广东深圳市龙岗区第二高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一数学期中卷覆盖向量、复数、立体几何、解三角形等核心知识，通过单选、多选、解答题等多样题型，融合空间观念、运算能力与推理意识，如直三棱柱证明题培养逻辑推理，斜二测直观图问题发展空间想象。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量投影、复数几何意义、面面平行性质|多选题考查复数性质、三角形判定，体现思辨性| |填空题|3题/15分|等边三角形向量运算、向量夹角、三角形解的个数|第14题三角形两解问题，强化数学思维严谨性| |解答题|5题/77分|复数纯虚数判断、几何体体积表面积、直三棱柱证明|18题结合斜二测直观图求面积及旋转体体积，19题直三棱柱多问证明与体积计算，综合考查空间观念与推理能力|

2025--2026学年第二学期期中考试高一数学测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A C A D B C C AC ABD BD 3．C 因为平面平面，直线，直线，则或与是异面直线，AB都错； 设过直线的平面为平面，因为平面平面，直线，直线，则， 因为，，所以，C对；若直线，，，则与相交（不一定垂直）或或，D错. 4．A 在中，由余弦定理得，而，所以. 5．D 如下图所示，在正四棱锥中，易知， 为的中点，所以可得，易知并利用勾股定理可得，所以的面积为，可得该正四棱锥的侧面积为；又可知，所以正四棱锥的高，因此其体积为. 6．B 因为，所以， ，所以. 7．C 点是对角线上靠近点D的三等分点，所以 8．C 如图，设点为底面的投影，因为， 则为正三角形的中心，计算可得， 则平面，连接在中，：，设外接球的球心为，半径为，则在直线上.设，则，在中：解得：，所以，即.所以三棱锥外接球的半径为. 9．AC ， A：的虚部为，正确.B：的共轭复数为，错误. C：，正确.D：在复平面内对应的点为，位于第一象限，错误. 10．ABD 对选项A，根据正弦定理，， 因此，即三角形中大边对大角，故，A正确； 对选项B，由，得， 因为，所以，故，结合A的结论得B正确； 对选项C，举反例：取，，，满足条件， 但此时，是钝角三角形，C错误； 对选项D，原不等式等价于： ， 整理得：利用三角恒等变换得，因为是锐角三角形，​，所以原不等式等价于：​.又因为，所以，因为函数在单调递增，因此，原不等式成立，D正确. 11．BD 由题意知，在翻折过程中，，， 可得，平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确；当翻折使平面平面时， 因为，平面平面，所以平面，又平面，所以，若，，平面， 所以平面，因为平面，所以，易知不成立，故此时与不垂直，故A错误；而正四面体为四个面均为等边三角形的三棱锥， 显然不是等边三角形，故C错误；在翻折过程中，当的投影为的中心时，此时平面，又，所以，此时三棱锥为正三棱锥，故D正确. 12．14 在等边中，， 则. 13．， 则，则，故. 14． 由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 15．(1)0 (2) （1）若复数是纯虚数，则，解得，所以当时，复数z是纯虚数.（2）依题意， ，解得，所以当时，z对应的点位于复平面的第四象限. 16．(1)； (2)； (3). （1）由题设，得，即，所以. （2）当时，，所以故. （3）由题设，，故，当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角，综上，或. 17．(1) (2)，面积 （1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：. 又，故 （2），由正弦定理，代入，，：所以.因为，所以. 18．(1)5，7； (2)， （1）把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形，其中，，，，如图所示： 所以平面四边形的面积为， 周长为； （2）四边形以为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 则旋转体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和， 即， 表面积为． 19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3) （1）如图，连接，，四边形为矩形，为的中点， 与交于点，且为的中点，又点为的中点，， 又平面，且平面，平面. （2）直三棱柱满足，，又点为的中点，且面，面， 所以，，又，面， 平面. （3）由图可知，，，，又三棱柱为直三棱柱，且， .，，点为的中点， 所以. 由（2）可知平面.所以点到平面的距离为，又点为的中点， 所以点到平面的距离为，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期期中考试高一数学测试卷 满分：150分 时间：120分 考生注意： 1. 客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，若，则实数（ ） A． B． C．-1 D．-4 2．复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知平面平面，直线，直线，则下列说法正确的是（ ） A． B．与是异面直线 C．过直线的平面与的交线与平行 D．若直线，则 4．中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 5．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（ ） A．16， B．16， C．8， D．8， 6．已知，则在上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的半径为（ ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．已知复数（i为虚数单位），则（ ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．当为锐角三角形，且时， 11．如图，平面四边形中，为正三角形，为等腰直角三角形，与交于点，若将沿斜边翻折，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ） A．在翻折过程中，与始终垂直 B．在翻折过程中，与始终垂直 C．在翻折过程中，三棱锥有可能是正四面体 D．在翻折过程中，三棱锥有可能是正三棱锥 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．在等边中，是边上的点.若，则_________. 13．已知，，且，则与的夹角为_________． 14．已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知，复数 (1)若为纯虚数，求满足条件的值； (2)若对应的点位于复平面的第四象限，求满足条件的的取值范围． 16．（15分）已知向量， (1)若，求的值； (2)当时，求； (3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围 17．（15分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 18．（17分）如图，为四边形的斜二测直观图，其中，，． (1)求平面四边形的面积及周长； (2)若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 19．（17分）已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点. (1)求证： 平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $