（6）容斥问题进阶-2026年枫叶新希望数学四升五

NEW HOPE CUP 新异望杯 第六讲 容斥问题进阶 驱动思维 【驱动1】 如下图，在维恩图中间画一条横线，横 线上方表示四年级，下方表示五年级： 数学 作文 四 ① ② ③ 五 ④ ⑤ ⑥ 五年级只参加作文竞赛的人数即⑥，由 图可知： 四年级参加竞赛的人数： 60+50-40=70(人) 五年级参加竞赛的人数： 180-70=110(人) 五年级只参加作文竞赛的人数： 80-(75+80-110)=35(人) 答：五年级只参加作文竞赛的人数是35 人。 【练习1】 画维恩图如下，在中间画一条横线，横 线上方表示男生，下方表示女生： 田赛 径赛 男 ① ② ③ 女 ④ ⑤ ⑥ 田赛和径赛都参加的女生即⑤，由图可 知： 参加比赛的男生总人数： 100+85-40=145(人) 参加比赛的女生总人数： 270-145=125(人) 田赛和径赛都参加的女生人数： 80+70-125=25(人) 答：田赛和径赛都参加的女生人数是25 人。 【驱动2】 根据题意画维恩图如下， 美术 音乐 体育 ① ② ③ ④ ⑤ 由题可知②表示既参加音乐组又参加美 术组的15人，④表示既参加音乐组又 参加体育组的3人，⑤表示只参加体育 组的人， 只参加音乐组的人数： 21-15-3=3（人) 参加体育组的人数：55-22-3=30（人） 只参加体育组的人数：30-3=27（人） 答：只参加体育组的有27人。 【练习2】 根据题意画维恩图如下， 数 语 外 ① ② ③ ④ ⑤ 由题可知： 参加数学小组人数：①+②=25人 参加语文小组人数：②+③+④=27人， 参加外文小组人数：④+⑤=24人， ②表示既参加数学小组又参加语文小组 参考答案 的11人， ④表示既参加语文小组又参加外文小组 的13人， 总人数：25+27+24-11-13=52（人） 答：五（一）班有52名同学。 【驱动3】 画维恩图如下， 红 黄 蓝 由图可知：总人数=红旗+黄旗+蓝旗- 红黄-黄蓝-红蓝+红黄蓝 36+28+20-18-16-9+7=48(人) 答：一共有48人参加游戏。 【练习3】 盖住面积=A面积+B面积+C面积-AB重 叠-BC重叠-AC重叠+公共面积 60=30+25+18-6-8-7+公共面积 60=52+公共面积 公共面积=60-52=8 答：A、B、C三个图形的公共面积是8。 【驱动4】 根据题意画维恩图如下，将图分成7部分， 乒乓球 ① ⑥ ⑦ 羽毛球 ② 排球 ⑤ ③ 至少参加其中两项的有④⑤⑥⑦，参加 NEW HOPE CUP 新养望杯 全部三项的是⑦， 至少参加一项的人数： 20+20+12-10-5=37(人) 三项都没参加的人数：50-37=13（人） 答：三项都没参加的学生有13人。 【练习4】 根据题意画维恩图如下，将图分成7部分， 乒乓球 ① ④ ⑥ ⑦ 羽毛球 ② ③ 排球 ⑤ 参加其中两项的有④⑤⑥，参加全部三 项的是⑦， 至少参加一项的人数： 20+20+12-10-5×2=32(人) 三项都没参加的人数：50-32=18（人） 答：三项都没参加的学生有18人。 【驱动5】 100÷2=50 能被2整除的数有50个： 100÷3=33…1 能被3整除的数有33个； 100÷5=20 能被5整除的数有20个： 100÷(2×3)=16…4 能同时被2和3整除的数有16个； 100÷(3×5)=6…10 能同时被3和5整除的数有6个： 100÷(2×5)=10 能同时被2和5整除的数有10个： 100÷(2×3×5)=3…10 能同时被2、3、5整除的数有3个。 能被2或3或5整除的数： 50+33+20-16-6-10+3=74(个) 答：在1~100中，能被2或3或5整除 的数有74个。 【练习5】 300÷4=75 隔4厘米的记号有74个： 300÷5=60 隔5厘米的记号有59个： 300÷6=50 隔6厘米的记号有49个： 300÷(4×5)=15 4厘米和5厘米记号重合的有14个： 300÷(5×6)=10 5厘米和6厘米记号重合的有9个； 300÷(4×6)=12…12 4厘米和6厘米记号重合的有12个： 300÷(4×5×6)=2…60 4厘米、5厘米和6厘米三个记号重合的 有2个。 记号的总个数： 74+59+49-14-9-12+2=149(个) 149+1=150(段) 答：绳子一共被分成150段。 【驱动6】 根据题意画维恩图如下， 篮球 30 ① 排球 ④ ⑦ ② ⑤ ③ 足球 三个球队都没参加人数=总人数-至少 参加一个球队人数， 没参加球队的人数最多即参加球队的人 数最少， 篮球队人数+足球队人数+排球队人数 =参加一支球队人数+2倍参加两支球队 人数+3倍参加三支球队人数： 参加一支球队人数+2倍参加两只球队 人数=(18+16+24)-3×7=37（人） 要使参加球队的人数少，那么参加两支 球队的人数就要多， 37÷2=18…1,所以参加两支球队人 数最多18人，1人只参加了一支球队， 30-7-18-1=4(人) 答：该班男生中三个球队都没参加的最 多有4人。 【练习6】 根据题意画维恩图如下， 游泳 56 ① 溜冰 ④ ⑥ ⑦ ② ⑤ ⊙ 骑车 由图可知：会游泳人数+会骑车人数+ 会溜冰人数=①+②+③+④+⑤+⑥ +⑦+④+⑤+⑥+⑦+⑦， 总人数=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦+ 都不会人数： 则：（会游泳人数+会骑车人数+会溜 冰人数)-2倍总人数=⑦-（①+②+③ +都不会人数)， 要是会三项人数即⑦最少， ①+②+③+都不会人数=0， (40+36+42)-2×56=6(人) 答：三样都会的至少有6人。 参考答案 基础强化 1.分成50份，有49个分点，每份长度： 200÷50=4(毫米)： 分成40份，有39个分点，每份长度： 200÷40=5(毫米)： 200÷(4×5)=10(个)，有9个分 点重合， 49+39-9=79(个) 答：线段上一共有79个分点。 2.参加竞赛的男生：140+90-75=155（人） 参加竞赛的女生：100+130-70=160（人）》 总人数：155+160=315（人） 答：该校参加竞赛的总人数是315人。 3.120+100+85-30-25-40+16=226(人) 答：三个学科至少爱好一科的学生有 226人。 4.48+18+8+12-34-28-20=4(人) 答：三个地方都去过的有4人。 5.由题意画图分析如下： 数学作文美术 20 (1)只参加数学竞赛人数： 63-20=43(人) (2)只参加作文竞赛人数： 45-20-14=11(人) (3)只参加美术竞赛人数： 120-43-20-11-14=32(人) 答：(1)只参加数学竞赛有43人。 (2)只参加作文竞赛有11人。 (3)只参加美术竞赛有32人。 NEW HOPE CUP 新异望杯 6.由题意画图分析如下： 中国 60 象棋 ① (⑥ ⑦ ② ⑤ ③ 围棋 国际 象棋 至少会一种的人数： ①+②+③+④+⑤+⑥+⑦=60-8 =52(人)》 会两种的人数：④+⑤+⑥=30人 ①+②+③+④+⑤+⑥+④+⑤+⑥+ ⑦+⑦+⑦=46+18+24=88（人） 三种棋都会的人： ⑦=(88-52-30)÷2=3（人） 答：三种棋都会的人有3人。 7.240÷3=80,报数是3的倍数有80人： 240÷5=48,报数是5的倍数有48人： 240÷7=34…2,报数是7的倍数有 34人： 240÷(3×5)=16,报数即是3又是5 的倍数有16人： 240÷(5×7)=6…30,报数即是5 又是7的倍数有6人： 240÷(3×7)=11…9,报数即是3又 是7的倍数有11人： 240÷(3×5×7)=2…30,报数即 是3又是5又是7的倍数有2人： 转动的总人数： 80+48+34-16-6-11+2=131(人) 240-131=109(人) 答：还有109人面对教练。 8.三样都不会的人数=总人数一至少会一 样的人数， 三样都不会的人数最多即至少会一样的 人数最少， 会唱歌人数+会跳舞人数+会画画人数 =会一样人数+2倍会两样人数+3倍会 三样人数： 会一样人数+2倍会两样人数= (40+35+48)-3×17=72(人) 要使至少会一样的人数最少，那么会两 样的人数就要多， 72÷2=36,所以会两样的人数最多36 人，没有人只会一样， 60-36-17=7(人) 答：三样都不会的最多有7人。风叶热学 数学 四升五数学探究 五年级·夏 枫叶新希望研发中心 日录 第一讲整数计算综合 第二讲数的倍数特征（一） 12 第三讲奇偶性分析 23 第四讲假设法解题 34 第五讲盈亏问题进阶 45 第六讲容斥问题进阶 …56 第七讲加乘原理…。 67 第八讲阶段复习（一） 78 第九讲平均数问题进阶 89 第十讲简易方程（一） 100 第十一讲位值原理与进位制 111 第十二讲火车过桥问题…122 第十三讲流水行船问题 133 第十四讲相遇追及问题 。“04000。。000.0.0。。。。。440.0.00。。。。。。。4.8。。。。。。。。。8044.00。。0。。g。0.44 第十五讲最不利原则 155 第十六讲阶段复习（二）》 166 人物介绍 欣欣老师 旺旺老师 茜茜老师 有耐心、多才 开明、博学多才、 时尚、美丽大方、 多艺、平易近人。 和学生打成一片。 授课风趣幽默。 祥子 大壮 老王 思想活跃、总是有新 慈祥、守旧、 想法蹦出、喜欢创新 勤劳勇敢、正直。 善良、勤俭节约。 NEW HOPE CUP 新养生杯 第六讲 容斥问题进阶 圓说数学 学校有80位外语教师， 法语 有60位懂法语，63位懂英语， 56位懂日语。懂这三种语言的 共有40位。那么至少懂两种 外语的教室有几位？ 英语 日语 可以画图来解 决这个问题。 我知道了！先把懂外语 的人数全加起来，再减 去重复计算的。 60+63+56-80-40=59(人) 懂一门 懂两门 懂三门 6 可以把图 分解开！ 容斥问题进阶 动思维 驱动1 某校学生参加数学竞赛和作文竞赛，四年级有60人参加数学竞赛， 50人参加作文竞赛：五年级有75人参加数学竞赛，80人参加作文竞赛： 两个年级参赛总人数为180人，四年级两科都参加的有40人。那么五年 级只参加作文竞赛的人数是多少？ “数学竞赛”和“作文竞赛”可以 画两个圈用维恩图表示，“四年级” 和“五年级”又该怎么表示呢？ 练习 希望小学举办田径比赛，共270人参加，有100名男生和80名女生 参加田赛，有85男生和70名女生参加径赛，田赛和径赛都参加的男生 有40人，田赛和径赛都参加的女生有多少人？ NEW HOPE CUP 新养生杯 驱动2 五(1)班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组。有22人参 加美术组，有21人参加音乐组，其中15人既参加音乐组又参加美术组， 3人既参加音乐组又参加体育组，但没有一人既参加美术组又参加体 育组。那么只参加体育组的有多少人？ 根据题意画 出维恩图分析。 练月2】 五（一)班同学参加语、数、外学习兴趣小组，每个同学至少参加 一个小组，参加语文小组的有27人，参加数学小组的有25人，参加外 文小组的有24人，11人既参加数学小组又参加语文小组，13人既参加 语文小组又参加外文小组，没有人既参加数学小组又参加外文小组。五 (一)班有多少名同学？ 容斥问题进阶 驱动3 些学生手中分别拿红、黄、蓝三种旗做游戏。已知有36人手中拿 红旗，28人手中拿黄旗，20人手中拿蓝旗，18人手中拿红、黄两种旗， 16人手中拿黄、蓝两种旗，9人手中拿红、蓝两种旗。手中拿红、黄、 蓝三种旗的有7人，一共有多少人参加游戏？ 三者之间的容斥问题 同样可以画维恩图分析。 练月3 如图所示，A、B、C分别代表面积为30、25、18的三张不同形状的 纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是60，且A与B、B与C、C与A 公共部分的面积分别是6、8、7，求A、B、C三个图形公共部分（阴影 部分)的面积。 NEW HOPE CUP 新养生杯 驱动4 某班有学生50人，参加乒乓球小组，羽毛球小组和排球小组的人数 分别是20人、20人和12人，至少参加其中两项的有10人，参加全部三 项的有5人。那么三个小组都没参加的学生有多少人？ 至少参见两项 的人包含哪些？ 练月(4 某班有学生50人，参加乒乓球小组，羽毛球小组和排球小组的人数 分别是20人、20人和12人，参见其中两项的有10人，参加全部三项的 有5人。那么，三个小组都没参加的学生有多少人？ 容斥问题进阶 驱动5 在1~100中，能被2或3或5整除的数有多少个？ 重叠部分的 数有什么特点？ 练（⑤】 根300厘米的绳子，从一段开始每隔4厘米做一个记号，每隔5 厘米也做一个记号，每隔6厘米再做一个记号，然后将有记号的地方间断， 绳子共分成了几段？ NEW HOPE CUP 新养坐杯 驱动6 一个班有30名男生。其中参加篮球队的有18人，参加排球队的有 16人，参加足球队的有24人。三个球队都参加的有7人，那么该班男生 中三个球队都没参加的最多有多少人？ 什么情况下三个球队 都没参加的人数最多？ 练6】 五（一）班有56人，其中会游泳的有40人，会骑车的有36人，会 溜冰的有42人，那么这个班三样都会的至少有多少人？ 容斥问题进阶 宴础强化 一条线段长200毫米，枫枫把它平均分成50份后，叶叶再把它平均 分成40份。这时，线段上一共有多少个分点？【难度系数★】 2.某校参加数学竞赛的有140名男生和100名女生，参加语文竞赛的有 130名女生和90名男生。其中有75名男生和70名女生两科竞赛都参 加了，那么该校参加竞赛的总人数是多少？【难度系数★】 3.一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文，85人爱好科学，30人 既爱好数学又爱好语文，25人既爱好语文又爱好科学，40人既爱好 科学又爱好数学，有16人三个学科都爱好。这个年级中数学、语文、 科学三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人？【难度系数★★】 NEW HOPE CUP 新养坐杯 4. 五年级一班有48名学生，其中去过植物园的有34人，去过野生动物 园的有28人，去过极地海洋世界的有20人，既去过植物园也去过野 生动物园的有18人，既去过野生动物园也去过极地海洋世界的有8， 既去过植物园也去过极地海洋世界的有12人，没有人三个地方都没 去过。五年级一班这三个地方都去过的有多少人？【难度系数★★】 5.某小学120名学生参加数学、作文、美术竞赛。有63人参加数学竞赛， 45人参加作文竞赛，其中20人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，14 人既参加作文竞赛又参加美术竞赛，但没有一人既参加数学竞赛又 参加美术竞赛。（1)只参加数学竞赛的有多少人？(2)只参加作文 竞赛的有多少人？(3)只参加美术竞赛的有多少人？ 【难度系数★★★】 6.某班有60名学生，会下中国象棋的有46人，会下围棋的有18人， 会下国际象棋的有24人，其中会两样的有30人。三种棋都不会下有 8人，那么三种棋都会的学生有多少人？【难度系数★★★】 容斥问题进阶 7.参加大型团体操表演的同学共有240名，他们面对教练站成一排，自 左至右按1,2,3,4，…依次报数，教练让每个同学记住自己报的数并 做以下动作：先让报数是3的倍数的学生向右转，接着又让报数是5 的倍数的学生向右转，最后让报数是7的倍数的学生向后转，此时还 有多少名学生面对教练？【难度系数★★★】 8.五（三)班有60名同学，其中会唱歌的有40人，会跳舞的有35人， 会画画的有48人，三样都会的有17人，那么最多有几个人三样都不 会？【难度系数★★★★】 官后凤惯 我的表现 我得了一颗星 我的收获 家长观察 老师点评