第1章 图形的相似（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 新教材湘教版九年级图形的相似单元拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖相似三角形判定与性质、位似、黄金分割等核心知识，结合书法黄金格、凸透镜成像等真实情境，注重几何直观与推理能力，适配单元复习拔高。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形周长比（第1题）、位似图形坐标（第6题）|基础巩固，梯度合理| |填空题|6/18|黄金分割应用（第11题）、网格相似判定（第14题）|情境新颖，关联生活| |解答题|7/72|凸透镜成像规律证明（第22题）、折纸探究等边三角形（第23题）|综合实践，创新应用，培养推理意识与空间观念|

第1章 图形的相似·拔尖卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西汉中·二模）我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，即．若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 3．（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆江津·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏南通·二模），，，点在边上，交于点，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·江苏盐城·三模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 12．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为______cm． 14．如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是______（只填写序号） 15．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，点E在边上，且，点F在线段上，满足，且，则的值为________． 16．（2026·广东广州·三模）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 18．（8分）（2026年河北省石家庄市桥西区二模数学试题）如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 19．（10分）（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)如图1，与相交于点，则_________； (2)如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 20．（10分）（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． (1)求证； (2)连接，若，则____________． 21．（12分）（2025·上海·模拟预测）四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 22．（12分）（2026·江苏无锡·模拟预测）综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为． (1)当时，证明：，并据此完成填空； (2)证明：． 23．（14分）（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）折纸的思考． (1)【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（）（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到． 说明是等边三角形． (2)【数学思考】 如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形，他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． (3)已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，小明在矩形中都能画出最大的等边三角形，请根据画出的不同情形的示意图，写出对应的的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 图形的相似·拔尖卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·山西忻州·期末）在和中，，且和的周长之差为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由相似三角形的周长比等于相似比，设的周长为x，则的周长为，根据周长差列方程求解． 【详解】解：∵， ∴，且相似比为. ∴的周长的周长， 设的周长为，则的周长为， ∵和的周长之差为， ∴，即，解得， ∴的周长为， 故选：D． 2．（2026·陕西汉中·二模）我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形每条边上的格点（端点除外）都是这条线段的黄金分割点，即．若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题意知，，可求得． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 解得，（负值舍去）． 3．（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 4．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 6．（2026·重庆江津·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形一定是相似图形，且对应边之比等于位似比（即对应点到位似中心的距离之比），进行求解即可． 【详解】解：∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，于点D，的延长线交于点E，F是中点，连接，若，则四边形与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而得出，根据三角形的中线性质得到，根据三角形中位线定理得到，，证明得到，进而可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵F是中点， ∴，又， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即四边形与的面积之比为． 8．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形求出和，由折叠对称性确定到的垂足的位置，发现，将到的距离转化为线段的长，通过线段减法直接求出高． 【详解】解：正方形的边长为，，， ，， 在中，， 将沿折叠得到， 为关于的对称点， 连接交于H，由轴对称图形的性质可知于， 在中，， ∴ ， ， ， 于， ， 正方形中， ， 又在中， ， 又 ， ， ， 即， 解得，， ，， ， 点到直线的距离等于到直线的距离， 在上，于， 到直线的距离为， 又 ，在、之间， ， ． 9．（2026·江苏南通·二模），，，点在边上，交于点，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定与性质证明，得出与的数量关系，再结合为定值，利用完全平方公式的非负性求出的最大值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在边上， ， ， ， ，当且仅当时，等号成立， ， 的最大值为． 10．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在上，且，连结，则下列说法中①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质即可判断①正确，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可计算得出，即②正确，通过证明，得到对应线段成比例，进行等量代换后得到点是线段的黄金分割点，继而得到，即③正确，根据，得出，即可判断④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点且， ∴， ∴，故③正确； ∵且， ∴，故④错误． 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2026·江苏盐城·三模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 12．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为______cm． 【答案】10.4 【分析】先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 14．如图，在正方形网格中的斜三角形：①；②；③．其中能与相似的是______（只填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑是解题关键． 分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：根据网格可知：，，，的三边之比是， 同理可求：①的三边之比是； ∴与不相似， ②中，． ∴②与相似， ③中，． ∴与不相似， 故答案为：②． 15．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，点E在边上，且，点F在线段上，满足，且，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，根据，求出，然后证明，设，则，设，则由相似三角形的性质求出，再由勾股定理求解，即可求解比值． 【详解】解：过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴设，则，设， ∴ 化简得，（舍负） ∴ ∴ 16．（2026·广东广州·三模）如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【分析】过点G作，分别交、于点M、N，可知四边形为正方形，可判断①，且和为等腰三角形，设，则，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得x，再利用，可求得、和，则可求得，容易判断②③④，可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，过点G作，分别交、于点M、N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴和为等腰直角三角形，且， 设，则， 又由折叠的可知， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④正确； 又和为等腰直角三角形，且， ∴， ∴的周长， ∴，故②不正确；③正确； 综上可知正确的为①③④． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 18．（8分）（2026年河北省石家庄市桥西区二模数学试题）如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得，再证，，根据两组对角相等，可证； （2）作于点G．由等腰三角形三线合一，可得，再由勾股定理计算出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且，，，， ，． ． （2）解：如图，作于点G． ，， ． 由勾股定理得． ， ． 由（1）得， ， ． 19．（10分）（25-26九年级上·江苏常州·期末）如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． (1)如图1，与相交于点，则_________； (2)如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2) 如图2，，点为所求， 同理（1）可得， 在图中找出格点、，同理可得， ∴，即， 又∵， ∴． 【分析】（1）根据可得，由此得出，根据网格线段即可得出比值； （2）同理可得，再在上找一点，使即可， 本题考查了相似三角形的判定和性质，无刻度直尺作图，解题关键是以网格格点作图为背景，利用平行线和线段长转化线段比． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）略 20．（10分）（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． (1)求证； (2)连接，若，则____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再利用判定定理证明即可； （2）根据，得到对应边成比例，利用两边成比例且夹角相等证明，即可． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（三边成比例、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 【详解】（1）证明：设的交点为F， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 解得， 故答案为：． 21．（12分）（2025·上海·模拟预测）四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定与性质： （1）证明四边形是平行四边形，得到，利用易证全等； （2）由可得，由可得，从而可得，据此可证，从而得到，再由四边形是平行四边形和即可得到角的关系，从而得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在和中 ∴； （2）证明：∵ ∴ 又∵ 又 在和中， ∵是公共角 ∵四边形是平行四边形 ． 22．（12分）（2026·江苏无锡·模拟预测）综合与实践：探究凸透镜的成像规律：已知凸透镜成像的规律是：物体在一倍焦距以内成倒立等大的虚像，在一倍到两倍焦距之间成倒立放大的实像，在两倍焦距处成倒立_______的实像，在两倍焦距以外成倒立缩小的实像．已知过凸透镜成的像为． (1)当时，证明：，并据此完成填空； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析，等大 (2)见解析 【分析】（1）记左边点F为，右边点F为，则，过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为，四边形是矩形，，故，，，，继而得出，从而得到，则，再用证明，从而得到，可知在两倍焦距处成倒立等大的实像； （2）由（1）得，则，再两边取倒数并除以即可证明． 【详解】（1）解：记左边点F为，右边点F为，则， 过点A作，交于点D，作射线交于点，过点作于点，则过凸透镜成的像为， 则四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∴在两倍焦距处成倒立等大的实像； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴两边取倒数得：， ∴两边同时除以得：，即． 23．（14分）（25-26九年级下·广东揭阳·阶段检测）折纸的思考． (1)【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（）（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到． 说明是等边三角形． (2)【数学思考】 如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形，他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． (3)已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，小明在矩形中都能画出最大的等边三角形，请根据画出的不同情形的示意图，写出对应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；； 【分析】（1）根据折叠的性质和线段垂直平分线的性质可得是等边三角形； （2）利用旋转把绕点逆时针方向旋转适当的角度，得到，再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上得到； （3）利用等边三角形的性质和勾股定理分别计算出三种不同图形中的取值范围即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， ， 是等边三角形； （2）解：如图⑤所示； 在矩形中把绕点逆时针方向旋转适当的角度，得到； 再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上， 得到； （3）解：如下图所示， 是等边三角形， ， 过点作，则， ， ； 如下图所示， 是等边三角形， ， ， ， ， 解得：， ； 如下图所示，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $