专题05 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题04 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、全等三角形模型之一线三等角模型 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 压轴专练 类型一、全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 【变式1-1】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）①根据已知可求得，，得到，证明；②由（1）可知，得到，从而得出； （2）首先证明，得到，，结合已知可得到，根据的周长为得到，得到，即可得出最后结果． 【详解】（1）解：①， ，， ， 在与中， ， ； ②猜想：， 理由：由（1）得：， ，， ； （2），且， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的周长为， ， ， 又的周长为， ， ，， ， ， 即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确寻找全等三角形． 【变式1-2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 例2．如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据得到，于是证明解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：， ， 在与中， ，， ∴， ． 【变式2-1】如图，在中，，在中，，连接．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先根据余角的性质得出，再根据“”证明三角形全等即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 在与中， 所以． 【变式2-2】如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)7.5． 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意可知，再根据SAS即可证明，即可解答． （2）根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：，的面积等于5， ． ，，， ． ， ， ， ． 【变式2-3】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1） ①先证明，可得；②由可得，证明，从而可得结论； （2）①当点D在线段上时，如图2所示，证明，，可得，进一步可得结论；②当点D在线段的延长线上，如图所示，证明，，可得，再进一步可得结论． 【详解】（1）证明：①∵， ∴，    ∴ ，    在和中， ， ∴；          ②由得 ，        ∵， ∴ ，       ∴ ，         ∴； （2）解：或．理由如下： ①当点D在线段上时，如图2所示， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴  ， ②当点D在线段的延长线上，如图所示， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 【答案】B 【分析】根据题意证明即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴， ∵∠ACE＝90°， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 2．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误． 【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD与△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠DAC， 又∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ， 又∵AC=BC， 在△CQB与△CPA中， ， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP=CQ， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE， 故C正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ， 故B正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD-AP=BE-BQ， 即DP=QE， ∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故D错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， 故A正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量． 二、填空题 3．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 4．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则 ． 【答案】6或 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 由，，求得，，再分三种情况讨论，一是，因为，所以，则，可证明，得；二是，则，所以平分，则；三是由点D不与点B重合，可知，可推导出，则，所以不存在的情况，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ，， 如图1，是等腰三角形，且， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 如图2，是等腰三角形，且，则， ， ，平分， ； 点D不与点B重合， ， ， ， ， 不存在是等腰三角形，且的情况， 综上所述，的长为6或， 故答案为：6或 三、解答题 5．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 6．（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 【答案】（1），证明见解析；（2）或 【分析】（1）过点作于点，证明，，推出，，等量代换可得； （2）分三种情况：点D在线段上，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，参照（1）中方法，通过作辅助线构造全等三角形，即可求解． 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：. 证明：过点作于点， ， ，， ， 在和中， ， ， 同理可证，， ，， . （2）解：当点D在线段上时，过点E作，交的延长线于点F， 由（1）可知， ，， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 同理可得， ，， ， ， ， ， ，即； 当点在线段的延长线上时，过点作于点， 同理证得， ，， ， ， ， ， . 综上可得的度数为或 7．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 【答案】（1）①；②；（2）,，见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系． （1）根据等边三角形的性质可知，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得、； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，利用利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据全等三角形对应角相等，可知，从而可得； （3）过点作交于点，由知，根据全等三角形的性质可得，，从而可知，利用勾股定理可得． 【详解】（1）①解：和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）,. 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴； (3)如图所示，过点A作交于点F， 由（2）知， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ， ∴. 8．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 9．综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立．证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． 【详解】（1）解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． 10．综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． （3）解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综合题型 目录 典例详解 类型一、全等三角形模型之一线三等角模型 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 压轴专练 类型一、全等三角形模型之一线三等角模型 【常见模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式1-1】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形．   　　   根据对材料的理解解决以下问题： (1)如图，，． ①求证：； ②猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在中，点为上一点，，，四边形的周长为，的周长为，请求出的长． 【变式1-2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 类型二、全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 例2．如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长． 【变式2-1】如图，在中，，在中，，连接．试说明：． 【变式2-2】如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【变式2-3】在中，，点D是射线上的一动点（不与点B，C重合），以为一边在的右侧作，使，连接． (1)如图1，当点D在线段上，且时求证：①；②． (2)如图2，，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． 一、单选题 1．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 2．如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（    ）    A．∠AOB=60° B．AP=BQ C．PQ∥AE D．DE=DP 二、填空题 3．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 4．如图，在中，，，点D在线段上运动点D不与点B，C重合，连接，作，交线段于点若是等腰三角形，则 ． 三、解答题 5．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 6．（1）如图1，已知，，易得.如图2，，，，且，，试问的数量关系，并写出其证明过程. （2）如图3，在中，，，点D是直线上的任意一点（不与点B、C重合），连接，过点D在的右侧作，且，连接，直接写出的度数. 7．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 8．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 9．综合与实践 (1)操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是 ． (2)开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． (3)拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 10．综合与实践： 【问题情境】 (1)八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 (2)如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 (3)如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $