专题8 智慧广场-容斥问题（专项训练）四年级数学暑假专项提升（青岛版）

**基本信息** 以“概念-工具-公式-应用”为逻辑链，系统构建集合重叠问题解题体系，通过韦恩图直观表征与三大公式灵活应用，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |概念与工具|30题（选择6/填空10/判断6/解答8）|韦恩图标注规范（单类/重叠区域）|从生活重叠现象抽象核心概念，用韦恩图直观区分数量关系| |公式体系|覆盖基础与含空白人数拓展题型|三大核心公式（总数量=两类和-重叠等）及逆用|基于“重复部分减1次”原理推导公式，形成正向/反向计算逻辑| |解题流程|含兴趣班/比赛等生活场景题|五步解题法（审题找量→判断题型→画图辅助→计算→检验）|通过“找量-匹配公式-验证”流程强化解题规范性| |易错规避|高频易错点5类（如重叠数≤单类）|“和减总得重叠”等记忆口诀|针对直接相加、忽略空白等误区，结合反例深化理解|

专题8 智慧广场 一、集合问题核心概念 集合问题也叫重叠问题，是青岛版四年级下册智慧广场重点内容。生活中两类事物存在重复、重叠的情况，不能直接相加计算总数，需要去掉重复重叠的部分，这就是集合重叠问题的核心逻辑。 本单元只考查两个集合重叠的基础题型，不涉及三个及以上集合复杂重叠问题。 二、韦恩图（集合图）认识与画法 韦恩图是解决重叠问题的专属图形，用两个相交的圆圈表示两类事物，直观区分只属于一类、两类重叠的部分。 图形各部分含义 左侧单独区域：只参加第一项、只属于第一类的数量（无重叠）； 右侧单独区域：只参加第二项、只属于第二类的数量（无重叠）； 中间相交重叠区域：两项都参加、两类都包含的重复数量（重叠部分）。 规范画法步骤 画两个部分相交的圆圈； 标注两类事物的名称； 对应填入只单类、两类重叠的数量。 三、集合问题三大核心公式（必考） 所有重叠问题均可通过以下三个公式求解，根据已知条件灵活选用。 求总数量（最常用） 总数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 重叠（重复）数量 原理：两类数量直接相加，重叠部分被算了2次，需要减去1次。 求重叠（重复）数量 重叠数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 总数量 求单类未知数量 一类数量 = 总数量 + 重叠数量 − 另一类数量 四、集合问题常见基础题型 1. 已知两类数量、重叠数，求总数 典型场景：报名两种兴趣班、参加两项比赛、购买两种物品等，已知分别参与人数和两项都参与人数，求总人数。 示例：一班有20人参加跳绳，18人参加跑步，其中8人两项都参加，无人不参加，求班级参赛总人数。 计算：20+18-8=30（人） 2. 已知两类数量、总数，求重叠数 典型场景：已知两类参与人数和总人数，求两项都参与的重复人数。 3. 已知总数、重叠数、一类数量，求另一类数量 反向题型，考查公式逆用，是考试高频填空题、选择题考点。 4. 含空白人数的拓展题型 部分题目存在两项都不参与的人数，解题公式： 实际参与总数 = 总人数 − 两项都不参与人数 再代入基础重叠公式计算。 五、集合问题标准解题步骤 审题找量：找出题目中的第一类数量、第二类数量、重叠数量、总数量、空白数量； 判断题型：明确已知什么、求什么，匹配对应公式； 画图辅助：复杂题目画韦恩图，区分单类、重叠、空白部分； 列式计算：代入公式准确计算； 检验核对：验证重叠数不大于任意一类数量，总数计算合理； 规范作答：完整书写单位与答语。 六、高频易错知识点总结 误区1：两类数量直接相加就是总数量。 正解：存在重叠部分时，重复数据被累加两次，必须减去重叠数。 误区2：重叠数量可以大于单类数量。 正解：重叠部分是两类共有的数量，重叠数一定≤任意一类数量。 误区3：忽略“两项都不参加”的人数。 正解：总人数包含参与人数和未参与人数，需先剔除空白人数再计算重叠。 误区4：混淆“只参加一类”和“参加一类总人数”。 正解：一类总人数=只参加该类人数+两类都参加人数，不可混淆计算。 误区5：公式逆用出错，求重叠数忘记用两类和减去总数。 正解：牢牢记住核心逻辑：和减总得重叠。 七、核心考点汇总 认识韦恩图，能读懂、绘制简单的集合重叠图； 正向公式应用：已知两类数、重叠数求总数； 反向公式应用：已知总数、两类数求重叠数； 含空白人数的拓展重叠问题计算； 结合生活场景（兴趣班、比赛、购物、统计）解决实际重叠应用题。 一、选择题 1．四年级参加泥塑社团的有25人，参加印染社团的有20人，参加这两个社团的一共有37人，两个社团都参加的有（    ）人。 A．7 B．8 C．9 【答案】B 【分析】由题意得，可以先把参加泥塑社团的人数和参加印染社团的人数加起来，得数肯定比37人多。因为把两个社团都参加的人算了两次，直接用前面的得数减去37即可算出两个社团都参加的人数。 【详解】25＋20－37 ＝45－37 ＝8（人） 两个社团都参加的有8人。 故答案为：B 2．我们现在用的可调桌椅可以根据身高调节课桌椅的高度，对视力和脊椎都有好处。一张可调课桌的上半部分高48厘米，下半部分高32厘米，重叠部分14厘米，这张桌子的实际高度是（    ）厘米。 A．80 B．66 C．94 【答案】B 【分析】首先，将桌子的上半部分高度和下半部分高度相加；然后，减去重叠部分的高度，就得出这张桌子的实际高度。据此解答即可。 【详解】 （厘米） 所以这张桌子的实际高度是66厘米。 故答案为：B 3．“六一”汇演，有32人要表演舞蹈，有58人要参加合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有15人，参加这两项演出的一共有（    ）人。 A．105 B．90 C．75 【答案】C 【分析】参加表演舞蹈的人数＋参加合唱的人数－既要表演舞蹈又要参加合唱的人数＝参加这两项演出的总人数；据此解答。 【详解】根据分析：32＋58－15＝75（人），所以参加这两项演出的一共有75人。 故答案为：C 【点睛】掌握“集合问题”的计算方法是解答本题的关键。 4．四（3）班共有40人，会打篮球的有21人，会游泳的有18人，两种运动都不会的有10人，两种运动都会的有（    ）人。 A．7人 B．8人 C．9人 【答案】C 【分析】会打篮球的人数加会游泳的人数，再加两种运动都不会的人数，然后减去四（3）班的人数，即等于两种运动都会的人数。 【详解】21＋18＋10－40 ＝39＋10－40 ＝49－40 ＝9（人） 故答案为：C 【点睛】本题是集合问题，分析清楚各个量之间的关系是解答本题的关键。 5．同学们课间加餐，每人至少预定1种。其中预定酸奶的有26人，预定纯奶的有18人，两种都预定的有8人。全班有（    ）人。 A．44 B．36 C．28 【答案】B 【分析】要求全班人数，先用预定酸奶的人数加上预定纯牛奶的人数，再减去两种都预定的人数即可。 【详解】26＋18－8＝36（人） 故答案为：B 【点睛】熟练掌握当两部分的人数有重复时，求总数应减去重复的部分是解答本题的关键。 6．同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有120人，参观老虎馆的有110人，两个馆都参观的有28人。去动物园的同学一共有（     ）人。 A．230 B．202 C．17 【答案】B 【解析】去动物园的同学一共有的人数=参观熊猫馆的人数+参观老虎馆的人数-两个馆都参观的人数，据此代入数据作答即可 【详解】120+110-28=202，所以去动物园的同学一共有202人。 故答案为：B。 二、填空题 7．趣味运动会上，某班参加夹球跳的有25人，参加旋风跑的有18人，两项都参加的有7人，这个班一共( )人参加了趣味运动会。 【答案】36 【分析】先用参加夹球跳的人数加上参加旋风跑的人数，再减去重复计算的7个人，即可算出这个班一共有多少人参加了趣味运动会。据此解答。 【详解】25＋18－7 ＝43－7 ＝36（人） 这个班一共36人参加了趣味运动会。 8．实验小学四（1）班43名同学都参加了校园公益宣传活动，其中参加“制作宣传画”的有20名，参加“变废为宝作品展”的有28名，两项都参加的有( )名同学。 【答案】5 【分析】根据题意，用参加“制作宣传画”的人数加上参加“变废为宝作品展”的人数，则两项都参加的人数被加了两次，再减去全班人数就是两项都参加的人数。 【详解】20＋28－43 ＝48－43 ＝5（名） 所以，两项都参加的有5名同学。 9．四年级二班有44人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会的有10人。两种棋都会的有( )人。 【答案】4 【分析】已知四年级二班共有44人，其中两种棋都不会的有10人，那么至少会一种棋的人数为：44－10＝34（人）；会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，则会下象棋的人数与会下围棋的人数之和为：21＋17＝38（人）；因为两种棋都会的人在会下象棋的人数中计算了一次，在会下围棋的人数中又计算了一次，即这部分人被重复计算了一次，所以用会下象棋的人数与会下围棋的人数之和减去至少会一种棋的人数，就可得到两种棋都会的人数， 【详解】（21＋17）－（44－10） ＝38－34 ＝4（人） 所以，四年级二班有44人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会的有10人。两种棋都会的有4人。 10．四（1）班有48人参加数学素养大赛，只有A、B两道大题，每人至少答对一道大题，其中答对A题的有28人，既答对A题又答对B题的有7人，那么答对B题的有( )人。 【答案】27 【分析】根据题意可知：做对A题的人数＋做对B题的人数－两道题都做对的人数＝参赛的总人数，则做对B题的人数＝参赛的总人数＋两道题都做对的人数－做对A题的人数，依此列式并计算即可。 【详解】48＋7－28 ＝55－28 ＝27（人） 答对B题的有27人。 11．《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》是2025年我国两部优秀的电影，四（2）班有45位同学，看了《哪吒之魔童闹海》的有34人，看了《唐探1900》的有25人，两部电影都没看的有10人。两部电影都看了的有( )人。 【答案】24 【分析】全班总人数减去两部电影都没有看的人数可以算出看过电影的人数，再用两部电影观看人数之和减去看过电影的人数，得到两部都看的人数。 【详解】全班共有45人，其中10人两部都没看，因此看过电影的同学有： 45－10＝35（人） 看了《哪吒之魔童闹海》的有34人，看了《唐探1900》的有25人，两者相加为： 34＋25＝59（人） 由于59人中重复计算了两部都看的人数，因此两部都看的人数为： 59－35＝24（人） 两部电影都看了的有24人。 12．2025年《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《哪吒之魔童闹海》的有31人，看了《唐探1900》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有( )人。 【答案】20 【分析】根据题意，全班共有43人，其中9人两部都没看，因此至少看过一部电影的同学有43－9＝34（人），那么看过《哪吒之魔童闹海》的有31人，看了《唐探1900》的有23人，31＋23相加后两部电影都看过的人数重复算了一次，所以用31＋23的人数减去至少看过一部电影的同学人数34，即为两部电影都看了的人数。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 43－9＝34（人） 31＋23－34 ＝54－34 ＝20（人） 两部电影都看了的有20人。 13．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有________人。 【答案】15 【分析】参加数学竞赛的男生和女生有（120＋80＝200）人，参加英语竞赛的男生和女生有（120＋80＝200）人，用参加数学竞赛和参加英语竞赛的人数总和减去该校参加竞赛的学生人数，求出两科都参加的人数；已知两科都参加的男生人数有75名，用两科都参加的人数减去两科都参加的男生人数，计算出两科都参加的女生人数；最后用参加数学竞赛的女生人数减去两科都参加的女生人数，所得差即为参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数。 【详解】两科都参加的学生人数： （120＋80＋120＋80）－260 ＝400－260 ＝140（人） 两科都参加的女生人数：140－75＝65（人） 80－65＝15（人） 因此参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有15人。 14．四年级一班有45人，喜欢体育项目的有31人，喜欢文艺项目的有22人，每人至少喜欢一种项目，两种项目都喜欢的有( )人。 【答案】8 【分析】根据题意，将喜欢体育项目的人数与喜欢文艺项目的人数相加，再减去四年级一班的总人数即可。 【详解】31＋22－45 ＝53－45 ＝8（人） 两种项目都喜欢的有8人。 15．四年级（2）班订《少年报》和《数学报》两种报纸，每人至少订一种，订《少年报》有28人，订《数学报》的有30人，两种都订的有16人，全班共有( )人。 【答案】42 【分析】订《少年报》有28人与订《数学报》的有30人相加的和中，有两种都订的人数重复计算了一次，所以总人数＝订《少年报》的人数＋订《数学报》的人数－两种都订的人数。 【详解】30＋28－16 ＝58－16 ＝42（人） 全班共有42人。 16．为了提高学生体质，培养团队合作精神，学校举办了“趣味运动会”活动。四（1）班45人，参加两人三足比赛的有16人，参加跳绳比赛的有22人，两项都未参加的有11人，两项比赛都参加的有( )人。 【答案】4 【分析】四（1）班总人数－两项都未参加的人数＝参加比赛的人数，再用参加两项比赛的总人数减去参加比赛的人数，即可求出两项比赛都参加的人数。据此解答。 【详解】16＋22－（45－11） ＝38－34 ＝4（人） 所以两项比赛都参加的有4人。 三、判断题 17．三（1）班举行100米和200米短跑比赛，其中有10人参加了100米，8人参加了200米。那么参赛人数一定共有18人。( ) 【答案】× 【分析】题目中提到有10人参加了100米，8人参加了200米，但没有明确说明这18人是否都是参赛者，也没有明确说明是否每个人都只参加了一项比赛。分析参赛人数的可能情况，如果10人参加了100米，8人参加了200米，那么参赛人数最多是18人。但是，如果有人同时参加了100米和200米，那么参赛人数就会少于18人。因此，参赛人数不一定共有18人。 【详解】根据分析得：题中没有说明同时参加这两项比赛的有多少人，所以不一定有18人。题中说法错误。 故答案为：× 18．四年级一班参加数学社团的有24人，参加科学社团的有20人，参加这两个社团的一共有35人，两项都参加的有9人。( ) 【答案】√ 【分析】由题意得，可以先把参加数学社团的人数和参加科学社团的人数加起来，24＋20＝44，得数比总人数35人多。这是因为把两个社团都参加的人算了两次，所以再用前面的得数44减去35，即可求出两个社团都参加的人数。 【详解】24＋20－35 ＝44－35 ＝9（人） 即两项都参加的有9人，原说法正确。 故答案为：√ 19．三（1）班同学到动物园游玩，规定只能参观熊猫馆或大象馆。参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有30人，所以去动物园的一共有55人。( ) 【答案】√ 【分析】规定只能参观熊猫馆或大象馆，有2种情况，一是只参观熊猫馆，二是只参观大象馆，所以参观人数＝只参观熊猫馆人数＋只参观大象馆人数，据此计算后判断。 【详解】25＋30＝55（人） 所以，去动物园的一共有55人。即原题说法正确。 故答案为：√ 20．三（1）班有36名同学，会下围棋的有16人，会下军棋的有14人，两种棋都不会的有10人，两种棋都会的有4人。( ) 【答案】√ 【分析】先用总人数减去两种棋都不会的人数即为会一种及以上的人数，再用会下围棋的人数加上会下军棋的人数，最后减去会一种及以上的人数即为两种棋都会的人数，据此解答即可。 【详解】36－10＝26（人） 16＋14－26 ＝30－26 ＝4（人） 两种棋都会的有4人。原题说法正确。 故答案为：√ 21．三（1）班有40人参加了美术兴趣小组和音乐兴趣小组，其中参加美术小组的有24人，参加音乐小组的有28，其中有12人参加了美术小组又参加了音乐小组。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，参加美术小组人数加上参加音乐小组人数，再减去参加兴趣小组的总人数，就是两项小组都参加的人数，据此计算即可。 【详解】24＋28－40 ＝52－40 ＝12（人） 所以有12人参加了美术小组又参加了音乐小组。 故答案为：√ 22．五（1）班一共有15人参加劳动，其中擦玻璃的有8人，扫地的有6人，整理课桌的有4人，这说明有3个人既扫地又整理课桌。( ) 【答案】× 【分析】分析可知，总人数15人应等于各活动人数之和减去重复参与的人数。题目中总人数为15，而擦玻璃、扫地、整理课桌的人数分别为8、6、4，总和为18，超出3人。这说明存在重复参与的情况，劳动项目共有3种，所以这3人可能会任意参与其中2种劳动，据此作答。 【详解】（人） （人） 这个3个人可能既擦玻璃又扫地，也可能既擦玻璃又整理课桌，也可能既扫地又整理课桌。题干说法错误。 故答案为：× 四、解答题 23．五年级（1）班男生有二十几人，调查他们对于某些球类运动的态度（喜欢或不喜欢）发现：一半的男生喜欢踢足球，喜欢打篮球的男生与不喜欢打篮球的男生的人数比是2∶1。如果两种球都喜欢的男生有9人，那么两种球都不喜欢的男生有多少人？ 【答案】 5人 【分析】根据“一半的男生喜欢踢足球”，可知男生总人数是2的倍数；根据“喜欢打篮球与不喜欢打篮球的人数比是 ”，可知男生总人数是3的倍数。因此总人数是2和3的公倍数，即6的倍数。结合“二十几人”的范围，确定总人数为24人。利用分数乘法分别求出喜欢足球和喜欢篮球的人数。根据“喜欢足球人数 ＋ 喜欢篮球人数两种都喜欢人数 ＝ 至少喜欢一种人数”，求出至少喜欢一种球类运动的人数，再用总人数减去该人数即为两种都不喜欢的人数。 【详解】 （人） （人） （人） （人） （人） 答：那么两种球都不喜欢的男生有人。 24．未来星幼儿园有45个小朋友参加“迎元旦”绘画、唱歌比赛。已知有32人获绘画奖，唱歌和绘画都获奖的有11人，有两个小朋友没有获得任何奖。唱歌获奖的有多少人？ 【答案】22人 【分析】用全班人数－没有获奖的人数＝至少获得一种奖的人数。再用至少获得一种奖的人数＋两种奖都获得的人数－获得绘画比赛的人数＝唱歌比赛获奖的人数。 【详解】45－2＝43（人） 43＋11－32 ＝54－32 ＝22（人） 答：唱歌获奖的有22人。 25．文艺演出中，跳舞的有12人，合唱的有36人，参加这两项演出的共37人。两项都参加的有多少人？ 【答案】 11人 【分析】把跳舞的人数和合唱的人数相加，其中两项都参加的人数被重复计算了一次。因此，用跳舞的人数加上合唱的人数，减去参加这两项演出的总人数，即可求出两项都参加的人数。 【详解】 （人） 答：两项都参加的有11人。 26．育才小学有两种兴趣班，二年级245人，选择第一种的有131人，选择第二种的有125人，没有两种都不选的，两种都选择的有多少人？ 【答案】11人 【分析】本题考查三位数的加减混合运算及重叠问题的简单应用。已知总人数和分别选择两种兴趣班的人数，且没有人不选。根据题意，将选择第一种和第二种的人数相加，总次数会超过实际总人数，多出来的人数正是因为两种都选的同学被重复计算了一次。因此，用两种选择人数之和减去总人数，即可求出两种都选择的人数。 【详解】131＋125－245 ＝256－245 ＝ 11（人） 答：两种都选择的有 11 人。 27．四（二）班共42人，会下跳棋的有18人，会下象棋的有12人，两种棋都不会的有19人。两种棋都会的有多少人？ 【答案】7人 【分析】先用42减去19求出至少会一种棋的人数，会下跳棋的人数加上会下象棋的人数减去至少会一种棋的人数就等于两种棋都会的人数。 【详解】至少会一种棋的人数：（人） （人） 答：两种棋都会的有7人。 28．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？ 【答案】50人 【分析】根据“A类人数＋B类人数－既A又B类人数＋既不A又不B类人数＝该班人数”即可求解。 【详解】26＋29－13＋8 ＝55－13＋8 ＝42＋8 ＝50（人） 答：这个班共有学生50人。 29．三（1）班有48人，其中参加合唱队的有25人，参加舞蹈队的有16人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有6人，两队都没参加的有多少人？ 【答案】13人 【分析】用参加合唱队的人数加上参加舞蹈队的人数，再减去既参加合唱队又参加舞蹈队的人数，求出参加合唱队和舞蹈队的总人数，最后用班级总人数减去参加合唱队和舞蹈队的人数，即可求出两队都没有参加的人数。 【详解】25＋16－6 ＝41－6 ＝35（人） 48－35＝13（人） 答：两队都没参加的有13人。 30．一些大小相同的铁环连在一起，拉紧后如下图：一个铁环长1分米，这样的两个铁环长18厘米，这样的三个铁环长多少厘米？ 【答案】26厘米 【分析】1分米＝10厘米，所以一个铁环长10厘米，由于一个铁环的长度为10厘米，理论上两个铁环相连的总长度为20厘米，实际上两个铁环相连的总长度为18厘米，这意味着在连接两个铁环时，重叠或减少的长度为：20 －18＝2（厘米）。这表明，当两个铁环相连时，总长度减少了2厘米。如果三个铁环相连，那么将有两次重叠（即两次长度的减少），因此总减少的长度将是2×2＝4（厘米）。因此，三个铁环相连时的总长度将是三个铁环的原始总长度减去减少的长度，据此解答即可。 【详解】1分米＝10厘米 2×10＝20（厘米） 20－18＝2（厘米） 2×2＝4（厘米） 10＋10＋10＝30（厘米） 30－4＝26 （厘米） 答：这样的三个铁环长26厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 智慧广场 一、集合问题核心概念 集合问题也叫重叠问题，是青岛版四年级下册智慧广场重点内容。生活中两类事物存在重复、重叠的情况，不能直接相加计算总数，需要去掉重复重叠的部分，这就是集合重叠问题的核心逻辑。 本单元只考查两个集合重叠的基础题型，不涉及三个及以上集合复杂重叠问题。 二、韦恩图（集合图）认识与画法 韦恩图是解决重叠问题的专属图形，用两个相交的圆圈表示两类事物，直观区分只属于一类、两类重叠的部分。 图形各部分含义 左侧单独区域：只参加第一项、只属于第一类的数量（无重叠）； 右侧单独区域：只参加第二项、只属于第二类的数量（无重叠）； 中间相交重叠区域：两项都参加、两类都包含的重复数量（重叠部分）。 规范画法步骤 画两个部分相交的圆圈； 标注两类事物的名称； 对应填入只单类、两类重叠的数量。 三、集合问题三大核心公式（必考） 所有重叠问题均可通过以下三个公式求解，根据已知条件灵活选用。 求总数量（最常用） 总数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 重叠（重复）数量 原理：两类数量直接相加，重叠部分被算了2次，需要减去1次。 求重叠（重复）数量 重叠数量 = 第一类数量 + 第二类数量 − 总数量 求单类未知数量 一类数量 = 总数量 + 重叠数量 − 另一类数量 四、集合问题常见基础题型 1. 已知两类数量、重叠数，求总数 典型场景：报名两种兴趣班、参加两项比赛、购买两种物品等，已知分别参与人数和两项都参与人数，求总人数。 示例：一班有20人参加跳绳，18人参加跑步，其中8人两项都参加，无人不参加，求班级参赛总人数。 计算：20+18-8=30（人） 2. 已知两类数量、总数，求重叠数 典型场景：已知两类参与人数和总人数，求两项都参与的重复人数。 3. 已知总数、重叠数、一类数量，求另一类数量 反向题型，考查公式逆用，是考试高频填空题、选择题考点。 4. 含空白人数的拓展题型 部分题目存在两项都不参与的人数，解题公式： 实际参与总数 = 总人数 − 两项都不参与人数 再代入基础重叠公式计算。 五、集合问题标准解题步骤 审题找量：找出题目中的第一类数量、第二类数量、重叠数量、总数量、空白数量； 判断题型：明确已知什么、求什么，匹配对应公式； 画图辅助：复杂题目画韦恩图，区分单类、重叠、空白部分； 列式计算：代入公式准确计算； 检验核对：验证重叠数不大于任意一类数量，总数计算合理； 规范作答：完整书写单位与答语。 六、高频易错知识点总结 误区1：两类数量直接相加就是总数量。 正解：存在重叠部分时，重复数据被累加两次，必须减去重叠数。 误区2：重叠数量可以大于单类数量。 正解：重叠部分是两类共有的数量，重叠数一定≤任意一类数量。 误区3：忽略“两项都不参加”的人数。 正解：总人数包含参与人数和未参与人数，需先剔除空白人数再计算重叠。 误区4：混淆“只参加一类”和“参加一类总人数”。 正解：一类总人数=只参加该类人数+两类都参加人数，不可混淆计算。 误区5：公式逆用出错，求重叠数忘记用两类和减去总数。 正解：牢牢记住核心逻辑：和减总得重叠。 七、核心考点汇总 认识韦恩图，能读懂、绘制简单的集合重叠图； 正向公式应用：已知两类数、重叠数求总数； 反向公式应用：已知总数、两类数求重叠数； 含空白人数的拓展重叠问题计算； 结合生活场景（兴趣班、比赛、购物、统计）解决实际重叠应用题。 一、选择题 1．四年级参加泥塑社团的有25人，参加印染社团的有20人，参加这两个社团的一共有37人，两个社团都参加的有（    ）人。 A．7 B．8 C．9 2．我们现在用的可调桌椅可以根据身高调节课桌椅的高度，对视力和脊椎都有好处。一张可调课桌的上半部分高48厘米，下半部分高32厘米，重叠部分14厘米，这张桌子的实际高度是（    ）厘米。 A．80 B．66 C．94 3．“六一”汇演，有32人要表演舞蹈，有58人要参加合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有15人，参加这两项演出的一共有（    ）人。 A．105 B．90 C．75 4．四（3）班共有40人，会打篮球的有21人，会游泳的有18人，两种运动都不会的有10人，两种运动都会的有（    ）人。 A．7人 B．8人 C．9人 5．同学们课间加餐，每人至少预定1种。其中预定酸奶的有26人，预定纯奶的有18人，两种都预定的有8人。全班有（    ）人。 A．44 B．36 C．28 6．同学们到动物园游玩，参观熊猫馆的有120人，参观老虎馆的有110人，两个馆都参观的有28人。去动物园的同学一共有（     ）人。 A．230 B．202 C．17 二、填空题 7．趣味运动会上，某班参加夹球跳的有25人，参加旋风跑的有18人，两项都参加的有7人，这个班一共( )人参加了趣味运动会。 8．实验小学四（1）班43名同学都参加了校园公益宣传活动，其中参加“制作宣传画”的有20名，参加“变废为宝作品展”的有28名，两项都参加的有( )名同学。 9．四年级二班有44人，会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会的有10人。两种棋都会的有( )人。 10．四（1）班有48人参加数学素养大赛，只有A、B两道大题，每人至少答对一道大题，其中答对A题的有28人，既答对A题又答对B题的有7人，那么答对B题的有( )人。 11．《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》是2025年我国两部优秀的电影，四（2）班有45位同学，看了《哪吒之魔童闹海》的有34人，看了《唐探1900》的有25人，两部电影都没看的有10人。两部电影都看了的有( )人。 12．2025年《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》是我国两部优秀的电影，四年级二班有43位同学，看了《哪吒之魔童闹海》的有31人，看了《唐探1900》的有23人，两部电影都没看的有9人。两部电影都看了的有( )人。 13．某校参加数学竞赛有120名男生，80名女生，参加英语竞赛有120名女生，80名男生，已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有________人。 14．四年级一班有45人，喜欢体育项目的有31人，喜欢文艺项目的有22人，每人至少喜欢一种项目，两种项目都喜欢的有( )人。 15．四年级（2）班订《少年报》和《数学报》两种报纸，每人至少订一种，订《少年报》有28人，订《数学报》的有30人，两种都订的有16人，全班共有( )人。 16．为了提高学生体质，培养团队合作精神，学校举办了“趣味运动会”活动。四（1）班45人，参加两人三足比赛的有16人，参加跳绳比赛的有22人，两项都未参加的有11人，两项比赛都参加的有( )人。 三、判断题 17．三（1）班举行100米和200米短跑比赛，其中有10人参加了100米，8人参加了200米。那么参赛人数一定共有18人。( ) 18．四年级一班参加数学社团的有24人，参加科学社团的有20人，参加这两个社团的一共有35人，两项都参加的有9人。( ) 19．三（1）班同学到动物园游玩，规定只能参观熊猫馆或大象馆。参观熊猫馆的有25人，参观大象馆的有30人，所以去动物园的一共有55人。( ) 20．三（1）班有36名同学，会下围棋的有16人，会下军棋的有14人，两种棋都不会的有10人，两种棋都会的有4人。( ) 21．三（1）班有40人参加了美术兴趣小组和音乐兴趣小组，其中参加美术小组的有24人，参加音乐小组的有28，其中有12人参加了美术小组又参加了音乐小组。( ) 22．五（1）班一共有15人参加劳动，其中擦玻璃的有8人，扫地的有6人，整理课桌的有4人，这说明有3个人既扫地又整理课桌。( ) 四、解答题 23．五年级（1）班男生有二十几人，调查他们对于某些球类运动的态度（喜欢或不喜欢）发现：一半的男生喜欢踢足球，喜欢打篮球的男生与不喜欢打篮球的男生的人数比是2∶1。如果两种球都喜欢的男生有9人，那么两种球都不喜欢的男生有多少人？ 24．未来星幼儿园有45个小朋友参加“迎元旦”绘画、唱歌比赛。已知有32人获绘画奖，唱歌和绘画都获奖的有11人，有两个小朋友没有获得任何奖。唱歌获奖的有多少人？ 25．文艺演出中，跳舞的有12人，合唱的有36人，参加这两项演出的共37人。两项都参加的有多少人？ 26．育才小学有两种兴趣班，二年级245人，选择第一种的有131人，选择第二种的有125人，没有两种都不选的，两种都选择的有多少人？ 27．四（二）班共42人，会下跳棋的有18人，会下象棋的有12人，两种棋都不会的有19人。两种棋都会的有多少人？ 28．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？ 29．三（1）班有48人，其中参加合唱队的有25人，参加舞蹈队的有16人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有6人，两队都没参加的有多少人？ 30．一些大小相同的铁环连在一起，拉紧后如下图：一个铁环长1分米，这样的两个铁环长18厘米，这样的三个铁环长多少厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $