培优专题04 与有理数有关的8种规律探究问题（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数规律探究，8类题型系统覆盖数字、运算、数轴等载体，提炼周期确定、末位数字循环等可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字类规律探究|1典例+4变式|数列观察与递推分析|从具体数字排列到抽象规律归纳| |四则运算规律探究|1典例+4变式|数形结合与新运算转化|运算性质与规律的应用拓展| |乘方规律探究|1典例+4变式|乘方特征与指数关系分析|乘方概念到多项式规律推导| |数轴规律探究|1典例+4变式|四步定位法（起点-方向-距离-终点）|数轴工具与运动规律结合| |周期规律探究|1典例+4变式|周期识别与余数定位法|周期现象的数学化表达| |表格规律探究|1典例+4变式|行列关系与数字对应分析|表格结构中的数量关系提炼| |末尾数字规律探究|1典例+4变式|循环次数与余数判断法|乘方末位数字的周期性应用| |新定义规律探究|1典例+4变式|定义转化与规则应用|新情境下的数学语言表达|

培优专题04 与有理数有关的8种规律探究问题 （题型突破·举一反三） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 数字类规律探究 题型02 四则运算中的规律探究 题型03 乘方中的规律探究 题型04 数轴中的规律探索 题型05 周期中的规律探索 题型06 表格中的规律探索 题型07 末尾数字规律探索 题型08 新定义有关的规律探索 ▌题型01 数字类规律探究 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）将从1开始的自然数，按如图的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…次弯，则第41次拐弯处的那个数是 _____． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【变式4】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列一组数按规律排列依次为2，，8，，则第2025个数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 ▌题型02 四则运算中的规律探究 【典例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2419 B．2400 C．2601 D．2501 【变式1】（25-26七年级上·河南·期末）定义新运算，例如，则（　　） A． B． C．5049 D．5050 【变式2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9个数，移动方框的位置，在给出的四个数387，504，658，918中，不可能是方框中9个数的和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）若规定的个位数字，例如，所以，，所以，那么计算_____． 【变式4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）将数字1个1，2个，3个，4个，……，n个（n为正整数）按顺序排成一排： 1，，，，，，，，，，…，，，…，，记，，，……，，，……，，则______． ▌题型03 乘方中的规律探究 【典例3】（25-26七年级上·河南·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．3249 B．5635 C．4909 D．5729 【变式1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）蟑螂的生命力很旺盛，它繁衍后代的数量为这一代的数量的7倍，也就是说，如果它的始祖(第一代)有7只，则下一代就会有49只，以此类推，蟑螂第10代的只数是(　　) A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个，2次分裂成4个，若每次分裂经过的时间为15分钟，则经过小时该细胞的分裂的个数为64，则（   ） A．90 B．1 C． D．2 【变式3】（25-26七年级上·云南文山·期末）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26七年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：，，，，，……，它们是按一定规律排列的，猜测这一组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 数轴中的规律探索 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 【典例4】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）在数轴上，点P表示的数是a，表示的数是，我们称点是点P的“相关点”．已知数轴上的“相关点”为，点的“相关点”为，点的“相关点”为，……，这样依次得到点，，，，……，，若点在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是______． 【变式3】（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【变式4】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是____． ▌题型05 周期中的规律探索 这类问题，一定是有周期规律的，多写几个数，找到数列的周期.假如周期为T，只需用n除以T，看余数为多少，余数是几，就和第一个周期的第几个数相同.如果没有余数，那就和第一个周期的最后一个数相同. 【典例5】（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（   ） A．第个正方形的左下角 B．第个正方形的右上角 C．第个正方形的右上角 D．第个正方形的左下角 【变式1】（广东省广州市越秀区2025-2026学年上学期七年级数学1月期末考试卷）如图所示，圆的周长为8个单位长度，在圆周的八等分点处依次标上字母．先让圆周上字母所对应的点与数轴上的数字2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动地滚动，则数轴上的数字所对应的点与圆周上重合的点所对应的字母为（    ）． A． B． C．c D． 【变式2】（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2026时对应的手指是 （    ）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指） A．食指 B．中指 C．无名指 D．小指 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．如下表中“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干：“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年．如2026年是丙午年，依据上述规律推断抗战胜利的1945年应为____________年． 【变式4】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份(每一份称为一段弧长)，把这九个点按顺时针方向依次编号为，，，，，，，，，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为的点，那么他应走3段弧长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为的点，然后从为第二次“移位”．若小明从编号为的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方式行走，当“移位”次时，小明到达圆弧点编号为_______． ▌题型06 表格中的规律探索 【典例6】（25-26七年级上·山东威海·期末）小亮和小明这对好朋友，根据英文字母表的字母顺序制定了专属两个人的秘密文件规则，以此实现加密和解密．小亮给小明一张字条写着：“？”，小明马上就明白了意思是：“？”．你能破解其中的加密规则吗？请你破解小明给小亮的回复字条：“．”，内容是_____． A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 【变式1】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）将偶数按下列方式排成一个三角形数阵，按照此规律，第8行第6个数为_____． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定的值为__________． 【变式3】（24-25九年级上·重庆丰都·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】（24-25七年级上·河南南阳·期末）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定的值为______． ▌题型07 末尾数字规律探索 求的末位数字的解题步骤: 1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n. 2)用N除以n，当能整除时，a的N次方的末位数字就是的末位数字；当商b余m(0＜m＜n)时，a的N次方的末位数字就是的末位数字 【典例7】（2025·山东·模拟预测）如果n是一个自然数，那么n的“阶乘”记为，其表示从1到n的所有数的积，如果，那么的末尾数字为__________． 【变式1】（25-26七年级上·湖南·阶段检测）观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是______． 【变式2】（21-22七年级上·广东河源·期末）已知，则的末尾数字是_____． 【变式3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 【变式4】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 ▌题型08 新定义有关的规律探索 【典例8】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【变式3】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）用符号“”定义一种新运算，对任意有理数，当为整数时；当为非整数时，例如：，利用以上规律计算：______． 【变式4】（25-26七年级上·北京·阶段检测）数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵，数阵每个位置所对应的数都是，或．定义为数阵中第行第列的数． 例如，数阵第行第列所对应的数是3，所以． （1）对于数阵，的值为_________； （2）若一个的数阵对任意的，，均满足以下条件： 条件一：；条件二：； 则称此数阵是“有趣的”． ①请判断数阵是否是“有趣的”．你的结论：_________（填“是”或“否”）； ②已知若一个“有趣的”数阵满足，则的值为_________ $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 培优专题04与有理数有关的8种规律探究问题 (题型突破举一反三) 题型01数字类规律探究 E 典例精析 【典例1】 【答案】C 三 举一反三 【变式1】 【答案】A 【变式2】 【答案】442 【变式3】 【答案】A 【变式4】 【答案】A 题型02四则运算中的规律探究 典例精析 【典例2】 【答案】B 三 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】C 【变式3】 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】10122 【变式4】 【答案】4049 题型03乘方中的规律探究 典例精析 【典例3】 【答案】A 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 【答案】C 【变式3】 【答案】B 【变式4】 【答案】D 飞题型04 数轴中的规律探索 E 典例精析 【典例4】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】D 【变式2】 【答案】3 【变式3】 2/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】157 【变式4】 3 【答案】9- 22023 题型05周期中的规律探索 典例精析 【典例5】 【答案】B 三举一反 【变式1】 【答案】B 【变式2】 【答案】A 【变式3】 【答案】乙酉 【变式4】 【答案】7 题型06表格中的规律探索 典例精析 【典例6】 【答案】Sure I can 举一反目 【变式1】 【答案】68 【变式2】 【答案】175 【变式3】 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】A 【变式4】 【答案】3900 题型07未星数字规律探索 典例精析 【典例】 【答案】3 举一反王 【变式1】 【答案】5 【变式2】 【答案】2 【变式3】 【答案】A 【变式4】 【答案】B 题型08新定义有关的规律探索 三 典例精析 【典例8】 【答案】B 举一反三 【变式1】 【答案】C 【变式2】 2025 【答案】4051 【变式3】 4/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】0 【变式4】 【答案】 2 是 5/5培优专题04 与有理数有关的8种规律探究问题 （题型突破·举一反三） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型01 数字类规律探究 题型02 四则运算中的规律探究 题型03 乘方中的规律探究 题型04 数轴中的规律探索 题型05 周期中的规律探索 题型06 表格中的规律探索 题型07 末尾数字规律探索 题型08 新定义有关的规律探索 ▌题型01 数字类规律探究 【典例1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律问题，关键是用代数式表示数字的变化规律；先分析数列的符号规律与绝对值的变化规律，再根据规律计算第项对应的数． 【详解】解：∵观察数列， ∴符号规律：奇数项为正，偶数项为负， 绝对值规律：第项的绝对值为， ∵第项是偶数项，符号为负， ∴第项的绝对值为， ∴表示的数是：． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组 ，对应的连分数为 ，计算此连分数即可得到原始分数. 【详解】解：∵ 连分数展开式为 先计算最内层： 然后： 最后： ∴ 原始分数为 故选A. 【变式2】（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）将从1开始的自然数，按如图的规律排列，在2，3，5，7，10，13，17，处分别拐第1，2，3，4，5，6，7，…次弯，则第41次拐弯处的那个数是 _____． 【答案】442 【分析】由题意可知：拐弯处的数相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、…，由此得出则第41个拐弯处的数是：． 【详解】解：拐弯处的数与其序数的关系如下表： 拐弯的序数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … 拐弯处的数 1 2 3 5 7 10 13 17 21 … 由此可见相邻两数的差是1、1、2、2、3、3、4、4、… 第41个拐弯处的数是：， 故答案为：442． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【答案】A 【分析】本题考查数字规律，据图象观察不难发现，每个数为一个循环组依次进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→，进行解答，即可． 【详解】解：由图可知，箭头的方向以每个数为一个循环组进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→， ∴是第个自然数， ∴， ∴位于的位置， ∴从到，箭头的方向应该是↓→． 故选：A． 【变式4】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列一组数按规律排列依次为2，，8，，则第2025个数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 根据规律，不难看出，第个数为：，从而可求解． 【详解】解：因为， ， ， ，… 所以第个数为， 所以第2025个数为． 故选：A． ▌题型02 四则运算中的规律探究 【典例2】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式： 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．2419 B．2400 C．2601 D．2501 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、有理数的混合运算等知识点，归纳出是解题的关键． 根据所给图形，发现基本图形个数的变化规律，再利用规律求解即可． 【详解】解： ， …， ∴． ． 故选B． 【变式1】（25-26七年级上·河南·期末）定义新运算，例如，则（　　） A． B． C．5049 D．5050 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算、代数式求值，根据新定义找到规律即可求解．根据题意得到……，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， …… ， ∴ …… …… 故选：C 【变式2】（25-26七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9个数，移动方框的位置，在给出的四个数387，504，658，918中，不可能是方框中9个数的和的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设最中间的数字为，进而求出9个数字的和为，令分别等于给出的四个数，求解后，进行判断即可． 【详解】解：观察可知：每行第一列的数字分别为，即；最后一列的数字为，即； 设最中间的数字为，则9个数的和为， 当时，解得，为第8行的第一个数，387不可能是方框中9个数的和，符合题意； 当时，解得，504不可能是方框中9个数的和，不符合题意； 当时，解得，658不可能是方框中9个数的和，符合题意； 当时，解得，为第17行最后一个数，918不可能是方框中9个数的和，符合题意； 故选C． 【变式3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）若规定的个位数字，例如，所以，，所以，那么计算_____． 【答案】 【分析】首先通过计算前几个的值，发现其个位数字以2、4、8、6为一个循环，每个循环的和为；接着计算中包含多少个完整循环及余下的数字个数，最后根据循环数与余下数字计算总和． 【详解】解：先计算前几个的值： ∵，，，，， ∴；；；；； 观察可得，的个位数字以为一个循环，每个循环内数字的和为． ∵， ∴共有个完整的循环，还余下1个数字，该数字为循环节的第一个数2． 则总和为． 【变式4】（25-26七年级上·河南郑州·期末）将数字1个1，2个，3个，4个，……，n个（n为正整数）按顺序排成一排： 1，，，，，，，，，，…，，，…，，记，，，……，，，……，，则______． 【答案】4049 【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示出的规律是解题的关键． 根据题意可得，再根据的定义计算即可． 【详解】解：， ， ， …… 依此类推，， ． 故答案为：4049． ▌题型03 乘方中的规律探究 【典例3】（25-26七年级上·河南·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示： 则第4个方框中最下面一行的数可能是（   ） A．3249 B．5635 C．4909 D．5729 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的乘方． 设两位数为，根据题意可知第二行为，进而得到，再结合有理数的乘方运算求解即可． 【详解】解：设第4个方框中最下面一行的数可能是两位数的平方， 根据题意可知，第二行为， ， ， 或（不合题意，舍去）， 又，， 最下面一行的数可能是3249． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）蟑螂的生命力很旺盛，它繁衍后代的数量为这一代的数量的7倍，也就是说，如果它的始祖(第一代)有7只，则下一代就会有49只，以此类推，蟑螂第10代的只数是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可． 本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，利用有理数的乘方的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：第1代数量为只， 第2代数量为只， ……， ∴第n代数量为只， 当时，第10代数量为只． 故选：C. 【变式2】（25-26七年级上·安徽淮北·期末）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过1次分裂便由1个分裂成2个，2次分裂成4个，若每次分裂经过的时间为15分钟，则经过小时该细胞的分裂的个数为64，则（   ） A．90 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意可得n次分裂成个，从而得到经过小时该细胞分裂6次，即可求解． 【详解】解：∵细胞经过1次分裂便由1个分裂成个，2次分裂成个， ∴n次分裂成个， ∵经过小时该细胞的分裂的个数为64，， ∴经过小时该细胞分裂6次， ∴小时． 故选：C 【变式3】（25-26七年级上·云南文山·期末）以下是一组按规律排列的多项式：，，，，，…，其中第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式规律探索，通过观察各项中和的指数变化，找出第个多项式的形式． 【详解】解：∵第1个多项式：，第2个：，第3个：，第4个：，第5个：， ∴a的指数依次为1，2，3，4，5，...，对应第n项为；b的指数依次为2，4，6，8，10，...，对应第n项为， ∴第个多项式是． 故选：B． 【变式4】（25-26七年级上·云南昭通·期末）观察下列一组数：，，，，，……，它们是按一定规律排列的，猜测这一组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律题．根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数． 【详解】解：一组数为，，，，，……， ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， … ∴第n个数为：， 故选：D． ▌题型04 数轴中的规律探索 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 【典例4】（25-26七年级上·福建漳州·期末）在数轴上，一个动点从初始位置处开始移动：第一次向右移动2个单位长度至，第二次向左移动4个单位长度至，第三次向右移动6个单位长度至，第四次向左移动8个单位长度至，若这个动点在完成第次为正整数移动后恰好落在数轴原点处，则初始位置在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探究．可通过设初始位置表示的数，根据每次移动的方向和单位长度推导移动后的位置规律，再结合落在原点的条件求解初始位置的数． 【详解】解：设在数轴上表示的数为． ∵第一次移动后位置为 第二次移动后位置为 第三次移动后位置为 第四次移动后位置为 …… 观察规律可知，完成第次移动后，位置为． 又∵第次移动后落在原点处，即位置为 ∴ 解得 所以初始位置表示的数为． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上点的规律问题，根据“前进步后退步”这秒组成一个循环结构找出规律即可求解，通过点的变化得出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意每前进步后退步的程序运动则有 ，，，，， ，，，，， ，，，，， ， 故正确，正确； 由上可知，“前进步后退步”这秒组成一个循环结构， 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数，第个循环第个数， …… 第个循环第个数，第个循环第个数， ∵， ∴在第个循环第个数， ∵， ∴，，，故正确； 由上规律可得：∵， ∴， ∴， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）在数轴上，点P表示的数是a，表示的数是，我们称点是点P的“相关点”．已知数轴上的“相关点”为，点的“相关点”为，点的“相关点”为，……，这样依次得到点，，，，……，，若点在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律探索等知识，通过计算数列的前几项，发现数列具有周期性，周期为3，据此即可求解﹒ 【详解】解：已知， ∴， ， ， ， ……， ∴序列从开始，每3项重复一次，即周期为3﹒ ∵， ∴﹒ 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 【变式4】（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（，n是整数）处，经过这样2025次跳动后的点与的中点的距离是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2025次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2025次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． ▌题型05 周期中的规律探索 这类问题，一定是有周期规律的，多写几个数，找到数列的周期.假如周期为T，只需用n除以T，看余数为多少，余数是几，就和第一个周期的第几个数相同.如果没有余数，那就和第一个周期的最后一个数相同. 【典例5】（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（   ） A．第个正方形的左下角 B．第个正方形的右上角 C．第个正方形的右上角 D．第个正方形的左下角 【答案】B 【分析】本题考查了图形数字规律探究，关键是观察每个正方形四个顶点数字的循环规律，按“左上、右上、右下、左下”的顺序循环排列，确定左下角位置数字的表达式，再确定第个数所在的位置． 【详解】解：观察图形可知，每个正方形包含4个数字，且左下角为4的倍数，即第个图形左下角的数字为， ∵， ∴在第个图形中，然后按照左上、右上的顺序前进两个数， ∴在第个正方形的右上角． 故选：B． 【变式1】（广东省广州市越秀区2025-2026学年上学期七年级数学1月期末考试卷）如图所示，圆的周长为8个单位长度，在圆周的八等分点处依次标上字母．先让圆周上字母所对应的点与数轴上的数字2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向左不滑动地滚动，则数轴上的数字所对应的点与圆周上重合的点所对应的字母为（    ）． A． B． C．c D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的规律探索；根据圆的滚动可得8个字母一个循环，即字母，则，即可求解 【详解】解：圆的周长为8个单位长度， 个数字为一个循环，且这8个字母为， 初始时，标记序列中的第一个a与数轴上的点2重合， 圆向左滚动到数轴上的点时，滚动的距离为：， 则， 起点为，第1步为，第2步为，第3步为， 对应的字母是． 故选：B． 【变式2】（2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题）一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2026时对应的手指是 （    ）（图中各手指的名称从上到下依次为大拇指，食指，中指，无名指，小指） A．食指 B．中指 C．无名指 D．小指 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律的探索，关键是找出数数时手指对应的规律，通过计算余数确定对应的手指． 【详解】解：观察数数对应的手指规律：数字1对应大拇指，数字2对应食指，3对应中指，4对应无名指，5对应小指，6对应无名指，7对应中指，8对应食指，9对应大拇指，对应食指 可以发现，从数字1开始，每8个数为一个循环(大拇指→食指→中指→无名指→小指→无名指→中指→食指→大拇指)． ∵， ∴数到时对应的手指对应循环中的第二个位置，即食指． 故选：A． 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．如下表中“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干：“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”，公历年数先减三，除十余数是天干，改用十二除，余数便是地支年．如2026年是丙午年，依据上述规律推断抗战胜利的1945年应为____________年． 【答案】乙酉 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，数字规律探究，根据干支纪年法的规则，公历年数先减3，然后除以10取余数确定天干，除以12取余数确定地支． 【详解】解：；，余数为，对应天干乙； ⋯，余数为，对应地支酉． 故年为乙酉年． 故答案为：乙酉． 【变式4】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，圆上有九个点，这九个点将圆分成九等份(每一份称为一段弧长)，把这九个点按顺时针方向依次编号为，，，，，，，，，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，则称这种走法为一次“移位”．如：小明在编号为的点，那么他应走3段弧长，即从为第一次“移位”，这时他到达编号为的点，然后从为第二次“移位”．若小明从编号为的点开始，沿顺时针方向，按上述“移位”方式行走，当“移位”次时，小明到达圆弧点编号为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给移动方式，依次求出每次“位移”时小明到达圆弧点的编号，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为小明从编号为1的点开始， 所以当“移位”1次时，小明到达圆弧点编号为2， 当“移位”2次时，小明到达圆弧点编号为4， 当“移位”3次时，小明到达圆弧点编号为8， 当“移位”4次时，小明到达圆弧点编号为7， 当“移位”5次时，小明到达圆弧点编号为5， 当“移位”6次时，小明到达圆弧点编号为1， …， 由此可见，从第1次“位移”开始，每经过6次“位移”，小明到达圆弧点编号按2，4，8，7，5，1循环． 因为， 所以当“移位”2026次时，小明到达圆弧点编号为． 故答案为：． ▌题型06 表格中的规律探索 【典例6】（25-26七年级上·山东威海·期末）小亮和小明这对好朋友，根据英文字母表的字母顺序制定了专属两个人的秘密文件规则，以此实现加密和解密．小亮给小明一张字条写着：“？”，小明马上就明白了意思是：“？”．你能破解其中的加密规则吗？请你破解小明给小亮的回复字条：“．”，内容是_____． A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 【答案】 【分析】本题考查规律探究，通过对比已知加密文本“？”和明文“？”，发现加密规则为每个字母在字母表中的位置加2（若超过26则循环），解密则减2．对回复字条“”应用解密规则，得到字母序列“”，组合成短语“”． 【详解】解：观察可知：加密规则为每个字母在字母表中的位置加2（若超过26则循环），解密则减2， 故对应序列为“”，组合为“”． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）将偶数按下列方式排成一个三角形数阵，按照此规律，第8行第6个数为_____． 【答案】68 【分析】本题考查了数字类规律探索，观察数阵可得第行的第1个数为，求出第8行第1个数，再结合每一行后一个数与前一个数相差，计算即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察数阵可得： 第1行的第1个数为， 第2行的第1个数为， 第3行的第1个数为， 第4行的第1个数为， …， ∴第行的第1个数为， ∴第8行第1个数为， ∵每一行后一个数与前一个数相差， ∴第8行第6个数为， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·广东深圳·期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定的值为__________． 【答案】175 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，先根据右上角的数分别表示为，，，，从而可得后面的依次是，，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：∵右上角的数分别为： ，，，， 后面的依次是，，， ∴， 根据题意可得：； 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·重庆丰都·期末）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给运算方式是解题的关键． 根据图1，理解“铺地锦”这一运算方法，再据此对图2进行计算，并对所给说法进行判断即可． 【详解】解：由题知， ，， 则或3或6． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 又因为，， 所以，，， 所以． 由得， ，． 故①②错误，③正确． 所以运算结果为15232． 故④错误． 故选：A． 【变式4】（24-25七年级上·河南南阳·期末）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定的值为______． 【答案】3900 【分析】本题主要考查了数字规律探索，根据给出的已知图形得出规律，求出的值即可．解题的关键是根据已知数据，得出一般规律． 【详解】解：根据图形可得上下两数之和等于左边数，上下两数之积等于右边数，和与积相乘等于中间数，且最下面的数字为最上面的数字加1， 最后一个图最下面的数字为， ，，； ． 故答案为：． ▌题型07 末尾数字规律探索 求的末位数字的解题步骤: 1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n. 2)用N除以n，当能整除时，a的N次方的末位数字就是的末位数字；当商b余m(0＜m＜n)时，a的N次方的末位数字就是的末位数字 【典例7】（2025·山东·模拟预测）如果n是一个自然数，那么n的“阶乘”记为，其表示从1到n的所有数的积，如果，那么的末尾数字为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了数字类规律的探索，关键在找到规律． 由于，，，，，再往后的结果个位数都是0，依此可求的个位数字． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 再往后的结果个位数都是0， ∵， ∴的个位数是； 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·湖南·阶段检测）观察下列算式：；；；；；……，则的末尾数字是______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了数字类规律、有理数的乘方运算等知识点，根据题目所给乘方，总结出末尾数字变化规律，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ；；；；；……， 观察可知，每4个算式为一组，末尾数字分别为2，4，8，6； ， ∴是第组第一个，末尾数字为2， ∵， ∴的末尾数字为5， 故答案为：5． 【变式2】（21-22七年级上·广东河源·期末）已知，则的末尾数字是_____． 【答案】2 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代值计算得到，最后找到规律的末尾数字是2，4，8，6循环出现，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，末尾数字为2； ，末尾数字为4； ，末尾数字为8； ，末尾数字为6； ，末尾数字为2； ，末尾数字为4； … ∴的末尾数字是2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的末尾数字与相同，即为2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，非负数的性质，正确理解题意找到规律是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 【答案】A 【分析】先确定的个位数字循环节为1，5，9，5，循环周期为；再计算的余数，根据余数确定的个位数字． 【详解】解：当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 的个位数字以1，5，9，5为周期循环，周期为． ， 的个位数字与时相同，为． 故选：A． 【变式4】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法规律的应用和有理数的乘方个位数字的周期性，关键是将和式简化并利用余数确定个位． 利用给定的乘法规律，将原算式转化为 ，再通过 的个位数字循环规律（周期为4）求 的个位数，进而得到最终结果的个位数字． 【详解】解：∵ 根据规律，， ∴ ， 令 ，，则： ∵ 的个位数字循环为：2， 4， 8， 6（周期为4）， 计算 余 2， ∴ 的个位数字与 相同，为 4， ∴ 的个位数字为 ． 故算式值的个位数字为 3． 故选B. ▌题型08 新定义有关的规律探索 【典例8】（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 【答案】B 【分析】计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可， 本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的题计算方法． 【详解】解：当时， 第一次“F”运算为： ， 第二次“F”运算为：， 第三次“F”运算为：， 第四次“F”运算为：， 第五次“F”运算为：， 第六次“F”运算为：， 可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2023次是奇数，因此最后结果是4． 故答案为：B． 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，，（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，根据差倒数的概念，分别求出、、，发现每三个数按、、循环，据此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， …… 观察可知，每三个数按、、循环， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 根据题意可得到，然后把原式变形为，即可求解． 【详解】解：，，，…… 由此发现：， ∴ 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）用符号“”定义一种新运算，对任意有理数，当为整数时；当为非整数时，例如：，利用以上规律计算：______． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究．先从已知运算结果中总结出整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解：2026是整数，因此； 是分数，因此． 所以． 故答案为：0． 【变式4】（25-26七年级上·北京·阶段检测）数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵，数阵每个位置所对应的数都是，或．定义为数阵中第行第列的数． 例如，数阵第行第列所对应的数是3，所以． （1）对于数阵，的值为_________； （2）若一个的数阵对任意的，，均满足以下条件： 条件一：；条件二：； 则称此数阵是“有趣的”． ①请判断数阵是否是“有趣的”．你的结论：_________（填“是”或“否”）； ②已知若一个“有趣的”数阵满足，则的值为_________ 【答案】 是 【分析】本题考查了数字的变化类，观察思考发现规律是解题的关键． （1）根据定义为数阵中第行第列的数即可求解； （2）①根据“有趣的数阵”定义即可求解；②根据，将变形得到即可求解； 【详解】解：（1）对于数阵第2行第3列对应的数是2，那么的值为， 故答案为：； （2）①由数阵图可知， ∵数阵的第1行第1列的数是1，那么， 数阵的第2行第2列的数是2，那么， 数阵的第3行第3列的数是3，那么， ∴数阵满足，满足条件一； ∵数阵第行第列的数为， ∴；满足条件二； ∴数阵是“有趣的”， 故答案为：是； ②， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． $