专题04 位似与相似三角形的综合问题（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以位似与相似三角形内在联系为逻辑主线，通过8类典型题型（位似判定与计算、相似综合应用）实现从概念到动态背景的递进训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形的位似|4题型（4典例+8变式）|聚焦位似判定、概念辨析、作图及坐标系计算，强调位似比与坐标变换规律|以位似概念为起点，构建"定义-判定-作图-计算"的知识链，体现位似作为特殊相似的本质| |相似三角形综合问题|4题型（4典例+8变式）|涵盖性质判定综合、动点/折叠/旋转背景应用，突出动态几何中相似关系的转化|从静态性质到动态应用，通过变式训练强化相似判定与性质在复杂情境中的迁移，培养模型观念|

专题04 位似与相似三角形的综合问题 常考题型·精准突破 考点一 图形的位似 题型1 位似图形的判定 题型2 图形位似的有关概念辨析 题型3 画位似图形 题型4 平面直角坐标系中的位似计算问题 考点二 相似三角形常考综合问题 题型5 相似三角形性质与判定的综合问题 题型6 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 题型7 折叠背景下相似三角形性质与判定的综合 题型8 图形旋转背景下相似三角形性质与判定综合 综合攻坚·知能拔高 考点一 图形的位似 ◆题型1 位似图形的判定 【典例1】（25-26九年级下·广西钦州·阶段检测）如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图案设计中一定用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．位似 D．轴对称 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题． 【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似． ∴C符合题意． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． ◆题型2 图形位似的有关概念辨析 【典例2】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查位似变换，理解位似变换的定义是解题关键．根据位似图形对应点的连线交于一点，交点就是位似中心解答即可． 【详解】解：如图，连接对应点，交于点P，则点即为位似中心． 故选：A． 【变式2-1】如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（   ） A． B． C． D．，，三点共线 【答案】C 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，， 故选项C错误，符合题意． 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误，符合题意 故选：B． ◆题型3 画位似图形 【典例3】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到，在网格中画出（、、分别是A，B，C的对应点）； (2)以O为位似中心，将放大2倍，得到，在网格中画出（，，分别是A，B，C的对应点）． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2)如图，即为所求． 【分析】本题考查了作图-平移作图，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先将A、B、C右平移3个单位，再向下平移4个单位后的对应点描出来，再顺次连接各对应点即可； （2）根据位似比作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图-位似变换，掌握位似的定义和性质是解题的关键． （1）位似中心为点O，根据位似比，连接，，并反向延长一倍，在y轴的左侧，即可求解； （2）根据题意求出点A的坐标，再根据位似比，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵点A的坐标为， ∴点A的对应点D的坐标是， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 ◆题型4 平面直角坐标系中的位似计算问题 【典例4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点O．若点，点，点，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点和的坐标确定位似比，利用矩形的中心对称性求出大矩形在第三象限的顶点坐标，最后根据位似变换的性质求出点的坐标． 【详解】解：点，点，且为位似中心 小矩形与大矩形的位似比为 矩形的对称中心与原点重合，点 大矩形在第三象限的顶点坐标为 点是小矩形在第三象限的顶点，与大矩形在第三象限的顶点对应 点的坐标为，即． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下， ． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了在坐标系中画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的相关知识是解题的关键． （1）位似比为，那么把的横纵坐标都缩小2倍即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：∵与关于原点位似，且位似比为， ∴． 考点二 相似三角形常考综合问题 ◆题型5 相似三角形性质与判定的综合问题 【典例5】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，平分，，，点，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为或． 【分析】（1）由三角形外角的性质，结合已知可得，由角平分线的定义，结合已知可得，即可证得结论； （2）由，得到，求出，，过点作交于点，得到，，求出，即可得的值； （3）当时，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出，,进而得出，证明，，得到，，先求出，再求出，即可得到此时长；当时，在上截取点M，使，证明，得出，，得出，再求出即可． 【详解】（1）证明：∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． 如图1，过点作， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：如图2，当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图3，当时，在上取一点，使，则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为或． 【变式5-1】综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）（1）体验： 如图1，在四边形中，，，点在边上，当时，可知______________________（不要求证明）． （2）探究： 如图2，在四边形中，点在上，当时，求证：． （3）拓展： 如图3，在中，点是边的中点，点，分别在边，上．若，求的长． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质； （1）根据同角的余角相等得到，根据平行线的性质得到，根据两角相等的两个三角形相似证明结论； （2）根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明； （3）根据相似三角形的性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：，， ． ， ， ， ； （3）解：同（2）的方法得出，， ， 点是边的中点， ， ， ， 解得，， ， ， ， ，， 在中，． ◆题型6 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点B移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：    (1)若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； (2)在两个动点运动过程中，当为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似？ (3)当x为何值时，的面积为平方单位？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，得出B的坐标，再把B的坐标代入解析式即可解答； （2）在两个动点运动过程中，分两种情况：①若，得出 ，利用相似比的性质进行解答即可；②若，得出，利用相似比的性质进行解答即可； （3）如图，过作于，则，可得，求解，再建立方程，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：是直角三角形，且轴于A，，， ， ， 将代入得， ； （2）在两个动点运动过程中，分两种情况： ①若，如图所示，    则，，此时， ， 即：， ， ②若，如图所示，    则，此时， ， ∴， ， 即：， ， 综上所述，当或秒时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似； （3）如图，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∵，的面积为平方单位， ∴， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴当时，的面积为平方单位． 【点睛】此题考查三角形相似的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的应用，利用待定系数法求解反比例函数解析式，解题关键在于根据题意分情况讨论． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南·期中）如图，在矩形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动的时间为秒，同时过点作 ．（） (1)，，（用含的式子表示） (2)在、两点移动过程中， 的面积能否等于面积的一半？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的面积不能等于面积的一半，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， （2）解：的面积不能等于面积的一半．理由如下： ∵， 假设 的面积能等于面积的一半， 则， 即 ， 整理得， ∵， ∴此时方程无实数解， ∴的面积不能等于面积的一半． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中） 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ． (1)当点H落在边上时， 求t的值． (2)当平行四边形是菱形时，求t的值． (3)沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定： （1）根据勾股定理可得的长，根据题意得：，则，再由四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可求解； （2）过点P作于点D，根据，可得，从而得到，然后根据勾股定理解答，即可； （3）过点Q作，交直线于点F交直线于点G，分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴， 根据题意得：，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； （2）解：如图，过点P作于点D， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， ∴， 在中，， 在中， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，解得：或， （3）解： 如图，过点Q作，交直线于点F交直线于点G， 当点G在线段上时， ∵， ∴， 只有当时，可以拼成三角形， ∴， ∴，解得：； 当点G在线段的延长线上时， ∵， ∴， 只有当时，可以拼成三角形， ∴， ∴，解得：； 综上所述，t的值为或． ◆题型7 折叠背景下相似三角形性质与判定的综合 【典例7】（2025·湖南衡阳·二模）综合与实践． 在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片． 环节一：矩形纸片的折叠操作 （1）现有矩形纸片，执行以下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平； 操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和． 如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 环节二：正方形纸片的折叠延伸探究 （2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由． 环节三：折叠问题的拓展应用 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用翻折的性质得出，然后利用全等三角形的性质得出相等的边和角，求出，利用含角的直角三角形的性质即可求解； （2）利用翻折的性质得出全等三角形，得出对应边相等，然后证明即可得出结论； （3）设，则，，利用全等三角形表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，假设与的交点为, 在矩形中，由折叠的性质和可知，，点为线段中点 则点为中点，， 在直角三角形中，， ， ∵， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）得 ∴， 在正方形中， , 由题意可知，在和中， ∴， ； （3），理由如下： 假设，则，， ，点为线段中点， ， ， ，， 由勾股定理得 即 解得， ∴． 【变式7-1】（24-25九年级上·山西忻州·期末）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1) ，理由如下， 矩形， ， ， ，， ， ； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）略 （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， 则， ，，， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”. 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，将纸片沿着折叠，点的对应点为点，折痕交于点. 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，继续折叠纸片，使与在同一条直线上，点的对应点为点，折痕交边于点. 问题解决 任务1 在操作一中，试判断与的大小关系______； 连接，研究小组通过改变点的位置发现的大小不变，其度数为_____°； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若，，求正方形的边长； 任务3 在操作二中，若，，，求的长． 【答案】任务1：；； 任务2：正方形边长为； 任务3： 【分析】任务1：利用折叠性质得，，然后证明全等，推出所求角； 任务2：先由勾股定理求出的长，根据折叠性质表示出，再利用正方形的性质列方程求解边长； 任务3：先证是等腰直角三角形，再证得到相关线段长度，最后通过利用相似比列方程求解． 【详解】任务1：解：根据折叠性质，正方形沿折叠，点的对应点落在正方形内部，则，且， 沿着折叠，点的对应点为点，则，且， 在和中， （公共边） （）， ． 由折叠性质可知：， 因为，所以：， 即： 所以： 任务2： ∵在中，， ∴ 设，则，， ，， ∵ ∴ 解得 ∴ 所以正方形的边长为12； 任务3：过点作，交于， 过点作，交于，交于， ∵ ∴， ∵ ∴ 由折叠可知，， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴, ∵ ∴ ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴即 ∴ 【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、正方形与矩形的性质，解题思路是利用折叠性质转化线段和角度关系，结合勾股定理列方程求解；考查的知识点是折叠性质、勾股定理、正方形与矩形的性质，用到的思想是方程思想，方法是折叠转化与勾股定理结合法，技巧是通过折叠找相等线段和角，设未知数列方程，解题关键是利用折叠性质建立等量关系，易错点是折叠后线段和角度的对应关系混淆导致方程列错． ◆题型8 图形旋转背景下相似三角形性质与判定综合 【典例8】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． (1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； (3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形的判定及性质、外角的性质等知识点，解答本题的关键在于根据图形正确的画出辅助线，利用相关的性质定理求证三角形全等． （1）如图，过点D作于点G，于点H，证明，得四边形的面积和正方形的面积相等，进而可以解决问题． （2）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出． （3）由是等腰直角三角形，可求出，由三角形外角性质可得，可得出，又因为，求得，已知，根据两角对应相等的两个三角形相似可得出，则对应边成比例，即，由点F放在的中点， 可得，变形即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点G，于点H， ． 在中，， 四边形是矩形． 点D放在的中点处，，， 是的垂直平分线． 四边形是正方形． ． ， ， ． ， ． ，， ． 点D放在的中点处，， 点G，H是的中点． 是的中位线． ． ，，， ． 正方形的面积为∶ 四边形的面积为． （2）正确，理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似）． （3），理由是： ∵在中，，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴（两角对应相等的两个三角形相似） ∴， ∴ 点F放在的中点 ， ∴， 即： 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【答案】（1）；（2） 12 ；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （2）如图 2 ，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式得到； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得，由是中线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到；求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵． 在和中， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 即， ， ， ； （2）如图2，过点作于点， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故； （3）连接，延长交于点，连接交于点，延长交于点，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， 设，则， 在和中， ， ， ， 由直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：； ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 【变式8-2】【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． 【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． 【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：． 【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵点D在边上， ∴点B、D、C在同一直线， ∴与是旋转相似三角形； （2）证明：与是旋转相似三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点A作，垂足为E，则四边形是矩形， 理由：连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）根据和是等边三角形，可得，，即有，利用点B、D、C在同一直线，可判断与是旋转相似三角形； （2 ）根据与是旋转相似三角形，得，即有，，可证，得，可得，根据可得．可证，即可求证； （3）过点A作，垂足为E，连接，可证得，可得，，可证，可求得，，设，则，可得方程，可得，根据利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，可证四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等的判定与性质，矩形的判定，勾股定理的应用，解方程等知识点，解题的关键是利用相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 综合攻坚·知能拔高 25．如图，，交于点E，交于点F，，若，则（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】设，则，设，可得，得，可得，可得，得到，可得，即得的长度． 【详解】解：∵， ∴设，则，设， 则． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ， 即． 26．如图所示，点，，，在同一条直线上，四边形、、均为正方形，且正方形面积为15，正方形面积为3，若点、、也在一条直线上，则正方形的面积是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】设，则，由正方形面积为15，正方形面积为3可得，，得出，证明，根据相似三角形的性质列方程，求出，可得结论． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵正方形面积为15，正方形面积为3， ∴，， ∴， 根据题意得，且点、、在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 所以，正方形的面积是． 27．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为__________ 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为__________ 秒． 【答案】 3 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）当时，即当时，又因为，则，代入数值到进行计算，即可作答． （2）因为与不平行，则当时，结合，证明，再代入数值到，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行，且 ，， 即 ， ， ， 解得：； 故答案为：； 28．如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 【答案】 ①② 【分析】（1）证明，推出，据此计算即可； （2）①先证明，据此计算即可求解；②利用平行线分线段成比例求解即可；③设，证明是等腰直角三角形，求得，，，证明，据此计算即可判断． 【详解】解：（1）记与交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴，故①说法正确； ②∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故②说法正确； ③∵，，， 设， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故③说法错误； 综上，正确的有①②． 29．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 【答案】(1)①，；② (2) 证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． 【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为； ②根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． （2）略 30．问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图1． 探究实践1： 老师引导同学操作：如图2，把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处折痕为，再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，老师让同学们探究：的度数是多少？并说明理由． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图3，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （1）小虎发现：“如图4，将平行四边形沿着（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．”请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． （2）小倩发现：“将平行四边形沿过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为，使于点H，折痕交于点M，连接，交于点N．若平行四边形的面积为80，，，则能求出的长．请你帮小倩直接写出________． 【答案】探究实践1：，理由见解析；探究实践2：（1）正确，理由见解析；（2）4 【分析】探究实践1：根据折叠的性质及等量代换得出，再由平行线的判定和性质即可求解； 探究实践2：（1）根据折叠的性质得出，证明四边形为平行四边形得，即可得出； （2）过点M作于Q，根据平行四边形的性质及勾股定理求解得出，，再利用等腰三角形的判定和性质确定，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】探究实践1： 解：，理由如下： 由折叠得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究实践2： 解：（1）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）如图5，过点M作于Q， ∵的面积为80，边长，于点H， ∴， ∴，， ∵将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为， ∴， ∵于点H，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：． 31．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． (1)如图1，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； (2)如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）容易判断是等腰直角三角形，则，由旋转可得，则，因此； （2）①根据旋转的性质容易证明，则，结合等腰三角形的性质可得垂直平分； ②设，则，由勾股定理可得，容易证明，则，计算得，，由旋转可得，，，结合可得，因此． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴； （2）解：①证明：由旋转的性质可得，，， ∵点落在的延长线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴垂直平分； ②设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 33．综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点， 的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点 E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得 ，且以点 M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：由知，， 则， 则， 当时，直线解析式为： 当时，，则， 即点， ； (2)，理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 令得：， ∴点， ， ， ； (3)存在，时，；时，；时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ∴同理可得，， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， ， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④，的情况不存在， 综上，存在，时，；时，；时，． 34．如图， 在矩形 中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点 Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点 M为的中点，当 t为何值时，以M、P、C为顶点的三角形与相似，相似比为多少？ (4)直接写出点B关于直线的对称点落在内部时t的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3)t的值为 或 或；相似比分别为： (4) 【分析】（1）分点P在边上和点P在边延长线上两种情况解答即可； （2）分与两种情况，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解即可； （3）点M为 的中点，，当，，且时，当，，时，当，，且时，当，，且时，分情况讨论即可； （4）连接，由题意得，垂直平分，，，当点落在上时，证明和，当点落在 上时，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点P与点C重合时，则， 解得， 当点 Q与点D重合时，则， ∵当点 Q到达点 D时，两点同时停止运动， 当时， ，当时，； （2）解：当时，如图1， ，则， ，即， 解得； 当时，如图2， ， 则， ∵， ∴， ， ，即， 解得： ， 综上所述：t的值为 或 ； （3）解：∵点M为 的中点，， ， ， 当，，且 时， 如图， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当，，且时，如图， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当时，， 且时， 如图5， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当时，， 且 时， 如图6， 则，即， 解得，舍去； 综上所述，t的值为 或 或；相似比分别为：． （4）解：连接，如图7， ∵点与点 B关于直线对称， ∴垂直平分， ，， 当点落在上时，如图7，   ，，， ， ，，， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 当点落在 上时，如图8， ，，， ， ， ， 解得， ∴点落在 内部时t的取值范围是：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理与动点几何问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 35．数量与位置关系 (1)如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； (2)如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)相等，垂直 (2)不成立，，，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明，可证明，，再结合，即可得到结论； （2）由已知可证明，得到，，再结合，即可得出另一个结论； （3）分两种情况：①当点E在线段上时，过点D作于点P，证明，可求得，，再根据勾股定理，即可逐步求得答案； ②当点G在线段上时，过点D作于点P，用与①类似的方法逐步求出，，，即可进一步求得答案． 【详解】（1）解：如图1，设交于点O， 在正方形和正方形中，， ， 即， ，， ， ，， ， ，； （2）解：不成立，，；理由如下： 如图2，设交于点O， 由（1）知，， ，，， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3， 在中，，， ， 过点D作于点P， ，， ， ， ， ，， ， ； ②当点G在线段上时，如图4， 过点D作于点P， ，， 同理得，， 由勾股定理得， ， 综上所述，的长为． 【点睛】对于图形变换问题，要注意前后小题解题思路的连贯性，通常还要根据题意画出不同位置的图形，进行分类讨论． 36．如图1，在中，点是边的一点，连接．若． (1)【初步感知】直接写出的值． (2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接． ①若，求证：； ②当时，与之间的关系是，求的值． 【答案】(1) (2) 解：线段与线段之间的数量关系为：， 理由如下： 连接交于点，如下图： ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) ①延长和相交于点， ∵， ∴， 同理得， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②． 【分析】（1）先求得，，即可得到，据此求解即可； （2）连接交于点，证明，求得，推出四边形为平行四边形，再证明，求得，再证明，据此计算即可求解； （3）①证明是斜边上的中线，据此证明即可； ②证明，求得，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①略 ②延长和相交于点， 同理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 位似与相似三角形的综合问题 常考题型·精准突破 考点一 图形的位似 题型1 位似图形的判定 题型2 图形位似的有关概念辨析 题型3 画位似图形 题型4 平面直角坐标系中的位似计算问题 考点二 相似三角形常考综合问题 题型5 相似三角形性质与判定的综合问题 题型6 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 题型7 折叠背景下相似三角形性质与判定的综合 题型8 图形旋转背景下相似三角形性质与判定综合 综合攻坚·知能拔高 考点一 图形的位似 ◆题型1 位似图形的判定 【典例1】（25-26九年级下·广西钦州·阶段检测）如图所示是利用图形变换所设计的一幅“小鱼”图案，则该图案设计中一定用到的图形变换是（　　） A．平移 B．旋转 C．位似 D．轴对称 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． ◆题型2 图形位似的有关概念辨析 【典例2】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）下列图中的两个菱形是位似图形，它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-1】如图，以点O为位似中心，把放大为其2倍得到，以下说法错误的是（   ） A． B． C． D．，，三点共线 【变式2-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． ◆题型3 画位似图形 【典例3】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点O和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到，在网格中画出（、、分别是A，B，C的对应点）； (2)以O为位似中心，将放大2倍，得到，在网格中画出（，，分别是A，B，C的对应点）． 【变式3-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期中）如图，的顶点都在网格点上，点B的坐标． (1)以点O为位似中心，把按放大在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是 ； 【变式3-2】（25-26八年级下·山东淄博·期末）在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． ◆题型4 平面直角坐标系中的位似计算问题 【典例4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点O．若点，点，点，则点的坐标为（） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在网格格点上，且点，，． (1)以原点O为位似中心，在第一象限画出，使得与位似，且位似比为，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下， ． 考点二 相似三角形常考综合问题 ◆题型5 相似三角形性质与判定的综合问题 【典例5】（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）如图，在中，，平分，，，点，分别是边，上的点（点不与点，重合），且，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长． 【变式5-1】综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【变式5-2】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）（1）体验： 如图1，在四边形中，，，点在边上，当时，可知______________________（不要求证明）． （2）探究： 如图2，在四边形中，点在上，当时，求证：． （3）拓展： 如图3，在中，点是边的中点，点，分别在边，上．若，求的长． ◆题型6 动点背景下的相似三角形性质与判定应用 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在轴上，，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿向终点B移动，当两个动点运动了秒时，解答下列问题：    (1)若点B在反比例函数的图象上，求出该函数的解析式； (2)在两个动点运动过程中，当为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与相似？ (3)当x为何值时，的面积为平方单位？ 【变式6-1】（25-26九年级上·湖南·期中）如图，在矩形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动的时间为秒，同时过点作 ．（） (1)，，（用含的式子表示） (2)在、两点移动过程中， 的面积能否等于面积的一半？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中） 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ． (1)当点H落在边上时， 求t的值． (2)当平行四边形是菱形时，求t的值． (3)沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值． ◆题型7 折叠背景下相似三角形性质与判定的综合 【典例7】（2025·湖南衡阳·二模）综合与实践． 在数学综合与实践课上，老师组织同学们进行以“图形折叠”为主题的探究活动，素材是矩形和正方形纸片． 环节一：矩形纸片的折叠操作 （1）现有矩形纸片，执行以下操作： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，随后将纸片展平； 操作二：在边上选取一点，沿着折叠纸片，使得点落在矩形内部的点处，展平后连接和． 如图①，当点刚好落在折痕上时，探究与之间的数量关系，并说明理由． 环节二：正方形纸片的折叠延伸探究 （2）如图②，小慧将矩形纸片替换为正方形纸片，重复上述环节一中的操作步骤，并且延长与相交于点，连接．探究与的数量关系，并说明理由． 环节三：折叠问题的拓展应用 （3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【变式7-1】（24-25九年级上·山西忻州·期末）综合与实践课上，王老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点． 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为，延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕与交于点． (1)【初步发现】探究图（2）中和的位置关系． (2)【深入探究】勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． (3)【拓展延伸】奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与交于点M，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当为直角三角形时，求的长． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”. 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，将纸片沿着折叠，点的对应点为点，折痕交于点. 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，继续折叠纸片，使与在同一条直线上，点的对应点为点，折痕交边于点. 问题解决 任务1 在操作一中，试判断与的大小关系______； 连接，研究小组通过改变点的位置发现的大小不变，其度数为_____°； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若，，求正方形的边长； 任务3 在操作二中，若，，，求的长． ◆题型8 图形旋转背景下相似三角形性质与判定综合 【典例8】（24-25九年级上·山东枣庄·期中）在一次数学课上，小颖和小慧用两个全等的等腰直角三角板进行探究活动，使的一个顶点落在边上，再绕这个点旋转，与边、分别交于点M、N． (1)如图1，小颖把的直角顶点D放在的中点处，然后绕点D旋转，她发现四边形的面积始终保持不变．若，则四边形的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，小慧把顶点F放在边上任意一点处，然后绕点F旋转，她认为与始终相似．小慧的判断正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请说明理由； (3)如图3，小颖把顶点F放在的中点处，然后绕点F旋转，与的延长线交于点N．请探究线段、、的数量关系，并给出证明． 【变式8-1】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）在纸片绕点旋转到如图2所示，当时．求的面积． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【变式8-2】【阅读】如图1，若，且点B，D，C在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形． 【理解】（1）如图2，和是等边三角形，点D在边上，连接．求证：与是旋转相似三角形． 【应用】（2）如图3，与是旋转相似三角形，，求证：． 【拓展】（3）如图4，是四边形的对角线，，试在边上确定一点E，使得四边形是矩形，并说明理由． 综合攻坚·知能拔高 25．如图，，交于点E，交于点F，，若，则（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 26．如图所示，点，，，在同一条直线上，四边形、、均为正方形，且正方形面积为15，正方形面积为3，若点、、也在一条直线上，则正方形的面积是（     ） A． B．6 C． D． 27．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动： （1）当时，运动时间为__________ 秒； （2）以点A，D，E为顶点的三角形与相似，且与不平行时的运动时间为__________ 秒． 28．如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 29．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 30．问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图1． 探究实践1： 老师引导同学操作：如图2，把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处折痕为，再将，分别沿，折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，老师让同学们探究：的度数是多少？并说明理由． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图3，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （1）小虎发现：“如图4，将平行四边形沿着（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．”请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． （2）小倩发现：“将平行四边形沿过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为，使于点H，折痕交于点M，连接，交于点N．若平行四边形的面积为80，，，则能求出的长．请你帮小倩直接写出________． 31．如图，在矩形中，，点是边上一点，连接．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，． (1)如图1，若点是边的中点，且点恰好落在的延长线上，连接，求的度数； (2)如图2，若点恰好落在的延长线上，连接，交于点． ①求证：垂直平分； ②当时，探究线段与线段的数量关系． 32．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 33．综合探究 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点， 的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线分别与x轴、y轴、线段、直线交于点 E、F、P、Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得 ，且以点 M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图， 在矩形 中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点 Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)当与矩形的对角线平行时，求t的值； (3)若点 M为的中点，当 t为何值时，以M、P、C为顶点的三角形与相似，相似比为多少？ (4)直接写出点B关于直线的对称点落在内部时t的取值范围． 35．数量与位置关系 (1)如图1，正方形和正方形（其中），连接，交于点H，请直接写出线段与的数量关系______，位置关系_____； (2)如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），连接，交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α（），直线，交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长． 36．如图1，在中，点是边的一点，连接．若． (1)【初步感知】直接写出的值． (2)【问题解决】如图2，作射线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． (3)【变式探究】如图3，连接与交于点，连接． ①若，求证：； ②当时，与之间的关系是，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $