第07讲 基本不等式讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第07讲 基本不等式 1.掌握基本不等式的推导过程、标准形式及成立条件，理解均值不等式的核心含义。 2.熟练运用基本不等式求解代数式最值，掌握“一正、二定、三相等”核心解题准则。 3.能够处理凑定值、拆项、配系数、换元等常见变形技巧，解决常规最值问题。 4.规避基本不等式常见易错陷阱，能判断等号能否成立，区分可以直接用、不能直接用的题型。 5.了解基本不等式的拓展形式，掌握简单的不等式证明、取值范围求解方法 一、基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 二、四个平均数不等式关系： 对，都有，其中为调和平均数，为几何平均数，为算术平均数，为平方平均数. 结论：由图可知，，则 三、基本不等式求最值： 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 考点一、基本不等式的概念与理解 例1　(1)给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可. 【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． (2)《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 跟踪训练1　(1)对于正数a，b，有：_______，其中： ：调和平均数（HM） ：几何平均数（GM） ：算术平均数（AM） ：平方平均数（QM） 当且仅当a=b时，所有等号同时成立. 【答案】 【分析】利用基本不等式及其变形比较即可. 【详解】因为，根据基本不等式得，当且仅当时等号成立； 因为，根据基本不等式得，所以， 当且仅当即时等号成立； 因为，由可得，所以，即，当且仅当时等号成立. 综上，，当且仅当a=b时，所有等号同时成立. （2）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD （3）下列使用基本不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若a，，则 B．若，则 C．若，则由知，的最小值为1 D．若，则 【答案】D 【分析】利用基本不等式逐项分析即得． 【详解】对A，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B，当时，，即当且仅当时取等号，故B错误； 对C，，当且仅当，即时取等号，又，所以等号不成立，故C错误； 对D，若，则，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 考点二、利用基本不等式证明不等关系 例2　(1)已知为正实数．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，然后利用柯西不等式的性质证明即可. 【详解】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 (2)已知为正数，且.证明： (1)； (2). 【答案】(1) 因为为正数，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. (2) 先证明三维的柯西不等式. 已知求证: ,当且仅当时取等号. 证明：设 ①当，即时，不等式显然成立； ②当时， ∵对于任意实数，都有,当且仅当时取等号, ∴，即 ∴,当且仅当时取等号.故得证. 由柯西不等式，得 ，即. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故得：. 【分析】（1）由关于三个重要不等式左右分别相加，得到，结合题设条件推得代入即得； （2）先证明三维的柯西不等式，再利用柯西不等式将左式化成，再构造不等式 ，化简得到，代入条件即得. 【详解】（1）略 （2）略 跟踪训练2　(1)已知证明： (1) (2) 【答案】(1) 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． (2) 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）略 （2）略 (2)①已知均为正实数，求证：； ②已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 考点三、利用基本不等式的求最值 例3(1)（直接法）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 (2)（配凑法）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】利用配凑法结合基本不等式即可求解. 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. （3）（二次一次商式）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. （4）（“1”的代换）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. （5）（条件等式最值）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论； 方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】（方法一）由，可得， 因为，，所以，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为13． （方法二）由，可得，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为13． 跟踪训练3 (1)的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. （2）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A （3）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. （4）已知，则的最小值为________． 【答案】 【分析】通过凑出均值不等式的前提条件后求解. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当时等号成立. （5）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 考点四、基本不等式中的恒成立问题 例4 (1)已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. (2)已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 跟踪训练4 (1)若正数x，y满足，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用基本不等式求出的最小值，再根据恒成立条件解不等式求出a的取值范围． 【详解】， ，当且仅当，即，时取等号， ， ，解得， 的取值范围为． 故选：D． (2)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： (3)设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 考点五、利用基本不等式解决实际应用问题 例5 (1)某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. (2)某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 【答案】(1) (2)万元. 【分析】（1）根据给定条件，直接求出y关于x的函数关系式； （2）求出年平均盈利额的表达式，再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为. （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，等号成立时， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元. 跟踪训练5 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【分析】（1）由，结合一元二次不等式求解即可； （2）由题意得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 一、单选题 1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由基本不等式求解最小值. 【详解】，当且仅当，即（因为）时取等号， 所以的最小值为. 2．设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别通过基本不等式判断必要性、举反例判断充分性，即可确定两个条件的逻辑关系 【详解】设条件，条件。 已知，由基本不等式可得（当且仅当时等号成立）， 若，则，即成立，故必要性成立； 取，满足，且，但， 即存在满足的情况不满足，即不成立，故充分性不成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式求解. 【详解】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 4．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 【答案】B 【分析】设年平均利润为u，利用已知可表示出，利用基本不等式求出u的最大值即可. 【详解】设年平均利润为u，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此这批机器的年平均利润值最大为8万元， 故选：B 5．已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过双换元法将目标函数转化为求新变量乘积的形式，并结合已知条件利用基本不等式求出该乘积的最大值，最终代回原式求得最小值. 【详解】令，，，， 则，整理得， ， 所以原问题转化为求的最大值， ，当且仅当即时等号成立， 即，设，因为，，所以， 所以有，解得或（舍去）， 即， 所以. 6．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】化简，，结合基本不等式求其最小值，结合条件求的范围可得结论. 【详解】令， 展开可得，即，其中， 因为，，由基本不等式可得 当且仅当，即时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立， 由不等式对于任意的恒成立，可得， 所以正实数的最大值为. 二、多选题 7．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先明确、的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明AC选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断BD选项. 【详解】由题意可知，， 因为，， 则，所以， ，即， 所以； 在中，，即 当时，、点重合， ，此时， 则，所以A正确； 对于C选项，在中，，则， 又因为，所以，， 可得，即，所以， 由于，所以， 当时，，此时， 综上，，所以C正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故BD中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故选：AC. 8．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 三、填空题 9．设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 10．已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据题意利用换元法将原式变为，再由，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 11．根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少 (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少 (3)已知，且，求的最大值． 【答案】(1)， (2)6， (3) 【分析】（1）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，将各项转化为正数利用基本不等式求解即可. （2）根据基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，构造出积为定值的形式利用基本不等式求解即可. （3）根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故当时，的最大值为，此时. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当时，的最小值为6，此时. （3）因为，，所以，即， 所以，即，当且仅当，时，等号成立. 故的最大值为. 12．已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 13．已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【详解】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得 ， 所以实数的取值范围为 14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式 1.掌握基本不等式的推导过程、标准形式及成立条件，理解均值不等式的核心含义。 2.熟练运用基本不等式求解代数式最值，掌握“一正、二定、三相等”核心解题准则。 3.能够处理凑定值、拆项、配系数、换元等常见变形技巧，解决常规最值问题。 4.规避基本不等式常见易错陷阱，能判断等号能否成立，区分可以直接用、不能直接用的题型。 5.了解基本不等式的拓展形式，掌握简单的不等式证明、取值范围求解方法 一、基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 二、四个平均数不等式关系： 对，都有，其中为调和平均数，为几何平均数，为算术平均数，为平方平均数. 结论：由图可知，，则 三、基本不等式求最值： 基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 考点一、基本不等式的概念与理解 例1　(1)给出下列命题中，真命题的个数为（    ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 跟踪训练1　(1)对于正数a，b，有：_______，其中： ：调和平均数（HM） ：几何平均数（GM） ：算术平均数（AM） ：平方平均数（QM） 当且仅当a=b时，所有等号同时成立. （2）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． （3）下列使用基本不等式求最小值的过程，正确的是（    ） A．若a，，则 B．若，则 C．若，则由知，的最小值为1 D．若，则 考点二、利用基本不等式证明不等关系 例2　(1)已知为正实数．证明：． (2)已知为正数，且.证明： (1)； (2). 跟踪训练2　(1)已知证明： (1) (2) (2)①已知均为正实数，求证：； ②已知，求证：. 考点三、利用基本不等式的求最值 例3(1)（直接法）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． (2)（配凑法）函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 （3）（二次一次商式）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 （4）（“1”的代换）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 （5）（条件等式最值）已知，，且，则的最小值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 跟踪训练3 (1)的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． （2）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 （3）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 （4）已知，则的最小值为________． （5）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 考点四、基本不等式中的恒成立问题 例4 (1)已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 (2)已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 跟踪训练4 (1)若正数x，y满足，且恒成立，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． (2)已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_____. (3)设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 考点五、利用基本不等式解决实际应用问题 例5 (1)某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ (2)某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)求y关于x的函数关系式； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数）. 跟踪训练5 某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 一、单选题 1．设，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．2 2．设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 4．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（   ） A．7 B．8 C．24 D．40 5．已知，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．已知不等式对于任意的恒成立，则正实数的最大值为（    ） A．10 B．9 C． D． 二、多选题 7．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接、、，过点作的垂线，垂足为.则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ） A． B． C． D． 8．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 三、填空题 9．设，则的最小值为_____________． 10．已知，且，则的最大值为__________. 四、解答题 11．根据题意，求解下列问题： (1)已知，求的最大值，并求出取最大值时的值是多少 (2)已知，求的最小值，并求出取最小值时的值是多少 (3)已知，且，求的最大值． 12．已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 13．已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 14．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $