精品解析：广东深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

2025—2026学年下学期高一年级 期中考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考试范围：必修二前三章 组题人：数学组 审题人：数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ） A. B. 0或 C. 0或1 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的条件,代入化简,对应系数相等 【详解】因为与共线，可设，即，因为，不共线，所以所以. 故选:A. 2. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 3. 已知向量，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由与的夹角为钝角，可得且不共线，列不等式即可求得。 【详解】， 与的夹角为钝角时，，解得， 又与不共线，即， 的取值范围是，且.故选C. 【点睛】本题通过向量夹角的范围求参数的范围，特别注意向量不共线，是一道基础题。 4. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. //平面 C. D. //平面 【答案】B 【解析】 【分析】A选项可以利用三线合一证明垂直关系， B选项可利用“线面平行时，直线无论怎么平移不会和平面相交”的性质来判断. C选项先通过类似A选项的证明得到线线垂直，结合AC的结论得到线面垂直后判断， D选项可以构造平行四边形，结合线面平行的判定证明， 【详解】不妨设棱柱的高为，. B选项，根据棱柱性质，//，而平面，若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点，于是得到矛盾，故B选项错误； A选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），A选项正确； C选项，连接，根据平行四边形性质，过，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），结合A选项，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的侧棱//，故，C选项正确； D选项，取中点，连接，结合为的中点可知，为中位线，故//，且，即//，且，故四边形为平行四边形，故//，由平面，平面，故//平面，D选项正确. 故选：B 5. 若一个正四面体的表面积为，其外接球的表面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设出正四面体的棱长，利用结论得到其外接球的半径，之后应用相关的公式求得正四面体的表面积以及外接球的表面积，两者一比，得到结果. 【详解】设正四面体的棱长为，可知该四面体的外接球的半径是， 所以可以求得，， 所以， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关正四面体的表面积与其外接球的表面积的比值问题，涉及到的知识点有正四面体的外接球半径，球的表面积公式，正四面体的表面积公式，属于中档题目. 6. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向量，所以， 又在方向上的投影向量为，所以， 所以. 故选：D 7. 已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助单位圆建立直角坐标系，用向量数量积的坐标运算求最大值. 【详解】知圆的半径为，，，，为圆上四点，且， ，为O为原点，OA为x轴建立如图所示的直角坐标系： 则，，设，则有， ，， ，， 化简得，由，当时，有最大值6. 故选：C 【点睛】数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质. 8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 即，， 又，，故；由，解得； 由余弦定理，结合，可得， 即，解得，当且仅当时取得等号； 故的面积，当且仅当时取得等号. 即的面积的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量方向上的投影的数量是 D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量的几何意义，以及单位向量的计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量， 由，则，所以，故A正确； 由，可得，故B正确； 由向量在向量方向上的投影的数量为，故C不正确； 由，所以与向量方向相同的单位向量是，故D正确； 故选：ABD 10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的表面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：直接求出圆柱侧面积，即可判断；对于B：直接求出圆锥表面积，即可判断；对于C：直接求出球的表面积，即可判断；对于D：直接求出所以圆柱、圆锥、球的体积，即可判断. 【详解】对于A：球半径为R，所以圆柱侧面积为.故A错误； 对于B：圆锥侧面积为，表面积为.故B错误； 对于C：球的表面积为,所以 圆柱的侧面积与球的表面积相等.故C正确； 对于D：，，，所以圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2.故D正确． 故选：CD． 11. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 若，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据余弦定理化简判断A，根据正弦定理结合合比性质判断B，利用正弦定理及数量积定义得，然后利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质求解范围判断C，根据向量线性关系及数量积的几何意义易知的角平分线与垂直且，即可判断D. 【详解】对于A，在中，，由余弦定理得，正确， 对于B，由正弦定理，可得，， 所以，正确； 对于C，由选项B知，，则 ， 又，所以，所以， 所以，错误； 对于D，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量， 根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线， 由可知的角平分线与垂直，所以是等腰三角形， 又，所以为等边三角形，正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用数量积的定义及正弦定理、综合运用两角和差正弦公式及二倍角公式化简，再利用正弦函数的性质求解范围即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的运算得出，即可根据共轭复数的概念及模长计算得出答案. 【详解】由，得， 所以， 故答案为：. 13. 如图，在中，，，若，，则______.（用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由于， 由于， 故，， 又因为，故， 所以． 故答案为：． 14. 已知某正四棱台上底面的边长为，下底面的边长为，外接球的表面积为，则该正四棱台的体积为__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心，分球心在线段上和延长线上两种情况考虑，利用勾股定理可求出正四棱台的高，进一步计算即可得解. 【详解】根据题意，球心位置分为两种情况： ①若球心位置在几何体内， 如图所示：设为外接球球心，为外接球半径，则， 又上底面是边长为的正方形，故 下底面的边长为的正方形，故 外接球的表面积为所以 则 所以正四棱台的高 正四棱台的体积； ②当球心在的延长线上时，正四棱台的高 则正四棱台的体积. 故答案为：或. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）与夹角的余弦值； （2）若与垂直，求k的值. 【答案】（1）； （2）0. 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角的坐标公式，计算即可； （2）求得与的坐标，利用向量垂直的坐标表达公式，求解即可. 【小问1详解】 因为，，故. 【小问2详解】 因为，，故，， 又向量与垂直，则，解得. 16. 已知锐角分别为角的对边，若. （1）求证：； （2）求的取值范围. 【答案】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解； （2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 17. 已知正四棱台(由正四棱锥截得且截面是正方形)的底面边长分别为20和10． （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45o，求棱台的侧面积． （2）若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)由条件求正四棱台的斜高，再求其侧面积；(2)根据侧面积的大小求出正四棱台的斜高，再求四棱台和四棱锥的高，结合锥体体积公式求四棱锥的体积. 【小问1详解】 如图，设分别为上、下底面的中心， 过作于过作于 连接，则为正四棱台的斜高， 由题意知， 在中，， 又， 斜高， ∴ 棱台的侧面积. 【小问2详解】 取的中点，的中点，则为棱台的斜高， 四条侧棱延长后交于点， 由题意侧面积 斜高 在直角梯形中， ，， ∴ 由棱锥的性质得， ，所以 则正四棱锥的体积为 . 【点睛】 18. 在如图所示的多面体中，平面 （1）在上求作点使平面请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥的高． 【答案】（1）取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP，则P为所求作的点，如图： 由，G为BC的中点，得， 而，则四边形是平行四边形，，即， 又平面，平面，则平面， 而，平面，平面，则平面， 又平面，平面，， 因此平面平面，而平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，再利用线面平行、面面平行的判定、性质推理即得. （2）根据给定条件，利用等体积法求出三棱锥的高. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在等腰梯形中，由，， 得梯形的高等于，从而的面积为， 由平面，得DE是三棱锥的高，设三棱锥的高为h， 由，得，即，解得， 所以三棱锥的高为. 19. 如图，现有一食品厂的占地区域为半圆形，直径为AB的中点，为OB的中点，点在BA的延长线上，且，市政规划要求，在半圆弧上选取一点，各修建一条地下管道EC和ED通往C，D两点. （1）设，试将管道总长（即EC+ED）表示为的函数； （2）若修建管道EC的费用为10万元，修建管道ED的费用为20万元，求修建管道的总费用的最大值. 【答案】（1）（单位：） （2）万元 【解析】 【分析】（1）在和中使用余弦定理计算即可求出的表达式； （2）将表示为的函数再求最大值即可得到答案. 【小问1详解】 为方便起见，在本解析中我们将在过程中略去单位，只在最终结果标明单位.如无特殊说明，线段长度的单位均为“千米”，费用的单位均为“万元”. 由条件知，，，从而在和中使用余弦定理有 ， 故（单位：）. 【小问2详解】 设管道总费用为，，由（1）可知， ， ，当且仅当时取等号， 故当时，总费用的最大值是万元. 【点睛】关键点点睛：在和中使用余弦定理得到的表达式是将本题转化为函数问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期高一年级 期中考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考试范围：必修二前三章 组题人：数学组 审题人：数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，不共线，若向量与向量共线，则的值为（ ） A. B. 0或 C. 0或1 D. 0或3 2. （ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，则与的夹角为钝角时，的取值范围为 A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. //平面 C. D. //平面 5. 若一个正四面体的表面积为，其外接球的表面积为，则 A. B. C. D. 6. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知圆的半径为，，，，为圆上四点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量方向上的投影的数量是 D. 与向量方向相同的单位向量是 10. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的表面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2 11. 已知三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的取值范围为 D. 若，则为等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（其中为虚数单位），则_______． 13. 如图，在中，，，若，，则______.（用，表示） 14. 已知某正四棱台上底面的边长为，下底面的边长为，外接球的表面积为，则该正四棱台的体积为__________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）与夹角的余弦值； （2）若与垂直，求k的值. 16. 已知锐角分别为角的对边，若. （1）求证：； （2）求的取值范围. 17. 已知正四棱台(由正四棱锥截得且截面是正方形)的底面边长分别为20和10． （1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45o，求棱台的侧面积． （2）若所有侧面的面积和为780，求棱台的斜高（侧面的高）及对应的正四棱锥的体积． 18. 在如图所示的多面体中，平面 （1）在上求作点使平面请写出作法并说明理由； （2）求三棱锥的高． 19. 如图，现有一食品厂的占地区域为半圆形，直径为AB的中点，为OB的中点，点在BA的延长线上，且，市政规划要求，在半圆弧上选取一点，各修建一条地下管道EC和ED通往C，D两点. （1）设，试将管道总长（即EC+ED）表示为的函数； （2）若修建管道EC的费用为10万元，修建管道ED的费用为20万元，求修建管道的总费用的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $