14.2全等三角形的判定 训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形全等判定与应用，以实际情境和尺规作图为载体，通过多样化题型构建“原理探究-判定应用-性质拓展”的逻辑链条，培养推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等判定原理|3题（仪器原理、尺规作图）|实际情境分析题|从具体工具/作图步骤抽象出SSS/SAS判定依据，体现数学抽象| |判定方法应用|8题（选择+证明）|判定方法选择、条件补充题|覆盖SSS/SAS/ASA/AAS/HL，形成判定方法与图形特征的对应关系| |综合证明|5题|多步推理证明题|结合全等性质解决线段/角关系问题，强化逻辑推理|

1. 已知如图，现将绕点逆时针旋转，使点落在射线上，求作． 作法：在上截，以点为圆心、为半径作弧，以点为圆心、为半径作弧，两弧在射线右侧交于点，则即为所求． 请简述操作原理： ． 2. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证： ． 3. 如图所示，，，，是的平分线，求证： ． 4. 如图，在中，，点为外一点，连接，恰好为，线段沿直线翻折得到线段．过点作的平行线交于点，连接． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． 5. 如图，，，，，下列结论：①≌；② ；③，其中正确的结论是（ ）． A O C B D A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ②③ 6. 如图，在中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连结、．不添加辅助线，请你添加一个条件，使得≌，你添加的条件 是 ． 7. 如图，点、在上，，，．写出与的关系并证明． 8. 如图，在中，是上一点，交于点，，．求证： ． 9. 如图，已知 是等边三角形，、 、分别是射线 、 、 上一点，且 ，连接、、 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）试判断的形状，并简要说明理由． 10. 已知：如图和都是等腰直角三角形，．求证： ＝ ． 11. 如图，已知，，，，分别交、于点、， 与交于点． （ 1 ）求证：≌ ． （ 2 ）求证：． 1. 如图，，，，求证：． 2. 如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且 ．求证：． 3. 如图，已知：在和中，点，，，在同一条直线上，， ，，求证：． 4. 已知：如图，，，三点在同一条直线上，，，．求证：． 5. 已知如图，，，．求证：． 6. 已知：如图，在中， ，是上一点，且，延长到点使 ，过点作交的延长线于点．求证：． 7. 如图，在中，，，于，． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ， ，求 的长． 8. 如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且 ，的延长线与交于点． （ 1 ） 若 （ 2 ） 求证： ，则求 ． 的长． 9. 如图， 过点且垂直于 中， 的射线 ， 上运动，当 ，一条线段和 ，、两点分别在全等时，点到点的距离 上和 为 或 （从小到大填写）． $ 1. 如图，有一个简易平分角的仪器（四边形），其中，，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画射线，就是的平分线，这个平分角的仪器的制作原理是（ ）． A. B. C. D. 2. 利用尺规作 的角平分线 时，用到三角形全等的判定方法是（ ）． 的角平分线． 就是 ．射线 ； 、 为圆心，大于 的长为半径画 的内部相交于点 ； ②分别以点 弧，两弧在 ③画射线 ①以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ， 交 于点 A. B. C. D. 3. 在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：作法：（ ）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ； （2）画一条射线 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ； （3） 以点 （4） 过点 为圆心， 画射线 长为半径画弧，与第 步中所画的弧相交于点 ； ，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 想一想，为什么这样作出的 和是相等的？ 对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（ ）． A. 根据“边边边”可知， ≌ ，所以 B. 根据“边角边”可知， ≌ ，所以 C. 根据“角边角”可知， ≌ ，所以 D. 根据“角角边”可知， ≌ ，所以 4. 如图，，．求证：． 5. 如图，已知与，与相交于点，若，，， ，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，已知点、、、四点在一条直线上，且≌ ．求证： （ 1 ） ． （ 2 ） ≌． 7. 如图，于，于． （ 1 ）若，，，则与全等的理由是 ． （ 2 ）若 ， ，则 与 全等的理由是 ． （ 3 ）若 ， ，则 与 全等的理由是 ． 8. 如图， ，要证明 ≌ ，还需补充的条件是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在中，，，垂足为．、分别是、上的点，且 ．如果，那么（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，，，，求证：≌． 11. 如图，，，，求证：． 1. 如图，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，，，若以“”为依据，说明≌，则可添加的条件为 ． 3. 已知：如图，点、、、在一条直线上，，，且．求证：≌ ． 4. 如图，，， ，求证：≌． 5. 如图，中， ，延长到，使得，过点作于点，交 于．求证：． 6. 如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，并且， ，．求证：． 7. 如图，，，，则≌的依据是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图所示，点、、、在同一直线上，，，连接、，且 ，，求证：． 9. 如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且 ． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ，求 的度数． $ 1. 已知 如图，现将 绕点 逆时针旋转，使点落在射线 上，求作 ． 作法：在 上截 ，以点 为圆心、为半径作弧，以点 为圆心、 为半径作弧， 两弧在射线 右侧交于点 ，则 即为所求． 请简述操作原理： ． 三边全相等的三角形为全等三角形 三边全相等的三角形为全等三角形． 【知识点】SSS 2. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证： ． 证明见解析． ∵ ， ∴ ， ∴ ∴在 ， 和 中， 10 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ． 【知识点】平行线判定 3. 如图所示，，，，是的平分线，求证： ． 证明见解析． 在 和 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）． ． 是 的平分线， ． ． ． 【知识点】SSS 4. 如图，在中，，点为外一点，连接，恰好为，线段沿直线翻折得到线段．过点作的平行线交于点，连接． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）由翻折可知， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ． （ 2 ）由（ ）可知， ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 5. 如图，，，，，下列结论：①≌；② ；③，其中正确的结论是（ ）． A O C B D A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ②③ B ①∵ ， ∴ ， 即 ， ∴在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴①正确． ②∵在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴②正确． ③∵由①有 ≌ ， ∴ ， ∵由②有 ≌ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴③正确． 故选 ． 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形实际生活中的应用 6. 如图，在中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连结、．不添加辅助线，请你添加一个条件，使得≌，你添加的条件 是 ． ∵点 ∴ 又∵在 是 添加的条件是 的中点， ， ， 和 ， 中， ∴ ≌ （ ）． 【知识点】SAS 7. 如图，点、在上，，，．写出与的关系并证明． 证明见解析． ∵ ， ∴ 即在 ， ， 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ∴ 综上所述 ， ， ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】SAS 8. 如图，在中，是上一点，交于点，，．求证： ． 证明见解析． 在 和 中， ， ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ． 【知识点】SAS 9. 如图，已知 是等边三角形，、 、分别是射线 、 、 上一点，且 ，连接、、 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）试判断的形状，并简要说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 是一个等边三角形． （ 1 ）∵ ∴ ∴在 为等边三角形，且 ， ， ， 与 ， 中， ， ， ∴ ∴ （ 2 ）同理可得： ∴ ≌ （ ． ≌ ， ）， ≌ （ ）， ∴ 是一个等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 10. 已知：如图和都是等腰直角三角形，．求证： ＝ ． 证明见解析． 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【知识点】等腰直角三角形的性质 【知识点】SAS 11. 如图，已知，，，，分别交、于点、， 与交于点． （ 1 ）求证：≌ ． （ 2 ）求证：． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ， ， ， ， ， ∴ （ 2 ） ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ≌ ≌ ． ， ， ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 1. 如图，，，，求证：． 证明见解析． ∵ ， ∴ ， ∴在 和 ， 中， ， ∴ ∴ ≌ （ ）， ． 【知识点】ASA 2. 如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且 ．求证：． 证明见解析． ∵ 是 边上的中线， ∴ ∵ ∴在 和 中， ∴ ∴ ≌ ． 【知识点】ASA 3. 如图，已知：在和中，点，，，在同一条直线上，， ，，求证：． 证明见解析． ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【知识点】平行线的性质 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】AAS 4. 已知：如图，，，三点在同一条直线上，，，． 求证：． 证明见解析． ∵点 ， ∴ ∵ ∴在 ， 三点在同一条直线上， ， ． ， 和 ． 中， ∴ ∴ ． ． 【知识点】AAS 5. 已知如图，，，．求证：． 证明见解析． 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ， ∴ ∴ ， ． 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【能力】推理论证能力 6. 已知：如图，在 中， ，是 上一点，且 ，延长 到点 使 ，过点作 交 的延长线于点 ．求证： ． 证明见解析． ∵ ∴ ∵ ∴在 ， ． ， ， 和 ， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的性质 【能力】推理论证能力 7. 如图，在中，，，于，． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ， ，求 的长． ∴ ≌ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ≌ ， ， ， ， ． 8. 如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且 ，的延长线与交于点．（ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴在 ， 和 中 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的性质 （ 1 ） 若，则求的长． （ 2 ） 求证：． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵又 ∴在 ∵ ， ， 和 ， ， ， ∴ ∴ ≌ ， （ 2 ） ≌ ∴ ∵ ∴ ∴ ． ， ， ， ， ． 【能力】推理论证能力 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】HL 9. 如图， 中， ， ，一条线段 ，、两点分别在 上和 过点且垂直于 的射线 上运动，当 和 全等时，点到点的距离 为 或 （从小到大填写）． ; 解：当 或 时， 和 全等， 理由是：∵ ∴ ⑴当在 ， ， 时， 与 中， ∴ 即 ⑵当在 ≌ （HL）， ； 时， 与 中， ∴ ≌ （HL）， 因此，本题正确答案是： 或 ． 【知识点】HL 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】全等三角形的性质 $ 1. 如图，有一个简易平分角的仪器（四边形），其中，，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画射线，就是的平分线，这个平分角的仪器的制作原理是（ ）． A. B. C. D. C 又∵ ∴ ∴ 所以 ∵ 为公共边， ≌ ， ， （ ， ） 就是 的平分线， 故正确答案为 ． 【知识点】SSS 2. A. B. C. D. 利用尺规作 的角平分线 时，用到三角形全等的判定方法是（ ）． 的角平分线． 就是 ．射线 ； 、 为圆心，大于 的长为半径画 的内部相交于点 ； ②分别以点 弧，两弧在 ③画射线 ①以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ， 交 于点 A 10 学科网（北京）股份有限公司 ∵使用圆规的原因， ∴ 又∵ ∴判定方式是 ， ， ， ． 【知识点】作角平分线 3. 在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下：作法：（ ）如图，以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ； （2）画一条射线 于点 ； ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 （3）以点 为圆心， 长为半径画弧，与第 步中所画的弧相 想一想，为什么这样作出的 和 是相等的？ 交于点 ； （4）过点 画射线 ，则 ． 对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（ ）． A. 根据“边边边”可知，≌，所以 B. 根据“边角边”可知，≌，所以 C. 根据“角边角”可知，≌，所以 D. 根据“角角边”可知，≌，所以 A 由作图步骤可知，故根据“边边边”可知，故选 ． ， ， ≌ ，所以 ． 【知识点】SSS 4. 如图，，．求证：． 证明见解析． 连接 ， 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【知识点】SSS 5. 如图，已知与，与相交于点，若，，， ，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. C 在 与 中 ∴ ∴ ∴ ≌ （ ， ） ， 即 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ． 【知识点】SSS 6. 如图，已知点、、、四点在一条直线上，且≌ ．求证： （ 1 ） ． （ 2 ） ≌． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∴即 ≌ ， ， , ． （ 2 ）∵ ∴在 ≌ ， ， 和 ． 中， ， ∴ ≌ （ ）． 【知识点】SSS 7. 如图，于，于． （ 1 ）若，，，则与全等的理由是 ． （ 2 ）若 ， ，则 与 全等的理由是 ． （ 3 ）若 ， ，则 与 全等的理由是 ． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） ， ， （ 2 ） ， （ 3 ） ， ， ， ，符合 ； ，符合 ； ，符合 ． 【知识点】SSS 【知识点】SAS 【知识点】ASA 8. 如图，，要证明≌，还需补充的条件是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， B 当 ， ， 时， ≌ ． 【知识点】SAS 9. 如图，在中，，，垂足为．、分别是、上的点，且 ．如果，那么（ ）． A. B. C. D. C ∵ ， ， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴在 ， ， ， ， ，和 （已证） （已证） ≌ ， 中， （垂直的定义）， ∴ ∴ ∵ ∴ 故选 ， ， ． ． 【知识点】SAS 10. 如图，，，，求证：≌． 证明见解析． ∵ ， ∴ 即在 ， 和 ， 中， ， ∴ ≌ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】SAS 11. 如图，，，，求证：． 见解析 ∵ ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ． ∴ ． 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 1. 如图，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. B ∵ ， ∴ ∴ ∴在 ， ， ， ， 和 中， ， ∴ ∴ ≌ （ ）， ． 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 2. 如图，，，若以“”为依据，说明≌，则可添加的条件为 ． 由已知“ ”依据可知． 【知识点】ASA 3. 已知：如图，点、、、在一条直线上，，，且．求证：≌ ． 证明见解析． ∵ ， ∴ ∴在 ， ， 和 中， ， ∴ ≌ ． 【知识点】ASA 4. 如图，，， ，求证：≌． 证明见解析． ∵ ∴ 在 和 ， ， 中， ， ∴ ≌ ． 【知识点】ASA 5. 如图，中， ，延长到，使得，过点作于点，交 于．求证：． 证明见解析． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在 ． ， ， ， ， ， ． 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ． ． 【知识点】ASA 6. 如图，和分别在线段的两侧，点，在线段上，并且， ， ．求证：． 证明见解析． ∵ ， ∴ 又∵ ∴在 ． ， 和 ， 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【知识点】AAS 7. 如图，，，，则≌的依据是（ ）． A. B. C. D. D 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ），故选 ． 【知识点】HL 8. 如图所示，点、、、在同一直线上，，，连接、，且 ，，求证：．证明见解析． ∵ ， ∴ ∵ ∴在 ， ， ， ， 和 ， 中， ∴ ∴ ≌ ． ， 【能力】推理论证能力 【知识点】全等三角形的性质 【知识点】HL 9. 如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且 ． （ 1 ）求证： ≌ ． （ 2 ）若 ，求 的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）在 和 中， ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ≌ ． ， ， ， ≌ ， ， ． 【知识点】三角形内角和的应用 $