7.3　平行线的证明 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“平行线的证明”第1课时，核心知识点为平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。新课引入通过回顾上节课公理“同位角相等，两直线平行”，引导学生尝试证明“内错角相等，两直线平行”，搭建从已知公理到新定理的学习支架。 其亮点在于结合生活实例（如竹篱笆、潜望镜）培养学生用数学眼光观察现实世界，通过规范的证明过程（如例2、变式训练2的逻辑推理）发展数学思维的推理能力，以几何语言（∵∴格式）训练数学语言的精确表达。随堂小测分基础与拔高，层次清晰，助力学生巩固知识，也为教师提供丰富教学实例。

第七章　证明 3　平行线的证明 第2课时　平行线的性质 数学·八年级上册　 1 我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们. 如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1＝∠2. 数学·八年级上册　 　平行线的性质定理 定理：两条平行直线被第三条直线所截，得到的① ⁠相等（简记 为：两直线平行，同位角相等）. 定理：两条平行直线被第三条直线所截，得到的② ⁠相等（简记 为：两直线平行，内错角相等）. 定理：两条平行直线被第三条直线所截，得到的③ ⁠互补（简记 为：两直线平行，同旁内角互补）. 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 同位角　 内错角　 同旁内角　 数学·八年级上册　 【例1】完成推理填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知 AB∥CD，求证：∠1＝∠2.请你认真完成下面的填空. 证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠1＝∠ （两直线平行， ）. 又∵∠2＝∠3（　 　）， ∴∠1＝∠2 （　 　）. 3　 同位角相等　 对顶角相等 等量代换 数学·八年级上册　 请将下面的证明过程补充完整： 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AB交AC于点E，且 ∠BFG＝∠ADE. 求证：FG⊥BC. 证明：∵AD⊥BC（已知）， ∴∠ADB＝ （　 　）. ∵DE∥AB（已知）， ∴∠BAD＝ （　 　）. ∵∠BFG＝∠ADE（已知）， ∴∠BAD＝∠BFG（　 　）. ∴AD∥FG（　 　）， ∴ ＝∠ADB＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴FG⊥BC（垂直的定义）. 90°　 垂直的定义 ∠ADE　 两直线平行，内错角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行 ∠BGF　 数学·八年级上册　 　用平行线的性质定理计算 【例2】 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝108°，求∠AEC的度 数. 解：∵AB∥CD，∴∠A＋∠ACD＝180°. ∵∠A＝108°， ∴∠ACD＝180°－∠A＝180°－108°＝72°. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝36°. ∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝36°. 数学·八年级上册　 如图，点E在AB上，点F在CD上，CE，BF分别交AD于点 G，H，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC. （1）AB与CD平行吗？请说明理由. 解：AB∥CD. 理由如下： ∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC， ∴∠A＝∠D， ∴AB∥CD. 数学·八年级上册　 （2）若∠1＋∠2＝180°，且3∠B＝∠BEC＋20°，求∠B的度数. 解：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠BHG， ∴∠2＋∠BHG＝180°，∴CE∥BF， ∴∠B＋∠BEC＝180°. ∵3∠B＝∠BEC＋20°，即∠BEC＝3∠B－20°， ∴3∠B－20°＋∠B＝180°，∴∠B＝50°. 数学·八年级上册　 1. （2025•南山区麒麟二中模考）如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直 尺的一边上，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　C　）. A. 52° B. 48° C. 38° D. 26° C 数学·八年级上册　 2. （根据教材P196第8题改编）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与 抛物线有关.如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿 着与EPF平行的方向射出，若∠CAP＝45°，∠APB＝100°，则∠DBP的 度数为（　C　）. A. 45° B. 50° C. 55° D. 65° C 解析：∵AC∥EF∥BD， ∴∠EPA＝∠CAP＝45°，∠DBP＝∠EPB， ∴∠DBP＝∠EPB＝∠APB－∠APE＝100°－45°＝55°. 数学·八年级上册　 3. （2025•龙岗区宏扬学校期中）如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝ ∠DEF. 证明：DE∥BC. 证明：∵∠1＋∠2＝180°， ∠2＋∠DHE＝180°， ∴∠1＝∠DHE， ∴BD∥EF， ∴∠B＝∠EFC. ∵∠B＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠EFC， ∴DE∥BC. 数学·八年级上册　 4. 如图，AB∥CD，CD交BF于点E. （1）尺规作图：以点D为顶点，射线DC为一边，在DC的右侧作∠CDG， 使∠CDG＝∠B. （要求：不写作法，但保留作图痕迹） 解：如图所示，∠CDG即为所求. 数学·八年级上册　 （2）证明：DG∥BF. 证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠CEF. ∵∠B＝∠D， ∴∠CEF＝∠D， ∴DG∥BF. 数学·八年级上册　 5. （2025•福田区期末）如图，∠BMD＝∠ABM＋∠MDC. （1）求证：AB∥CD. 小颖同学是这样做的，请你将证明过程补充完整. 证明：如图1，过点M作MP∥AB. 证明：过点M作MP∥AB， ∴∠ABM＝∠BMQ. 又∵∠BMD＝∠ABM＋∠MDC，∠BMD＝∠BMQ＋∠QMD， ∴∠MDC＝∠QMD， ∴MQ∥CD，∴AB∥CD. 数学·八年级上册　 （2）如图2，若BN，DN分别平分∠ABM和∠MDC，则∠M与∠N之间 的等量关系为 ⁠. 解析：如图，过点N作NE∥AB， ∴∠ABN＝∠BNE. ∵AB∥CD， ∴NE∥CD，∴∠CDN＝∠DNE. 又∵∠BND＝∠BNE＋∠DNE， ∴∠BND＝∠ABN＋∠CDN. ∵BN，DN分别平分∠ABM和∠MDC， ∴∠ABM＝2∠ABN，∠MDC＝2∠CDN， ∴∠ABM＋∠MDC＝2∠ABN＋2∠CDN＝2∠BND. 又∵∠BMD＝∠ABM＋∠MDC， ∴∠BMD＝2∠BND，即原题图中∠M＝2∠N. ∠M＝2∠N　 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　①同位角　②内错角　③同旁内角 例1　3　同位角相等　对顶角相等　等量代换 变式训练1　90°　垂直的定义　∠ADE　两直线平行，内错角相等　等量 代换　同位角相等，两直线平行　∠BGF 知识点2 例2　解：∵AB∥CD，∴∠A＋∠ACD＝180°. ∵∠A＝108°，∴∠ACD＝180°－∠A＝180°－108°＝72°. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝36°. ∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠DCE＝36°. 数学·八年级上册　 变式训练2　解：（1）AB∥CD. 理由如下： ∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC， ∴∠A＝∠D，∴AB∥CD. （2）∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠BHG， ∴∠2＋∠BHG＝180°，∴CE∥BF，∴∠B＋∠BEC＝180°. ∵3∠B＝∠BEC＋20°，即∠BEC＝3∠B－20°， ∴3∠B－20°＋∠B＝180°，∴∠B＝50°. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. C2.C　解析：∵AC∥EF∥BD，∴∠EPA＝∠CAP＝45°，∠DBP＝ ∠EPB，∴∠DBP＝∠EPB＝∠APB－∠APE＝100°－45°＝55°. 3. 证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠DHE＝180°， ∴∠1＝∠DHE，∴BD∥EF， ∴∠B＝∠EFC. ∵∠B＝∠DEF， ∴∠DEF＝∠EFC，∴DE∥BC. 数学·八年级上册　 4. （1）解：如图所示，∠CDG即为所求. （2）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠CEF. ∵∠B＝∠D，∴∠CEF＝∠D，∴DG∥BF. 数学·八年级上册　 5. （1）证明：过点M作MP∥AB，∴∠ABM＝∠BMQ. 又∵∠BMD＝∠ABM＋∠MDC，∠BMD＝∠BMQ＋∠QMD， ∴∠MDC＝∠QMD， ∴MQ∥CD，∴AB∥CD. （2）∠M＝2∠N　解析：如图，过点N作NE∥AB， ∴∠ABN＝∠BNE. ∵AB∥CD，∴NE∥CD， ∴∠CDN＝∠DNE. 又∵∠BND＝∠BNE＋∠DNE， ∴∠BND＝∠ABN＋∠CDN. ∵BN，DN分别平分∠ABM和∠MDC， 数学·八年级上册　 ∴∠ABM＝2∠ABN，∠MDC＝2∠CDN， ∴∠ABM＋∠MDC＝2∠ABN＋2∠CDN＝2∠BND. 又∵∠BMD＝∠ABM＋∠MDC， ∴∠BMD＝2∠BND，即原题图中∠M＝2∠N. 数学·八年级上册　 $第七章　证明 3　平行线的证明 第1课时　平行线的判定 数学·八年级上册　 1 上节课我们学习了证明的出发点和依据，掌握了公理“同位角相等，两直线 平行”.类似地，你能尝试证明“内错角相等，两直线平行”吗？ 如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1＝∠2. 求证：a∥b. 数学·八年级上册　 　平行线的判定定理 判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言： ∵① ⁠； ∴② .（同位角相等，两直线平行） ∠3＝∠2　 AB∥CD　 数学·八年级上册　 判定方法2：内错角相等，两直线平行.如图，几何语言： ∵③ ； ∴④ .（内错角相等，两直线平行） 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如图，几何语言： ∵⑤ ； ∴⑥ .（同旁内角互补，两直线平行） 说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形. ∠1＝∠2　 AB∥CD　 ∠4＋∠2＝180°　 AB∥CD　 数学·八年级上册　 【例1】（2025•宝安实验中学月考）如图，将生活中的竹篱笆局部抽象成几 何图形，下列条件中能判断直线a∥b的是（　B　）. A. ∠4＝∠2 B. ∠2＝∠3 C. ∠3＝∠4 D. ∠4＝∠5 B 数学·八年级上册　 （2025•宝安区期末）如图，下列判断中，错误的是（　B　）. A. 若∠1＝∠2，则CE∥BF B. 若∠2＝∠B，则AB∥CD C. 若∠B＋∠BFC＝180°，则AB∥CD D. 若∠A＝∠D，则AB∥CD B 数学·八年级上册　 　用平行线的判定定理证明平行 【例2】如图，直线AB，CD分别与EF相交于点G，H，已知∠1＝70°， ∠2＝70°.求证：AB∥CD. 证明：∵∠AGH＝∠1＝70°， ∠1＝∠2＝70°， ∴∠2＝∠AGH， ∴AB∥CD. 数学·八年级上册　 如图，AE与BD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2.求证： AB∥CE. 证明：∵∠1＝∠2， ∴AC∥BD， ∴∠C＝∠BDE. ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠BDE， ∴AB∥CE. 数学·八年级上册　 1. （2024•深圳中学龙岗学校模考）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是我 国西汉时期的《淮南万毕术》.书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬， 置水盘于其下，则见四邻矣”.现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的.如图， 是潜望镜工作原理的示意图，它所应用的数学原理是（　A　）. A. 内错角相等，两直线平行 B. 同旁内角互补，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 两点确定一条直线 A 数学·八年级上册　 2. （2025•罗湖区期末）如图所示，点E在BC的延长线上，下列条件中，能 判断AB∥CD的是（　B　）. A. ∠3＝∠4 B. ∠1＝∠2 C. ∠D＝∠DCE D. ∠D＋∠BCD＝180° B 数学·八年级上册　 3. （2024•宝安区期末） 如图1、图2，点C是∠AOB的边OB上一点，利用 尺规过点C作CN∥OA，下列说法错误的是（　C　）. A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以MD的长为半径作弧，得到弧FG C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以OM的长为半径作弧，得到弧NE C 数学·八年级上册　 4. 如图，在四边形ABCD中，E为CD的中点，连接AE并延长，与BC的延 长线交于点F. 若AE＝FE，∠B＝∠D. 求证：AB∥CD. 证明：∵E为CD的中点，∴DE＝CE. 在△ADE与△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（SAS）， ∴∠D＝∠FCE. 又∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠FCE，∴AB∥CD. 数学·八年级上册　 5. 如图，已知∠1＝∠2＝α，∠3＝40°，∠4＝β，α，β满足方程组 （1）求α，β； 解： ①＋②，得5α＝100°， ∴α＝20°. 把α＝20°代入①，得2×20°＋β＝80°， ∴β＝40°， ∴α＝20°，β＝40°. 数学·八年级上册　 （2）求证：AB∥HG. 证明：∵∠1＝∠2， ∴AC∥ED， ∴∠4＝∠5＝40°. ∵∠3＝40°， ∴∠3＝∠5， ∴AB∥HG. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1 ①∠3＝∠2 ②AB∥CD ③∠1＝∠2 ④AB∥CD ⑤∠4＋∠2＝180° ⑥AB∥CD 例1　B　变式训练1　B 知识点2 例2　证明：∵∠AGH＝∠1＝70°，∠1＝∠2＝70°， ∴∠2＝∠AGH，∴AB∥CD. 变式训练2　证明：∵∠1＝∠2， ∴AC∥BD，∴∠C＝∠BDE. ∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠BDE，∴AB∥CE. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. A　2.B　3.C 4. 证明：∵E为CD的中点，∴DE＝CE. 在△ADE与△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（SAS），∴∠D＝∠FCE. 又∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠FCE，∴AB∥CD. 数学·八年级上册　 5. （1）解： ①＋②，得5α＝100°，∴α＝20°. 把α＝20°代入①，得2×20°＋β＝80°，∴β＝40°， ∴α＝20°，β＝40°. （2）证明：∵∠1＝∠2，∴AC∥ED，∴∠4＝∠5＝40°. ∵∠3＝40°，∴∠3＝∠5，∴AB∥HG. 数学·八年级上册　 $