高三一轮复习 第十七讲 平面向量的数量积高考题分类解析导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理平面向量数量积核心考点，按定义、几何意义、运算律、性质及坐标运算构建知识体系，结合易错点解析，通过问题导向的九类必考题型设计，引导学生自主关联知识点与解题方法，形成层次分明的知识网络。 亮点在于自主诊断与方法迁移设计，如每类题型配备近五年高考真题供学生自测，结合解题方法总结培养数学思维与运算能力，通过投影、夹角等几何意义问题训练数学语言表达。教师可依据学生题型掌握情况精准指导，助力个性化复习与自主提升能力培养。

高三一轮复习 第十七讲 平面向量的数量积高考题分类解析 【学习目标】1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积； 2. 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 【学习重点】平面向量数量积的运算． 【学习难点】平面向量数量积的概念及其物理意义. 必掌握知识点： 1．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 2．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 3．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 4．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 5、向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 解题方法总结： （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 必考题型全归纳： 题型一、基础公式运算类 1.（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C． D． 2.（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 4.（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 5.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 题型二 向量垂直（数量积为 0），求参数问题 6.（2020·全国III卷·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 7.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则______________． 8.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则__________． 9.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则________． 题型三 数量积定义计算向量夹角余弦 10.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 11.（2019·全国III卷·高考真题）已知向量，则___________. 题型四 单位向量夹角基础运算 12.（2017·山东·高考真题）已知， 是互相垂直的单位向量，若  与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__． 13.（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 题型五 、向量投影问题 14.（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影的数量分别为x，y，在方向上的投影的数量为z，则的最小值为___________. 15.（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 题型六、固定几何图形数量积定值计算  16.（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 17.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 18.（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 19.（2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 20.（2017·全国II卷·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 21.（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 22.（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________. 题型七、动点类数量积最值 23.（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 24.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 25.（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A． B． C．2 D． 26.（2018·全国II卷·高考真题）已知向量满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0 题型八、向量与逻辑命题综合 27.（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28.（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 题型九、多向量混合运算、参数求解 29.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，，_______． 30.（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则_________. 31.（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第十七讲 平面向量的数量积高考题分类解析 【学习目标】1. 理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积； 2. 通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. 【学习重点】平面向量数量积的运算． 【学习难点】平面向量数量积的概念及其物理意义. 必掌握知识点： 1．平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 2．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 3．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或．④．⑤． 4．数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 5、向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 解题方法总结： （1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． （2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有． （3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题． （4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量． （5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等． 必考题型全归纳： 题型一、基础公式运算类 1.（2026·全国二卷·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 2.（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即，故选：D. 3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4.（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 5.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 题型二 向量垂直（数量积为 0），求参数问题 6.（2020·全国III卷·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7.（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则______________． 【答案】/ 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 8.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则__________． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出． 【详解】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设， ，注意与平面向量平行的坐标表示区分． 9.（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则________． 【答案】. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】, ，解得,故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积. 题型三 数量积定义计算向量夹角余弦 10.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 11.（2019·全国III卷·高考真题）已知向量，则___________. 【答案】 【分析】根据向量夹角公式可求出结果. 【详解】． 【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键． 题型四 单位向量夹角基础运算 12（2017·山东·高考真题）已知， 是互相垂直的单位向量，若  与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__． 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值． 【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1）， 则（，﹣1）， λ（1，λ）； 又夹角为60°， ∴（）•（λ）λ＝2cos60°， 即λ， 解得λ． 【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题． 13.（2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值. 【详解】由题意可得：， 由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 题型五 、向量投影问题 14.（2021·浙江·高考真题）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影的数量分别为x，y，在方向上的投影的数量为z，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影的数量分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影的数量， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为：. 【点睛】解决本题的关键是由平面向量的知识转化出之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值 15.（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 题型六、固定几何图形数量积定值计算 16.（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B.    17.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 18.（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 19.（2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 20.（2017·全国II卷·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 21.（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 22.（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ________；________. 【答案】 0 3 【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 题型七、动点类数量积最值 23.（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，M为AC的中点，P在线段AB上，则的最小值为________ 【答案】 【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可. 【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为轴，线段AB的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时， 故答案为：. 24.（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 【答案】 1 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 25.（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设， 则由得， 由得 因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法. 26.（2018·全国II卷·高考真题）已知向量满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 题型八、向量与逻辑命题综合 27.（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 28.（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】如图所示，，当时，与垂直， ，所以成立，此时， 不是的充分条件， 当时，成立， 是的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件    故选：B. 题型九、多向量混合运算、参数求解 29.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，，_______． 【答案】 【分析】由已知可得，展开化简后可得结果. 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 30.（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则_________. 【答案】 【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案 【详解】∵ ∴ ∴. 故答案为：. 31.（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ，， .故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 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