专题02 相似三角形综合探究（举一反三专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 以“从特殊到一般”“类比推理”等8大题型为框架，通过例题-变式体系系统培养相似三角形探究能力，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |从特殊到一般|1例+3变式|特殊值感知→一般化证明→拓展延伸|特殊情况归纳→普适性结论推导| |类比推理|1例+3变式|结构类比→性质迁移→结论验证|相似模型跨情境应用| |全等到相似|1例+3变式|全等基础→相似转化→比例计算|从全等向相似的递进转化| |尺规作图与相似|2题型4例|作图原理→相似判定→应用构造|几何作图与相似性质融合|

专题02 相似三角形综合探究（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 从特殊到一般】 1 【题型2 类比推理】 12 【题型3 全等到相似】 26 【题型4 全等与相似】 39 【题型5 综合与实践】 49 【题型6 新定义创新题】 62 【题型7 尺规作图作相似】 75 【题型8 尺规作图用相似】 84 【题型1 从特殊到一般】 【例1】（2025·山东聊城·二模）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．          【答案】（1）5 （2）的周长为（3）可以，的周长为 【分析】（1）根据题意，得，，，设，则，根据勾股定理得到，解方程即可． （2）设，则，得到，解得，则，证明，求得，，解答即可； （3）设，，则，，，设，则，则，解得，则，仿照第二问的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵正方形纸片，，点恰好是边的中点， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为； （3）解：∵正方形纸片，，， ∴，，， 设，则， ∴， 解得， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故的周长为：， 故的周长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式1-1】（2025·甘肃陇南·三模）是边长为5的等边三角形，点D在边上，点E在边的延长线上，且，延长交于点F． (1)将问题特殊化：如图1，当D为的中点时，求的长； (2)将问题一般化：如图2，当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，由三线合一定理可得，导角证明，则，据此可得答案； （2）过点D作，交于点H，可证明是等边三角形，得到，则，证明，得到，则，证明，利用相似三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：是边长为5的等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点D作，交于点H， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 【变式1-2】（2026·湖北·模拟预测）如图1，在中，，是延长线上一点， ，连接，是延长线上一点，． 问题提出：当时，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图2，当时，直接写出的值； （2）再将问题一般化．如图1，证明（1）中的结论仍成立； 问题拓展： （3）如图3，过点作于点，若，直接写出的值用含的式子表示． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定． （1）根据题意得出是等边三角形，进而求得，，再求比值，即可求解； （2）以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，由（2）得：，，得出，设，，，进而得出，再求比值，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，，， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：如图3，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接， 由（2）得：，， ∴， ， ∴， ， ， 设，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 【变式1-3】（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N． (1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则 (2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由； (3)【拓展延伸】 ①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值； ②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ． 【答案】(1)4 (2)是定值4； 如图，过D点分别作，垂足分别为G，H； 则， 四边形为矩形， ； ，， ， ， ， 即是等腰直角三角形， ， ； ； ， ，即， ， ， ，即 ，， ； 即为定值； (3)①最大值为8；② 【分析】（1）由题意得四边形为矩形，则得；由已知得，，则可得的长，从而得结果的值； （2）过D点分别作，则得四边形为矩形，则得；由已知得是等腰直角三角形，从而得；证明，有；最后可求得的值； （3）①由变形得，由（2）知为定值4，则可求得的最大值； ②连接，得，表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段，当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合；设交于点O，过C作，则可求得，进而得，分别在中利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）解：， ， 四边形为矩形， ； ， ； ，， ， ， ， 故答案为：4； （2）略 （3）解：①， 即， ， ， 由（2）知，即， ， 的最大值为8； ②如图，连接， ，P为的中点， ， 表明点P在线段的垂直平分线上，且为线段， 当点N与点C重合时，点P与点Q重合，当点N与点B重合时，点P与点K重合； 设交于点O，则； 过C作于S， ， ， ， 由勾股定理得， ； 当点N与点C重合时，点P与点Q重合， 由（2）知，，则， ， 在中，由勾股定理得：； 当点N与点B重合时，点P与点K重合，此时 由（2）知，，即， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故点P的运动路径为； 故答案为：． 【题型2 类比推理】 【例2】（25-26九年级上·吉林·期中）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，得，设正方形边长为，则，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）将绕点逆时针旋转得， ， ∴为等腰直角三角形， ． 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得， ， ∴共线， ∵， ， ， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， 在中，， 即， 解得：或（负值舍去）， ∴正方形的边长为； （3）如图，将绕逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图1所示，边长为4的正方形与边长为（）的正方形的顶点重合，点在对角线上． 【问题发现】 （1）如图1所示，与的数量关系为______； 【类比探究】 （2）如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为（），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，四边形，都是矩形，，，，小明将矩形绕点顺时针旋转（），如图4所示。 ①直接写出的值为______． ②在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）①；  ②或 【分析】本题考查了矩形和正方形的性质、相似三角形的判定和性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识成为解决问题的关键． （1）先根据正方形的性质可得，，再根据平行线等分线段定理即可解答； （2）如图2：连接，根据正方形的性质证明，然后根据相似的性质列比例式求解即可； （3）①如图4，连接．根据矩形的性质可得，进而得到，再证明，然后根据相似三角形的性质即可解答； ②分点E在线段上和点E在的延长线上两种情况，分别根据勾股定理、相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴，即． 故答案为：； （2）解：上述结论还成立，理由如下： 如图2：连接， 由旋转得，， ∴， 在和中，， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）①如图4，连接． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在图中，， ∵在图中，， ∴在图中， ∴在图中，， ∵四边形，都是矩形， ∴在图中，， ∴， ∴， ∵， ∴在图4中， ∴， ∴； ②在图3中，，， ∴， ∴， ∴， 如图5中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J． ∵，， ∴CJ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图6中，当点E在的延长线上时， 同法可得：， ∴． 综上，的长为或． 【变式2-2】【问题背景】小明遇到了这样一道试题：如图1，在中，，，，求的面积． 【问题发现】 （1）爱动脑的小明用了如下特别思路解决这个问题：如图2，只要将绕点C顺时针旋转，得到.即可得到一个新的直角边长为10的等腰．易知的面积为等腰面积的一半，进而可轻松获得解答，根据小明的方法，可求出的面积为 ；(直接写出答案) 小明反思认为：旋转变换的好处是可以重组原有图形中的一些关系.类比小明的做法，请完成下列探究： 【类比探究1】 （2）如图3，在四边形中，，，于点M，若，求四边形的面积； 【类比探究2】 （3）如图4，正方形内存在一点E，，，，延长 交于点F，求四边形的面积； 【拓展应用】 （4）如图5，在矩形内，，，点E、F分别在边、上，，，连接，则的长为____．（直接写出答案） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）又旋转可得，， ．即可求出的面积． （2）根据旋转不变性，可证明，可得，在根据全等的性质，即可求解． （3）根据旋转不变性可得，．由勾股定理可证明，再求出与长，再用已知表示出面积即可求解． （4）通过做辅助线可证明，得到，再通过证明可求得，最后由勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵将绕点C顺时针旋转，即可得到一个新的直角三角形， ∴ ． （2）如图，过点作垂直的延长线于点， ∵， ， ∴四边形是矩形． ∴， ∴ ∴， ∴． （3）如图，将绕点旋转得到，连接，过点作于点， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴． 在中， ． ∴ ． （4）如图，过点作，交的延长线于，过点作，交的延长线于，交的延长线于， ∵， ， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴ ． 又∵， ∴， ∴ ． 又∵， ∴ ∴． ∴ ． 设， 则， 又∵，， ∴， ． 又∵ ∴ ∴ ∴得， 即． ∴ ∴． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的不变性、正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理及其逆用等，解答本题的关键在于利用旋转不变性及正确做出合适的辅助线． 【变式2-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作交于点H，则　　，　　，　　． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则　　（用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则　　（用含m，n的代数式表示）． 【答案】[尝试探究] ，，；[类比延伸]；[拓展迁移] 【分析】本题是三角形相似的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． [尝试探究] 过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得； [类比延伸]如图所示，过点M作交于点H，分别证明，，根据相似三角形的性质，结合平行四边形的性质得到，，进而可得； [拓展迁移]如图所示，过过点作交的延长线于点，则有．根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：尝试探究：过点M作交于点H，如图所示． 则有， ，即， 在▱中，，， ∴， ∴， ∴， 又为中点， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：；；； [类比延伸]：如图所示，过点M作交于点H，如图所示． 则有， ，即， 在▱中，，， ∴， ∴， ∴， 又为中点， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； [拓展迁移]：如图所示，过点作交的延长线于点，则有． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：． 【题型3 全等到相似】 【例3】（2026·四川巴中·中考真题）四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，，进而问题可求证； （2）在上截取一点，使得，由题意易得，，然后可得，则有，进而根据等腰直角三角形的性质进行求解即可； （3）连接，由题意易得，则有，然后可得，，进而证明进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：在上截取一点，使得，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图1，在中，点为边的延长线上一点，点在边上，连接交于点，． (1)求证：； (2)如图，过点作，垂足为点，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下， ，将沿折叠，当点落在点的位置时，连接，若，求的面积． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ； (2)证明：在上取点，使，连接， ， ，即， ，， ，， 在上取点，连接，使， ，， ， ，即， 由（1）知， ， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质，利用角的和差关系进行等量代换，即可得证结论． （2）在上取点，使，连接，证明，在上取点，连接，使，通过证明，继而得证结论． （3）作于点，通过证明四边形为矩形，利用折叠的性质得到，，根据平行线分线段成比例得到，继而得到，，根据勾股定理得到，进而计算的面积即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，作于点， ， ∴四边形为矩形，，， ， 由折叠可知，，， ， ，， 是的中位线，， ，， ， ， ，， ，， ． 【变式3-2】（2026·河南信阳·三模）【问题情境】 李老师在数学课上布置了这样一道探究题：在中，，，D为射线上一点，连接，作交于点E，作点E关于的对称点F，连接，过F作交直线于点G．试探究线段，与之间的数量关系． 【探究证明】 (1)如图1，当点D在线段上时，猜想线段，与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 (3)延长交直线于点H，连接．若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)解： 、与的数量关系为：． 证明： 点是点关于直线的对称点，点在上， 又， ，， ，，点在直线上， ，． 过点作直线于点， ，， ，即， 四边形中，，，， 四边形是矩形． ，， 又 ，， ． 在和中， ， ， ， ， ，． 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ． 点在线段上， ， ． (2)解：（1）结论不成立．； 理由如下：过点作直线于点， 同理可证，四边形是矩形， 由已知，，． ∴，． ∴， ∵， ∴， ，， 四边形是正方形，． ． (3)或 【分析】（1）利用对称性发现 且 ，作 于，证明四边形是正方形，再证 ，从而得到 ，最终推出 ． （2）作 于，同理证明即可． （3）分两种情况讨论，利用相似三角形求出相关线段长，再结合前两问结论计算的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ∴． ① 当点在线段上时，． 在中，． ，点在直线上， ． ∵，， ， ∵， ， ，即， ， ，． ． 过点作于点， ， 是等腰直角三角形，． 设，则． ，， ， ，即， 解得， ，． 由（1）知，且， ． ． ，在直线上， ． ② 当点在的延长线上时，． 同理，． 同理，可证得， ，， ，． 过点作于点， 设，则， 由同理可得，， ，即， 解得， ，． 由（2）知． ． ，在直线上， ． 【变式3-3】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)如图1，当时，点在延长线上 ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图2，当时，点在边上，若，求的值． 【答案】(1)①证明：由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②4 (2) 【分析】（1）①由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； ②根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （2）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①略； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴根据平行四边形可得，， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【题型4 全等与相似】 【例4】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点G在边的延长线上，连接并把绕点E顺时针旋转得到线段，且点F在边的延长线上．延长与交于点P，连接和，已知． (1)证明：； (2)求证：； (3)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：四边形 是正方形， ． 绕点顺时针旋转 得到线段， ，． 又， ， ， ； (2)证明：如图1，连接， ，， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， 即． ，， 是的中位线， ， ． ，，， ， ． ， ， ； (3)，理由如下： 如图2，过点作交延长线于点 ，过点作交于点 ， 易得是的中位线，是的中位线， 设，则，， ． ， ， ． 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）连接，易得为等腰直角三角形，则，然后证明是的中位线，再证，得到，进而得到； （3）过点作交延长线于点 ，过点作交于点 ，设，易得，再利用相似的性质证明即可． 【变式4-1】（2026·广东汕头·三模）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：； (2)若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； (3)若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∵ 分别在 上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得 ，由折叠得出，得出，即可证明； （2）设，则．由勾股定理知，求出x，再由相似三角形的性质求解即可． （3）延长，交于点M，连接．由翻折，得．根据角的和差关系得出，由等角对等边得出，由翻折，得．证明，由全等三角形的性质得出，．由勾股定理得出，进一步得出，根据勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质得出，进而可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：如图1， 设，则． ∵点P为的中点，， ∴． 由，得， 解得， 由（1）知． ∴，即． ∴． （3）解：如图2，延长，交于点M，连接． 由翻折，得． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点P为的中点， ∴． 由翻折，得． ∵点H为的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∴， 在中，， ．∴． ∴， ∴， 在中，， 由翻折，得，． ∴． ∴． ∴，即 ∴． 【变式4-2】如图，在中，，，点在的延长线上，点在上且，交于点． (1)探究和的数量关系并证明； (2)探究、、之间的数量关系； (3)保留原题条件，再过点作于点，延长交于点，若，求的值用含的代数式表示． 【答案】(1)结论：． 证明：如图中，过点作于点． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； (2)结论： ． 理由：由（1）知， ∴， ∵在中，，， ∴， ； (3) 【分析】如图中，过点作于点利用全等三角形的性质证明 ，再证明 ，可得结论； 利用线段的和差定义，等腰直角三角形的性质证明即可； 由，可以假设，，证明，推出，再证明，则，进而求出，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由，可以假设，． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】如图，在中，，，线段绕点逆时针旋转得到线段，点为上任意一点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接． (1)①求证： ； ②求证： ． (2)当，时，直接写出的长． 【答案】(1)①证明：线段绕点逆时针旋转得到线段，， ， ， 又 ， ， ； ②如图，过点作 ，交于， ， ， 又， ， ∴， ，， ， ， ， 又，， ∴， ， (2)4 【分析】（1）①由旋转的性质可得， ，由余角的性质可求解； ②由“”，可得 ，，由“”可证，可得 ，可得结论； （2）通过证明，可得 ，即可求解． 【详解】（1）①略 ②略 （2）如图，过点作 ，交的延长线于， 由（1）可知： ， ， ， 设，则 ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ． 【题型5 综合与实践】 【例5】（2024·山东临沂·一模）问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图 1. 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处折痕为，再将分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图 2，.老师让同学们探究：的度数是多少?并说明理由. 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图3，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题.经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （1）小虎发现：“如图4，将平行四边形沿着(F为的中点)所在直线折叠，点C的对应点为 ，连接并延长交 于点 G，则与 相等.” （2）小倩发现：“将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为 ，使于点 H，折痕交 于点 M，连接，交 于点 N. 若给出平行四边形面积的数值，及 和 的长度，就可以求出点 M 到的距离，” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由. 老师肯定了小倩同学思路的正确性，若平行四边形 的面积为 80，，请你帮助小倩求出点M到的距离. 【答案】（1），理由如下： 由折叠得：， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】题目主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质及等量代换得出，再由平行线的判定和性质及折叠的性质即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； （3）过点M作于Q，根据平行四边形的性质及勾股定理求解得出，，再利用等腰三角形的判定和性质确定，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点M作于Q， ∵的面积为80，边长，于点H， ∴， ∴，， ∵将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为， ∴， ∵于点H，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点M到的距离为． 【变式5-1】（2026·甘肃·模拟预测）【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）借助折叠的性质和矩形的直角特性，推导得出两组对应角相等，从而证明； （2）先求出矩形对角线的长度，再结合折叠后折痕垂直平分对应点连线的性质，构造相似三角形，然后针对为三等分点的两种位置情况，通过相似比建立方程，最终求出． 【详解】（1）证明：由折叠性质知，， ， 在矩形中，， ， ， 又 ， ． （2）解：如图，设与交于点． 已知在矩形中，，，则． 情形一：当点为靠近点的三等分点时，， 由折叠知，，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 则， 解得． 情形二：当点为靠近点的三等分点时，． 同理建立方程，，解得． 故的长为或． 答：或． 【变式5-2】（2025·河北唐山·二模）【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点. 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕. 嘉嘉认为M是边的三等分点，嘉嘉的证明过程如下. ∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴★________， ∴. ∵， ∴■_______，即， ∴M是边的三等分点 （1）在证明过程中，“★”代表________，“■”代表________. 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇认为G即为边AB的三等分点. （2）①利用尺规作图补全图形. ②求证. 【拓展研究】三等分点的应用 （3）如图3，在菱形中，，，E是上靠近点D的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长. 【答案】（1），； （2）①（作法不唯一）补全图形如下： ②证明：如图3，连接；由尺规作图，可知， ∴，，， ∴，. ∵， ∴， ∴. 设，，则. ∵E为的中点， ∴， ∴. 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴， ∴， ∴. （3） 【分析】（1）证明，得到.由得到，即，即可得到答案； （2）①利用尺规按照要求作图补全图形； ②连接，证明，则.设，，则，得到，则.在中，由勾股定理，得，解得即可得到答案； （3）连接，交于点O，连接，，与交于点N，得到，.证明，得到，设，则，则.在中，，即，解方程求出.由的，求出，即可得到答案 【详解】解：（1）∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴，即， ∴M是边的三等分点 在证明过程中，“★”代表，“■”代表. 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）如图4，连接，交于点O， 连接，，与交于点N， ∴，． ∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得（舍去），， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 【变式5-3】（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 【答案】(1) (2)证明：由题可知，，即， ，， 平行四边形纸片， ， ，则， ，即是等腰直角三角形， ， ，， ， ，即是等腰直角三角形， ，， ，， 在和中， ， ． (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和垂直的定义，等量代换即可求解； （2）根据平行四边形的性质和垂直的定义，易证和是等腰直角三角形，可得，，再利用“”即可证明； （3）根据题意作图，先确定为的中点，不妨取，证明，得到，再利用勾股定理可得，进而得到的值即可． 【详解】（1）解：由题可知，， ， ， ， 平行四边形纸片， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，的垂直平分线交于， 中点为， 由，不妨取， 由（1）知，即，， ，又垂直平分， 则分别为的中点， ，又中点为， ，，则， 又， ，又， ，又， ， ， 又 ，即 ， ， ，由（2）知， ， ， 即的值为． 【题型6 新定义创新题】 【例6】（2026·广西南宁·一模）【对等角六边形】定义：在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． (1)如图1，对等角六边形的对边，的位置关系是_____； (2)如图2，六边形是对等角六边形，若，求证：． (3)如图3，在对等角六边形中，对角线交于点，已知，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 连接、，如图， 由（1）知，， 同理，， ∵， ∴四边形是平行四边形. ∴. ∵. ∴. ∵， ∴, ∴. (3)7.5 【分析】（1）过点F作， 得，由，，得，得，得，即得答案； （2）连接、， 可得四边形是平行四边形，得，可得，即得答案； （3）由六边形相对的边平行，得相对的两个三角形相似，得，得，得，同理，，得点O是六边形的对称中心，即得 【详解】（1）解：如图，过点F作， 则， ∵六边形是对等角六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）略 （3）解：∵对等角六边形的对角线交于点， ∴对角线将六边形分割为 6 个小三角形， 由（1）同理可得，六边形其余相对的边平行， ∴相对的两个三角形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴点O是六边形的对称中心， ∵， ∴ 故四边形的面积为7.5． 【变式6-1】（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 证明：过点A作于点D，如图所示： ∵的面积为15， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得： ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“类直角三角形”； ∴是“类直角三角形”； (3)存在；或 【分析】（1）根据“类直角三角形”的定义和三角形内角和定理，列出方程组，解方程组即可； （2）过点A作于点D，根据三角形面积求出，再根据勾股定理求出，证明，得出，求出，即可证明结论； （3）分两种情况：当时，当时，根据三角形相似的判定和性质，勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ， ∴， 解得：， ∴它的两个锐角的度数为，． （2）略 （3）解：当时， ∵， ∴， 过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【变式6-2】（2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)证明：∵点分别是线段、线段的点（）， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的点；； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是线段的点（），则，设，则，然后通过勾股定理得，然后求出的值即可； （）由题意得，，设，则，，证明，所以，则，从而求证； （）由点是线段的点，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的点（）， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴； （2）略 （3）解：∵点是线段的点， ∴如图，当时，在上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，在延长线上截取， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：线段的长为或． 【变式6-3】（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． (1)【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： (2)【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． (3)【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)或． 【分析】(1) ①先推导出，，得到，，则，进而证明，即可解答； ②根据相似三角形推导出，由，得到，即可解答； （2）先求出，，得到，推导出，得到，进而推导出，则是单余三角形，且是单余角； （3）过点B作于点M，先求出，，得到，，进而推导出当是单余三角形时，或，分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】（1）证明：①如图 ∵若是单余三角形，且是单余角，， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是单余三角形，且是单余角． （3）解：过点B作于点M，如图 ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， 由，得， ∴是单余三角形时，或， ①当时，如图 过点O作于点P，有， 由（1）同理可得， ∴， 即， 解得 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ②当时，如图，过点A作的延长线于点P， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）同理可得， ∴ ∴ 即 解得，即， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 解得． 综上所述，或． 【题型7 尺规作图作相似】 【例7】如图，已知和点．    （1）以点为顶点求作，使，；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）设D、E、F分别是三边、、的中点，、、分别是你所作的三边、、的中点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）分别作A'B'=2AB、A'C'=2AC、B'C'=2BC得△A'B'C'即为所求． （2）根据中位线定理易得DE= AC，DF＝BC，EF＝AB，D'E'= A'C'=AC、D'F'= B'C'=BC、E'F'= A'B'=AB，于是，故可证△DEF∽△D'E'F'． 【详解】解：（1）如图1， ①作线段A'B'=2AB； ②分别以A'、B'为圆心，以2AC、2BC为半径作弧，两弧交于点C'； ③连接A'C'、 B'C'得△A'B'C'． △A'B'C'即为所求．    证明：∵A'B'=2AB、A'C'=2AC、B'C'=2BC， ∴， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴． （2）证明：如图2，    ∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点， ∴DE= AC，DF＝BC，EF＝AB， ∵、、分别是三边、、的中点， ∴D'E'= A'C'=AC、D'F'= B'C'=BC、E'F'= A'B'=AB， ∴， ∴△DEF∽△D'E'F'． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【变式7-1】如图，在正方形ABCD中E为AD的中点，连接EC． （1）作∆AEF∽∆DCE，点F在边AB上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）： （2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∆AEF∽∆ECF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作∠AEF=∠ECD，进而得出△AEF∽△DCE，即可得出答案； （2）直接利用相似三角形的性质得出，再利用相似三角形的判定方法得出答案． 【详解】（1）如图，以C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交CE、CD于G、H点；以E为圆心，以CG为半径画弧，交EA与M点；以M点为圆心，以GH为半径画弧，交前弧于N点；作射线EF交AB于F点，△AEF即为所求作的三角形； （2）∵△AEF∽△DCE， ∴， 又∵E为AD的中点， ∴AE＝ED， ∴ ∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∠AEF＝∠DCE， ∴∠AEF＋∠DEC＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴∠A＝∠FEC＝90°， ∴△AEF∽△ECF 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【变式7-2】（2025·山西长治·二模）阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务． 问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图） 方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴…… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________ 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程． 任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明） 【答案】任务一：平行线分线段成比例定理； 任务二： 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 任务三： 解：如图，点即为所求： 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，菱形的判定与性质等知识点． 任务一：由平行线分线段成比例定理即可判定； 任务二：根据等边三角形导角得到，则，那么，则，即可得到． 任务三：分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，则，那么四边形是菱形，则，再在射线上截取，则，那么，所以，那么，由可得，则，因此，故． 【详解】解：任务一： 证明：，． （平行线分线段成比例定理）， 故答案为：平行线分线段成比例定理； 任务二： 略 任务三：略 【变式7-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）平行线是研究三角形相似的基本工具． (1)【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） (2)【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证． (3)【应用拓展】 如图，已知，直线． 在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是 ． 【答案】(1) 解：如图，作，与交于点E，点E即为所求． (2) 证明：如图，过点D作交于点E，过点作交于点 ∵，， ，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ， ∵，， ，， ∴， 即， ∵，， ∴ ，， ， 即， ， 又，， ∴， 即， (3)①如图，即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交，，于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线，在上截取，； 第3步：连接，过点E作交于点Q，连接； 第4步：在任取一点，作交于点； 第5步：作交于点，则即为求． ② 【分析】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，作图，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）作，与交于点E，点E即为所求； （2）过点D作交于点E，过点作交于点，证明，，列出对应的比例式，得到，根据角的等量代换得到，即可得证； （3）①作直线l分别交，，于点M，N，P；过点A作一条射线，在上截取，；连接，过点E作交于点Q，连接；在任取一点，作交于点；作交于点，则即为求． ②延长交于点Q，则，根据题意得到，进而，则求出即可求得，当为等边三角形时，取得最小值，过点作于点H，即可解答． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 则点E即为所求． （2）略 （3）解：①略 ②如①右图，延长交于点Q，则， ， ， ∴， ∴， 求出即可求得， 当为等边三角形时，取得最小值， 过点作于点H， ，之间的距离为4， ， ∴， ∴， 故答案为： 【题型8 尺规作图用相似】 【例8】如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 【答案】（1）作图如下： 四边形是所求作的四边形； （2）设直线与相交于点S， ∵， ∴， ∴ 设直线与相交于点， 同理． ∵P，Q分别为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点S与重合，即三条直线相交于同一点． 【分析】（1）根据，点B在射线上，过点A作；根据等边三角形性质，得，分别过点A、B，为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案； （2）设直线与相交于点S、直线与相交于点，根据平行线和相似三角形的性质，得，从而得，即可完成证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解． 【变式8-1】如图，在中，. (1)求作菱形，使得D，E，F分别在边AB，BC，AC上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求CE的长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线平分对角可作的平分线交于点E，再由菱形的对角线互相垂直平分可作的垂直平分线交于点D，交于点F，则以A、D、E、F四点为顶点的四边形就是所求的菱形； （2）设，则，再根据菱形的性质可得；再根据比例的性质和平行线分线段定理可得、；然后再说明，最后运用勾股定理即可解答. 【详解】（1）解：如图：四边形即为所求菱形． （2）解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：，解得： ∴． 【点睛】本题主要考查尺规作图、菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 【变式8-2】（25-26八年级下·上海宝山·期中）【问题提出】我们已经会用尺规作图画出已知线段的中点，那么如何用尺规作图画出已知线段的三等分点呢？ (1)【知识回顾】 利用三角形重心定理，可以尺规作图画出任意一个三角形的中线的一个三等分点．如图1，在中，中线与相交于点，则线段_______ ． 【问题解决】 (2)方法一：如图2，作法如下． ①过线段的端点画一条直线，以为圆心，任意长为半径画弧交直线于点、，连接、； ②以点、为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点，交点的连线交于点； ③连接交于点，点即线段的一个三等分点．…… 请根据上述作法在图2中作出点G，并继续用尺规作图画出线段的另一个三等分点，不用说明作图过程，需要保留作图痕迹． (3)方法二：如图3，作法如下． ①以线段为一边作，以、为圆心，以线段、的长为半径作弧，两弧在线段下方交于点B，连接、； ②作线段和的中点、，连接、分别交于点和；所以，、即的三等分点．请根据上述的作法，证明：． 【答案】(1) (2)如图，，即为所求三等分点： (3)由作图可知，，，四边形是平行四边形， 、是线段和的中点， ， ， ， ， ， 即， 同理可得：， ． 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理可得出，，然后根据相似三角形的判定和性质即可得出结果； （2）根据题意作出点即可，由于点是的三等分点，故再求第二个三等分点只需作的中点即可； （3）由作图可知，，，四边形是平行四边形，再求出，利用相似三角形的性质可得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，由三角形中位线性质可得出： ，， ， ， ， ． （2）取长度为半径，以，为圆心分别做弧，交于上方和下方各两点，连接两点，交于，即为第二个三等分点． （3）略 【变式8-3】（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径在的上方与下方作弧，上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点O； ③连接，，则． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：． 【拓展延伸】 （3）当时， ①求证：； ②直接写出与的面积比． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；② 【分析】（1）根据小红同学设计作图即可； （2）由菱形可得，，即得，有，而垂直平分，有，故； （3）由，可得，求出，，，，即可得； （3）根据相似三角形的性质可得 ，证明，设，，有，从而， 从而可得面积比 ． 【详解】（1）解：根据小红同学设计，作图如下： （2）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）①证明：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，（其中），则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，菱形的性质及应用，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形综合探究（举一反三专项训练） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 从特殊到一般】 1 【题型2 类比推理】 3 【题型3 全等到相似】 6 【题型4 全等与相似】 7 【题型5 综合与实践】 9 【题型6 新定义创新题】 12 【题型7 尺规作图作相似】 14 【题型8 尺规作图用相似】 17 【题型1 从特殊到一般】 【例1】（2025·山东聊城·二模）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论． 【特殊化感知】 （1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______； 【一般化探究】 （2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）； 【拓展性延伸】 （3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．          【变式1-1】（2025·甘肃陇南·三模）是边长为5的等边三角形，点D在边上，点E在边的延长线上，且，延长交于点F． (1)将问题特殊化：如图1，当D为的中点时，求的长； (2)将问题一般化：如图2，当时，求的长． 【变式1-2】（2026·湖北·模拟预测）如图1，在中，，是延长线上一点， ，连接，是延长线上一点，． 问题提出：当时，探究的值． （1）先将问题特殊化．如图2，当时，直接写出的值； （2）再将问题一般化．如图1，证明（1）中的结论仍成立； 问题拓展： （3）如图3，过点作于点，若，直接写出的值用含的式子表示． 【变式1-3】（2024·江苏扬州·二模）如图，已知中，，点D在边上，．数学老师让同组的几位同学用一块含的三角板，开展如下的数学探究活动：将绕着点D按顺时针方向旋转，旋转过程中边始终分别与的边相交于点M、N． (1)【特殊化感知】在三角板的旋转过程中，若，则 (2)【一般化研究】在三角板的旋转过程中，的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由； (3)【拓展延伸】 ①如图1，在三角板的旋转过程中，求的最大值； ②如图2，连接，取的中点P，在旋转过程中，求点N在从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径为 ． 【题型2 类比推理】 【例2】（25-26九年级上·吉林·期中）几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图1所示，边长为4的正方形与边长为（）的正方形的顶点重合，点在对角线上． 【问题发现】 （1）如图1所示，与的数量关系为______； 【类比探究】 （2）如图2所示，将正方形绕点旋转，旋转角为（），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【类比迁移】 （3）如图3，四边形，都是矩形，，，，小明将矩形绕点顺时针旋转（），如图4所示。 ①直接写出的值为______． ②在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，请直接写出的长度． 【变式2-2】【问题背景】小明遇到了这样一道试题：如图1，在中，，，，求的面积． 【问题发现】 （1）爱动脑的小明用了如下特别思路解决这个问题：如图2，只要将绕点C顺时针旋转，得到.即可得到一个新的直角边长为10的等腰．易知的面积为等腰面积的一半，进而可轻松获得解答，根据小明的方法，可求出的面积为 ；(直接写出答案) 小明反思认为：旋转变换的好处是可以重组原有图形中的一些关系.类比小明的做法，请完成下列探究： 【类比探究1】 （2）如图3，在四边形中，，，于点M，若，求四边形的面积； 【类比探究2】 （3）如图4，正方形内存在一点E，，，，延长 交于点F，求四边形的面积； 【拓展应用】 （4）如图5，在矩形内，，，点E、F分别在边、上，，，连接，则的长为____．（直接写出答案） 【变式2-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）在数学学习和研究中，经常用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法． 【原题呈现】 如图1，在平行四边形中，点M是的中点，点O是线段上一点，的延长线交射线于点N．若，求的值． 【尝试探究】 如图1，过点M作交于点H，则　　，　　，　　． 【类比延伸】 如图2，在原题的条件下，若，则　　（用含有k的代数式表示）． 【拓展迁移】 如图3，四边形中，，点E是的延长线上的一点，和相交于点O．若，，，则　　（用含m，n的代数式表示）． 【题型3 全等到相似】 【例3】（2026·四川巴中·中考真题）四边形是矩形，点在边上，． (1)【教材重现·提出问题】 如图1，，、分别是、的中点，交矩形外角的平分线于点．求证：； (2)【模型建构·应用意识】 如图2，，交矩形外角的平分线于点，延长交的延长线于点，求的值； (3)【拓展推广·实践能力】 如图3，，（为常数），求的值（用含的代数式表示）． 【变式3-1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图1，在中，点为边的延长线上一点，点在边上，连接交于点，． (1)求证：； (2)如图，过点作，垂足为点，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下， ，将沿折叠，当点落在点的位置时，连接，若，求的面积． 【变式3-2】（2026·河南信阳·三模）【问题情境】 李老师在数学课上布置了这样一道探究题：在中，，，D为射线上一点，连接，作交于点E，作点E关于的对称点F，连接，过F作交直线于点G．试探究线段，与之间的数量关系． 【探究证明】 (1)如图1，当点D在线段上时，猜想线段，与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 (3)延长交直线于点H，连接．若，，请直接写出的面积． 【变式3-3】（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)如图1，当时，点在延长线上 ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图2，当时，点在边上，若，求的值． 【题型4 全等与相似】 【例4】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点G在边的延长线上，连接并把绕点E顺时针旋转得到线段，且点F在边的延长线上．延长与交于点P，连接和，已知． (1)证明：； (2)求证：； (3)写出与的数量关系，并说明理由． 【变式4-1】（2026·广东汕头·三模）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：； (2)若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； (3)若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 【变式4-2】如图，在中，，，点在的延长线上，点在上且，交于点． (1)探究和的数量关系并证明； (2)探究、、之间的数量关系； (3)保留原题条件，再过点作于点，延长交于点，若，求的值用含的代数式表示． 【变式4-3】如图，在中，，，线段绕点逆时针旋转得到线段，点为上任意一点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接． (1)①求证： ； ②求证： ． (2)当，时，直接写出的长． 【题型5 综合与实践】 【例5】（2024·山东临沂·一模）问题情境： 为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图 1. 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处折痕为，再将分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图 2，.老师让同学们探究：的度数是多少?并说明理由. 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图3，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题.经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （1）小虎发现：“如图4，将平行四边形沿着(F为的中点)所在直线折叠，点C的对应点为 ，连接并延长交 于点 G，则与 相等.” （2）小倩发现：“将平行四边形ABCD沿过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为 ，使于点 H，折痕交 于点 M，连接，交 于点 N. 若给出平行四边形面积的数值，及 和 的长度，就可以求出点 M 到的距离，” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由. 老师肯定了小倩同学思路的正确性，若平行四边形 的面积为 80，，请你帮助小倩求出点M到的距离. 【变式5-1】（2026·甘肃·模拟预测）【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 【变式5-2】（2025·河北唐山·二模）【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点. 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕. 嘉嘉认为M是边的三等分点，嘉嘉的证明过程如下. ∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴★________， ∴. ∵， ∴■_______，即， ∴M是边的三等分点 （1）在证明过程中，“★”代表________，“■”代表________. 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇认为G即为边AB的三等分点. （2）①利用尺规作图补全图形. ②求证. 【拓展研究】三等分点的应用 （3）如图3，在菱形中，，，E是上靠近点D的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长. 【变式5-3】（2026·上海·三模）【问题背景】如图1，在平行四边形纸片中，过点作直线于点E，沿直线l将纸片剪开，得到和四边形，如图2所示． 【动手操作】现将三角形纸片和四边形纸片进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片置于四边形纸片内部，使得点与点B重合，点在线段上，延长交线段于点F，如图3所示； ②连接，过点C作直线交射线于点N，如图4所示； 【问题解决】 (1)如图3，填空：______； (2)如图4，求证：； (3)以线段的中垂线为对称轴，将点C翻折到点G，若，求的值． 【题型6 新定义创新题】 【例6】（2026·广西南宁·一模）【对等角六边形】定义：在凸六边形中，满足，，，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形”． (1)如图1，对等角六边形的对边，的位置关系是_____； (2)如图2，六边形是对等角六边形，若，求证：． (3)如图3，在对等角六边形中，对角线交于点，已知，求四边形的面积． 【变式6-1】（2025·河南周口·一模）感知定义：如果三角形的两个内角α与β满足 ，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用 (1)若某三角形是“类直角三角形”，且一个内角为 ，请直接写出它的两个锐角的度数； (2)如图1，在钝角三角形中， 的面积为15，求证： 是“类直角三角形”． (3)如图2，在中， ，在边上是否存在点 D，使得 是“类直角三角形”？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（2026·河南周口·二模）定义：若一动点到一条线段的两个端点的距离满足或，则称为线段的点． (1)如图，在中，，，若点是线段的点（），求的长； (2)如图，在中，是边上一点，连接，若点分别是线段、线段的点（）．求证：是线段的点； (3)图，在菱形中，，，点，分别是射线、射线上的动点，且满足．连接，若点是线段的点．请直接写出线段的长． 【变式6-3】（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． (1)【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： (2)【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． (3)【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 【题型7 尺规作图作相似】 【例7】如图，已知和点．    （1）以点为顶点求作，使，；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）设D、E、F分别是三边、、的中点，、、分别是你所作的三边、、的中点，求证：． 【变式7-1】如图，在正方形ABCD中E为AD的中点，连接EC． （1）作∆AEF∽∆DCE，点F在边AB上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）： （2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∆AEF∽∆ECF． 【变式7-2】（2025·山西长治·二模）阅读与思考 小颖在一篇数学杂志中看到“在尺规作图中，三等分任意角是著名的古希腊三大几何难题之一．19世纪数学家通过代数方法（如伽罗瓦理论）证明：仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角是不可能的．”小颖想着尺规作图不能三等分任意角，那能不能三等分任意线段呢？她作了如下两种作法，请认真阅读她的笔记，并完成下列任务． 问题：已知：线段（如图）．求作：在线段上找一点C，使得．（尺规作图） 方法一： 作法步骤： （1）以A为端点作射线． （2）在射线上依次截取线段． （3）连接，过点E作的平行线交AB于点C． 证明：，． （依据） 方法二： 作法步骤： （1）以为一边作出等边． （2）以为的一半为一边作出等边． （3）连接交于点C． 证明：由作图可知和均为正三角形 且 ∴…… 任务一：上述阅读材料中的方法一中的依据为：_________ 任务二：请你帮助小颖完成方法二中剩余的证明过程． 任务三：请你再用一种不同的方法，在线段上找一点，使得．（尺规作图，保留痕迹，不写作法，不用证明） 【变式7-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）平行线是研究三角形相似的基本工具． (1)【初步尝试】如图，在中，点在边上，，在边上求作点，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） (2)【深入研究】如图，在和中，，分别边，上一点，，，，求证． (3)【应用拓展】 如图，已知，直线． 在图中，求作，使点分别在，，上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 设在中所作的的边与交于点，发现随着形状的变化，的长度也随之变化．若，，之间的距离为，，之间的距离为，则的最小值是 ． 【题型8 尺规作图用相似】 【例8】如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 【变式8-1】如图，在中，. (1)求作菱形，使得D，E，F分别在边AB，BC，AC上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求CE的长. 【变式8-2】（25-26八年级下·上海宝山·期中）【问题提出】我们已经会用尺规作图画出已知线段的中点，那么如何用尺规作图画出已知线段的三等分点呢？ (1)【知识回顾】 利用三角形重心定理，可以尺规作图画出任意一个三角形的中线的一个三等分点．如图1，在中，中线与相交于点，则线段_______ ． 【问题解决】 (2)方法一：如图2，作法如下． ①过线段的端点画一条直线，以为圆心，任意长为半径画弧交直线于点、，连接、； ②以点、为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点，交点的连线交于点； ③连接交于点，点即线段的一个三等分点．…… 请根据上述作法在图2中作出点G，并继续用尺规作图画出线段的另一个三等分点，不用说明作图过程，需要保留作图痕迹． (3)方法二：如图3，作法如下． ①以线段为一边作，以、为圆心，以线段、的长为半径作弧，两弧在线段下方交于点B，连接、； ②作线段和的中点、，连接、分别交于点和；所以，、即的三等分点．请根据上述的作法，证明：． 【变式8-3】（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径在的上方与下方作弧，上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点O； ③连接，，则． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：． 【拓展延伸】 （3）当时， ①求证：； ②直接写出与的面积比． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $