第十讲 等比数列高考题分类解析训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以等比数列概念-公式-性质为逻辑主线，通过10类解题方法系统整合高考真题，构建“知识梳理-方法提炼-题型突破”的三轮复习体系，培养数学推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3模块（概念/公式/性质）|定义辨析、公式分类应用、性质拓展|概念生成→公式推导→性质延伸| |解题方法|10条核心方法|基本量运算、性质灵活应用、等差等比转化|方法与知识对应，强调通性通法| |必考题型|9类题型（15道高考真题）|分类突破高频考点，覆盖选择/填空/应用|从基础运算到综合创新，梯度递进|

高三一轮复习 第十讲 等比数列高考题分类解析 【学习目标】1.熟记等比数列的概念、通项公式、前项和公式、性质； 2.会等比数列的基本运算. 【学习重点】等比数列的基本运算 【学习难点】等比数列性质的灵活应用 必掌握知识点 1．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 2．等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 3．等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列；当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取：为等比数列，公比为． ②等长度截取：为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 解题方法总结： （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 必考题型全归纳 题型一. 等比数列基本量计算 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 5．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 题型二. 等比数列项的性质 7．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 题型三. 等比数列前 n 项和分段性质 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 题型四. 同时为等差数列、等比数列的数列判定 9．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 题型五. 等差数列中三项成等比数列综合计算 10．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 题型六. 无穷等比数列公比取值范围 11．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 题型七. 等比数列实际应用题 12．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________． 13．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 题型八. 等比数列多选题综合 14．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 题型九. 等差、等比数列公共元素个数分析 15．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 巩固提升： 1．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 2．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 3．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 4．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______； 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第十讲 等比数列高考题分类解析 【学习目标】1.熟记等比数列的概念、通项公式、前项和公式、性质； 2.会等比数列的基本运算. 【学习重点】等比数列的基本运算 【学习难点】等比数列性质的灵活应用 必掌握知识点 1．等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． （2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 2．等比数列的有关公式 （1）等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式： （2）等比数列的前n项和公式 等比数列的公比为，其前项和为 注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． ③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数． 3．等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列；当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取：为等比数列，公比为． ②等长度截取：为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 解题方法总结： （1）若，则． （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为． （4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． （5）为等比数列，若，则成等比数列． （6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． （8）若为正项等比数列，则为等差数列． （9）若为等差数列，则为等比数列． （10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 必考题型全归纳 题型一. 等比数列基本量计算 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以.所以.故选:C. 2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，则. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以.所以.故选:C. 4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【分析】由题意确定该数列为等比数列，即可求得的值. 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，则. 5．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解. 【详解】解：设等比数列的公比为， 若，则，与题意矛盾， 所以，则，解得，所以.故选：D. 6．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以，所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以，所以该等比数列公比为. 故答案为：. 题型二. 等比数列项的性质 7．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________． 【答案】 【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比. 【详解】若， 则由得，则，不合题意.所以. 当时，因为，所以， 即，即，即， 解得.故答案为： 题型三. 等比数列前 n 项和分段性质 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以．故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去．故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 题型四. 同时为等差数列、等比数列的数列判定 9．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意，故选：C 题型五. 等差数列中三项成等比数列综合计算 10．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以.故选：C. 题型六. 无穷等比数列公比取值范围 11．（2024·上海·高考真题）无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围. 【详解】由题设有，因为，故，故， 当时，，故，此时为闭区间， 当时，不妨设，若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 又为闭区间等价于为闭区间， 而，故对任意恒成立， 故即，故， 故对任意的恒成立，因， 故当时，，故即. 故答案为：. 【点睛】：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理. 题型七. 等比数列实际应用题 12．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为______，升量器的高为________． 【答案】 23 57.5/ 【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆柱的高度. 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 13．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________． 【答案】 48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以.故答案为：48；384. 题型八. 等比数列多选题综合 14．（多选题）（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 题型九. 等差、等比数列公共元素个数分析 15．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误. 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 巩固提升： 1．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 2．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【详解】设数列的公比为，则，则. 3．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【分析】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【详解】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为： 4．（2023·上海·高考真题）已知等比数列的前项和为，且，，求______； 【答案】189 【分析】由等比数列前项和公式求解， 【详解】由题意得， 故答案为：189. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则______. 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $