第四讲 指对幂函数高考题分类解析 导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了指对幂函数专题，将指数运算、对数运算及函数性质等核心考点按定义、性质、运算逻辑分层构建知识网络，通过问题链和任务驱动设计，引导学生自主梳理运算规律与函数关系，形成完整的指对幂函数认知体系。 亮点在于真题分类演练与自主诊断支持，如五大必考题型涵盖近三年高考真题，学生可通过题型训练定位薄弱环节，培养运算能力与推理意识。每个题型配有方法指导与反思总结，帮助学生自主提升，教师可依学情精准辅导，实现因材施教。

高三一轮复习 第四讲 指对幂函数高考题分类解析 【学习目标】能够进行指对相关的运算和化简. 【学习重点】指对相关的运算和化简. 【学习难点】指对相关的运算和化简. 【学习过程】 必掌握知识点 一、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，；④，，． 二、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；（其中且）； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 必考题型全归纳 题型一 指对幂大小比较（构造函数 、 中间值法） 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能；故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B． 3．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确.故选：B. 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：D 题型二 对数、指数式化简与求值计算 5．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又，所以，故故答案为：64. 题型三 指对函数参数范围、不等式判定 7．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴，当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 题型四 函数实际建模（对数、 指数应用题） 9．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.故选：B. 10．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 11．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得，所以f的取值范围为. 题型五 指对综合解答题（不等式、参数取值） 12．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则，，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数，， ，两边同除以得，． 令，由，则，在有解． 又在上是严格增函数， ，即，又，则. 13．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 【答案】 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第四讲 指对幂函数高考题分类解析 【学习目标】能够进行指对相关的运算和化简. 【学习重点】指对相关的运算和化简. 【学习难点】指对相关的运算和化简. 【学习过程】 必掌握知识点 一、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，；④，，． 二、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；（其中且）； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 必考题型全归纳 题型一 指对幂大小比较（构造函数 、 中间值法） 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（）． A． B． C． D．3 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型二 对数、指数式化简与求值计算 5．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则______． 题型三 指对函数参数范围、不等式判定 7．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 题型四 函数实际建模（对数、 指数应用题） 9．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 10．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 题型五 指对综合解答题（不等式、参数取值） 12．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 13．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $