15.1　图形的轴对称 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦图形的轴对称，涵盖轴对称概念、性质及线段垂直平分线的性质、判定与尺规作图。通过生活对称实例与旧知（平移、全等）导入，温故知新搭建知识支架，衔接前后内容。 以窗花剪纸、建筑图片等生活实例培养数学眼光，通过折叠探究、尺规作图（如作对称轴）发展数学思维，例题变式强化数学语言表达。助力学生提升空间观念与推理能力，为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

15.1　图形的轴对称 15.1.1　轴对称及其性质 课题 15.1.1　轴对称及其性质 授课人 学 习 目 标 1.理解并掌握轴对称、轴对称图形的概念,能够判断一个图形是不是轴对称图形,能找出轴对称图形的对称轴. 2.锻炼从现实世界中抽象出几何图形的能力,观察轴对称图形的特征,发展形象思维能力. 3.通过观察、思考、动手操作,提高学生观察、辨析图形的能力,发展学生的空间思维能力. 4.通过自主学习,让学生体验获取数学知识的感受,体会轴对称在现实生活中的广泛存在和轴对称丰富的文化价值,感受数学中的美. 学习 重点 轴对称图形的识别及轴对称图形与轴对称的联系. 学习 难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 在七年级我们学习了平移,请同学们回忆平移的性质.在上一章我们学习了全等图形,特别是全等三角形的性质及判定方法,请回忆这些知识并利用它们解决下面的问题: 如图15-1-9,已知∠B=∠C,AD平分∠BAC,则直接证明△ABD≌△ACD的依据是 (　　) 图15-1-9 A.ASA　　　　B.SAS　　　　C.AAS　　　　D.SSS 请思考:沿AD折叠,△ABD和△ACD能否重合?你能用全等的知识解释吗? 　　温故知新. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 我们生活在充满图形的世界中,许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起.无论是随风起舞的风筝、凌空翱翔的飞机,还是中外各式风格的典型建筑;无论是艺术家的创造,还是日常生活中的图案设计,甚至是照镜子,都和对称密不可分. 观察下列几幅图片,回答问题: 图15-1-10 (1)这些图形有什么共同特征? (2)请你举出几个生活中具有对称特征的物体,并与同伴进行交流. 教师展示图片,学生欣赏图片,同时引出本节课的课题,并板书课题. 　　通过展示图片,让学生初步感受轴对称图形,体会轴对称图形与现实生活的紧密联系,激发学生的学习欲望,提高他们的学习积极性. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 轴对称图形 1.图15-1-11是3种美丽的窗花,它们都是通过把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗? 图15-1-11 学生分小组讨论、交流. 归纳概念:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.这时,也说这个图形关于这条直线对称. 2.你能再举出一些轴对称图形的例子吗? 【探究2】 两个图形成轴对称 1.下面的每对图形有什么共同特点? 图15-1-12 学生在观察、交流的基础上描述,得出结论. 归纳概念: 把图15-1-12中的每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形能与右边的图形重合. 像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,也称这两个图形关于这条直线对称.同样地,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点. 2.轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系? 教师在学生描述的基础上归纳轴对称图形及轴对称的概念,并板书概念. 　　1.通过窗花设计让学生感知轴对称图形的特点,感受生活中数学之美,进而让学生明白生活中处处是数学.注意引导学生用数学的眼光去观察世界. 2.让学生通过图形直观观察两个图形成轴对称和轴对称图形的区别和联系,引导学生自己总结归纳,从而掌握其概念和特点. 活动 二: 探究 与 应用 轴对称与轴对称图形的区别与联系 名称 轴对称 轴对称图形 区 别 意义不同 两个图形之间的位置关系 具有特殊形状的图形 对象不同 两个图形 一个图形 对称轴的 位置不同 在两个图形之间 经过图形的某条直线 联系 (1)把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形; (2)把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称 【探究3】 线段的垂直平分线 如图15-1-13,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,点A',B',C'分别是点A,B,C的对称点,线段AA',BB',CC'与直线MN有什么关系?其他对称点呢? 图15-1-13 学生活动:学生自行分析操作过程,从操作过程中发现数量关系.图15-1-13中,点A与A'是对称点,设AA'交对称轴MN于点P,将△ABC或△A'B'C'沿MN折叠后,点A与A'重合,于是有AP=A'P,∠MPA=∠MPA'=90°.对于其他对称点,如点B与B',点C与C'也有同样的结论.因此,对称轴经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段. 教师活动:鼓励学生独立思考,发现数量关系并进行交流,得到轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分.同时给出线段垂直平分线的定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.进而引导学生由轴对称的性质得出:无论是成轴对称的两个图形,还是轴对称图形,其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 　　3.学生通过观察、思考、合作交流,认识两个图形成轴对称的本质特征,鼓励学生善于思考、勇于发现,培养合作意识. 4.学生在自己掌握图形特征的基础上,准确掌握轴对称图形及轴对称的概念. 5.主动探究成轴对称及轴对称图形的性质.教师用多媒体展示△ABC与△A'B'C'沿直线MN折叠的过程,引导学生观察线段AA',BB',CC'与直线MN的关系.学生在观察、交流的基础上描述以上三条线段与直线MN的关系. 【应用举例】 例1　如图15-1-14,下列图案不是轴对称图形的是 (D) 图15-1-14 师生合作交流得到答案. 例2　如图15-1-15所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗?如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对称点. 图15-1-15 [答案:略] 学生独立思考,举手回答,师生交流心得和方法. 　　1.考查学生对轴对称图形及轴对称概念的理解,体会轴对称在现实生活中的广泛应用. 活动 二: 探究 与 应用 例3　如图15-1-16,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=40°,则∠BCD的度数是 (A) A.130°　　　　　B.150°　　　　　C.40°　　　　　D.65° 图15-1-16 图15-1-17 变式　如图15-1-17,已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称,∠B=125°,∠A+∠D=155°,AB=3 cm,EH=4 cm. (1)写出EF,AD的长度; (2)求∠G的度数; (3)连接BF,线段BF与直线MN有什么关系? [答案:(1)EF=3 cm,AD=4 cm　(2)∠G=80°　 (3)直线MN垂直平分线段BF] 　　2.考查学生的观察能力,为下一节学习垂直平分线的作法打下基础. 【拓展提升】 例4　如图15-1-18,直线MN是四边形AMBN的对称轴,P是直线MN上的点,连接AP,BP,则下列判断错误的是 (B) 图15-1-18 A.AM=BM B.AP=BN C.∠MAP=∠MBP D.∠ANM=∠BNM 师生共同探究得出: (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够互相重合,所以它们一定是全等的,但全等的两个图形不一定成轴对称; (2)成轴对称的两个图形能够重合,所以它们的周长、面积也相等. 变式　如图15-1-19,正方形ABCD的边长为4 cm,则图中阴影部分的面积为　8　cm2.  图15-1-19 　　1.让学生体会成轴对称的两个图形一定全等,但全等的两个图形不一定成轴对称,成轴对称的两个图形是具有特殊位置关系的两个图形. 2.考查轴对称图形的性质,同时强化对轴对称是全等变换的认识,培养利用转化思想和整体思想解决具体问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.下列图形中,是轴对称图形的是 (C) 图15-1-20 2.下列图形中,有且仅有一条对称轴的是 (A) 图15-1-21 (续表) 活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图15-1-22所示,如果直线m是五边形ABCDE的对称轴,其中∠A=115°,∠ABC=120°,那么∠BCD的度数为　70°　.连接BD交直线m于点F,则BF　=　DF(填“=”“>”或“<”),BD　垂直于　m(填“垂直于”或“不垂直于”).  图15-1-22 图15-1-23 4.如图15-1-23,已知AD所在的直线是△ABC的对称轴,点E,F是AD上的点,若BC=4,AD=3,则图中阴影部分的面积是　3　.  　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对轴对称图形和轴对称概念的理解,知道轴对称图形的对称轴的不唯一性,体会轴对称在现实生活中的广泛应用. 【课堂总结】 (1)学完本节课后,你有哪些收获,有哪些进步,还存在哪些困惑? (2)本节课我们共同欣赏了生活中的轴对称图形,通过图形理解了轴对称图形和关于直线成轴对称的概念,请大家回忆一下,它们有什么区别和联系? (3)轴对称和全等有什么关系?轴对称还有什么性质? 教师引导学生回顾本节课的知识,并总结、归纳本节课的重点. 　　让学生对本节课进行反思,从较多的内容中提炼出重点内容,培养学生的归纳和合作交流能力,使学生的知识系统化、条理化. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 这节课充分利用多媒体教学,给学生以直观指导,主动向学生质疑,促使学生思考与发现,独立获取知识和技能.另外,借助多媒体教学,给学生创设宽松的学习氛围,使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态,有利于学生主体性的发挥和创新能力的培养. ②[讲授效果反思] 通过动手实践让学生感知学习的过程,从而找到轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系,同时营造了良好的学习气氛,提高了学生学习的热情,教学效果感觉良好. ③[师生互动反思] 教学中,应注重学生的活动,鼓励每名学生亲自实践,积极思考,体会活动的乐趣,在乐学的氛围中培养学生的空间观念、动手能力,促进学生对轴对称及轴对称图形概念的理解. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程. 15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定 课题 第1课时　线段的垂直平分线的性质及判定 授课人 学 习 目 标 1.掌握线段的垂直平分线的性质及判定. 2.通过类比角平分线的性质、判定与线段的垂直平分线的性质、判定,加深对两者的理解. 3.会简单运用线段的垂直平分线的性质及判定,提高应用意识. 4.理解原命题、逆命题及互逆定理之间的关系. 5.通过对线段垂直平分线的研究,把数学知识应用于生活,进一步激发学生的学习欲望,使他们主动参与到数学学习活动中. 学习 重点 线段的垂直平分线的性质及判定,线段的垂直平分线的作法. 学习 难点 线段的垂直平分线的性质及判定的运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规(多媒体课件) 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考并回答: 1.线段是轴对称图形吗? 2.线段的对称轴是什么? 3.什么叫作线段的垂直平分线? 　　回顾旧知识,为进一步学习新知识做铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 线段的垂直平分线的性质 如图15-1-32,直线l垂直平分线段AB,点P1,P2,P3,…在l上,分别比较点P1,P2,P3,…与点A的距离和这些点与点B的距离,你有什么发现? 图15-1-32 学生分小组讨论、交流问题. 可以发现,P1A=P1B,P2A=P2B,P3A=P3B,…,如果把线段AB沿直线l对折,线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B……都是重合的,因此它们也分别相等. 由此你能得到什么结论? 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗? 如图15-1-33,直线l⊥AB,垂足为C,AC=BC,点P在l上.求证PA=PB. 图15-1-33 证明:当点P与点C不重合时, ∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB. 又AC=BC,PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB. 当点P与点C重合时,显然成立. 　　1.通过探究,让学生真正参与到数学活动中,感受数学知识的形成过程. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 归纳:线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 图15-1-34 几何语言: 如图15-1-34, ∵AC=BC,l⊥AB,点P在l上, ∴PA=PB. 【探究2】 线段的垂直平分线的判定 思考:把线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来,得到的命题还成立吗?即如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?请进行证明. 已知:如图15-1-35,PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 图15-1-35 证明:过点P作PC⊥AB,垂足为C,则∠PCA=∠PCB=90°. 在Rt△PCA和Rt△PCB中, ∴Rt△PCA≌Rt△PCB(HL).∴AC=BC. 又PC⊥AB,∴点P在线段AB的垂直平分线上. 归纳:线段垂直平分线的判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言: 如图15-1-36,∵PA=PB, 图15-1-36 ∴点P在AB的垂直平分线上. 作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 图15-1-37 如图15-1-37,∵AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵MB=MC,∴点M在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AM是线段BC的垂直平分线. 这是判定一条直线是线段的垂直平分线的证明过程. 【探究3】 互逆命题、互逆定理 思考:1.下面两个命题的题设和结论有什么关系? (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等; (2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 这两个命题的题设、结论正好相反. 2.你还学习过其他具有类似关系的命题吗? 角平分线的性质及判定、平行线的性质及判定等. 归纳:我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.在几何中,有许多互逆的定理.例如,上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理,“两直线平行,内错角相等”和“内错角相等,两直线平行”也是互逆定理. 2.通过比较线段垂直平分线性质与判定的题设和结论,引出互逆命题(定理)的概念.让学生在不断地尝试、探究的过程中,亲身体验参与发现的愉悦,有效地突破本节的难点. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图15-1-38,在△ABC中,AB边的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,连接BE,△BCE的周长为16,△ABC的周长为24,求AD的长. 图15-1-38 解:∵DE是AB边的垂直平分线, ∴EA=EB,AD=BD. ∵△BCE的周长为16, ∴BC+CE+EB=BC+CE+EA=BC+AC=16. ∵△ABC的周长为24,∴BC+AC+AB=24. ∴AB=8.∴AD=4. 变式　如图15-1-39,在△ABC中,BC=8,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,则△ADE的周长为 (A) 图15-1-39 A.8　　　B.4　　　C.12　　　D.16 例2　已知:如图15-1-40,OE是∠AOB的平分线,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D,连接CD. 求证:OE是线段CD的垂直平分线. 图15-1-40 证明:∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE,∠EDO=∠ECO=90°. ∴点E在线段CD的垂直平分线上. 在Rt△OED和Rt△OEC中, ∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴DO=CO. ∴点O在线段CD的垂直平分线上. ∴OE是线段CD的垂直平分线. 变式　如图15-1-41,已知∠MON=45°,角的内部有一点P,设点P关于OM的对称点为A,点P关于ON的对称点为B. 图15-1-41 (1)求证:OA⊥OB; (2)若AB交OM于点E,交ON于点F,且AB=8 cm,求△PEF的周长. [答案:(1)略　(2)8 cm] 例3　写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行,同位角相等; (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等; (3)全等三角形的对应角相等. 解:(1)逆命题:同位角相等,两直线平行.逆命题成立. (2)逆命题:如果两个实数的绝对值相等,那么这两个数相等.逆命题不成立. (3)逆命题:三个角分别相等的两个三角形全等.逆命题不成立. 　　1.体会线段垂直平分线的性质在几何图形中的应用,提高学生的图形观察能力. 2.通过观察、思考、合作交流,鼓励学生善于思考、勇于发现,培养合作意识. (续表) 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 探究:三角形的三条边的垂直平分线的性质. 我们已经证明三角形的三条角平分线能够交于一点,那么三角形的三条边的垂直平分线也能交于一点吗?如果能交于一点,这一点又有什么性质呢? 已知:如图15-1-42,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点O. 图15-1-42 求证:点O在边BC的垂直平分线上. 学生先独立思考,再合作交流,用语言描述性质. 归纳:三角形的三条垂直平分线交于一点,该点到三角形三个顶点的距离相等. 教师给出准确的语言描述,并引导学生与角平分线进行比较,揭示它们之间的本质区别. 　　知识的综合与拓展,提高学生的应考能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图15-1-43所示,AB垂直平分CD.若AC=1.6,BC=2.3,则四边形ACBD的周长是 (B) 图15-1-43 A.3.9　　　　　　B.7.8　　　　　C.4　　　　　　D.4.6 2.如图15-1-44,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若AD=6 cm,△ACE的周长为16 cm,则△ABC的周长为　28　cm.  图15-1-44 3.写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立. (1)同旁内角互补,两直线平行; (2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等; (3)全等三角形的对应边相等. 解:(1)逆命题:两直线平行,同旁内角互补.逆命题成立. (2)逆命题:如果两个实数的平方相等,那么这两个实数也相等.逆命题不成立. (3)逆命题:三边分别相等的两个三角形全等.逆命题成立. 　　1.当堂训练,及时反馈学习效果. 2.考查学生对线段的垂直平分线的性质和判定的理解,进一步渗透转化思想和整体思想. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 (1)线段的垂直平分线的性质和判定分别是什么? (2)线段的垂直平分线的性质为推导两条线段相等提供了一种新思路,你还知道哪些方法能证明两条线段相等? 　　梳理巩固本节课所学知识,并与以前所学知识相联系,构建更加完整的知识体系. 【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课主要从探究开始,然后让学生探究理论依据.根据理论依据得到点在线段的垂直平分线上的判定方法,证明直线为线段的垂直平分线时要证明两点都在线段的垂直平分线上.通过做练习来看整体效果较好. ②[讲授效果反思] 本节课采用了讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处:少数学生对线段的垂直平分线的判定理解不透彻,还需在今后的教学和作业中进一步巩固和提高. ③[师生互动反思] 教师要充分调动学生学习的积极性,培养学生探索的欲望,要注重发挥小组合作学习的能力,让学生在解决问题的过程中掌握一定的数学思想和方法. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程. 第2课时　尺规作图——作线段的垂直平分线 课题 第2课时　尺规作图——作线段的垂直平分线 授课人 学 习 目 标 1.会用尺规作图作线段的垂直平分线. 2.掌握寻找轴对称图形的对称轴的方法,能够作出轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴. 3.通过对称轴的作法和线段垂直平分线的作法的比较,体会转化思想的重要意义. 4.利用线段垂直平分线的作法解决现实生活中的一些实际问题. 5.让学生进一步欣赏数学之美,提高审美情趣;培养学生学好数学、应用数学的意识,激发学生的学习热情. 学习 重点 利用尺规作图的方法作出对称轴或确定符合条件的点. 学习 难点 在较复杂的图形中尺规作图的规范性与合理性. 授课 类型 新授课 课时 教具 直尺、圆规及多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 思考并回答: 1.我们已经学过的基本尺规作图有几种? 2.你能动手作图试一下吗? 3.如图15-1-54,A,B是公路m边两个新建小区,要在公路边增设一个公共汽车站,使两个小区到车站的距离相等,则该公共汽车站应建在什么位置? 图15-1-54 　　1.通过观察、操作、画图等环节,不断深化学生思维,逐步进入本节课主要知识的学习. 2.把“课堂引入”内容与“回顾”做了有效衔接. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 作线段的垂直平分线 如图15-1-55,已知线段AB,要作线段AB的垂直平分线.由于“两点确定一条直线”,所以作线段AB的垂直平分线,关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点.根据与A,B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上,可以作出这样的两个点. 作法:如图15-1-55. 图15-1-55 (1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点; (2)作直线CD.CD就是线段AB的垂直平分线. 教师提醒:(1)在尺规作图中,作一条线段的垂直平分线的方法,也是确定线段中点的方法; (2)作一条线段的垂直平分线要注意直线两侧都有两弧交点,不能只画出一个交点; (3)本题中A,B两点的对称轴除了线段AB的垂直平分线外,还有一条——直线AB.一般情况下,我们指的对称轴是前者,不考虑后者. 【探究2】 作轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对称轴 如图15-1-56,△ABC与△A'B'C'是成轴对称的两个图形,请画出它们的对称轴. 图15-1-56 教师提出要求:用尺规作图的方法,保留作图痕迹,默述作法(心中想,不出声地“说”出来). 学生先独立完成,然后在小组内交流有多少种方法,它们有什么共同之处. 总结得到作轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对称轴的一般步骤: 　　1.加深学生对定义的理解,培养学生的动手能力. 活动 二: 探究 与 应用 (1)任意找一对对称点; (2)作出连接这对对称点的线段的垂直平分线. 如图15-1-57所示的长方形是轴对称图形,该怎样作出它的对称轴呢? 图15-1-57 师生活动:学生画出长方形的对称轴,并用语言描述长方形的对称轴.教师引导学生归纳作轴对称图形的对称轴的作法. 对于轴对称图形,只要任意找一对对称点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.有的轴对称图形,有明显的两个顶点在对称轴上,只需过这两点作一条直线即为对称轴. 【探究3】 过一点作已知直线的垂线 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线AB和AB外一点C,如图15-1-58. 图15-1-58 求作:AB的垂线,使它经过点C. 作法:如图15-1-57. (1)以点C为圆心,适当长为半径作弧,交直线AB于点D和点E; (3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F. (4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线. 教师活动:引导学生写出已知、求作,并思考作法,指导学生完成作图. 学生活动:完成作图,说出这样做的理由. 变式　尺规作图:经过已知直线上一点作这条直线的垂线. [答案:略] 学生仿照上述作图进行解答,可以进行小组合作,然后展示作图过程或痕迹,师生共同订正. 　　2.通过观察、思考、画图,鼓励学生善于思考、勇于发现、敢于动手,使学生熟练掌握线段的垂直平分线的作法. 【应用举例】 例1　如图15-1-59,要在公园(四边形ABCD)内建造一座音乐喷泉,喷泉位置应符合如下要求: (1)到公园两个出入口A,C的距离相等; (2)到公园两边围墙AB,AD的距离相等. 请你用尺规作图的方法确定喷泉的位置P.(不必写作法,但要保留作图痕迹) 图15-1-59 [答案:略] 活动 二: 探究 与 应用 例2　如图15-1-60所示的五角星是一个轴对称图形,请作出它的一条对称轴. 图15-1-60 分析:连接五角星的一对对称点,作出连接这对对称点的线段的垂直平分线,即得它的一条对称轴. 师生共同得到以下作法: 如图①,点A和点A'是五角星的一对对称点.连接AA',作出线段AA'的垂直平分线l,则直线l就是这个五角星的一条对称轴. 进一步思考下列问题: (1)在图①中,如果把A,B两点看作对称点,你能作出这个五角星的一条对称轴吗? 提示:如图②,连接AB,作线段AB的垂直平分线m,直线m就是这个五角星的一条对称轴. (2)图①中的五角星一共有几条对称轴?你能把它们都作出来吗? 解:一共有五条对称轴,如图③所示. 例3　尺规作图:经过已知直线上一点作这条直线的垂线. [答案:略] 变式　如图15-1-61,分别以线段a,c为一直角边和斜边,作直角三角形. 图15-1-61 [答案:略] 　　1.从上一环节的“探究2”很自然地过渡到本环节,对问题的研究进一步深入,强化学生对作对称轴的认识水平和操作能力. 2.培养学生一题多解,综合运用所学知识的能力. 3.考查学生的动手能力及培养学生分析问题、解决问题的能力. 【拓展提升】 例4　如图15-1-62,两条笔直的公路a,b相交于点C,A,B两村在公路b的两侧. 图15-1-62 请作图解决以下问题: (1)如果在公路b边修建一个公共汽车站,使之到A,B两村的距离相等,那么这个公共汽车站应修建在什么位置? (2)如果在S区修建一个信号塔,使之到A,B两村的距离相等,并且到a,b两条公路的距离也相等,那么这个信号塔应修建在什么位置? 分析:(1)公共汽车站到A,B两村的距离相等,则它应在线段AB的垂直平分线上. (2)信号塔到a,b两条公路的距离相等,则它应在a,b夹角的平分线上. [答案:略] 变式一　如图15-1-63,某公司要在公路m,n之间的S区域修建一所物流中心P.按照设计要求,物流中心P到S区域内的两个社区A,B的距离相等,到两条公路m,n的距离也相等.物流中心P建在什么位置才符合设计要求?请你在图中画出它的位置并标明.(保留作图痕迹) 图15-1-63 活动 二: 探究 与 应用 分析:到两条公路m,n的距离必须相等,表明物流中心P应在公路m,n夹角的平分线上,故需延长m,n使它们相交,再在S区域内作m,n夹角的平分线,与线段AB的垂直平分线的交点即为物流中心P的位置. [答案:略] 变式二　如图15-1-64,已知甲村和乙村分别靠近公路a,b,为了发展经济,甲、乙两村准备合建一个工厂,经协商,工厂的位置必须满足以下要求: (1)到两村的距离相等; (2)到两条公路的距离也相等. 你能帮忙确定工厂的位置吗? 图15-1-64 分析:由条件(1)可知,工厂在连接甲、乙两村的线段的垂直平分线上;由条件(2)可知,工厂在两条公路夹角的平分线上;两线的交点即为工厂的位置. [答案:略] 点拨:由于两条公路的夹角既有锐角,又有钝角,所以相应的角平分线并不唯一,导致符合条件的工厂位置也不是唯一的. 教师引导学生比较以上例题和变式题之间的联系与区别,订正学生在尺规作图中的不规范作法,强调保留完整的痕迹,反映作图过程. 　　1.利用题目的小幅度变式,有效利用学生思维的衔接性和梯度,训练发散思维. 2.将上节课所学的线段的垂直平分线的作法放在实际问题中加以应用,提高学生用数学的意识,培养学生用数学的方法解决现实生活中问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图15-1-65所示的图形都是轴对称图形,请你试着画出它们所有的对称轴. 图15-1-65 解:如图15-1-66所示. 图15-1-66 2.如图15-1-67所示,△ABC和△A'B'C'关于某条直线成轴对称,请画出它们的对称轴. 图15-1-67 解:如图15-1-68所示. 图15-1-68 　　当堂训练,及时反馈学习效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图15-1-69,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧分别交于点D,E,连接DE,则直线DE是 (D) 图15-1-69 A.∠A的平分线　　　　　B.AB边上的中线 C.AB边上的高 D.AB边的垂直平分线 4.如图15-1-70,有A,B,C三个村庄,现准备建一所希望小学,要求学校到三个村庄的距离相等,请你确定学校的位置. 图15-1-70 图15-1-71 解:如图15-1-71,点P即为所求. 【课堂总结】 (1)这节课我们一直在进行尺规作图,主要探索了两类作图问题,分别是什么? 提示:①作出轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对称轴; ②利用线段垂直平分线的作法解决现实生活中确定位置的问题. (2)结合自己在这节课中的表现,总结一下在尺规作图中你要注意哪些问题. 　　梳理巩固本节课知识. 【知识网络】 　　直观的框架图式总结,有利于构建良好的知识网络. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课让学生意识到用线段垂直平分线的尺规作图确定对称轴的严谨性,然后安排例题和变式,强化巩固与提升,使学生对本节课中核心的知识牢固掌握,形成技能,为作轴对称图形的对称轴扫清障碍,也为应用线段垂直平分线的作法打下坚实基础. ②[讲授效果反思] 通过典题引入,讲练结合、循序渐进地达到预设的教学目标.学生在已有知识的基础上,对于利用线段垂直平分线的尺规作图画对称轴和确定位置有了比较好的认识,基本掌握了解决此类问题的方法,并能做到作图规范、推理合理、表述简洁. ③[师生互动反思] 教师设计的问题起点较低,逐步递进,引导学生深入思考.对于独立解决有困难的问题,教师给予点拨指导,或鼓励学生开展小组合作,教师参与到学生讨论中,发现典型的做法或存在的问题,在课上进行展示交流或及时订正,既调动了学生学习的积极性,又促进了自我反思与改进. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动,也是回顾教学、分析成败、查找原因、寻求对策、以利后行的过程. 学科网（北京）股份有限公司 $