第14讲 平面向量的数量积及其应用（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积及其应用，涵盖夹角、数量积运算、坐标表示、模长、投影及几何图形与最值问题等核心考点，按知识解构-题型破译-分层目标逻辑架构知识体系。通过命题透视研判考情，思维建模梳理脉络，知识精讲拆解技巧，真题溯源感知考向，帮助学生系统突破重点难点。 资料创新采用建系坐标法与基底分解法解决几何图形数量积问题，如题型4中通过直角顶点建系转化坐标运算，培养学生数学思维与模型观念。设置基础演练与重难创新分层训练，配合极化恒等式等解题策略，确保高效突破填空基础题与压轴题，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第14讲 平面向量的数量积及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的夹角 知识点2 平面向量的数量积 题型破译 (含超链接） 题型1 坐标向量基础运算（数量积、模长求解） 题型2 向量垂直条件求参数 题型3 向量夹角计算与参数范围求解 题型4 几何图形向量数量积求解 题型5 向量和差模长综合运算 题型6 向量投影问题 题型7 求数量积最值范围 题型8 动点背景数量积综合最值 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量数量积的运算 春考第10题 / / 数量积的坐标 / 秋考第12题 秋考第20题 / 投影向量 / 春考第12题 / 考情分析 题型分布：以填空题为绝对主力，少量选择题，极少单独考查解答题；基础题固定在前8道填空题，压轴变式题常出现在第11、12题填空压轴位置，是小题区分度核心考点。 分值占比：单题分值4分，试卷最多考查2道向量相关小题，合计最高8分，属于性价比极高、必须稳拿的得分模块。 考查载体：核心分为代数坐标运算、几何图形运算两大类，常以三角形、正方形、矩形、圆及平面动点为命题背景，融合几何直观与代数运算。 复习目标 （一）基础目标（全体学生必达成） 熟练熟记平面向量数量积的定义式、坐标运算公式、模长公式、夹角公式、垂直充要条件； 掌握向量垂直的判定方法，可根据垂直条件快速列方程求解参数； 掌握向量模长核心运算技巧，熟练通过平方转化求解 ； 能够准确套用夹角公式计算向量夹角，规避向量夹角基础易错点。 （二）能力目标（中等生冲刺重点） 面对三角形、四边形等几何图形载体，可灵活选择基底法或建系法求解向量数量积； 理解数量积的几何意义，熟练求解向量投影，区分投影长度与带符号投影； 精准掌握向量锐角、钝角的判定条件，规避共线陷阱，熟练求解对应参数范围。 （三）培优目标（冲刺120+、攻克填空压轴） 熟练运用极化恒等式快速求解中点相关的向量数量积最值问题，简化压轴题计算量； 掌握动点轨迹背景下，数量积最值、范围的通用求解思路（函数法、几何最值法）； 可处理多向量混合条件，通过建立方程组求解模长、未知参数； 全面规避各类题型陷阱，精准区分锐角、钝角、共线、垂直的边界条件。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 自主检测 1．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点2 平面向量的数量积 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 2.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 5.熟记以下常用结论 (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. (2)a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 自主检测 2．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则_____． 题●型●破●译 题型1 坐标向量基础运算（数量积、模长求解） 例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则__________. 例1-2在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 方法技巧 直接套用坐标公式计算数量积；求解 一律优先平方，避免强行开根号增加计算误差。 易错分析 牢记 ，杜绝模长平方运算漏项、错算。 【变式训练1-1】已知向量，满足，，，则_____ 【变式训练1-2】已知向量满足，则________． 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是__________. 题型2 向量垂直条件求参数 例2-1（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则______． 例2-2（25-26高三上·上海·阶段检测）已知平面向量，若与垂直，且，则___________． 方法技巧 直接利用垂直充要条件，令 ，代入坐标列一元一次/二次方程求解，步骤固定、零思路难度。 【变式训练2-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知向量，，若，则实数m =_______ 【变式训练2-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知向量和满足，则实数______． 【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知空间向量，且，则实数_________. 题型3 向量夹角计算与参数范围求解 例3-1（24-25高三上·上海·期中）已知，，则__________. 例3-2（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 方法技巧 先计算 、、，代入夹角余弦公式求解。 易错分析 夹角为锐角：需满足 且两向量不共线同向； 夹角为钝角：需满足 且两向量不共线反向； 仅判断数量积符号，不排除共线情况，是上海卷高频扣分点。 【变式训练3-1】（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________. 【变式训练3-2】（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海·期中）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为_____．（用反三角表示） 题型4 几何图形向量数量积求解 例4-1（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 例4-2平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 方法技巧 方法一：建系坐标法（上海卷首选）：将图形直角顶点、对称中心置于坐标原点，设边长为定值，写出所有点坐标，转化为坐标向量运算，无脑计算、容错率高，适配直角类图形。 方法二：基底分解法：选取模长、夹角已知的两个向量为基底，将目标向量拆分为基底线性组合，展开数量积运算，适配无直角的斜三角形、任意四边形。 【变式训练4-1】（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则______． 【变式训练4-3】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． 题型5 向量和差模长综合运算 例5-1（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 例5-2（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 方法技巧 见到所有向量模长和差形式，统一优先平方，利用模长平方万能公式转化为数量积运算，结合方程思想求解，是上海高考高频套路题。 【变式训练5-1】（2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为________. 【变式训练5-2】（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量，满足，则的最小值是______________． 【变式训练5-3】（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 题型6 向量投影问题 例6-1（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 例6-2（2026·上海静安·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． 例6-3（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 例6-4（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为______. 方法技巧 直接套用投影公式，投影正负由数量积符号决定；几何图形中可通过图像直观判断投影方向，快速验证结果。 【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）向量在向量方向上的数量投影为_______． 【变式训练6-2】（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【变式训练6-3】（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【变式训练6-4】（25-26高三上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，若，则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是__________. 题型7 求数量积最值范围 例7-1（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 例7-2（24-25高三上·上海·期中）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是______. 方法技巧 ①取定线段 中点 ；②代入极化恒等式几何公式转化；③将数量积最值问题转化为动点到定点距离的最值问题，大幅简化计算，规避复杂二次函数求最值。 【变式训练7-1】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【变式训练7-2】（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________． 【变式训练7-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 题型8 动点背景数量积综合最值 例8-1（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 例8-2（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 方法技巧 坐标函数法：设动点坐标，构建数量积关于变量的一次/二次函数，求函数值域； 极化恒等式法：优先判断是否适配中点模型，快速转化几何最值； 几何最值法：结合圆的圆心距、半径，线段最值规则求解。 【变式训练8-1】（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 【变式训练8-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2023·上海·高考真题）已知，，求 ________ 2．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 3．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 5．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 二、单选题 6．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题 7．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 二、填空题 2．在等边三角形中，与的夹角为______；点为的中点，则与的夹角为______． 三、解答题 3．已知，，与的夹角为，计算下列各式： (1)； (2)． 4．根据下列条件，求及与的夹角的大小．（精确到） (1)，； (2)，． 5．如图，在中，，，．求： (1)的值； (2)． 6．已知，，求： (1)，； (2)与的夹角的余弦值． 7．已知点，，O为坐标原点，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)若A为的内角，，，求周长的最大值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数______. 2．（2025·上海徐汇·一模）设向量，则在上的数量投影为__________． 3．（25-26高三上·上海·期中）向量在方向上的投影向量为__________． 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知向量，，若在上的投影向量为，则实数______. 5．（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为______. 7．（2025·北京·三模）已知单位向量满足，则的模为________. 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）若向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量夹角大小为______． 9．（25-26高三上·上海松江·期末）已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________． 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，现有一块质量均匀的矩形扁平木板立于墙边（木板上边缘紧贴墙面，下边缘紧贴地面），与墙面夹角，墙面与地面垂直，若地面和墙面平整且光滑，根据物理学规律，木板底端会沿垂直于墙面的方向向外滑动，在木板刚开始滑动时，沿墙面滑动的速度的大小和沿地面滑动的速度的大小的比值为___________． 11．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则__________； 12．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 13．（2025·上海杨浦·一模）已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（   ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知直线与圆有两个不同的公共点A，B，则下列命题判断错误的个数是（   ） ①直线过定点；②当时，线段AB长的最小值为 ③半径的取值范围是；④当时，有最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15.（24-25高三上·上海·阶段检测）（1）直线过点且与直线垂直，求直线的方程； （2）已知直线l过点，且与直线的夹角为，求直线l的方程． 重难·创新演练 1．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 2．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 4.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为________． 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）设、、、是空间中互不平行的单位向量，记集合，. 若对于任意不同的、，均有，记中模最小的向量为，则最大值为___________. 6．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 7．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 8．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 9．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 10．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 平面向量的数量积及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的夹角 知识点2 平面向量的数量积 题型破译 (含超链接） 题型1 坐标向量基础运算（数量积、模长求解） 题型2 向量垂直条件求参数 题型3 向量夹角计算与参数范围求解 题型4 几何图形向量数量积求解 题型5 向量和差模长综合运算 题型6 向量投影问题 题型7 求数量积最值范围 题型8 动点背景数量积综合最值 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量数量积的运算 春考第10题 / / 数量积的坐标 / 秋考第12题 秋考第20题 / 投影向量 / 春考第12题 / 考情分析 题型分布：以填空题为绝对主力，少量选择题，极少单独考查解答题；基础题固定在前8道填空题，压轴变式题常出现在第11、12题填空压轴位置，是小题区分度核心考点。 分值占比：单题分值4分，试卷最多考查2道向量相关小题，合计最高8分，属于性价比极高、必须稳拿的得分模块。 考查载体：核心分为代数坐标运算、几何图形运算两大类，常以三角形、正方形、矩形、圆及平面动点为命题背景，融合几何直观与代数运算。 复习目标 （一）基础目标（全体学生必达成） 熟练熟记平面向量数量积的定义式、坐标运算公式、模长公式、夹角公式、垂直充要条件； 掌握向量垂直的判定方法，可根据垂直条件快速列方程求解参数； 掌握向量模长核心运算技巧，熟练通过平方转化求解 ； 能够准确套用夹角公式计算向量夹角，规避向量夹角基础易错点。 （二）能力目标（中等生冲刺重点） 面对三角形、四边形等几何图形载体，可灵活选择基底法或建系法求解向量数量积； 理解数量积的几何意义，熟练求解向量投影，区分投影长度与带符号投影； 精准掌握向量锐角、钝角的判定条件，规避共线陷阱，熟练求解对应参数范围。 （三）培优目标（冲刺120+、攻克填空压轴） 熟练运用极化恒等式快速求解中点相关的向量数量积最值问题，简化压轴题计算量； 掌握动点轨迹背景下，数量积最值、范围的通用求解思路（函数法、几何最值法）； 可处理多向量混合条件，通过建立方程组求解模长、未知参数； 全面规避各类题型陷阱，精准区分锐角、钝角、共线、垂直的边界条件。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 自主检测 1．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 因为，是平面上两个非零向量，则， 当时，满足，但不是钝角， 则充分性不成立. 那么“”是“是钝角”的必要非充分条件. 知识点2 平面向量的数量积 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 2.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  3.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 5.熟记以下常用结论 (1)平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. (2)a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 自主检测 2．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则_____． 【答案】 【详解】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 题●型●破●译 题型1 坐标向量基础运算（数量积、模长求解） 例1-1（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则__________. 【答案】 【详解】， 则. 故答案为：. 例1-2在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 方法技巧 直接套用坐标公式计算数量积；求解 一律优先平方，避免强行开根号增加计算误差。 易错分析 牢记 ，杜绝模长平方运算漏项、错算。 【变式训练1-1】已知向量，满足，，，则_____ 【答案】 【详解】由题意可得，， 得. 故答案为： 【变式训练1-2】已知向量满足，则________． 【答案】 【详解】由，得，而， 则，所以. 故答案为： 【变式训练1-3】（25-26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是__________. 【答案】 【详解】由且，得， 当时，成立； 当时，由，得， 则，当且仅当与同向时取等号， 因此，即的最大值是. 故答案为： 题型2 向量垂直条件求参数 例2-1（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则______． 【答案】8 【详解】由题设. 故答案为：8 例2-2（25-26高三上·上海·阶段检测）已知平面向量，若与垂直，且，则___________． 【答案】1 【详解】向量，则，， 由与垂直，得，又， 所以. 故答案为：1 方法技巧 直接利用垂直充要条件，令 ，代入坐标列一元一次/二次方程求解，步骤固定、零思路难度。 【变式训练2-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知向量，，若，则实数m =_______ 【答案】 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 【变式训练2-2】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知向量和满足，则实数______． 【答案】 【详解】因为，所以， 又向量和，所以，所以. 【变式训练2-3】（25-26高三上·上海·阶段检测）已知空间向量，且，则实数_________. 【答案】2 【详解】已知空间向量，且， 则，解得. 故答案为：2 题型3 向量夹角计算与参数范围求解 例3-1（24-25高三上·上海·期中）已知，，则__________. 【答案】 【详解】由，则. 故答案为： 例3-2（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）已知，，若，则实数x的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： 方法技巧 先计算 、、，代入夹角余弦公式求解。 易错分析 夹角为锐角：需满足 且两向量不共线同向； 夹角为钝角：需满足 且两向量不共线反向； 仅判断数量积符号，不排除共线情况，是上海卷高频扣分点。 【变式训练3-1】（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为__________. 【答案】 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 【变式训练3-2】（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ， 又，故. 【变式训练3-3】（25-26高三上·上海·期中）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为_____．（用反三角表示） 【答案】 【详解】由题可设， 则， 所以， 两式相减可得：， 再代入第一个式子，可得：， 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于表达式，当，即取得最大值， 此时取得最大值， 所以，当时，取得最大值， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型4 几何图形向量数量积求解 例4-1（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 例4-2平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【知识点】平面向量的混合运算、数量积的运算律 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 方法技巧 方法一：建系坐标法（上海卷首选）：将图形直角顶点、对称中心置于坐标原点，设边长为定值，写出所有点坐标，转化为坐标向量运算，无脑计算、容错率高，适配直角类图形。 方法二：基底分解法：选取模长、夹角已知的两个向量为基底，将目标向量拆分为基底线性组合，展开数量积运算，适配无直角的斜三角形、任意四边形。 【变式训练4-1】（2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 【变式训练4-2】（25-26高三上·上海·开学考试）已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则______． 【答案】 【详解】∵，且， 两边平方， ∴，故， 则. 故答案为： 【变式训练4-3】（24-25高三下·上海·阶段检测）已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． 【答案】 【详解】依题意，O是正三角形的中心，设正三角形的边长为a， 则，解得，即，又， 所以 . 故答案为：    题型5 向量和差模长综合运算 例5-1（2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. 例5-2（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 方法技巧 见到所有向量模长和差形式，统一优先平方，利用模长平方万能公式转化为数量积运算，结合方程思想求解，是上海高考高频套路题。 【变式训练5-1】（2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为________. 【答案】 【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，    不妨设，，则，， 由可得，即， ∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上， 同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上． 显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大． 设圆心为，则，∴，则， ∴， 设与轴交于点，由对称性可知轴，且， ∴， 即当与的夹角最大时， 故答案为： 【变式训练5-2】（2026·上海浦东新·三模）已知平面向量，满足，则的最小值是______________． 【答案】5 【详解】设向量，的夹角为，， ， 令， ， 又在上单调递减，且， 则有唯一解，设为， 时，，即，单调递增； 时，，即，单调递减； 又，所以， 即的最小值是． 【变式训练5-3】（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为.    题型6 向量投影问题 例6-1（2026·上海·三模）已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的投影数量为________． 【答案】 【详解】由，，可得，， 则在方向上的投影数量为. 例6-2（2026·上海静安·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】 【详解】因为，， 所以 ，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 例6-3（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 例6-4（25-26高三上·上海杨浦·阶段检测）已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为______. 【答案】 【详解】不妨设，，，， 由， 可得点在以为圆心，半径为的圆上， 由， 可得点在椭圆上， 结合图象，当直线与圆相切，即斜率为1的时候，数量投影最大， 此时作斜率为且与椭圆相切的直线， 设为， 与椭圆：联立， 可得， 令， 得或（舍）， 所以数量投影最大值为. 故答案为： 方法技巧 直接套用投影公式，投影正负由数量积符号决定；几何图形中可通过图像直观判断投影方向，快速验证结果。 【变式训练6-1】（25-26高三下·上海·阶段检测）向量在向量方向上的数量投影为_______． 【答案】 【详解】向量在方向上的投影公式为. 又因为且 所以. 【变式训练6-2】（2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 【变式训练6-3】（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 【变式训练6-4】（25-26高三上·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，若，则向量在向量方向上的数量投影的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为，， 所以点P的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则点P的方程为， 因为，且， 所以点Q的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆， 所以Q的方程为， 要求向量在向量方向上的数量投影， 只需求在向量方向上的数量投影再加减半径即可， 设，， 所以在向量方向上的数量投影为， 令，则当时，， 当时，，则， 综上，即， 所以在向量方向上的数量投影的取值范围是. 故答案为： 题型7 求数量积最值范围 例7-1（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为________ 【答案】 【详解】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 故答案为： 例7-2（24-25高三上·上海·期中）已知为坐标原点，､是双曲线的右支上任意两点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】设所在直线斜率存在时直线方程为，与双曲线右支交于两点，， 将直线代入得：， ， 直线与右支交于不同两点，则且， 由韦达定理： 又 代入韦达定理： 则 ， 所以， 化简得：， 又双曲线渐近线方程为，直线与双曲线右支存在两个交点时需满足， 故，. 斜率不存在时，设直线， 与右支交于两点，其中，此时： 所以当关于轴对称时，数量积正好等于， 综上的取值范围是. 故答案为： 方法技巧 ①取定线段 中点 ；②代入极化恒等式几何公式转化；③将数量积最值问题转化为动点到定点距离的最值问题，大幅简化计算，规避复杂二次函数求最值。 【变式训练7-1】（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 【变式训练7-2】（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】 连接，由， 知， 设，则为锐角，且， 所以 ， 由于，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式训练7-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】设，对平方得： ， 由于, ，所以当时，取到最小值， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 取中点为，则， 因为为边上任意一点，则的最小值为点到的距离， 再由正弦定理可得：， 所以，即的最小值为. 题型8 动点背景数量积综合最值 例8-1（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 例8-2（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知中，，，存在实数，使得向量的模的最小值为．若点是线段上任意一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由题意，， . 设，因为为内角，所以， 所以当时，有最小值. 所以，所以. 所以， 所以， 所以为直角三角形，. 如图，，， 设，，. 所以，. 所以当时，取得最小值，为. 方法技巧 坐标函数法：设动点坐标，构建数量积关于变量的一次/二次函数，求函数值域； 极化恒等式法：优先判断是否适配中点模型，快速转化几何最值； 几何最值法：结合圆的圆心距、半径，线段最值规则求解。 【变式训练8-1】（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 【答案】 【详解】因为为直线上的一个动点，所以与共线，设， 所以 ， 所以当时，取最小值，此时. 故答案为： 【变式训练8-2】（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 【变式训练8-3】（25-26高三下·上海·阶段检测）已知平面上两点，距离为2，为平面上任一点，动点均满足，则的最大值是_______. 【答案】 【详解】如图以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系. 则，，设， 由可得， 整理得，即， 又，则，即， 故动点在以为直径的单位圆上，其轨迹方程为， 不妨设， 则， ， 将上式看成关于角的函数， 则可得 ， 设，则， 故当时，即时，. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2023·上海·高考真题）已知，，求 ________ 【答案】4 【详解】因为，， 则 故答案为：4 2．（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 【答案】 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时， 故答案为：. 3．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 5．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 二、单选题 6．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【详解】不妨设，，，，， ① ，，若，∴， ∴，满足条件的明显存在，∴①成立； ② F为AB中点，，与交点即重心， ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立； 故选：B 三、解答题 7．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设， 由已知可得，， 所以. 又， 所以，解得（舍去负值）， 所以，. 故选：D. 二、填空题 2．在等边三角形中，与的夹角为______；点为的中点，则与的夹角为______． 【答案】 【详解】在等边三角形中，所以与的夹角为，    因为点为的中点，所以，所以与的夹角为. 故答案为：； 三、解答题 3．已知，，与的夹角为，计算下列各式： (1)； (2)． 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以. 4．根据下列条件，求及与的夹角的大小．（精确到） (1)，； (2)，． 【详解】（1）由题意可知，， ，， ，所以； （2）由题意可知，， 所以向量与的夹角； 5．如图，在中，，，．求： (1)的值； (2)． 【详解】（1）解:， ， ， . （2）因为， ， 所以， 所以. 6．已知，，求： (1)，； (2)与的夹角的余弦值． 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，. （2）因为，，设与的夹角为，则 ， 所以与的夹角的余弦值为. 7．已知点，，O为坐标原点，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)若A为的内角，，，求周长的最大值． 【详解】（1）因点，，则，， 则， 所以函数，最小正周期. （2）由(1)知，，即，在中，，解得， 由余弦定理得： ， 当且仅当时取“=”，即，解得，则 ， 所以，当时，周长取得最大值. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海杨浦·一模）已知向量，，且，则实数______. 【答案】 【详解】因，则. 故答案为： 2．（2025·上海徐汇·一模）设向量，则在上的数量投影为__________． 【答案】 【详解】由向量，得，， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 3．（25-26高三上·上海·期中）向量在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】因为 ，， 所以向量在方向上的投影向量 ， 故答案为： 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知向量，，若在上的投影向量为，则实数______. 【答案】1 【详解】因为，所以. 因为向量在上的投影向量为. 所以，解得. 故答案为：1. 5．（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 所以. 故答案为：. 6．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为______. 【答案】 【详解】因为， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 7．（2025·北京·三模）已知单位向量满足，则的模为________. 【答案】 【详解】根据题意，， 即， 所以， 则. 故答案为： 8．（25-26高三下·上海·阶段检测）若向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量夹角大小为______． 【答案】 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以. 又， 所以. 所以，又， 所以，即向量与向量夹角为. 9．（25-26高三上·上海松江·期末）已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若，则实数k的值为________． 【答案】 【详解】由两个非零向量、相互垂直，得，而， 则，， 因此， 解得，经验证符合题意， 所以实数k的值为. 故答案为： 10．（25-26高三下·上海·阶段检测）如图，现有一块质量均匀的矩形扁平木板立于墙边（木板上边缘紧贴墙面，下边缘紧贴地面），与墙面夹角，墙面与地面垂直，若地面和墙面平整且光滑，根据物理学规律，木板底端会沿垂直于墙面的方向向外滑动，在木板刚开始滑动时，沿墙面滑动的速度的大小和沿地面滑动的速度的大小的比值为___________． 【答案】 【详解】将速度沿木板所在直线和垂直该直线的方向分解， 则速度沿木板所在的直线方向上的分速度为， 将速度沿木板所在直线和垂直该直线的方向分解， 则速度沿木板所在的直线方向上的分速度为， 所以，同样得到. 11．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形，如图所示，若，则__________； 【答案】 【详解】连接CE，因为正八边形的每一个内角都是，且， 所以, 由正八边形的对称性知，且，所以， 则， 故答案为： 12．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为______. 【答案】 【详解】由题可得， 所以， 如图，设， 则，可得， 则点在以为直径的圆上运动， 由图可得，当时，， 设，则， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 13．（2025·上海杨浦·一模）已知双曲线，点，点A、B分别在双曲线的左、右两支上，则向量、的夹角（   ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 【答案】A 【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的其中一条渐近线方程为， 则点满足渐近线，所以点在双曲线的渐近线上， 所以过点存在双曲线右支的切线，但不存在与左支相切的直线， 所以向量的夹角不存在最小值， 过点作轴的平行线，交双曲线的左右两支分别为两点，此时， 因为，所以向量的夹角存在最大值，最大值为， 综上可得，向量的夹角存在最大值，不存在最小值. 故选：A.    14．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知直线与圆有两个不同的公共点A，B，则下列命题判断错误的个数是（   ） ①直线过定点；②当时，线段AB长的最小值为 ③半径的取值范围是；④当时，有最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】①：，显然直线过定点，故本序号命题是真命题； ②：当时，点在圆内， 当直线与直线垂直时，线段AB长有最小值， 最小值为，本序号命题是真命题； ③：因为直线与圆有两个不同的公共点A，B， 所以点在内，则有，本序号命题是假命题； ④：， 当直线过圆心时，即时， 有最小值为，本序号命题是真命题， 所以命题判断错误的个数是1个， 故选：B 15.（24-25高三上·上海·阶段检测）（1）直线过点且与直线垂直，求直线的方程； （2）已知直线l过点，且与直线的夹角为，求直线l的方程． 【详解】（1）由直线，故其斜率为，根据题意， 又直线过点，则，所以； （2）由题设，令，则为的一个法向量， 又直线的一个法向量为， 由题意，可得， 所以，则，可得或， 当，时，， 当时，，即， 综上，或. 重难·创新演练 1．（2026·上海闵行·二模）已知平面上13个向量，其中，若对任意，总有且，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 且对任意，总有 所以构成一个等比数列，其首项为1，公比为， 所以， 又因为， 即相邻向量垂直， 即, 所以共线，共线， 要使最小， 设，， 则有， 即求的最小值， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 当共线且与反向时，最小， 且 ， 所以. 即的最小值为. 2．（2026·上海嘉定·二模）对任意平面向量、、及任意实数，已知运算⊙满足以下三条性质：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．则下列选项中一定成立的是（   ） A．若，则或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设、、的坐标分别为， 对于A，若定义，运算⊙显然满足（Ⅰ）； 因， 而，即满足（Ⅱ）； 又，而，即满足（Ⅲ）. 若取，，但都不是零向量，故A错误； 对于B，若定义，显然满足三条性质. 若取，则而，故B错误； 对于C，利用以上三条性质，可得： ，故C正确； 对于D，若定义，显然满足三条性质， 但，当时，，故D错误. 3．（25-26高三上·上海·期中）我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（   ）    ①； ②； ③的充要条件是. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，，故①正确； 对于②，， 故②错误； 对于③，对于充分性，若，当时，即，则； 若，必存在唯一实数，使得，即， 所以，两式相除得，即，故充分性成立； 对于必要性，若，当，满足， 当，不妨设，则， ， 所以，故必要性成立. 所以的充要条件是.故③正确. 故选：C 4.人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为________． 【答案】 【详解】设，由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高三下·上海·阶段检测）设、、、是空间中互不平行的单位向量，记集合，. 若对于任意不同的、，均有，记中模最小的向量为，则最大值为___________. 【答案】 【详解】因为是空间中互不平行的单位向量，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即、、两两正交，可构成一组正交基底， 设，， 所以， ， ， 所以， 又， ， 所以，因为， 设，则， 因为，所以，解得， 因此，所以，且，满足最小性. 6．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题可设，，则， 对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立， 故，即，即或. 故在直线的上方（含边界）或在直线的下方， 由对称性不妨设在直线的上方（含边界），如图， 设与直线的交点为，因， 故与夹角即为的夹角，即， 而，当且仅当重合时等号成立，故， 设，当且，则， 当或时，，也符号上式， 故且， 故，所以，当且仅当时取最小值. 所以的最小值为. 7．（25-26高三下·上海青浦·期中）已知平面内的三个非零向量，满足： ， ， ，则当 取得最大值时， ______. 【答案】 【详解】设分别为的终点，为中点，由 ，得， 又，故的终点在的中垂线上， 且由勾股定理得 . 如图所示，建立坐标系： ，，，， 公共起点（即 ）. 在中，由正弦定理可得， 为外接圆半径，故， 令外接圆圆心为，易知在线段垂直平分线上，可设为， 根据对称性，以，为例，可得所在圆的方程为， ，令， 则， 代入，得：， 令，由基本不等式得：， 当且仅当等号成立，即，故， 由对称性可知当，圆的方程为时，同理可得最大值为. 8．（2026·上海杨浦·二模）记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______. 【答案】 【详解】设是这个向量中的任意两个向量， 根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：， 由条件①可知，或， 当时，向量共线，当时，向量垂直； 表示三个单位向量， 当、不同向时，， 则， 则，又， 故不符合， 则、同向，则由，可得、、同向， 由其中任意三个向量、、均不能使成立， 则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量； 故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量， 例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量， 再取，这个不同向量满足条件①②； 若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直， 由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向， 则必须与其中一个向量共线才能符合要求， 但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意， 所以满足条件的的最大值为. 9．（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则___________________ 【答案】 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 10．（2026·上海普陀·二模）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)点、分别满足，，，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得； （2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果. 【详解】（1）因为， 设外接圆半径为，由正弦定理，，， 代入可得， 所以, 即， 因为在中，，所以， 即， 因为，所以，所以， 化简得：， 解得，即， 因为，所以. （2）由，所以， 所以，即，同理由得， 所以是的外心，所以， 因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半， 所以，，所以, 所以 ， ， ， 得到， 而，所以， 因为，所以，得， 而，所以， 由正弦定理，所以， 又因为，所以， 化简得，所以， 所以， 因为，所以， 代入计算，所以. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $