7.3 平行线的证明 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

这是一份北师大版八年级数学同步教学课件，共47页，围绕“平行线的性质”展开。以逆向思维导入，通过反证法证明性质1，引导学生推导性质2和3，结合典例精析与课堂练习，构建“问题-探究-证明-应用”的学习支架。 资料注重数学思维与语言培养，通过反证法步骤拆解培养推理意识，多证法示例（如例3三种证法）发展批判性思维，图形与符号语言结合强化表达。课堂练习分层设计，助力八年级学生从直观认知过渡到逻辑证明，建立严谨思维，同时为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

第七章　证明 7.3 平行线的证明 北师大版八年级上册 第2课时　平行线的性质 导入新课 现在同学们已经掌握了利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补判定两条直线平行的三种方法．在这一节课里，大家把思维的指向反过来：如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角的数量关系又该如何表达？这是本节课我们将要学习的内容． 2 探究新知 探究点 测量滑轮组的机械效率 问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？ A B C D E F M N 1 2 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗 ? 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 符号语言 文字语言 A B C D E F M N 1 2 已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角. 求证：∠1 =∠2. 假设 ∠1 ≠ ∠2 得出相关条件 与原有知识矛盾 假设不成立 问题3 你能说说证明的思路吗 ? A B C D E F M N 1 2 如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？ G H A B C D E F M N 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD. 又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 假设原命题不成立 进行推理，产生矛盾 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2. 假设不成立，原命题成立 像这样的证明方法叫作反证法: 反证法 提出与结论相反的假设 将假设作为条件，通过推论导出矛盾 假设不成立，从而肯定原命 题成立 定理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. ∴∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）. ∵ a∥b（已知）， 应用格式： a b c 1 2 性质1 思考：利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？ 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 尝试来证明一下！ 已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的内错角.求证：∠1 =∠2. l1 l2 3 2 1 l 典例精析 ∴∠1＝∠3 (两直线平行，同位角相等). ∵∠2＝∠3 (对顶角相等)， ∴∠1＝∠2 (等量代换). 证明：∵ l1∥l2 (已知)， l1 l2 3 2 1 l 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. ∵ l1∥l2(已知)， ∴ ∠1 =∠2(两直线平行，内错角相等). 应用格式： l1 l2 3 2 1 l 性质2 已知：如图，直线 l1∥l2，∠1 和∠2 是直线 l1，l2 被直线 l 截得的同旁内角.求证：∠1 +∠2 = 180°. l1 l2 3 2 1 l 典例精析 证明：∵ l1∥l2 (已知)， ∴∠2 =∠3 (两直线平行，同位角相等). ∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)， ∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) . l1 l2 3 2 1 l 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. ∵ l1∥l2(已知)， ∴ ∠1 +∠2 = 180° (两直线平行，同旁内角互补). 应用格式： l1 l2 3 2 1 l 性质3 例1 已知：如图，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3 是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角 . 求证：b∥c. b c 3 2 1 a d 典例精析 证明：∵b∥a（已知）， ∴∠2 =∠1（两直线平行，同位角相等）. ∵c∥a（已知）， ∴∠3 =∠1（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2 =∠3（等量代换）. ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）. b c 3 2 1 a d 符号语言： 如图，b∥a，c∥a（已知）， ∴ b∥c （平行于同一条直线的两条直线平行）. 定理 平行于同一条直线的两条直线平行. b c 3 2 1 a 例2 如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小关系如何？ A D C B 解：∠A =∠C，∠B =∠D. 理由：∵ AB∥CD，AD∥BC (已知)， ∴∠A +∠D = 180°， ∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补). ∴∠A =∠C (同角的补角相等). 同理，∠B =∠D. A D C B 证法一： ∵ AB∥DC（已知）， ∴∠B +∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠B =∠D（已知）， ∴∠D +∠C = 180°（等量代换）. ∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）. A D C B 例3 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.求证：AD∥BC. 证法二： 如图，延长 BA，得∠1. ∵AB∥CD（已知）， ∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等）. ∵∠B = ∠D（已知）， ∴∠1 = ∠B（等量代换）. ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）. 1 A D C B 证法三： 如图，连接 BD . ∵ AB∥CD (已知)， ∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等). ∵∠ABC =∠ADC (已知)， ∴∠ABC－∠1 =∠ADC－∠4 (等式的性质). ∴∠2 =∠3. ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行). A D C B 1 2 3 4 (1) 回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节? 【回顾·反思】 (2) 对于证明思路的分析，你积累了哪些经验 ? ① 弄清题设和结论； ② 根据题意画出相应的图形； ③ 根据题设和结论写出已知，求证； ④ 分析证明思路，写出证明过程. 归纳总结 平行线的性质 性质定理 命题证明步骤 两直线平行，同位角相等 根据题意画出图形 根据题意写出已知及求证 写出证明过程 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 课堂小结 第1题图 1.如图，直线a，b被直线c所截.若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是( ) A.70° B.100° C.110° D.120° A 课堂练习 第2题图 2.如图，一个含30°角的三角板的直角顶点在直线a上，其斜边与直线a平行，则∠1的度数为( ) A.30° B.40° C.60° D.70° C 3.将含45°角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上.若α＝35°，则β的度数为( ) A.100° B.105° C.110° D.115° A 4.如图是共享单车车架的示意图.已知AB∥DE，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠DEF的度数为　 　.  　70°　 5.如图，已知AB∥CD，AC∥BD，∠1＝37°，求∠2的度数. 解：∵AC∥BD，∴∠1＝∠A. ∵AB∥CD，∴∠2＝∠A，∴∠2＝∠1＝37°. 第6题图 6.如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是( ) A.154° B.144° C.134° D.124° D 第7题图 7.如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是( ) A.∠3＝∠4 B.∠1＋∠5＝180° C.∠1＝∠2 D.∠1＝∠4 C 8.如图，AB∥CD，若∠ABC＝50°，∠CEF＝150°，∠BFE＝60°，∠D＝60°，则∠BCE的度数为 　 　.  　20°　 9.如图，AB∥CD，∠B＝∠D，直线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F.求证：∠DEF＝∠F. 证明：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B. ∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D， ∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F. 第10题图 10.如图，已知a∥b，有一个角为30°的直角三角板的直角顶点在直线b上.若∠1＝58°，则下列结论错误的是( ) A.∠3＝58° B.∠4＝122° C.∠5＝42° D.∠2＝58° C 第11题图 11.将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB＝30°，则∠ACB的度数是( ) A.45° B.55° C.65° D.75° D 12.如图，AB∥CD，∠A＝25°，∠E＝80°，则∠C的度数是　 　.  　55°　 13.[易错题]已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，如图1，2所示. 图1　　　　 图2 (1)如图1，若AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的数量关系是　 　；  (2)如图2，若AB∥EF，BC∥DE，则∠1与∠2的数量关系是　 　；  (3)[方程思想]已知两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个角的度数. 　∠1＋∠2＝180°　 　∠1＝∠2　 解：(3)设一个角为x°，根据以上结论得 2x－30＝x或2x－30＋x＝180， 解得x＝30或x＝70. 答：这两个角的度数为30°，30°或110°，70°. 14.[教材P196习题7.3第7题改编]如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC. (1)求证：AB∥CD； (2)若∠1＋∠2＝180°，求证：∠B＝∠C. 证明：(1)∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，∴∠A＝∠D，∴AB∥CD. (2)∵∠1＝∠BHG，∠1＋∠2＝180°， ∴∠2＋∠BHG＝180°， ∴BF∥CE，∴∠BFD＝∠C. ∵AB∥CD，∴∠B＝BFD，∴∠B＝∠C. 15.如图，已知∠A＝90°＋x°，∠B＝90°－x°，∠CED＝90°，4∠C－∠D＝30°，射线EF∥AC. (1)判断射线EF与BD的位置关系，并说明理由； (2)求∠C，∠D的度数. 解：(1)EF∥BD. 理由：∵∠A＋∠B＝90°＋x°＋90°－x°＝180°， ∴AC∥BD. ∵EF∥AC，∴EF∥BD. (2)∵AC∥EF∥BD， ∴∠CEF＝∠C，∠DEF＝∠D. ∵∠CED＝∠CEF＋∠DEF＝90°， ∴∠C＋∠D＝90°. 联立解得 ∴∠C的度数是24°，∠D的度数是66°. $