, ,EF⊥AE, .∠AFE=90°-a, .∠AFE=∠ABC: (2)解：CF=DF, 证明如下：延长FE至点H,使得EH=EF,连接BH,AH,如图所示： 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :E是BD的中点， ∴BE=DE, ,EH=EF,∠BEH=∠FED, .△BEH≌aDEF(SAS), ∴.BH=DF, ,EF⊥AE,EH=EF, .AH AF, ∴.∠AFE=∠AHE=90°-a, .∠HAF=2a=∠BAC, .∠HAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF,即∠HAB=∠FAC, .AB=AC,AH AF ∴.△HAB≌aFAC(SAS)」 .BH=CF ∴.CF=DF 题型三：等腰三角形中底边无中点时，作高求解 11.6.5 12.19 13.7或25 14. 【详解】(1)证明：DE平分∠ADC, ∴∠ADE=∠CDE, 又：DE∥BC, ∠CDE=∠DCB,∠ADE=∠B, 8/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠DCB=∠B, ∴△BCD为等腰三角形； (2)解：如图， D 为等腰三角形， 人45°1 B F M C,△BCD DM⊥BC,BC=12,BF=2 .BM-MC-7BC-6, ∴.FM=BM-BF=6-2=4, 在Rt△DFM中，∠DFC=45°， ∴△DMF是等腰直角三角形， ∴.DM=FM=4, 则DM的长为4. 15. 【详解】(I)证明：：BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD, :AD‖BC, ∴.∠ADB=∠CBD, ∠ABD=∠ADB, .AB=AD, .AB=AC, .AC=AD, ∴△ACD为等腰三角形： (2)解：过点A作AH⊥BC,垂足为H, A D H ..AB=AC,BC=16, 9/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CH=2BC=8, 又AC=AD=10. .AH=VAC2-CH2=V102-82=6, 题型四：等腰三角形中底边无中点时，作高证明 16. 【详解】(1)证明：AB=AC, .∠B=∠C ,DE⊥BC, .∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°， ∴.∠D=∠BFE, ,∠AFD=∠BFE, .∠AFD=∠D, .AD=AF. (2)解：过点A作AH⊥DF, Hλ B E F为AB的中点， .AF=BF, :∠AHF=∠BEF=9O°，∠AFH=∠BFE,AF=BF」 .△AHF≌aBEF(AAS), .HIF =EF=3. :AD=AF,AH⊥DF, ..HF =DH=3, .DE=3+3+3=9 10117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17. 【详解】(I)证明：如图，过点A作AH⊥BC于点H, D AB=AC,AH⊥BC ...BH=CH, 又，AD=AE, ∴.DH=EH, .BD=CE (2)解：如图，过点A作AH⊥BC于点H, B D H ..AB=AC. .BH=CH, 又AH⊥BC,CM⊥AD, ∴.∠AHD=∠CMD=90°， 在△CMD和△AHD中， '∠CDM=∠ADH ∠CMD=∠AHD=90°， CD=AD ·aCMD≌aAHD(AAS), .DH DM, ..CD-BD=(CH+DH)-(BH-DH)=2DH=2DM=6. 18. 【详解】(1)解：：∠CAE=15°，∠BAD=2∠CAE, .∠BAD=30° 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD AB. .∠D=∠ABD=75°， .∠ABE=180°-∠ABD=105°， 又：∠ABC=90°， ∴.∠CBE=∠ABE-∠ABC=105°-90°=15°. ,△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°， .∠BAC=∠ACB=45°， .∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°， .∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-30°-105°=45°： (2)解：如图，分别过点AC作AF⊥DB,CG⊥DE,垂足分别为点F、G, D F B E G .∠AFB=∠ABC=∠CGB=90°， .AD=AB,AF⊥DB, ÷∠FAB=∠BAD, 2 ,∠BAD=2∠CAE, .∠FAB=∠CAE, .∠FAE=∠BAC=45°， ∴.∠AEF=∠FAE=45°， .EF AF, .∠FAB+∠FBA=∠FBA+∠CBG=90°， ∴.∠FAB=∠CBG. ∴.∠FAB=∠CBG=∠CAE, 在△BAF和△CBG中， ∠BAF=∠CBG ∠AFB=∠CGB, AB=BC .△BAF≌aCBG(AAS). 12117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AF =BG,BF=CG, .AF EF, .EF=BG. .BF=EG. ∴.CG=EG. .∠CEG=∠ECG=45°， :.∠AEC=180°-∠AEF-∠CEG=180°-45°-45°=90°， .AE⊥CE (3)解：AE=a,BE=b,CE=C, ∴.SABc=SA8E+S。AEC-SBEC BE-CG 2 G 0-EG 1 2 bEG b(BE+EG)+c- -jb(b+EG)+-ac--bEG 2 2 2 1e⊥bEG -W+36EG+-ac- 22 2 =b+-ac. 1 2 b+ 1 故答案为： 19 【详解】(1)解：①在图1中按题意补全图形如下图： ②线段BD、CD、EF之间满足的数量关系为：BD-CD=EF, 证明：：点D关于AC的对称点为F, ∴CD=CF, 13117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE=CF+EF =CD+EF, .BD=CE, ∴BD=CD+EF, .BD-CD=EF: (2)线段BD、CD、GF之间满足的数量关系为BD-CD=2GF或CD-BD=2GF.理由： 当点D在靠近点C处时，过点A作AH⊥BC于点H,如图， y G B D 由轴对称的性质，得∠ACD=∠ACF,CD=CF」 'AG⊥CE,AH⊥BC ∴.∠AHC=∠AGC=90°， 在△AHC和△AGC中， ∠AHC=∠AGC=90 ∠ACD=∠ACE AC=AC ∴.△AHC≌△AGC(AAS) .CH=CG」 ..CH-CD=CG-CF. .HD=GF, AB=AC,AH⊥BC, ∴BH=CH, BD-CD=BH+HD-CD=HD+CH-CD HD+HD+CD-CD=2HD, :..BD-CD=2GF: 当点D在靠近点B处时，过点A作AH⊥BC于点H,如图， 14117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD 由(I)知：∠ACD=∠ACF,CD=CF, :AG⊥CE,AH⊥BC, ∴.∠AHC=∠AGC=90°」 在△AHC和△AGC中， ∠AHC=∠AGC=90 ∠ACD=∠ACF AC=AC :.AAHC≌△AGC(AAS), .CH=CG. .CD-CH=CF-CG. ∴HD=GF :AB=AC,AH⊥BC, .BH=CH, CD-BD=CH+DH-BD=HD+BH-BD HD+BD+HD-BD=2HD, .CD-BD =2GF. 综上，线段BD、CD,GF之间满足的数量关系为BD-CD=2GF或CD-BD=2GF. 20. 【详解】(1)证明：：∠BCA=90,AC=BC,CF⊥CE, .∠CAB=∠B=45°，∠BCA=∠ECF=90°， .∠ACB-∠ACF=∠ECF-∠ACF,即∠BCF=∠ACE, :MN⊥AB, ∴.∠MAB=90° .∠CAE=90°-∠CAD=45°， ∴.∠CAE=∠B、 :△ACE≌aBCF(ASA): 15117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：DE=BD+AE,理由如下： 过点C作CF⊥CE,交AB延长线于点F,则∠ECF=90°， 同(I)得△ACE≌aBCF(ASA). .AE=BF,CE=CF, :∠DCE=45°. ∴.∠DCF=90°-∠DCE=45°=∠DCE. .CD=CD. ·.△CDE≌aCDF(SAS), .DE=DF, DF=BD+BF, ∴.DE=BD+AE: (3)解：过点C作CH⊥AB,垂足为H,则∠CHP=90°， M H N .∠CHP=∠EAP=90°， .AC=BC, , P为CE的中点， ..CP=EP, .∠CPH=∠EPA, 16117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.△APE≌aHPC(AAS). AP=HP-TAH-14B, 4 :△ACE≌aBCF(ASA),△CDE≌aCDF(SAS), S.ACE=S.BCFS.CDE=S.CDF, SEDC=S.ACE+S.CDE=SACE+S.CDF=S.ACE+S.CDB+S.C8F=2S.ACE+S.CDB, ∴S四边形HEDc-S,BCD=2S4ACE+S.cDB-SBCD=2S,ACE=16, ,S△AcE=8 ,△AEP与△ACP等底同高， 1 -CHP.CH-4S.ve6 2 17117面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03利用等腰三角形的三线合一作辅助线有关的四种模型 题型归纳 题型一等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 题型二等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 题型三等腰三角形中底边无中点时，作高求解 题型四等腰三角形中底边无中点时，作高证明 题型专练 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 1.(25-26九年级下河南周口阶段检测)如图在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点， DE⊥AC于点E,AE=5,则CE的长为 2.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6,D是BC的中点， E在边AB上，AE=2BE,若F在边AC上，满足DF=DB，,则四边形AEDF的面积是 E B 3.(25-26七年级下广东深圳期中)如图，RIAABC中，∠BAC=90，°AB=AC,点D为BC中点，点E 为BA延长线上一点，连接DE,作DF⊥DE,与AC的延长线相交于点F,若SAGE=4,SDGr=22,则 BC的长为一· 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 4.(25-26八年级上湖北孝感期中)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点， DE L AC于E. E D (I)求∠EDC的度数： (2)若AB=8,求CE的长. 5.(25-26八年级上河北廊坊阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,过BC的中点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F D (I)试说明：DE=DF: (2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数. 题型二：等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 6.(25-26八年级上河南周口期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是AB的中点， 点E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF. A D (I)求证：DE=DF: 217 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AC=8,求四边形DECF的面积. 7.(25-26八年级上吉林长春月考)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC,D是BC边的中点， DE⊥AB,DF⊥AC,点E、F为垂足.求证： B (1)DE=DF: (2)△DEF是等边三角形. 8.(25-26八年级上全国期末)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点P是斜边AB的中点， 点D,E分别在边AC,BC上，连接PD,PE.若PD⊥PE. B 图1 图2 (I)求证：PD=PE: (2)若点D,E分别在边AC,CB的延长线上，如图2，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？并加以 证明 9.(25-26八年级上辽宁大连期末)已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为BC的中点. B (I)如图，若点E,F分别为AB,AC上的点，且DE⊥DF,求证：AE=CF: (2)若点E,F分别为AB,AC延长线上的点，且AE=CF，,连接EF,则有∠DFE=∠ACB成立.请画出图 形，并给予证明。 10.(2026北京模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=2a,(45°<a<90°)，D是BC的 中点，E是BD的中点，连接AE.将射线AE绕点A逆时针旋转得到射线AM,过点E作EF⊥AE交射 线AM于点F. 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE D M (1)①依题意补全图形： ②求证：∠B=∠AFE; (2)连接CF,DF,用等式表示线段CF,DF之间的数量关系，并证明. 题型三：等腰三角形中底边无中点时，作高求解 11.(25-26八年级下·福建三明阶段检测)如图，∠A0B=60°，点P在边OA上，0P=15,点M,N在 边OB上，PM=PN.若MN=2,则OM的长为一 人60° MN B 12.(25-26八年级下陕西渭南阶段检测)如图，在等边△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心， AD的长为半径画弧交AC的延长线于点E,若AB=10,AD=9,则△CDE的周长为. B D 13.(25-26八年级上浙江杭州阶段检测)如图，等腰三角形△ABC中，AB=BC,底边AC=8cm,腰 长为5cm,一动点P以每秒0.25cm的速度沿底边从点A向点C运动，则点P运动到使PB与一腰垂直时所 花的时间是 秒 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(25-26八年级上全国假期作业)如图，在△ABC中，D是AB边上的一个动点，过点D作DE∥BC 交AC于点E,且DE平分∠ADC,在BC边上取点F,使LDFC=45° 1450 BF (I)求证：△BCD为等腰三角形； (2)过点D作DM⊥BC于点M,若BC=12,BF=2,求DM的长. 15.(25-26八年级上陕西西安期末)如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,AD∥BC,连 接CD. B (I)求证：△ACD等腰三角形： (2)若BC=16,AD=10,求△ABC的面积. 题型四：等腰三角形中底边无中点时，作高证明 16.(25-26八年级下陕西咸阳阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在CA的延长线上， DE⊥BC,垂足为点E,DE交AB于点F,已知F为AB的中点. D (I)求证：AD=AF: (2)若EF=3,求DE的长. 17.(25-26八年级上湖北荆门期末)如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC,AD=AE. 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (I)如图1，求证：BD=CE: (2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M,如果DM=3,求CD-BD的值. 18.(25-26八年级上江苏扬州阶段检测)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，△ABD为等腰 三角形，AD=AB=BC,点E为DB延长线上一点，且∠BAD=2∠CAE. D B H (L)若∠CAE=15°，则求∠CBE和∠AEB的度数： (2)求证：AE⊥CE: (3)若AE=a,BE=b,CE=c.请直接写出△ABC的面积为 (用含a,b,c的式子表示) 19.(25-26八年级上北京阶段检测)在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一个动点（点D不与点 B、C重合)，连接AD,点D关于AC的对称点为F,点E在射线CF上且CE=BD B D (I)若点D在BC边上的位置如图所示. ①在图中按题意补全图形： ②判断线段BD、CD、EF之间的数量关系，并证明； (②)过点A作直线CE的垂线，垂足为G,直接写出线段BDCD、GF之间满足的数量关系. 20.(25-26八年级上江苏南通阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，4C=BC,过点A作 MN⊥AB,点D在AB上（不与点A,B重合），作∠DCE=45°，∠DCE的边CE交直线MN于点E,连 接DE. 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 图1 图2 (I)如图l,当点E在射线AM上时，作CF⊥CE,CF交AB于点F,求证：△ACE≌△BCF; (②)如图2，当点E在射线AN上时，写出线段AE,DE,BD之间的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的基础上，若CE与AD交于点P,当P为CE的中点，且四边形AEDC的面积比△BCD的面积 大16时，直接写出△ABC的面积 717 专题03 利用等腰三角形的三线合一作辅助线有关的四种模型 题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 题型二 等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 题型三 等腰三角形中底边无中点时，作高求解 题型四 等腰三角形中底边无中点时，作高证明 题型一：等腰三角形中底边有中点时，连中线求解 1．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图在中，，，D为的中点，于点E，，则的长为_________． 【答案】15 【分析】连接，根据等腰三角形和含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D是的中点，E在边上，，若F在边上，满足，则四边形的面积是_______． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．连接，由，，求得，因为D为边的中点，所以，求得，点F与点重合，再根据，求得，根据，计算即可得到问题的答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴，， ∵D为边的中点， ∴，， ∵F在边上，满足， ∴点F与点重合或点F与点重合， ∵四边形， ∴只有点F与点重合一种情况， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，Rt中，，点为中点，点为延长线上一点，连接，作，与的延长线相交于点，若，则的长为______．    【答案】12 【分析】如图，连接AD，证明得，从而， 可得，求出即可求解． 【详解】解：如图，连接AD，   ，点D为中点， ∴，，， ， ， ∴ ， ， ， ∴， （负值舍去）， ． 4．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在中，，，为的中点，于． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了“等边对等角”、等腰三角形的“三线合一”、三角形内角和定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据“等边对等角”以及三角形内角和定理可得，再根据垂直的定义以及直角三角形两锐角互余即可解答； （2）如图：连接，根据等腰三角形的“三线合一”可得，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 于， ， ． （2）解：如图：连接， ，为的中点， ， 由（1）知，， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在中，，过的中点D作，垂足分别为点E，F. (1)试说明：； (2)若，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 题型二：等腰三角形中底边有中点时，连中线证明 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的转化，解题的关键是连接，利用等腰直角三角形三线合一的性质构造全等三角形，将四边形面积转化为三角形面积求解． （1）连接，利用等腰直角三角形性质得到，，再通过同角的余角相等证明，从而用证明，得到． （2）由得，将四边形的面积转化为，再利用计算． 【详解】（1）证明：连接． ∵ ，，点是的中点， ∴ ，，，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ （）， ∴ ． （2）解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， 点是中点， ∴ ． ∴ 四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 7．（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足．求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定等知识点，熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质是解题的关键． （1）先利用证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）得、，求出，进而得到即可证明结论． 【详解】（1）证明∵， ∴． ∵， ∴． ∵D是边的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴， ∴, ∵， ∴是等边三角形． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是斜边的中点，点，分别在边，上，连接，若． (1)求证：； (2)若点，分别在边，的延长线上，如图，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明． 【答案】(1)详见解析 (2)仍成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）已知，在中，，点D为的中点． (1)如图，若点E，F分别为上的点，且，求证：； (2)若点E，F分别为延长线上的点，且，连接，则有成立．请画出图形，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）连接，证明即可得； （2）画出图形，证明即可得． 【详解】（1）证明：如图①，连接． ∵， ∴为等腰直角三角形，． ∵点D为的中点， ∴，． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴； （2）解：画出图形，如图② 证明：连接．   ∵， ∴. 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴． 10．（2026·北京·模拟预测）如图，在中，，，（），是的中点，是的中点，连接．将射线绕点逆时针旋转得到射线，过点作交射线于点． (1)①依题意补全图形； ②求证：； (2)连接，，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①如图，即为所求； ； ②证明：连接， ∵，，是的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)解：， 证明如下：延长至点H，使得，连接，如图所示： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②根据题意得出，，，再由直角三角形两锐角互余即可证明； （2）延长至点H，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）①略 ②略 （2）略 题型三：等腰三角形中底边无中点时，作高求解 11．（25-26八年级下·福建三明·阶段检测）如图，，点在边上，，点，在边上，．若，则的长为______． 【答案】 【分析】作于H，如图，根据等腰三角形的性质得，在中由得到，则根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后计算即可． 【详解】解：作于H，如图，    ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在等边中，是边上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点，若，，则的周长为__________． 【答案】 【分析】过点作，由可得，再结合等边的角推导出，最后代入周长公式计算． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 的周长为． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，等腰三角形中，，底边，腰长为，一动点P以每秒的速度沿底边从点A向点C运动，则点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是________秒． 【答案】7或25 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 过点B作于点D，根据等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得．设点P运动t秒，则，，分两种情况讨论：①时，根据勾股定理有，据此得到关于t的方程，求解即可；②时，由①同理可求． 【详解】解：过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴在中，． 设点P运动t秒，则，， 当时， ， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴当与腰垂直时所花的时间是7秒； 当时， ， ∵在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴当与腰垂直时所花的时间是25秒． 综上所述，点P运动到使与一腰垂直时所花的时间是7秒或25秒． 故答案为：7或25． 14．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 15．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)48 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）过点A作，垂足为，根据等腰三角形三线合一的性质结合勾股定理求出，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型四：等腰三角形中底边无中点时，作高证明 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，点D在的延长线上，，垂足为点E，交于点F，已知F为的中点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)9 【分析】（1）由，根据等边对等角的性质，可得，又由，根据等角的余角相等，可得，又由等角对等边，可证得． （2）过点作，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点作， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，点D，E在的边上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质． （1）利用等腰三角形三线合一的性质进行证明即可； （2）通过构造辅助线，利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质进行线段的等量代换和计算． 【详解】（1）证明：如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过点A作于点H， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，为等腰直角三角形，，为等腰三角形，，点为延长线上一点，且． (1)若，则求和的度数； (2)求证：； (3)若，，．请直接写出的面积为__________．（用含的式子表示） 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（）根据等腰三角形的 性质可得，即得，进而可得，又由等腰直角三角形的性质得，进而得到，即可求解； （）分别过点作，，垂足分别为点，可证，得到，再证明，得到，，进而得到，即得，即得到，即可求证； （）根据解答即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，分别过点作，，垂足分别为点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·北京·阶段检测）在等腰中，，是边上一个动点（点不与点重合），连接，点关于的对称点为，点在射线上且． (1)若点在边上的位置如图所示． ①在图中按题意补全图形； ②判断线段之间的数量关系，并证明； (2)过点作直线的垂线，垂足为，直接写出线段之间满足的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见详解 (2)或 【分析】本题考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，分类讨论的思想是解题的关键． （1）①按要求画出图形即可；②利用轴对称的性质，得，由求解即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解：当点在 靠近点处 时，过点作于点, 利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和等式的性质解答即可；当点在靠近点处时，过点作于点, 利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和等式的性质解答即可． 【详解】（1）解：①在图1中按题意补全图形如下图： ②线段之间满足的数量关系为：, 证明：点关于的对称点为, ， ∴， ， ， ； （2）线段之间满足的数量关系为或. 理由： 当点在 靠近点处时，过点作于点，如图， 由轴对称的性质，得, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在 靠近点处时，过点作于点，如图， 由（1）知：, ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，线段之间满足的数量关系为或. 20．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，过点A作，点D在上（不与点A，B重合），作，的边交直线于点E，连接． (1)如图1，当点E在射线上时，作，交于点F，求证：； (2)如图2，当点E在射线上时，写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的基础上，若与交于点P，当P为的中点，且四边形的面积比的面积大16时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质和角的和差证明和，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）证明，，再根据全等三角形对应边相等得出，即可求解； （3）先证明，得出，再根据，，得出，根据，可得，最后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点C作，交延长线于点F，则， 同（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点C作，垂足为H，则， ∴， ∵， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与等底同高， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $