专题06 相似三角形的动点问题（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“题型突破+方法提炼”构建相似三角形动点问题系统训练，通过五步题型分类（单/双动点、性质计算、模型识别、存在性探究）形成“四步解题法+分类讨论”方法论，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单边单动点型|1典例+3变式|四步解题法（设t-表线段-选判定-验区间）；对应顶点分类|从基础动点表示到分类讨论，突出公共角与对应关系| |双动点型|1典例+3变式|标方向-表四段-选判定（SAS/AA）；速度与t区间取交集|双变量线段表示，结合矩形背景直角条件| |动点+性质计算|1典例+3变式|相似比k转面积比k²；面积差用k²作差|性质应用承接相似判定，强化比例转化| |动点+模型识别|1典例+3变式|A字（平行）、8字（对顶）、母子型（Rt△）识别|模型化思维提升解题效率，关联图形特征| |存在性探究|1典例+3变式|假设-表示-分类-验证四步模板；三类不存在理由|综合应用前四模块方法，培养批判性思维|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06相似三角形的动点问题 (题型突破·举一反三) 目录 题型01单边单动点型 题型02双动点型 题型03动点十相似性质计算 题型04动点十模型识别 题型05存在性探究 题型01单边单动点型 典例精析 【典例】 【答案】()证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，AB=BC, BE⊥BF,CF⊥AC ∴.∠EBF=∠ECF=90°=∠ABC .∠ABE=∠CBF,∠BCF=∠ECF-∠BCA=90°-45°=45°=∠BAC, .△ABE≌ACBF(ASA), ..BE=BF (2)解：BE⊥BF,CF⊥AC」 ∴.∠EBF=∠ECF=90° 根据直径所对的圆周角是9O°，可得点C,点E,点B,点F在EF为直径的圆上， 点C,点E,点B,点F四点共圆， ∴.∠ACB=∠EFB=60°，∠BAE=∠BEF=30°， .AB=3BC,BE=3BF, 1/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠EBF=∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBF, ∴△ABE∽△CBF, CF BC3 AE AB 3 (3)解：当E在线段AC上时，由(2)知： CF_BC3 AE AB 3' .AB=43, ∴CB=4 ∠EBF=∠ABC=90°， :M为EF的中点， .MF 由(2)知∠ACF=90°， cw郎 ∴BM=CM, 又：△CBM是直角三角形， :aCBM是等腰直角三角形，∠BMC=90° ..CM= 2BC=25, :EF=2CM=42, 设CF=x,则AE=V3x, ∠CAB=30°，BC=4, .AC=2BC=8. ..CE=AC-AE=8-3x, :∠ECF=90°， ..CE2+CF2=EF2, x2+8-V3x=(42, 2/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x=2√3-2或x=2W5+2(不合题意，舍去)， 当∠MBC=90°或∠MCB=90°时，点M不存在， .∠BMC=90°时，CF=23-2: 当E在AC延长线上时，如图，设CF=x,则AE=V3x, ..CE=3x-8. 同理EF=4√2 ”∠ECF=90 ..CE2+CF2=EF2 ∴x2+3x-8°=(42 ∴x=25-2(不合题意，舍去)，x=25+2, ∴CF=2√5+2 综上所述，CF的长为2W3-2或25+2 举一反三 【变式1-1】 【答案】(1)①1；②45°； PB (2) CD =k,∠ACD=∠B:理由如下： :∠BAC=∠PAD=90°，∠APD=∠B, ∴.△ABCr△APD. AB AP=k, ∴ACAD ,∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， .∠BAP=∠CAD」 .△ABPP△ACD PB AB =k; ∠ACD=∠B'CDAC 3/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 汝 【变式1-2】 【答案】(I)解：BE=DF, 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴，AB=AD,∠BAD=90°， 线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF, ∴，AE=AF,∠EAF=90°， .∠BAD=∠EAF, ,∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD,即∠BAE=∠DAF, 在△BAE和△DAF中， AB=AD ∠BAE=∠DAF AE=AF .△BAE≌aDAF(SAS), .BE=DF (2)解：，四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°，AD=BC, AF⊥AE, .∠EAF=90° ∴.∠BAD=∠EAF, ∴.∠BAD-∠EAD=∠EAF-∠EAD,即∠BAE=∠DAF, ∠AFE=∠ADB,∠EAF=∠BAD=90°， ∴.△EAF∽△BAD、 AB AD AF AD ÷AEAF,即AEAB, .AB:BC=3:4,BC=AD, AD 4 AF 4 AB3,即AE3 又∠BAE=∠DAF, ∴.△BAE∽△DAF, BE AB 3 ·DF=AD4 4/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)解：由ABBC=34,设AB=3k,BC=4k, ,四边形ABCD是矩形 ∠BAD=90°， 由勾股定理得BD=√AB+BC2=5k, .BD=5. 5k=5,解得k=1, .AB=3,AD=BC=4, 由(2)知△BAE△DAF, BE AB3 ∠ADF=∠ABE'DFAD4' ,在矩形ABCD中，∠ABE+∠ADB=90°， ∠ADF+∠ADB=90°，即∠FDE=90°， .△DEF是直角三角形， 若△DEF为等腰三角形，则只能是直角边相等，即DE=DF, BE 3 设BE=3x,由DF=4,得DF=4x: ①如图，当点E在线段BD上， A 此时DE=BD-BE=5-3x, 由DE=DF得5-3x=4x, 5 解得x=7, 515 .BE=3x=3x3= 77: ②如图，当点E在DB的延长线上， 5/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 此时DE=BD+BE=5+3x, 由DE=DF,得5+3x=4x, 解得x=5, .BE=3x=3×5=15, .15 综上可得：BE的长为7或15 【变式1-3】 【答案】(1)1 (②)证明：如图，连接EF, D B 图2 ,将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E, .BE=EB',∠BAE=∠EAF,∠AEB=∠AEB',∠EB'F=∠B=9O°， AE =mAB,AF=mAE, AB AE 1 AE AF m' .△ABE∽△AEF, .∠AEF=∠B=90°， ∴.∠FEB'+∠AEB'=90°，∠CEF+∠AEB=90°， .∠FEB'=LCEF, ∠EB'F=∠C=90° 在 花 中， ∠FEB'=∠CEF △EFB'△EFC EF=EF .△EFB'≌aEFC(AAS). 6/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :EB'=EC, BE=EC,即点E是BC的中点. 9 3)2或32 题型02双动点型 典例精析 【典例2】 【答案】(1)tcm,(6-)cm,2tcm,(8-2r)cm (②)解：当1<t<4时，AP=tcm,C0=(8-21)cm ..AP=CO .t=8-2t, 8 ∴为3s,可使AP=CQ: (3)解：：△BP2的面积为5cm2, ①当0<1<4时，S _LBP.BO, 2 ..BP=(6-t)cm,BO=2tcm, 56-小21=5，整理得2-6+5=0 解得4=1,62=5， .0<t<4, .t=Is; ②当4≤1≤6时，如图所示，过点2作D⊥AB,交AB于点D, .∠AD0=90°， ∠ABC=90°， .∠ADQ=∠ABC, .DQI‖BC .△ADQ∽aABC. 7/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DO OA BC-AC' Dh. B 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm, .AC=V62+82=10cm, 980 解得QD=72-8 5 D5m6)cm 小号6-小28-5，整理得行-6+91=0 5 解得5=15-VB4 ,15+V34 2 .…4≤t≤6. 1=15-V34 2, 综可知当，=或1=15， 2 s时，△BPg的面积为5cm2, 举一反三 【变式2-1】 【答案】(1)解：：四边形ABCD是矩形，AB=6,BC=8 .AB=CD=6,BC=AD=8,∠D=∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD, ∴.AC=VCD2+AD2=10, 由题意得：DP=A0=21,则有AP=AD-PD=8-2t,t的取值范围为0≤t≤4， 当t=2时，则有AP=8-2×2=4, PE∥DC, ∴.△APE∽aADC. 8/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AP PE 4 PE ADDC,即8=6， .PE=3 (2)解：由(1)可知：△APE△ADC,DP=A0=21,AP=AD-PD=8-2t, AP PE AE 8-2PE AE ·AD-DC-AC,即8=6=10， PE=12-3 2,AE20-51 2 :PE∥DC,AB∥CD .AB∥PE ∴.∠BAQ=∠AEP 当∠A0B=∠EPA=90°时，则有△ABOAEAP 2t 6 Ag=AB,即12-31=20-57」 PE AE 2 2 9 解得：4=5,62=4（不符合题意，舍去）： 当∠AQB=∠EAP时，则有△ABO△AEP,此时AP∥BO, :AP∥BC, ∴点C、Q重合，则2t=10, .t=5,与0≤t≤4相矛盾，故此种情况不成立： 9 综上所述：当I=5时，△ABQ与。4EP相似： (3)解：存在，当PO=PE时，如图1，作PH L AC于点H,则QH=EH, A ←-PD H B 图1 报 =c0s∠DAC=4 EH=AE-AH=20-5_32-8136-9r 2510 9/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由Q1=H每s-2)-24 36-9t 10’ 28 解得t= 279 当E0=PE时，如图2， A ←PD O B 图2 由(2)可知：PE=12-3 AE=2051 2 2 :0=AE-A0=20,-21, 2 20-51-21=12-31 2 2 4 解得t= 3: 当E0=PO时，如图3，则∠QPE=∠QEP, ←-PD 图3 ∠QPA+∠QPE=90°=∠QAP+∠QEP .∠QPA=∠QAP .E0=QP=A0, 20-5t-2t 20-5t 由2E0=AB得22 2 20 解得1=13， 28420 综上所述，t的值为27或3或13· 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理， 10/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键 【变式2-2】 【答案】(1)解：由题意得AR=2t,BP=t,CQ=2t, AC=BC=10cm,CD L AB,CD=8cm, .AD=BD=AC2-CD2 =6cm, .AB=12cm. :.CR=(10-2)cm,B0=(10-2i)cm,AP=(12-t)cm, AR AP 当ACAB时，PR∥BC' 2t12-t 0 ·1012,解得：1=17 60 当t为17时，PR∥BC· (2)解：由题意得：BP=t,AR=CQ=2t, 、.B0=BC-CQ=10-21, 当SB0p:Sg黄形cDpg=1:4时，则SAB0P:SACn=l:5, D.BD=x8x6=24, 1 1 SABCD 24 .S0p=二SwS 5, 如图：过点Q作E1BD于点E, ! ,CD⊥AB,QE⊥BD .OE∥CD .△QEB∽aCDB ÷0c OE_BO 2E_10-21 .8 10· 11/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0E=8-8 , =5,解得：1=2或3， ∴当t=2或3时，S△B0P:S四边形cDrQ=1:4, (3)解：沿CQ折叠△RCQ得到△MCO,是否存在某一时刻t,使四边形RQMC为菱形，理由如下： 如图：过点R作RF⊥BC于点F,过点A作AH⊥BC于点H, M P<B 由题意得：PB=t,AR=CQ=2t, .RC=AC-CR=10-21, :沿CO折叠△RC卫得到aMCO, .RC=CM,PO=MO, 若四边形ROMC为菱形，只需RC=RQ, .RC=RO,RF⊥BC, 1 .CF=FO=CO=1, :Sc46CD-BCh,即12x8=10A:解得：AH=96 :.CH=VAC2-AH2 =2.8, :RF⊥BC,AH⊥BC, ∴.RF∥AH, .△CRF∽△CAH, ,CR_CF.n10-2t_1 .C4CH,即102.8’解得：10 39 70 ∴沿CQ折叠得到。MCQ,四边形RQMC为菱形时的t的值39： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质、相似三角 12/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形的判定与性质等知识点，添加三角形的高线、构造相似三角形是解题的关键. 【变式2-3】 【答案】(1)解：设动点Q的速度为x厘米/秒， 1215 根据题意得： +1 xx+l 解得：x=2,为=-6（不合题意舍去） 经检验x=2是原方程根， 动点速度为2厘米秒，动点P速度为3厘米秒. (2)解：①~点Q到达BC中点， .BBC-6cm 动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒， .AP=5×(6÷3-1)=5cm. AD‖BC,KM∥AD, MKI∥AD∥BC, BK BO 6 MK BK 6 则KP=AP=5,AP=BP1' M=30 ②设点P点出发后t秒时，则AP=5,B0=3(t+1),C9=12-3(1+),DP=15-5t, ...AD BC QK-B9-3+)QN_Cg-12-31+ 'KA AP 5t ND DP 15-5t OK ON 若KN/AD:则KA=ND: ,3+)_12-30+) 5t 15-5t 1=1此方程无解， 解得：t KN不会平行于AD 题型03动点+相似性质计算 13/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例3】 【答案】(1)解：矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm, ∴.根据勾股定理得：AC=√6+82=10cm, 又，运动的时间为t秒(0<t<5), ∴.AP=2tcm,CQ=tcm, CP=(10-2t)cm」 过9点作ELAC于E点. ·∠QEC=∠B=90°，∠ACB=∠ACB, .△QEC∽△ABC OE CO .AB CA' OE t .610 0 ∴.S与t之间的函数关系式为： s-Pc0=00-20g-r+ 2 答：S与1之间函数关系式是S=+3」 5 (2)解：S=-2+3 5 =--15 t 52+4, J 1=2时，△PQC的面积最大， 15 最大面积是4cm, 14/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5 15 答：当t为2时，△PQC的面积最大，最大面积是4cm。 (3)解：在P、Q的移动过程中，△PQC能为直角三角形. 分两种情况： ①当∠P2C=90°时，如图， (2) ,△CPQ∽ACAB, CO CP ·CBCA' 10-2t-t .108 0 解得1=13 5符合题意. ②当∠CP0=90°时，如图， (3) :△CPQ∽△CBA. CP CO ·CBCA' 10-21t .810’ 25 解得t- <5符合题意. 7 40 25 综上，在P、D的移动过程中，当3s或号s时，△PQC能为直角三角形. 举一反三 【变式3-1】【答案】C 15131 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3-2】 【答案】(1)解：：a=Vb-4+V8-2b+2,√b-4≥0，V8-2b=V2(4-b)≥0， b-4=0. 解得：b=4, .a=2, .A(2,0),B(0,4), .OA=2,OB=4, 1 54m20A-0B=2×2x4=4, (2)解：如图，连接AC,过点C作CE⊥x轴于E, D O A E :将点A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C,A(2,0), .C3,2),AE=1,CE=2, △PBC与△PAD的面积相等， S.Pc+S.P4C=S.PD+S.PC,SABC=SADAC, A(2,0),B(0,4),C(3,2), 5c=5sme-5o-Se=X2+4利x3-4-X1x2=4, :点D在x轴上且位于点A左侧，A(2,0), 设D(x,0) -3AD-CE=0-x2=4, 1 :.S.DAC= 解得：x=-2 点D的坐标为(-2,0) (3)解：：△ABQ的面积为8，S△Bo=4, ∴点Q在△AB0外， 如图，当点Q在第三象限时，过点A、B、作长方形FQHP,且各边与x轴、y轴分别平行， 16/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 --,P H 设运动时间为t,Q(m,m）,则BM=2t,AN=t, ∴.BM=2AW. 1 :S40=2BM(,-o)=2AW0。-%), 22-m)-54M4-m, :.2 整理得，n=2m,即Q(m,2m), :△ABQ的面积为8，SABe=S长方形Om-S,Br0-SAe-SAPB, 4-2m2-mj-4-2mX-mj-2-m-2m-分x2x4=8, 解得：m=-1, .2m=-2, .Q(-1,-2) 如图，当点Q在第一象限时，过点O分别作QS1x轴于S、QT上y轴于T, S B 设Q(m,n),同理可得：BM=2AW, 5.AN-OB-24N.M-BM2A 、1 17/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S.ANB=S.BM, :.S.0=S.BMQ, 同理可得：乃=2m, :△ABQ的面积为8，SABe=S长方形os-Ss0-SAB0-S4m, 2mm-2m(2m-4-4-3×2m(m-2, 2 解得：%=3， .2m=6, 03,6) 综上所述：点Q的坐标为-1，-2)或(3,6 【变式3-3】 4 【答案】(1)解：当y=0时，3x+8=0, 解得x=6, 点A(6,0): 当x=0时，y=8, 点B(0,8)」 (2)解：点A6,0),B(0,8), .AO=6,B0=8,∠AOB=90° S0s=2X6x8=24,AB=√A0+B0=10 ,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在 线段A0上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点P,Q移动的时间为1秒(>0)， .AP=t,BO=2t,AO=10-2t 如图，过点Q作QC⊥OA,易得△ACQ∽△AOB >OC OA BO BA 18/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 QC 10-2t 即 8 10 ·0c=40-8 5, m-40c-0,82,“ 5 5 :△APQ的面积是。AOB面积的5时， 20t-4t21 =×24, 5 5 解得t=2或3秒. 题型04动点+模型识别 典例精析 【典例4】【答案】0.8或2 举一反三 【变式4-1】 【答案】(1)共线 (2)解：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB,连接EG, E G 图2 矩形ABCD中，∠GAE=∠ABF=90° 又AE=BF,AG=AB, .△GAE≌aABF(SAS). 得GE=AF 因此AF+CE=GE+CE2CG, 19/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可知当C,E,G三点共线时，GE+CE最小，等于CG的长度 由勾股定理得CG=√42+(2+4)}=V16+36=213, 因此AF+CE的最小值为2V13 (3)解：菱形ABCD中，AB=AD=CD=2,∠ABC=60°， ∴.∠ABD=30°，∠ADC=60° .∠ADB=∠ABD=30°， 如图，在AD上方构造线段DG=2AB=4,且∠GDE=30°，连接GE,GC, G 、E 图3 BF-IDE, 2 ∴.DE=2BF, .△ABF∽△GDE, GE _DE=2, AF BF 即GE=2AF、 .2AF+CE=GE+CE≥CG, .2AF+CE的最小值为CG, :∠ADC=60°，∠GDE=30°， .∠GDC=90°， .CG=V22+42=25 【变式4-2】 【答案】(1)①1：②90° E=3 A ∠DBE=90°， BE 解：AD N5,∠DBE=90,理由如下： 20/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°， .∠ACD=∠BCE,LCED=∠ABC=30° .BC=3AC. ,BC=5, :AC :∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°， .△ACB∽ADCE, C-CE 同(1)①得：∠ACD=∠BCE, ∴.△ACD∽△BCE, BE BC :.AD AC =5 ,∠CBE=∠CAD=60°' .∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°： 5 o6 【变式4-3】 3-V5 【答案】动手操作：2： 思考探充：4E=D,证明如下 16 由题得：∠A=90,4D=BC=4AB=3”MM= AD=2, 2 :点P为AM的中点， :.4P=PM=1AM=1, 由折叠可知：AP=AP=1,∠BAP=∠A=90°，AB=AB=3, ∴∠EA'P=∠A,∠AEB=∠AEP, .△EAPP△EAB, .E-EPAP1 AE EB AB 3' 设EM=x :4E4E-1EPx+11 AEx+1+13’EBEB3 21/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4E=x+2 3,EB=3(x+1) EB=4B+4E-3+*+2 3 3(x+1)=3+x+2 3 解得：号 六AE=x+1+1=9 9 =49 AD416 即4E、9 D 213 拓展延伸： 9· 题型05存在性探究 典例精析 【典例5】 【答案】(I)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F, 则LBAD=∠ABC=∠DFB=90°， ∴.四边形ABFD是矩形， .BF AD Icm,DF=AB =4cm, .CF =BC-BF=3cm, 在RtADFC中，CD=VDF2+CF2=5Cm, :QE⊥BC,DF⊥BC, QE//DF, .aCQE∽aCDF DF OE 4 CFCE3' ADOE4 若APD&ECQ,则AP=CE=3, 22131 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AP =4tcm,AD =1cm, 14 43 3 解得1= 16: D B AP OE 4 若ADPAECQ,则ADCE-3, 4t4 13 解翻1： 3 1 综上，当：为16s或S时，以A'D’p为顶点的三角形与。CQE相似： (2)不存在；理由如下： .QEIIDF .aCQE∽aCDF DF OE 4 CD-co 5' .Co=5tcm, .OE =4tem 由勾股定理得CE=VCQ-QE2=3tcm, 若PO将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则四边形PBCQ的面积为梯形面积的一半， S梯形ABCD= L+4)x4=10(cm), 2 ∴.S四边形PBCQ= 专)Sw形BcD=5cm2 .PB=AB-AP=(4-4t)cm,BE=BC-CE=(4-3t)cm, ∴S四边形paCe=S佛形pBE0+S.cOE=5cm2, 23131 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即(4+4-44-3)+)×31×4=5， 2 整理得22-2t+1=0, △=（-2)}-4×2×1=-4<0. 方程无实数根， ∴不存在某一时刻，使PQ将四边形ABCD分成面积相等的两部分： 19+√105.19-105 (3)存在；t= 32 s或32 解：存在： 当DP⊥PE时，∠DPA+∠EPB=90°， :∠DPA+∠PDA=90°， ∴.∠EPB=∠PDA, .∠A=∠B=90°」 ∴.△APD∽△BEP, AP AD ∴BEPB' 4t 1 4-314-4’ 整理得1612-191+4=0， 解得5=19+V05 4-19-io 32 32 当1=19+V05 19-V10 或 32 32 s时， DP⊥PE 举一反三 【变式5-1】 不存在，请说明理由， 【答案】(1)解：：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,AC=10cm, ∴.BC=V102-82=6, AC⊥DF, ∴.∠ACF=∠B=∠E=90° .∠A=90°-∠ACB=∠FCE, .△BAC∽△ECF, 24131 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC AC AB 6 10 8 EFCF=CE,即3CFCE, CF=5,CE=4, 连接BP,作BG⊥AC于点G, G C→D ,沿过B的直线翻折，点P与点C重合， ∴.BP=BC=6,PG=CG, .AP=2t, :PG=CG=)cP=10-2)=5-1, 2 ACxBG=)BC×AB, :BG=4B×BC=8x6_24 AC105, 5-1=18 , 解得=； (2)解：作PH⊥BC于点H, B C-→D 当PF⊥EF时，∠PFE=∠E=∠PHE=90°， ∴四边形PHEF是矩形 .PH=EF=3, .∠B=∠PHC=90°，∠CAB=∠CPH, ∴.△CABn△CPH, 25/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :是 CPPH10-2t3 即108’ 25 解得t= 8 (3)解：作PH⊥BC于点H, B C-D AP=21,CP=10-2t,CD=t, .△CAB∽△CPH, CP PH CH ·AC AB BC, H0m-80-2-8,cm-ecm-0-2刘-6g AC 109 :DH=CH+CD=6-+1=6-, 1 5 5 :SAPF=S#形PHEr-S△PHD-S△DEF (PH+EF)-HE-PH.DH-DE.EF 8+36+486)4x: =25-7 2 y=25340s15列： (4)解：连接BF,与PD交于点M,作MN⊥BE于点N, B C→D ,MN∥EF, 26/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BM BN FM NE' :点M为BF的中点， BN BM NEFM =1 N=NE=BE=ac+cD+DE)-6+14到=5+， MN是△BEF的中位线， .MN-1EF-3 2 作PH⊥BC于点H, 3PH=8-8,CH=6-, 5 5 8=c-H=6-6- BD=BC+CD=6+t' .DN BD-BN=6+1- +1.m=-8=6g=6 同理，△DMN∽△DPH. MN DN PH DH' 六PH-DN=MNDH' 即8+6 整理得82-271+10=0， 27+V40927-√409 解得t= 16 或16 【变式5-2】 【答案】(1)解：存在， 由题意可知，BP=t,DN=2t, .BN BD DN =16-, :四边形ABCD是菱形， :ABIICD,AB=BC=CD=10, ,PN∥EB. .PN∥CD .△BPN∽aBCD」 27/31 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BP BN t16-2t …BC D,即10=16， 40 解得t= 9, 40 :当t=g时，PN∥EB (2)解：存在， 如图，连接DE并延长，交CB的延长线于点G, D M G B P 由平移的性质可得，MNI‖AD,MN=AD=I0, ∴△BEN∽△BAD BE BN BE 16-2 AB 80,即10 16, 解衡处=10-寻 .AE AB-BE 41 ,四边形ABCD是菱形， .ADI‖BC, ∴.∠ADG=∠BGD, DE平分∠ADB, .∠ADG=∠BDG, .∠BDG=∠BGD」 .BG=BD=16, AD‖BC ∴.△ADEABGE, 10 AE AD' 即4 一= 10- 5 16, 0 BE BG 4 40 解得t= 13 28131 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 40 “当(=13时，点E在∠ADB的平分线上： (3)解：如图，连接AC交BD于点O,过点B作DA的垂线，交MN于点I,交DA的延长线于点H, H D ,四边形ABCD是菱形， ACD:OA-ACO8-BD- 在RIAOAB中，OA=VAB2-OB2=V102-82=6, .AC=20A=12, 1 1 ∴.S菱形BcD=7AC,BD=)×12×16=96, 片B别=5如-48 AD 5 S:S菱形HBcD=13:32, .S=39. :BH⊥DH,MN II AD ∴.BH⊥MN, ∠BIE=∠H=90°， .∠IBE=∠BA, ∴.△EBI∽△ABH, 10- BI ∴BEB，即10 = 48: AB BH 5 :S四边形MBPv=)(MN+BP）BI=39, 2 0+)9 整理，得12+2t-15=0 29131 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解得t=3或t=-5(负值舍去)， 当t=3时，S:S菱形BcD=13:32 (4)解：如图，连接AC交BD于点O,设NN'交BC于点J, B 由(3)可知，AC⊥BD,OB=8, :点N'是点N关于直线BC的对称点， NW⊥BC, N -N-2M. .∠N=90°=∠B0, .∠8=∠CBO .△8∽△CB0. BN B 16-2t B.J BC=B,即10=8， 解得9、 648 55 .MN∥AD∥BC, 又，点M,B,N'在同一条直线上， .△NB∽△NN. B N1 :WM2. g=w=5, 六55=5，解得1=39 648 8 39 “当1=8时，点M:B'N在同一条直线上： 【变式5-3】 【答案】(1)解：：∠C=90°，AB=25cm,AC=20cm, 30131 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.BC=VAB2-AC2=15cm, 由题意，AP=5tcm,CM=4tcm」 MN∥AB, .△CMN∽△CAB. MN CM MN 4t B=AC,即：2520 .MN =5tcm (2)存在： 由(1)知：MN=5itcm,AP=5tcm,CM=4tcm, .MN=AP,AM AC-CM=(20-4t)cm, 又MN∥AB 四边形AMNP为平行四边形， .PN∥AC, ∠C=90°， ∴.CN⊥CM, 在RtaCMN中，由勾股定理，得CW=VMN2-CM2=3cm, ∴.S四边形wP=AMCN=(20-4H）3t=48, 解得t=1或t=4: 故当t=1或t=4时，S四边形Awp=48 (3)存在，1=160 57· 31131 专题06 相似三角形的动点问题 （题型突破·举一反三） 题型01 单边单动点型 题型02 双动点型 题型03 动点＋相似性质计算 题型04 动点＋模型识别 题型05 存在性探究 ▌题型01 单边单动点型 基础知识：动点题通用四步： 1. 设t； 2. 用t表示相关线段长（注意速度×时间，带单位）； 3. 选判定路径（AA/SAS/SSS，动点题SAS和AA最常用）； 4. 列方程解t，代回验t是否在运动区间内。 思维路径（对应顶点分类，核心）：题干写“△APQ∽△ABC”，但P在AB上动、Q在AC上动时，A可能对应A、P对应B、Q对应C；也可能A对应A、P对应C、Q对应B（若∠APQ＝∠C而非∠B）。必须按“哪组角等”分情况，不能默认一种。 关键技巧：分情况的标准是“哪个角被题设固定”——公共角通常固定（如∠A），另两组旁角哪个等要分类；若题给平行则唯一解，不给则大概率双解。 易错提醒：解出t后必须代回验运动区间，超区间舍去；分类讨论漏第二种情况是最大丢分点。 【典例1】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）解答下列问题： (1)【问题发现】：如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：； (2)【类比探究】：如图2，在矩形中，为对角线上的动点，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值； (3)【拓展延伸】：如图3，在（2）的条件下，将改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点，连接．若，则当是直角三角形时，请写出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， (2) (3)的长为或 【分析】（1）证明即可证明结论； （2）证明即可求出结论； （3）分两种情况：当E在线段上时，或当E在延长线上时，分别根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理求出结论即可； 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 根据直径所对的圆周角是，可得点C，点E，点，点在为直径的圆上， ∴点，点，点，点四点共圆， ，， ，， ． ， ， ， ； （3）解：当E在线段上时，由（2）知： ， ， ． ， 为的中点， ． 由（2）知， ． ， 又是直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点不存在， 时，； 当E在延长线上时，如图，设，则， ． 同理 ， ， ， （不合题意，舍去），， 综上所述，的长为或． 【变式1-1】（2023·重庆黔江·模拟预测）探究不同情境，解决下面问题： (1)问题发现：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，填空： ①_； ②的度数为_． (2)拓展探究：如图，在中，，，点是边上一动点（不与点重合），，，连接，请判断与之间的数量关系以及与的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：如图，在中，，，，是边上一动点（不与点重合），，，连接．若，请直接写出的长． 【答案】(1)①1；②； (2)，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，； (3)或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可得出结果； （2）先证明，得出，再证明，得出，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）过点作于点，分两种情况：当点在上时，当点在的延长线上时，分别结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ②由①可得； （2）略； （3）解：过点作于点，当点在上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在的延长线上时，如图： ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【变式1-2】（2026·湖南邵阳·一模）探究以下问题： (1)[问题发现]如图，在正方形中，点是对角线上一动点（不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)[类比探究]如图，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，请探究此时与的数量关系． (3)[拓展延伸]在矩形中，仍有，若，点为射线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)解：， 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴； (2)； (3)或． 【分析】由四边形是正方形，得，，又线段绕点逆时针旋转得到线段，所以，，再证明，再由全等三角形的性质即可求证； 由四边形是矩形，则，，证明，所以，即，可得，即，再证明，然后由相似三角形的性质即可求解； 由，设，，由勾股定理得，所以，，由知，所以，，然后得出是直角三角形，又为等腰三角形，则只能是直角边相等，即，设，由，得，然后分当点在线段上，当点在的延长线上，两种情况求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由，设，， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴，解得， ∴，， 由知， ∴，， ∵在矩形中，， ∴，即， ∴是直角三角形， 若为等腰三角形，则只能是直角边相等，即， 设，由，得， 如图，当点在线段上， 此时， 由得， 解得， ∴； 如图，当点在的延长线上， 此时， 由，得， 解得， ∴， 综上可得：的长为或． 【变式1-3】（2026·河南信阳·模拟预测）解决下列问题： (1)创设情境：如图，在正方形中，，为线段上一动点，将沿翻折，得到．若的延长线恰好经过点，则________； (2)发现问题：如图，在矩形中，为线段上一动点，设，将沿翻折，得到，延长交于点，若，试说明点是的中点； (3)问题解决：如图，在中，，，，为直线上一动点，设，将沿翻折，得到．在的延长线上找一点，使得．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点到直线的距离为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质及折叠的性质得出是等腰直角三角形，，利用勾股定理求出，即可得出，解方程求出的长即可； （2）根据折叠的性质及，得出，可得，利用角的和差关系得出，即可证明，得出，即可得出结论； （3）分点在上，、点在延长线上，点在延长线上，三种情况，利用全等三角形的性质及相似三角形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵将沿翻折，得到， ∴，，， ∵的延长线恰好经过点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 解得：． （2）证明：如图，连接， ∵将沿翻折，得到， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即点是的中点． （3）解：如图，当点在上，时，过点作于，连接， ∵将沿翻折，得到， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当点在延长线上时，，，， ∴不能构成以为腰的等腰三角形，不符合题意， 如图，当点在的延长线上，时，过点作于， ∵将沿翻折，得到， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴，即， 解得：； 综上所述：点到直线的距离为或． ▌题型02 双动点型 基础知识：双动点下，两条动边都用t表示：，（或QB＝…看方向），剩余定边PB＝AB－、BQ＝BC－等。 思维路径（标准三步）： 标方向：P从A→B（），Q从C→B（），t的公共区间取交集 表四段：，PB＝AB－，，BQ＝BC－（依题调整） 选判定：矩形背景下∠B＝∠C＝90°已固定→走SAS（两边成比例＋直角夹）→类，或走AA（再找一组锐角等） 关键技巧：矩形/正方形背景的双动点，直角是免费的夹等角，SAS最稳；分类时“哪组边对应”仍要分（如△PBQ∽△QCR中，PB对QC还是PB对QR要看∠B＝∠C这个直角的夹边）。 易错提醒：两速度不同时，t上限取“先到终点者”；Q若从B→C则CQ＝BC－，符号别反。 【典例2】（25-26九年级上·天津河北·期末）如图，在中，，动点从点出发沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点出发沿边向点以的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动．如果点，分别从点，同时出发，设运动的时间为，当时，点，位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当时，___________，___________，___________，___________（用含有的代数式作答） (2)当时，为何值时，可使； (3)当为何值时，的面积为． 【答案】(1)，，， (2)为，可使 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据，可得到，即可求解； （3）根据的面积为和运动情况，分类讨论：①当时，②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：当时，， ∵， ∴， 解得， ∴为，可使； （3）解：∵的面积为， ∴①当时，， ∵，， ∴，整理得， 解得，， ∵， ∴； ②当时，如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，整理得， 解得， ∵， ∴， 综上可知，当或时，的面积为． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）在中（如图1），，，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接． (1)为何值时，？ (2)当时，求值； (3)如图2，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或3 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，用t的代数式表示出线段的长度，利用平行线的判定与性质列出比例求解即可； （2）如图：过点Q作于点E，，得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，再利用三角形的面积公式得到关于t的方程求解即可； （3）如图：过点R作于点F，过点A作于点H，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的比例式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴，，， 当时，， ∴，解得：， ∴当t为时，． （2）解：由题意得：，， ∴， 当时，则 ， ∵， ∴， 如图：过点Q作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，理由如下： 如图：过点R作于点F，过点A作于点H， 由题意得：，， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， 若四边形为菱形，只需， ∴， ∴， ∴，即，解得： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：． ∴沿折叠得到，四边形为菱形时的t的值． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，添加三角形的高线、构造相似三角形是解题的关键． 【变式2-3】（24-25八年级下·上海虹口·阶段检测）如图1，在梯形中，，且，，动点Q由点B沿向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿向点D移动 (1)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度． (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），与交于K，与交于N ①当动点Q到达中点时，过K作交于M，求的长；（如图2） ②在这运动过程中，是否会与平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3） 【答案】(1)动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒 (2) ；不会平行于，理由见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用和平行线的判定和性质，解题的关键是熟悉平行线对应线段成比例，利用动态的思想列出代数式． （1）设动点Q的速度为x厘米/秒，则动点P的速度为厘米/秒，根据题意列出分式方程求解即可； （2）①根据题意得，，利用平行线的性质得到，即有和，即可求得； ②设点P点出发后t秒时，则，，利用平行线的性质得和，结合，即有，经过计算等式不成立，即不存在． 【详解】（1）解：设动点Q的速度为x厘米/秒， 根据题意得： ， 解得：，（不合题意舍去） 经检验是原方程根， ∴动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒． （2）解：①∵点Q到达中点， ∴， ∵动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒， ∴， ∵，， ∴， 则，， ∴； ②设点P点出发后t秒时，则，， ∵， ∴，， 若，则， ∴ 解得：此方程无解， ∴不会平行于． ▌题型03 动点＋相似性质计算 基础知识：一旦由第一问得使两三角形相似，记相似比k（由时的边长比得）→面积比＝，周长比＝k，对应高/中线比＝k。 思维路径： 1. 第一问求→代算两组对应边得k 2. 第二问要面积：若给小三角形面积则或反过来；要大减小得梯形/阴影则用。 关键技巧：面积类题别硬算面积公式，先用相似比转——第一问已证相似，k已知，面积比直接平方，快且准。 易错提醒：有两解时，第二问要两解分别对应算，不能只算一种；若问“是否存在某时刻使面积比”，则反推k→反推t→验区间，走“存在性”路径。 【典例3】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边向点B以每秒1厘米的速度运动．设运动的时间为t秒（），的面积为． (1)求S与t之间函数关系式． (2)当t为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ (3)在P、Q的移动过程中，能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当t为时，的面积最大，最大面积是 (3)能，或 【分析】（1）求解，，，．过Q点作于E点．证明，再进一步求解即可； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）在P、Q的移动过程中，能为直角三角形．分两种情况：①当时，如图，②当时，如图，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵矩形中，，， ∴根据勾股定理得：， 又∵运动的时间为t秒（）， ∴，， ． 过Q点作于E点． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S与t之间的函数关系式为： ． 答：S与t之间函数关系式是． （2）解：∵ ， ∴时，的面积最大， 最大面积是， 答：当t为时，的面积最大，最大面积是． （3）解：在P、Q的移动过程中，能为直角三角形． 分两种情况： ①当时，如图， ∵， ∴， ∴， 解得符合题意． ②当时，如图， ∵， ∴， ∴， 解得符合题意． 综上，在P、Q的移动过程中，当或时，能为直角三角形． 【变式3-1】（2026·江苏无锡·二模）如图，点P是的边上一动点（不与点B、C重合）过点P作交于点D、作交于点E，点M、N分别为线段、上的两个点，且，，则与的面积相等的是（     ） A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】C 【分析】连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴ ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，故选项C符合题意； 无法得出的面积、的面积、的面积与的面积相等，故A、B、D不符合题意． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求的面积； (2)如图，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点在轴上且位于点左侧，连接交于点，连接，若与的面积相等，求点的坐标； (3)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向下运动，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴向左运动，点，同时出发，直线，交于点，在整个运动过程中，当的面积为时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用算术平方根的非负数性质得出，进而求出，可得，，利用三角形面积公式即可得出答案； （2）连接，过点作轴于，根据平移的性质得出，根据与的面积相等得出，根据各点坐标求出，设，根据可求出，即可求出点坐标； （3）根据的面积为，得出点在外，分两种情况，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行，设运动时间为，，由两点速度可得，利用三角形面积公式可得，利用割补法，结合的面积为可列出方程，解方程求出的值即可得出点坐标；当点在第一象限时，同理可求出点坐标，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：如图，连接，过点作轴于， ∵将点向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点，， ∴，，， ∵与的面积相等， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵点在轴上且位于点左侧，， ∴设 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． （3）解：∵的面积为，， ∴点在外， 如图，当点在第三象限时，过点、、作长方形，且各边与轴、轴分别平行， 设运动时间为，，则，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，即， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当点在第一象限时，过点分别作轴于、轴于， 设，同理可得：， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∵的面积为，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西九江·阶段检测）如图，已知直线，且直线l与x轴，y轴分别交于两点，动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动． (1)求点的坐标； (2)当的面积是面积的时，求t的值． 【答案】(1)点；点 (2)或3秒 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将和分别代入，即可求得答案； （2）通过勾股定理求得，根据题意，可知，接着证明，得到，从而表示出，通过列出方程，解出答案即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得， 点； 当时，， ∴点． （2）解：点， ， ，， ∵动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点移动的时间为t秒， ． 如图，过点Q作，易得， ， 即， ， ． ∵的面积是面积的时， ∴， 解得或3秒． ▌题型04 动点＋模型识别 思维路径（A字识别）：P在AB动、Q在AC动，若题给PQ∥BC或能推出PQ∥BC→△APQ∽△ABC，比例（k是t的函数）。 思维路径（8字识别）：P在AB延长线动、Q在AC延长线动，PQ与BC不平行但AB、AC交于A，若再有∠APQ＝∠C类→对顶8或共角型，走AA。 思维路径（母子识别，Rt△高频）：Rt△ABC，∠C＝90°，P在AC上动，作PQ⊥AB于Q→△APQ∽△ABC（AA：∠A公共+直角）→构动点版母子型，等积式AQ·AB＝AP·AC类可列。 关键技巧： 1. 动点题里先扫“有没有平行条件”： (1) 有平行→A字，比例直接写； (2) 没平行→找等角→AA或SAS。 2. 模型认出后，“k是t的函数”这个意识要有，后面列方程就是＝已知比。 【典例4】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 【变式4-1】（25-26九年级下·广西防城港·期中）【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一个热点问题．两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线段”（简称逆等线）．它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且它们分别到各自对应定点的距离始终相等．以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问题”． 【方法研究】 (1)如图1，在等腰直角中，，，，分别是线段，上的两个动点．若，连接，，试求的最小值．我们往往使用构造等腰三角形的方法，过点作，且，连接，易证，所以，由此我们可以得出结论：当，，三点________时，的值最小，即取得最小值． 【问题解决】 (2)如图2，在矩形中，，，是边上的一个动点，是射线上的一个动点，且，连接，，求的最小值（提示：在图2中，延长至点，使，连接）． 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形中，，．若，分别是，上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1)共线 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系作答即可； （2）仿照1得到当三点共线时，最小，等于的长度，根据勾股定理计算即可； （3）根据菱形的性质得到，，在上方构造线段，且，连接，根据相似三角形的判定和性质得到，即的最小值为，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据三角形三边关系可知， ∴当，，三点共线时，的值最小，即取得最小值． （2）解：在图2中，延长至点，使，连接， 矩形中，， 又，， ∴， 得． 因此， 可知当三点共线时，最小，等于的长度． 由勾股定理得， 因此的最小值为． （3）解：菱形中，，， ∴， ∴， 如图，在上方构造线段，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图1，在和中，，，D是线段上一动点，连接． (1)填空：①的值为______．②的度数为______． (2)类比探究：如图2，在和中，，，D是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数，并说明理由． (3)拓展延伸：如图3，在和中，，，点D是线段上一动点，连接，P为中点．若，，在点D从A点运动到B点的过程中，请直接写出P点经过的路径长． 【答案】(1)①；② (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）①证，得，，即可得出；②由①得，，则； （2）先由含角的直角三角形的性质得，则，再证，得 ，同（1）①得，然后证，得，，则； （3）同（2）得，得，证出，由题意得点P的运动轨迹为，是的中位线，则，再证，求出，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1； ②由①得：，， ∴， 故答案为：； （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同（1）①得：， ∴， ∴，， ∴； （3）解：同（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 当点D与A重合时，点E与B重合，的中点，记为； 当点D与B重合时，点E是的延长线与的延长线的交点，记为，如图3所示： 则点P的运动轨迹为，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即P点经过的路径长为． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 如图，矩形中，，，P是边上一点． 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将矩形纸片展开，得到折痕；P为边上的一个动点，将沿折叠后得到，使点A的对应点落在上，连接，则的值为________； 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形展开，当动点P在线段中点处时，将沿折叠后得到，得到点A的对应点，延长交于点E．如图2，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将沿折叠后得到，延长交于点F，则此时的值为________． 【答案】动手操作：； 思考探究：，证明如下： 由题得：，，，， ∵点P为的中点， ∴， 由折叠可知：，，， ∴，， ∴， ， 设 ， ， ∵， 解得： ， 即； 拓展延伸：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 动手操作：设，根据勾股定理列方程求解即可； 思考探究：由折叠的性质得到，，，证明，得到，设，求出，进而计算即可； 拓展延伸：连接，证明，设，则，求出，根据勾股定理得到，则． 【详解】动手操作：解：∵， ∴， 设， 则， ∴ ， 即 ∴ 即， ∴； 故答案为：； 思考探究：略 拓展延伸：解：如图，连接， ∵，，， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． ▌题型05 存在性探究 思维路径（标准四步答题模板）： 1. 假设存在，设t 2. 用t表示相关边长（，等） 3. 按对应顶点分情况列比例式（SAS走夹∠A；或夹∠A——两种对应） 4. 解方程得、……→逐个验： (1) t是否在运动区间； (2) 对应顶点是否真能成立（如钝角/锐角匹配）； (3) 图形是否退化（或端点常舍去，除非题说“包含端点”） 5. 下结论：“存在，t＝…”或”不存在，理由：解出的t不在区间内“ 关键技巧：“不存在”的三类理由要会写 (1) 方程无解（判别式<0，少见）； (2) 解出的t超出运动区间； (3) 解出的t使图形退化（如P、Q重合，或三角形退化为线段）。 易错提醒：存在性题别上来就说“存在”或“不存在”，必须先假设再推；若两解都超区间，写“不存在，理由：＝…、＝…均不在时间区间内”；若一解在区间一解不在，写“存在，t＝…（另一解舍去）”。 【典例5】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，已知四边形中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)是否存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为或 (2)不存在；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 若将四边形分成面积相等的两部分，则四边形的面积为梯形面积的一半， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分； (3)存在；或 【分析】（1）过点D作于点F，则易得四边形是矩形，再由勾股定理求得，求得的值，再分两种情况考虑相似即可； （2）若将四边形分成面积相等的两部分，则四边形的面积为梯形面积的一半，用含t的代数式表示出四边形的面积，解关于t的方程，根据t的值是否存在即可作出判断； （3）证明，利用比例式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点F， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵，， ∴， 解得； 若，则， ∴， 解得； 综上，当为或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：不存在；理由略； （3）解：存在； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴当或时，． 【变式5-1】（2026·山东青岛·二模）已知：和如图①摆放（点与点重合），，，在同一直线上，，，，，．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．当点运动到点时，点与都停止运动．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，沿过的直线翻折，点与点重合？ (2)是否存在某一时刻，使？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)连接、．设面积为，求与的函数关系式； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使经过的中点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)或． 【分析】（1）证明，求得，，连接，作于点，由题意得，根据等积法列式计算即可求解； （2）作于点，由题意得四边形是矩形，证明，求得； （3）证明，求得，，根据，据此计算即可求解； （4）连接，与交于点，作于点，证明是的中位线，求得，证明，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， 连接，作于点， ∵沿过的直线翻折，点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：作于点， 当时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：作于点， ∵，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∴； （4）解：连接，与交于点，作于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， 作于点， ∴，， ∴，， ∴，， 同理，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或． 【变式5-2】（2026·山东青岛·二模）如图①，在菱形中，，．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，线段（点，分别与点，重合）从点出发，沿方向匀速平移，速度为；线段停止运动时，点也随之停止运动．交于点，连接，．设运动时间为，解答下列问题： (1)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (2)是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)设四边形的面积为，为何值时，； (4)如图②，点是点关于直线的对称点，连接，，当为何值时，点，，在同一条直线上？请说明理由． 【答案】(1)存在， (2)存在， (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据题意，，，由可得，则，代入求解出即可； （2）连接并延长，交的延长线于点，由平移的性质可得，，，从而得到，计算得，．由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，由平行可判定，代入求解出即可； （3）连接交于点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点，由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，则，从而计算出，则．由可得，利用四边形的面积构造方程，求解出出即可； （4）连接交于点，设交于点，由（3）可知，， ，由轴对称的性质可得，．容易证明，则，计算得．结合平行与三点共线可得，则，代入求解出即可． 【详解】（1）解：存在， 由题意可知，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴当时，； （2）解：存在， 如图，连接并延长，交的延长线于点， 由平移的性质可得，，， ∴， ∴，即， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴当时，点在的平分线上； （3）解：如图，连接交于点，过点作的垂线，交于点，交的延长线于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得或（负值舍去）， ∴当时，； （4）解：如图，连接交于点，设交于点， 由（3）可知，， ， ∵点是点关于直线的对称点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵， 又∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴当时，点，，在同一条直线上． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 (1)求线段的长（用含t的代数式表示）； (2)连接，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在说明理由； (3)连接、，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，列出一元二次方程进行求解即可； （3）作于点，证明，求出的长，根据中垂线的性质得到，由（2）可知，进而得到，三线合一，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； （2）存在； 由（1）知：，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或； 故当或时，； （3）存在； 作于点，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 当点P在线段的垂直平分线上时，则：， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 【点睛】本题考查相似三角形中的动点问题，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06相似三角形的动点问题 (题型突破举一反三) 目录 题型01单边单动点型 题型02双动点型 题型03动点十相似性质计算 题型04动点十模型识别 题型05存在性探究 题型01单边单动点型 解题必备 基础知识：动点题通用四步： 1.设t 2.用t表示相关线段长（注意速度×时间，带单位）： 3. 选判定路径(AA/SAS/SSS,动点题SAS和AA最常用)： 4.列方程解t,代回验t是否在运动区间内。 思维路径（对应顶点分类，核心）：题干写“△APQ∽△ABC”,但P在AB上动、Q在AC上动时，A可 能对应A、P对应B、Q对应C;也可能A对应A、P对应C、Q对应B(若∠APQ=∠C而非∠B)。必须 按“哪组角等”分情况，不能默认一种。 关键技巧：分情况的标准是“哪个角被题设固定”一一公共角通常固定（如∠A),另两组旁角哪个等要分 类；若题给平行则唯一解，不给则大概率双解。 易错提醒：解出t后必须代回验运动区间，超区间舍去：分类讨论漏第二种情况是最大丢分点。 三典例精析 【典例1】(2026黑龙江绥化：模拟预测)解答下列问题： 1/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D E 图1 图2 图3 (I)【问题发现】：如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点 C作AC的垂线，两条垂线交于点F,连接EF,求证：BE=BF: (②)【类比探究】：如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C CF 作AC的垂线，两条垂线交于点P,且ACB=6O0,连接EF,求AE的值： (3)【拓展延伸】：如图3，在(2)的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF 的中点M,连接BM,CM.若AB=4V5,则当△CBM是直角三角形时，请写出CF的长. E 举一反三 【变式11】(2023·重庆黔江模拟预测)探究不同情境，解决下面问题： B B 图1 图2 图3 AB (①)问题发现：如图1，在R△4BC中，∠BAC=90,ACL,点p是边BC上一动点（不与点B重合）， ∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,填空： ① PB CD ②∠ACD的度数为_. (②)拓展探究：如图2，在Rt△4BC中，∠BAC=90,AC =太，点p是边BC上一动点（不与点B里 合)，∠PAD=90°，∠APD=∠B,连接CD,请判断PB与CD之间的数量关系以及∠ACD与∠B的数 量关系，并说明理由. (3)解决问题：如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4V2,BC=4+2V14,P是边BC上一动点（不与 点B重合)，∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接CD.若PA=5,请直接写出CD的长 2/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式1-2】(2026湖南邵阳·一模)探究以下问题： 图1 图2 备用图 (I)[问题发现]如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点（不与B,D重合），连接AE, 将线段AE绕点A逆时针旋转90O°得到线段AF,连接DF.请写出BE与DF的数量关系，并给出证明 过程 (2)[类比探究]如图2，在矩形ABCD中，AB:BC=3:4,点E为对角线BD上一动点（不与B,D重 合)，连接AE,作AE的垂线AF,使∠AFE=∠ADB,连接EF,请探究此时BE与DF的数量关系」 (3)[拓展延伸]在矩形ABCD中，仍有AB:BC=3:4,若BD=5,点E为射线DB上一动点（不与B, D重合)，连接AE,作AE的垂线AF,使∠AFE=∠ADB,连接EF,当△DEF为等腰三角形时，求 BE的长， 【变式1-3】(2026河南信阳模拟预测)解决下列问题： 图1 图2 图3 ()创设情境：如图1，在正方形ABCD中，AB=V2+1,E为线段BC上一动点，将△ABE沿AE翻折， 得到△ABE.若AB的延长线恰好经过点C,则BE= (2)发现问题：如图2，在矩形ABCD中，E为线段BC上一动点，设AE=mAB,将△ABE沿AE翻折， 得到△AB'E,延长AB交CD于点F，若AF=mAE,试说明点E是BC的中点： (3)向题解决：如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8,BC=16,E为直线BC上一动点，设 AE=mAB,将△ABE沿AE翻折，得到△AB'E.在AB的延长线上找一点F,使得AF=mAE.当 △AEC是以AE为腰的等腰三角形时，直接写出点F到直线BC的距离为一· 题型02双动点型 解题必备 3/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 基础知识：双动点下，两条动边都用t表示：AP=t,CQ=4(或QB=…看方向)，剩余定边PB=AB -Yt、BQ=BC-V,t等。 思维路径（标准三步）： 标方向：P从A-B(0s1≤)，Q从C8(051s四 ?),t的公共区间取交集 表四段：AP=t,PB=AB-Yt,CQ=,BQ=BC-(依题调整) PB BO 选判定：矩形背景下∠B=∠C=90已固定→走8As(两边成比例+直角夹)一QC=PC类，或走AA(再 找一组锐角等) 关键技巧：矩形正方形背景的双动点，直角是免费的夹等角，SAS最稳；分类时“哪组边对应”仍要分 (如△PBQ∽△QCR中，PB对QC还是PB对QR要看∠B=∠C这个直角的夹边)。 易错提醒：两速度不同时，t上限取“先到终点者”；Q若从B→C则CQ=BC一t,符号别反。 三典例精析 【典例2】(25-26九年级上·天津河北：期末)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm,动 点P从点A出发沿边AB向点B以lCms的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B出发沿边 B-C-A向点A以2cs的速度移动，规定其中一个动点到达终点，另一个也随之停止运动.如果点P, Q分别从点A,B同时出发，设运动的时间为s,当t=1时，点P,Q位置如图所示，回答下列问题： (1)填空：当0<t<4时，AP= BP= BO= CO= (用含有的代数式作答) (2)当1<1<4时，t为何值时，可使AP=C0: (3)当t为何值时，△BP9的面积为5cm2. 举一反三 【变式21】(25-26九年级上四川内江阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,动点P 从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点O从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作 PE∥DC,交AC于点E,动点卫、O的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、O 两点同时停止运动.设运动时间为秒. 4/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D (1)当t=2时，求PE的长： (2)当t为何值时，△ABO与△AEP相似？ (3)是否存在这样的点P和点O,使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足 条件的t的值；若不存在，请说明理由， 【变式2-2】(25-26九年级上山东济南阶段检测)在△ABC中（如图1），AC=BC=10cm, CD上AB,CD=8cm,动点P以1lcms的速度从点B向点A运动：同时，动点从点C出发，以2cm/s 的速度向点B运动，动点R从点A出发，以2c/s的速度向点C运动，当其中一个点运动停止时，其他 点的运动也停止，运动时间为(S)(0<1<5).连接RO,PR,PQ. R D PB D 图1 图2 (I)t为何值时，PR∥BC? (②)当S△BOP:S四边形cDP0=1:4时，求t值； (3)如图2，沿CO折叠△RCO得到△MCO,是否存在某一时刻t,使四边形RQMC为菱形？若存在求出 t值；若不存在，请说明理由。 【变式23】(24-25八年级下·上海虹口阶段检测)如图1，在梯形ABCD中，AD‖BC,且 BC=12cm,AD=15cm,动点O由点B沿BC向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿AD向点D移动 B B B D A D 图1 图2 图3 (I)若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P恰好也到达D.试求动点 P、Q的速度， (2)若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中(P与A、D不重合时)， 5/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AQ与BP交于K,CP与DO交于N ①当动点O到达BC中点时，过K作KM∥AD交AB于M,求KM的长；（如图2） ②在这运动过程中，KN是否会与AD平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理 由.（如图3） 题型03动点+相似性质计算 解题必备 基础知识：一旦由第一问得使两三角形相似，记相似比k(由时的边长比得)→面积比=k2,周长比=飞， 对应高中线比=k。 思维路径： 1.第一问求→代o算两组对应边得飞 2. 第二问要面积：若给小三角形面积则S大=S小k或反过来：要大减小得梯形/阴影则用 S装=S大-S小=S(（k2-l). 关键技巧：面积类题别硬算面积公式，先用相似比k转一一第一问己证相似，飞已知，面积比直接平方，快 且准。 易错提醒：有两解时，第二问要两解分别对应算，不能只算一种；若问“是否存在某时刻使面积比”，则 反推一反推一验区间，走“存在性”路径。 典例精析 【典例3】(25-26八年级下·黑龙江佳木斯期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,动 点P从点A开始沿AC向点C以每秒2厘米的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒 1厘米的速度运动.设运动的时间为t秒(0<t<5),△PQC的面积为Scm2. B (1)求S与t之间函数关系式. (2)当t为何值时，△PQC的面积最大，最大面积是多少？ (3)在P、O的移动过程中，△PQC能否为直角三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由， 6/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三举一反三 【变式31】(2026江苏无锡二模)如图，点P是△ABC的BC边上一动点（不与点B、C重合）过点 P作PD∥AB交AC于点D、作PE∥AC交AB于点E,点MN分别为线段BE、PD上的两个点，且 BM=2ME,PN=2ND,则与△CMN的面积相等的是() E B A.△ADE的面积B.△BCM的面积C.△PCN的面积D.△BPE的面积 【变式32】(25-26七年级下·重庆阶段检测)在平面直角坐标系中，点4(a,0),B(0,b),a,b满足 a=Vb-4+V8-2b+2. (1)求△ABO的面积； (2)如图，将点A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点C,点D在x轴上且位于点A左侧，连 接CD交AB于点P,连接BC,若△PBC与△PAD的面积相等，求点D的坐标： (3)动点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向下运动，动点N从点A出发以每秒1个单位 长度的速度沿x轴向左运动，点M,N同时出发，直线AM,BN交于点Q,在整个运动过程中，当 △AB0的面积为8时，求出点Q的坐标。 【变式33】（(25-26九年级上江西九江阶段检测)如图，已知直线1：y= 3x+8,且直线1与x轴，y 轴分别交于A,B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向终点A移动，同时 动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向终点O移动，设点P,Q移动的时间为t秒 (>0),当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求点A,B的坐标： (2)当。APQ的面积是。AOB面积的5时，求t的值. 题型04动点+模型识别 解题必备 思维路径(A字识别)：P在AB动、Q在AC动，若题给PQ∥BC或能推出PQ∥BC→△APQ∽△ABC,比 ,AP-A坦_P巴=k)(k是t的函数)· 例AB-AC BC 思维路径(8字识别)：P在AB延长线动、Q在AC延长线动，PQ与BC不平行但AB、AC交于A,若再 有∠APQ=∠C类→对顶8或共角型，走AA。 思维路径（母子识别，Rt△高频）：Rt△ABC,∠C=90°，P在AC上动，作PQ⊥AB于 Q→△APQ∽△ABC(AA:∠A公共+直角)→构动点版母子型，等积式AQAB=AP·AC类可列。 关键技巧： 1.动点题里先扫“有没有平行条件”： (1)有平行→A字，比例直接写k(): (2)没平行→找等角→AA或SAS。 2. 模型认出后，“：是t的函数”这个意识要有，后面列方程就是k()=已知比。 三典例精析 【典例4(25-26九年级上·河北石家庄期末)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P 从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s;动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s;如果P、Q 两动点同时运动，那么经过 秒时△QBP与△ABC相似. 8/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反三 【变式41】(25-26九年级下·广西防城港·期中)【概念提出】“逆等线问题”是几何最值问题中的一 个热点问题.两条位置错开、长度始终相等，且分别连接一个动点和一个定点的线段，就叫“逆等线 段”（简称逆等线），它的主要特征：在某一个几何图形中，两个动点分别在两条定直线上运动，且 它们分别到各自对应定点的距离始终相等，以此来求该两个动点连线的最值问题，即为“逆等线问 题” 图1 图2 图3 【方法研究】 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2,D,E分别是线段AC,BC上的两个动 点.若CD=BE,连接BD,AE,试求BD+AE的最小值.我们往往使用构造等腰三角形的方法，过 点B作BF∥AC,且BF=BC,连接EF,易证△BDC≌△FEB,所以DB=EF,由此我们可以得出 结论：当A,E,F三点时，EF+AE的值最小，即BD+AE取得最小值， 【问题解决】 (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E是边AB上的一个动点，F是射线BC上的一个动点， 且BF=AE,连接AF,CE,求AF+CE的最小值（提示：在图2中，延长DA至点G,使AG=AB, 连接EG). 【拓展应用】 (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2.若E,F分别是AD,BD上的两个动点，且 BF=DE,连接AF:CB:求2AF+CE的最小值. 【变式42】(25-26九年级上·贵州毕节阶段检测)如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中， ∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=LCDE=45°，D是线段AB上一动点，连接BE. 9/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 图1 图2 图3 BE (I)填空：①4D的值为 一·②∠DBE的度数为 (2)类比探究：如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，D是 BE 线段AB上一动点，连接BE·请求出D的值及∠DBE的度数，并说明理由。 (3)拓展延伸：如图3，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE,点D是线 段AB上一动点，连接BE,P为DE中点.若BC=4,AC=3,在点D从A点运动到B点的过程中， 请直接写出P点经过的路径长. 【变式43】(25-26九年级上·山西太原·阶段检测)综合与探究 【问题情境】综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. 如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是边AD上一点. P M P ME A D B 图1 图2 图3 【动手操作】第一小组对纸片做了如下操作，如图1，将矩形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点 B与点C重合，再将矩形纸片ABCD展开，得到折痕MN;P为边AD上的一个动点，将△ABP沿BP折 AP 叠后得到。ABP'使点A的对应点4落在MN上，连接B,则AB的值为一： 【思考探究】第二小组继续操作，将矩形ABCD展开，当动点P在线段AM中点处时，将△ABP沿BP 折叠后得到△ABP,得到点A的对应点A',延长BA'交AD于点E.如图2，试判断AE与AD的数量关 系，并加以证明； 【拓展延伸】第三小组进行了更加深入地思考，当动点P与点M重合时，将△ABP沿BP折叠后得到 PF △A'BP,延长BAr交CD于点卫，则此时CD的值为 题型05存在性探究 10113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解题必备 思维路径（标准四步答题模板）： 1.假设存在，设t 2. 用t表示相关边长(AP=t,PB=AB-Yt等) APAQ AP_AQ 3. 按对应顶点分情况列比例式(SAS走BAC夹∠A;或AC=B夹∠A—两种对应) 4. 解方程得、…→逐个验： (1)t是否在运动区间： (2)对应顶点是否真能成立（如钝角/锐角匹配）： (3)图形是否退化(t=0或(=T端点常舍去，除非题说“包含端点”) 5.下结论：“存在，=…”或”不存在，理由：解出的t不在区间内“ 关键技巧：“不存在”的三类理由要会写 (1)方程无解（判别式<0，少见）： (2)解出的t超出运动区间； (3)解出的t使图形退化（如P、Q重合，或三角形退化为线段）。 易错提醒：存在性题别上来就说“存在”或“不存在”，必须先假设再推；若两解都超区间，写“不存在， 理由：4=…、2=…均不在时间区间内”；若一解在区间一解不在，写“存在，t=…（另一解舍去)”。 典例精析 【典例5】(25-26八年级下·上海青浦期中)如图，已知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°， AD=lcm,AB=BC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为4cm/S;同时，动点 Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为5cm/s,QE⊥BC于点E.设运动时间为s(0<1<),解 答下列问题： D ○ E (I)当t为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与△CQE相似？ (②)是否存在某一时刻t,使P№将四边形ABCD分成面积相等的两部分？若存在，求出的值；若不存 在，请说明理由； 11/13 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)是否存在某一时刻t,使DP⊥PE？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由， 举一反三 【变式51】(2026山东青岛·二模)己知：Rt△ABC和Rt△DEF如图①摆放（点C与点D重合），B, C(D),E在同一直线上，AB=8cm,AC=10cm,EF=3cm,∠B=∠E=90°，AC⊥DF.如图2， △DEF从图①位置出发，沿CE方向匀速运动，速度为lcm/s;同时，点P从点A出发，沿AC方向匀速 运动，速度为2cms.当点P运动到点C时，点P与ADEF都停止运动.设运动时间为t(s)(0≤t≤5). 解答下列问题： C(D) C-D 图① 图② (I)当为何值时，沿过B的直线翻折，点P与点C重合？ (②)是否存在某一时刻t,使PF⊥EF？若存在，求出t值：若不存在，请说明理由。 (3)连接PD、PF.设APDF面积为y(cm),求y与t的函数关系式： (4)连接BF,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使PD经过BF的中点M？若存在，求出t的值；若 不存在，请说明理由. 【变式52】(2026山东青岛·二模)如图①，在菱形ABCD中，AB=10cm,BD=16Cm.动点P从点 B出发，沿BC方向匀速运动，速度为lCm/s;同时，线段MN(点M,N分别与点A,D重合)从 点D出发，沿DB方向匀速平移，速度为2Cm/s;线段MN停止运动时，点P也随之停止运动.MN交 AB于点E,连接PN,MB.设运动时间为(S)(0<1<8),解答下列问题： D N 图① 图①备用图 图② (I)是否存在某一时刻t,使PN∥EB?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由： (②)是否存在某一时刻t,使点E在∠ADB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由： (3)设四边形MBPN的面积为S(cm2),t为何值时，S:S姿形AcD=13:32: 12113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)如图②，点N'是点N关于直线BC的对称点，连接BN,WW”,当t为何值时，点M,B,N'在同 一条直线上？请说明理由 【变式53】(25-26九年级上江苏常州阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25cm, AC=20cm,点P从点A出发，沿AB的方向匀速运动，速度为5cms;同时点M由点C出发，沿CA 的方向匀速运动，速度为4cms,过点M作MN∥AB交BC于点N.设运动时间为s(O<t<5) M (I)求线段MN的长（用含t的代数式表示）； (2)连接PV,是否存在某一时刻t使S边形P=48?若存在，求出t的值；若不存在说明理由； (3)连接PM、PN,是否存在某一时刻t,使点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，直接写出t的 值；若不存在，请说明理由， 13/13