专题01 勾股定理与几何翻折的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题01 勾股定理与几何翻折的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形翻折问题 类型二、四边形翻折问题 类型三、翻折最值问题 压轴专练 类型一、三角形翻折问题 例1．如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作于点M，先根据勾股定理求出的长度，再根据翻折的性质得出，继而利用三角形的面积公式求出，再求出,，利用三角形的面积求解即可． 【详解】过点E作于点M， ∴， 在直角三角形，，，， ∴， ∵把沿着翻折，得到， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴,， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键． 变式1-1 如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到的长，再根据是等腰直角三角形，即可得到的长；利用勾股定理求得的长，即可得到的长，进而得出的长．本题考查了折叠问题，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 变式1-2 和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，．将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；证明三角形全等是解题的关键；由折叠性质易得，从而有，由证明，得到；在中，由勾股定理建立方程求得，进而求得结果． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴不合题意，舍去； ∴， ∴． 故选：A． 变式1-3 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1-4．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】当时，过点作于，可知，，得出为等腰直角三角形，得到，求出和的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】过点作于， 在中，，，， ∴ ∵，， 在中，，∴， 当时，如图    由折叠性质可知，， 又 ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 类型二、四边形翻折问题 例2．如图，长方形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 设，则，进而得出，根据题意和勾股定理得出方程即可得解． 【详解】解：设，则， 四边形为长方形， 由折叠性质可得， ， ， ， ， 在中， ， 又在中， ， ， 即， 解得，， 即． 故选：C． 变式2-1．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 变式2-2．如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）由四边形是长方形，可得．由折叠的性质可知．再证明即可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得，再由可证得，设，则，可得出，在中，由勾股定理得，列出方程，再求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ． 由折叠的性质可知． 在和中 ； （2）解： ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得， ，解得， 的长为． 类型三、翻折最值问题 例3 如图，在中，，，，点D、E分别是上的动点．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值（    ）    A．不存在 B．等于 C．等于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，当落在上，点E与点B重合时，长度最小，利用勾股定理求得，进而利用折叠性质求解即可，得出长度最小时点的位置是解答的关键． 【详解】解：根据题意，当落在上，点E与点B重合时，长度最小，    此时，根据折叠性质，， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 变式3-1 如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，，O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴；即：的最小值为； 故选D． 变式3-2 如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理，借助辅助线，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据勾股定理求得，当点落在上时，此时最短，当点落在上时，此时最长，利用三角形等面积法及勾股定理即可求解． 【详解】解：当点落在上时，此时最短，如图2，则，   ， ，，， ， ， ， ， ， 当点落在上时，此时最长，如图3，则，    作于点G，于点H，则，， ， ， ， ， ， ， ， 的取值范围为， 故答案为：． 变式3-3 在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，全等三角形的性质与判定； （1）设，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示；此时最小；当折痕所在直线经过点时，如图2所示：此时最大，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，，，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； （2）解：设， 由折叠的性质得：， 在和中，， ， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：，解得：，． （3）当折痕所在直线经过点时，如图1所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点时，如图2所示： 此时最大，， 由勾股定理得：； 综上所述，的最小值为，最大值为． 1．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】A 【分析】过点A作的延长线于点F，设与交于点G，根据翻折性质可以证明是等边三角形，根据，可得，所以，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作的延长线于点F，设与交于点G， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 2．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，将点落在点处，如果，那么线段的长为(　　) A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换的性质可得，，，连接，可得是等腰直角三角形，然后求出，从而得到，再根据等腰三角形两底角相等求出，然后求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再求出，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理列式求出，然后根据计算得到，即为的长． 【详解】解：沿直线翻折后点落在点处， ，，， 连接，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， 即． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；30°角所对的直角边等于斜边的一半；正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握直角三角形的性质是解题关键． 3．如图中，，点E和F是上的点，将边沿翻折，点A落在边上的点D处，将沿翻折，点B落在延长线上点处，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题) 、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是根据翻折的性质可知为，利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积求解. 【详解】， ， 根据两次翻折可知： ，， ， ， ∴， ， ， ， ， 在中 ， ， ， 故答案为：． 4．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 5．如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，过点D作，交于点G，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：如图，过点D作，交于点G，    ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， 设，则根据翻折得， ∴， 在中，， 可得方程，， 解得：， ∴， ∵将沿着EF翻折，使得A点落在边上的D处， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交与点F，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换-折叠问题，角所对直角边等于斜边一半的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 在中，，由是将沿直线翻折得到的，求出，于是得到，求得，根据直角三角形的性质及勾股定理即可得到结果． 【详解】 解： 是将沿直线翻折得到的， ， ， , ， ， ， , ， ， 故答案为：． 7．如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 8．如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为4.5，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握等面积法成为解题的关键． 由折叠的性质可得，再证可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，运用勾股定理可得，再运用等面积法求得，进而得到，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解∶由折叠得，， 在和中， ， ， ， （三线合一）， 又， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ∵在中，， ，即， ， ， ∵在中，， ． 故答案为：． 9．如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接．证明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是长方形， ∴． 根据题意，，． ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 在中，， 在中，． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 10．如图所示，在中，是边的中点，连接．把沿翻折，得到，与交于，连接．若，求点到的距离．    【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，解直角三角形，勾股定理等，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长，则可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交于点M，过点D作于点H，    ∵，D是边上的中点， ∴， 由翻折知，，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D到的距离为． 故答案为：． 11．在中，，，D是边上一动点，连接． (1)如图1，在平面内将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点F为边上一点，连接交于M，连接．若，，，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点B顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于G，连接，若，猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过点作于点，设，得证明，得，，求出，运用等积关系可求出，从而求出； （2）过点作于点，证明，根据可证明，得，再证明得，，可求出； （3）设，得出，，求出，得，，过点作于点，则,由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 设， ∵ ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作于点，如图， 设， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵， ∴①， 由三角形三边关系得，当点在同一条直线上时，即时，并交于点时，的值最小； ∵， ∴， ∴， ∴②， 由①②得，， ∴， ∴， 过点作于点，则, ∴ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理与几何翻折的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形翻折问题 类型二、四边形翻折问题 类型三、翻折最值问题 压轴专练 类型一、三角形翻折问题 例1．如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（　　） A． B． C． D． 变式1-1 如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 变式1-2 和按如图所示的位置摆放，顶点B、C、D在同一直线上，，．将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点B、D的对应点、与点C恰好在同一直线上，若，，则的长度为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 变式1-3 如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 变式1-4．如图，在中，，，，为斜边上的一动点（不包含，两端点），以为对称轴将翻折得到，连结．当时，的长为 ．    类型二、四边形翻折问题 例2．如图，长方形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点落在边上的处，点的对应点为，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 变式2-2．如图，在长方形中，，，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 类型三、翻折最值问题 例3 如图，在中，，，，点D、E分别是上的动点．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值（    ）    A．不存在 B．等于 C．等于 D．等于 变式3-1 如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 变式3-2 如图，在中，，，，已知D是上一动点，将点A沿翻折，若A落到内（不包括边），则的取值范围为 ． 变式3-3 在矩形纸片中，，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，点落在对角线上的点处，求的长： (2)如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，求的长： (3)如图③，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 1．如图，在中，，，点D为上一点，连接，将沿翻折，得到，连接．若，，则的长度为（    ） A． B．12 C． D．18 2．如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，将点落在点处，如果，那么线段的长为(　　) A．1 B． C． D． 3．如图中，，点E和F是上的点，将边沿翻折，点A落在边上的点D处，将沿翻折，点B落在延长线上点处，的长为 ． 4．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ． 5．如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    6．如图，中，，，，，点D在边上，将沿直线翻折，使点C落在点处，连接，直线与边的延长线相交与点F，如果，那么线段的长为 ． 7．如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 8．如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F．若，，，的面积为4.5，则的值为 ． 9．如图，在长方形中，，，，沿边所在直线翻折，与重合，点F在上，则的长是 ． 10．如图所示，在中，是边的中点，连接．把沿翻折，得到，与交于，连接．若，求点到的距离．    11．在中，，，D是边上一动点，连接． (1)如图1，在平面内将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点F为边上一点，连接交于M，连接．若，，，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点B顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于G，连接，若，猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$