专题02 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）（几何模型讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义以“瓜豆模型”为核心，通过知识框架图系统梳理特殊平行四边形中动点轨迹问题的知识体系，涵盖模型来源、知识储备、原理证明、易错点总结等模块，清晰呈现直线轨迹瓜豆的条件、结论及与旋转、位似等几何变换的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与精准方法指导，通过正方形旋转动点（典例1）、矩形折叠最值（典例2）等中考真题，引导学生运用“找定点-判轨迹-求最值”步骤解决问题，培养几何直观与推理能力。A组基础题、B组提升题、C组压轴题满足不同层次需求，易错点分析帮助学生规避轨迹画反等常见错误，为教师分层教学和学生自主复习提供有力支持。

专题02. 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。直线瓜豆是特殊平行四边形动点最值的底层核心，中考大量压轴不直接考模型名称，但全部依托瓜豆轨迹出题。直线瓜豆熟练后，后续圆弧瓜豆、费马点、造桥、将军饮马全部可以打通，是初中几何动点从 “看不懂” 到 “秒解” 的分水岭。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 2 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 15 C组（综合压轴题） 23 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 1）几何公理：点到直线，垂线段最短；两点之间线段最短； 2）旋转性质：旋转角度固定、线段长度不变； 3）特殊平行四边形的性质：边、角、对角线等； 4）基础全等、倒角能力； 5）特殊平行四边形中，所有 “一边滑动 + 定点旋转” 全部为直线瓜豆。 常结合：正方形动点、矩形折叠动点、菱形旋转动点、将军饮马综合、线段最值、周长最值。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 【模型提炼与证明】 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略 1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定（确定动点轨迹的方法）： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； ②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； ⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 【模型运用】 【典例1】（2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使，连接， ∵绕点D逆时针旋转得到，∴,， ∵四边形是正方形，∴∴， ∴，∴点在直线上运动，当时，最小， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵∴当时，是等腰直角三角形， ∴．故答案为： 【典例2】（2025·江苏·校考一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于． ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴（）， ∴，∴点在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，，，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为． 【典例3】（25-26九年级上·天津滨海新·期中）如图，在正方形中，，E为边上一动点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：过点G作，垂足为H，∴， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 由旋转得：，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴点G在与平行且与的距离为1的直线上， ∴当点G在边上时，最小且，∴的最小值为3，故答案为：3． 【典例4】（2025·湖南·校考一模）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，过点D作，垂足为点H， 四边形是矩形，点是的中点，点在对角线，的交点，， ，，点的运动轨迹是直线，当时，的值最小， ，，，，， ，，， ，，， ，，，， 的最小值为．故答案为：． 【典例5】（2025·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线，，且， 点为的中点，为的中位线， ，，点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，，，， ，，， 为的角平分线，，， ，即，的最小值为， ，，，， ，故选：B． 【典例6】（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，，∴， ∴，∴，∴．由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值，此时， ∵，∴，∴最小值为，∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵，∴，∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作．∵，，∴，， ∴，∴， ∴有最大值，最大值为，∴的最大值为．故答案为：；． 【典例7】7．（2026·安徽淮南·一模）如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【详解】过点作交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，连接、、、、、．过点作于点，如图： 则四边形、为平行四边形， 故，，，，， ∵三角形是等边三角形，故，即， ∵，∴，，故， 又∵，∴，∴，故， 即点为上的定点，点在过点与平行的直线上运动， ∵，∴， 当时，的值最小，此时的最小值为；故A选项说法正确．∵，∴， 又∵，∴是等边三角形，故，∴，即是等边三角形． 则，，， ，， 即，，，∴， ∴，，故， ∴， 又∵，∴是等边三角形，∴． 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，，此时点与点重合， 当点与点重合时，的值最大，即的最大值为的长． ∵，，，∴，∴，即， ∵，∴垂直平分，故，∴， 在中，， 在中，，即的最大值为，B选项说法正确． 在中，， 即当、、三点共线时，此时点与点重合，的值最大，最大值为，故C选项说法错误． ∵，，∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 故是的垂直平分线，又∵点在直线上，故，∴， 即当、、三点共线时，此时的值最小，最小值为的长， ∵，故的最小值为，D选项说法正确． 模型常见易错点 1）找不到 “瓜根定点” 错误：随便找点旋转，结构识别混乱； 正解：瓜豆一定有唯一公共不动顶点，所有旋转围绕该点。 2）分不清顺时针 / 逆时针，轨迹画反 后果：轨迹完全错误，最值直接算错； 正解：严格按照题目旋转方向统一旋转起止点。 3）主动点是线段，误以为从动点是无限直线 关键：主动是有限线段→从动也是有限线段，最值优先看：垂足是否在线段上！ 垂足不在线段 → 取端点最值。 4）看不出隐藏 90° 瓜豆 正方形题型绝大多数垂直构造 = 90° 旋转瓜豆，学生只会全等不会轨迹。 5）瓜豆和将军饮马模型混淆 将军饮马：动点在固定轨迹上； 瓜豆原理：从动点轨迹未知，需要自己构造轨迹。 解题方法总结 步骤 1：找三要素：找定点、确认定角、确认定比 步骤 2：判轨迹：主动点沿直线运动 → 从动点直线轨迹 步骤 3：取起止点：取主动点起点、终点 步骤 4：同步旋转：两点同步旋转相同角度，得到从动轨迹两端点 步骤 5：连轨迹：两点连线 = 从动点运动路径 步骤 6：求最值：垂足在线段内→垂线段最短；垂足不在线段内→就近端点最值 1．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形 中，，，动点 满足 则点 到， 两点距离之和 的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：设中边上的高是．，，， 动点在与平行且与的距离是的直线上， 如图，作关于直线的对称点，连接，，则的长就是的最小值．    在中，，，， 即的最小值为． 2．（25-26九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 。    【答案】 【详解】解：如图，连接，在上截取，使得，连接，过点D作于点H．    ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵∴，∴的最小值为，故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，点是线段上一动点，且，若是以为底边的等腰三角形，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示：作， 由题意得：，∴点在直线上运动 ∵，，∴ ∴当，即时，有最小值 此时，∴是等腰直角三角形∴ ∵，∴解得：故答案为： 4.（2025·四川·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，，∴且． 当点F在上除点C、E处的位置时，有． 由中位线定理可知：且．∴点P的运动轨迹是线段， ∴当时，取得最小值．∵矩形中，，E为的中点， ∴为等腰直角三角形，．∴． ∴．∴．∴，即，∴的最小值为的长． 在等腰直角中，，∴∴的最小值是．故答案是：． 5.（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，，为中点，点在直线上运动，以为边，向的右侧作正方形，连接，则在点的运动过程中， ，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：是等腰直角三角形，，，， ，；连接，如图所示， ， ，为中点，，四边形是正方形，， ，，且，， ，，， ，点在过点C且垂直的直线上， 当时，的值最小，的最小值．故答案为：；． 1.（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，作轴于H，连接． ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴， ∴点在的角平分线所在直线上运动，作于M，则是等腰直角三角形， ∵正方形，，∴，∴，即的最小值为，故选：B． 注意：该题也可以先设出点D的坐标，再在平面直角坐标中表示出点E的坐标，从而证明点E在定直线上运动，最后运用点到线的距离求出最值。 2.（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转的性质得到，，，， ，即，，， 菱形的边长为4，，，， E是的中点，，，， ，， 点在过点且与夹角为的直线上运动， 当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则， 的最小值为，即的最小值为．故选：A． 2.（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，过点作， 四边形是矩形，，，，，，，， ，，，， 在和中，，，， 点在平行且到距离为的直线上运动， 当与重合时，有最小值，此时， 的最小值，故答案为：． 3.（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：延长，在的延长线上截取，连接，过点G作于点H，过点C作交的延长线于点M，如图所示： ， ∵四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵为等边三角形，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴当最小时，最小， ∵垂线段最短，∴当点与点重合时，最小，此时，∴最小值为，故答案为： ． 4．（25-26·成都市·九年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__ ． 【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，， 在和中，，， ，，点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，，，，，∴GT//AB∵BG//AT 四边形是平行四边形，，， ∴ 在中， ∴ ，的最小值为，故答案为：． 5．（25-26上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，    ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴点G在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为． 6．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接交于点，连接并延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴为等边三角形， ∴，∴， ∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴当点在对角线上运动时，点在射线上运动， ∵，即平分， 又∵，∴，且是边上的中线，此时为的最小值， ∵，∴的最小值为．故答案为：． 7．（2025·江苏扬州·校考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，的最小值为 . 【答案】6 【详解】解：以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，如图所示： 四边形为正方形，且边长为，点为的中点，， 和均为等边三角形，， ，，由勾股定理得：， ，，即：， 在和中，，，， 根据“垂线段最短”得：当时，为最短，即为最短，如图所示： ，四边形为矩形， ，的最小值为6，故答案为： 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形，∴， ∵旋转，∴，∴， ∴，∴，∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵，∴三点共线，∴， ∴，∴，∴的最小值为． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，为轴上的一动点，，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：连接，∵四边形是菱形，点，为轴上的一动点，， ∴，是等边三角形，以为边构造等边三角形， 当点B运动到原点时，点C与点E重合；作点A关于y轴的对称点F，∴， ∴时，∴是等边三角形，此时点C与点F重合，∴点C的运动轨迹是直线， 作点O关于直线的对称点G，连接交y轴于点H， ∴当点C与点H重合时，取得最小值，此时， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，解得， ∴，故的最小值，故答案为：． 3.（25-26九年级下·湖北·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 【答案】 【详解】解：延长到点P，使，连接，过点F作的垂线，垂足为H．      在矩形中，， 在正方形中，，， ，∴，∴，∴，∴． 点在以P为顶点，为一边的的的另一边上运动， 当时最小，最小值． ∵，∴． 当动点E从点A运动到点D时，的长从变化到0，∴点F运动的路径长为． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为__________________． 【答案】 【详解】解：如图，延长到T，使得，连接，过点A作于点M． ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，， ，∴， ∴，∴，∴，∴，∴， ∴点F在射线上运动，当点F与M重合时，的值最小， 在中，，， ∴，∴，∴的最小值为． 如图，此时，，∴设上的高为， ∴，∴，∴． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 【答案】 【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H， 四边形是正方形，， ， ，，，， ，，，， ，，，， 设，则，，， ，即，， 线段绕点C顺时针旋转得，，， ，，，点N在直线上运动， 过D作，当时，的值最小，，， ，，，，， ，，，，的最小值为． 6．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，矩形中，，，，，， 由勾股定理得：，将线段绕点逆时针旋转至， ，，，即 在上取点，使，连接， 在和中，，， ，即，点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上， 过点作于，过点作直线于， 则当与重合时，取得最小值，最小值为的长， ，，解得， 在中，由勾股定理得：， ，，，，， 四边形为矩形，，即的最小值为．故答案为：． 7．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，      ∵四边形是菱形，∴，，， ∵，∴是等边三角形，∴，， ∴，同理可证：是等边三角形， 由旋转性质可知：，，∴， ∴，∴，∴， ∴点在等边中平分线上运动，∴当时，最小，如图， ∵，∴， 当与点重合时，最大，如图，过作于点，设与交于点，连接，  由上可知，∴， ∵是等边三角形，，∴， ∴，，∴，∴，∵四边形是菱形，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， 综上可知：的最小值为，最大值为，故答案为：，． 8．（2026·湖北随州·校考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 【答案】 /度 【详解】解：如图1所示，延长交的延长线于点， 点是的中点，，四边形是正方形，， ，，，， 又，，绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ，， ，； 如图2所示，连接，过点作于， ，点在直线上运动，当时，有最小值，最小值为的长度， ，，，即有最小值为，故答案为：，． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02. 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。直线瓜豆是特殊平行四边形动点最值的底层核心，中考大量压轴不直接考模型名称，但全部依托瓜豆轨迹出题。直线瓜豆熟练后，后续圆弧瓜豆、费马点、造桥、将军饮马全部可以打通，是初中几何动点从 “看不懂” 到 “秒解” 的分水岭。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 2 易错点与方法总结 10 模型运用 11 A组（基础题） 11 B组（能力提升题） 15 C组（综合压轴题） 23 “瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。 21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。 1）几何公理：点到直线，垂线段最短；两点之间线段最短； 2）旋转性质：旋转角度固定、线段长度不变； 3）特殊平行四边形的性质：边、角、对角线等； 4）基础全等、倒角能力； 5）特殊平行四边形中，所有 “一边滑动 + 定点旋转” 全部为直线瓜豆。 常结合：正方形动点、矩形折叠动点、菱形旋转动点、将军饮马综合、线段最值、周长最值。 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 【模型提炼与证明】 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 解题策略 1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定（确定动点轨迹的方法）： ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； ②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； ⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 【模型运用】 【典例1】（2025·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为2，点E在边上运动，连接并绕点D逆时针旋转得到，点E运动过程中，的最小值为 ． 【典例2】（2025·江苏·校考一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______． 【典例3】（25-26九年级上·天津滨海新·期中）如图，在正方形中，，E为边上一动点，点F在边上，且，将点E绕点F顺时针旋转得到点G，连接，则长的最小值为 ． 【典例4】（2025·湖南·校考一模）如图，已知，点在线段上，是底边长为6的等腰三角形且，以为边在的右侧作矩形，连接，点是的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【典例5】（2025·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【典例6】（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为 ，最大值为 ． 【典例7】（2026·安徽淮南·一模）如图，等边的边长为，点，分别在，上，，为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，．下列结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 模型常见易错点 1）找不到 “瓜根定点” 错误：随便找点旋转，结构识别混乱； 正解：瓜豆一定有唯一公共不动顶点，所有旋转围绕该点。 2）分不清顺时针 / 逆时针，轨迹画反 后果：轨迹完全错误，最值直接算错； 正解：严格按照题目旋转方向统一旋转起止点。 3）主动点是线段，误以为从动点是无限直线 关键：主动是有限线段→从动也是有限线段，最值优先看：垂足是否在线段上！ 垂足不在线段 → 取端点最值。 4）看不出隐藏 90° 瓜豆 正方形题型绝大多数垂直构造 = 90° 旋转瓜豆，学生只会全等不会轨迹。 5）瓜豆和将军饮马模型混淆 将军饮马：动点在固定轨迹上； 瓜豆原理：从动点轨迹未知，需要自己构造轨迹。 解题方法总结 步骤 1：找三要素：找定点、确认定角、确认定比 步骤 2：判轨迹：主动点沿直线运动 → 从动点直线轨迹 步骤 3：取起止点：取主动点起点、终点 步骤 4：同步旋转：两点同步旋转相同角度，得到从动轨迹两端点 步骤 5：连轨迹：两点连线 = 从动点运动路径 步骤 6：求最值：垂足在线段内→垂线段最短；垂足不在线段内→就近端点最值 1．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在矩形 中，，，动点 满足 则点 到， 两点距离之和 的最小值为（    ） A． B． C． D．6 2．（25-26九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值为 。    3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，点是线段上一动点，且，若是以为底边的等腰三角形，则的最小值是 ． 4.（2025·四川·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 5.（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，，为中点，点在直线上运动，以为边，向的右侧作正方形，连接，则在点的运动过程中， ，线段的最小值为 ． 1.（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点D为x轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．4 2.（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2.（2025九年级下·江苏·专题练习）如图，矩形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ． 3.（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是 ． 4．（25-26·成都市·九年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__ ． 5．（25-26上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      6．（2025·辽宁营口·二模）如图，在矩形中，，，点为对角线上一动点，连接，以为边在其上方作等边，连接，则的最小值为 ． 7．（2025·江苏扬州·校考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为_____． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，的最小值为 . 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，为轴上的一动点，，则的最小值是________． 3.（25-26九年级下·湖北·专题练习）如图，在矩形中，，动点E从点A运动到点D，以为边在的右侧构造正方形，连接，则的最小值为 ，点F运动的路径长为 ． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，Rt，射线交边于点D，点E为射线上一点，以，为边作平行四边形，连接，当取最小值时，平行四边形的面积为__________________． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____． 6．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______． 7．（24-25九年级上·河南焦作·期末）如图，菱形的边长为，，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到，则线段的最小值为 ，最大值为 ．    8．（2026·湖北随州·校考一模）如图，在正方形中，点是上一动点，点是的中点，绕点顺时针旋转得到，连接，．则______，若正方形的边长为2，则点在射线上运动时，的最小值是______． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $