1.4 线段的垂直平分线和角平分线 专项练习 2026--2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线性质应用，通过选择、填空、解答题梯度训练，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|结合三角形内外角平分线、垂直平分线性质，考查距离相等、周长及角度计算|从角平分线（到两边距离相等）与垂直平分线（到两端点距离相等）性质出发，推导交点性质及应用| |填空|4题|涉及四边形角平分线、等腰三角形垂直平分线与角度关系|性质在非三角形图形中的迁移，强化概念间关联| |解答|5题|证明（如BE=CF）、最值（BP+PQ最小）、垂直平分线交点性质等|综合应用性质进行逻辑推理，提升推理能力与几何直观|

1.4线段的垂直平分线和角平分线 专项练习 一、选择题 1、三条笔直公路两两相交，交点分别为 A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，若△ABC 内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（ ） A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处 2、△ABC 的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线相交于点 E，则下列说法正确的是（ ） A．点 E 平分∠ABC B．AE 平分∠BAC C．BE 平分∠ABC D．CE 平分∠ACB 3、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于 E，若 AC=6，BC=8，则△BDE 的周长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 4、在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5、在△ABC中,∠C=40°,按照以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于两点E,F;②作直线EF交BC于点D,连接AD.若AD=AC,则∠BAC的度数是 （ ） A. 105° B. 110° C. 115° D. 120° 6、如图,在△ABC中,∠C=90°,线段AB的垂直平分线交AB于点D , 交AC于点E . 若∠A=34°,则∠EBC的大小（ ） A．34° B．22° C．42° D．52° 7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的有（ ）个 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 8、如图,AC=BC,∠ACB=90°,AE平分∠BAC,BF⊥AE,交AC的延长线于F,且垂足为E,则下列结论:①AD=BF;②BF=AF;③AB=BF;④AC+CD=AB;⑤AD=2BE.其中正确的结论个数有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 9、在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点 D，过点 D 作 DE⊥BC 交 BC 于 E，若 DE=3，AB=6，则△ABD 的面积为（ ） A．9 B．12 C．15 D．18 10、在△ABC 中，AB=AC=10，AD⊥BC，AD=BC=8，点 P 是 AD 上的动点，点 Q 是 AC 上的动点，则 BP+PQ 的最小值为（ ） A．6.4 B．7.2 C．8 D．9.6 二、填空题 11、在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AP 平分∠DAB，BP 平分∠ABC，点 P 在 CD 上，若 AD=3，BC=2，则 AB 的长为 ． 12、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F.连接AF,∠AFC的度数 ． 13、在△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 D，交 AB 于 E，BD 平分∠ABC，若∠A=α，则 α 的度数为 ． 14、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,且分别交AB,AD,AC及BC的延长线于点E,H,F,G,若∠B=45°,∠ACB=75°,则∠G的度数为 ． 三、解答题 15、如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 交 AC 的延长线于 F，求证：BE=CF． 16、如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=40°，AD⊥BC于点D，点P、Q分别为AD、AB上的动点，联结BP、PQ，当BP+PQ最小时，∠PBD等于多少度？ 17、如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与AC的垂直平分线DF相交于点D,垂足分别为E,F. (1) 求证:点D在BC的垂直平分线上； (2)若AB=AC,判断△AMN的形状并说明理由； 18、如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC交AD于点E,交AC于点F,求证:AE=AF. 19、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD、CE 分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE 交于点 O，求证：BC=BE+CD． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4线段的垂直平分线和角平分线专项练习 答案解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：到三条两两相交的公路距离相等的点，是三角形的内心（三个内角平分线交点，在三角形内部）和三个旁心（两个外角、一个内角平分线交点，在三角形外部），共 4 个点。 题目中△ABC 内部无法施工，因此排除内部的内心，剩余 3 个旁心均在三角形外部，满足施工条件，故可供选择的地址有 3 处。 2. 答案：C 解析：点 E 是△ABC 的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交点，属于三角形的旁心。 根据角平分线的性质，旁心到三角形三边的距离相等，因此点 E 到 AB、BC 的距离相等，由此可得 BE 平分∠ABC。 3. 答案：D 解析：AD 是∠CAB 的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此； 可证（HL），因此； 在中，由勾股定理得，因此； 的周长为。 4. 答案：C 解析：DE 是 BC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此。 的周长为。 5. 答案：D 解析： 由作图可知，EF 是 AB 的垂直平分线，因此，可得； 已知，因此为等腰三角形，； 是的外角，因此，解得； 根据三角形内角和，。 6. 答案：B 解析： DE 是 AB 的垂直平分线，因此，可得； 在中，，因此； 因此。 7. 答案：C 解析： ① CD=ED：AD 是角平分线，，，根据角平分线的性质，该结论正确； ② AC+BE=AB：由得，因此，该结论正确； ③ ：，，同角的余角相等，因此，该结论正确； ④ AD 平分：由全等可知，因此 AD 平分，该结论正确。 综上，4 个结论全部正确。 8. 答案：B 解析： 正确的结论为①③⑤，共 3 个： ① AD=BF：可证（ASA），因此，正确； ② BF=AF：由计算可知，，因此该结论错误； ③ AC+CD=AB：由全等得，且是角平分线、，可证，正确； ④ AB=BF：，该结论错误； ⑤ AD=2BE：由等腰三角形三线合一，，结合，得，正确。 9. 答案：A 解析： 过点 D 作，交 AB 的延长线于 H。 因为 BD 是的平分线，根据角平分线的性质，D 到 AB 的距离等于 D 到 BC 的距离，即。 因此的面积为。 10. 答案：A 解析： 本题为最短路径（将军饮马）问题： 计算：，的面积为，因此 AC 边上的高，即最小值为 6.4。 二、填空题 11. 答案：5 解析：延长 AP 交 BC 的延长线于点 E。 因为，所以，又 AP 平分，所以，因此，可得。 同时 BP 平分，因此，可证，得。 因此，即。 12. 答案： 解析：因为，，所以； EF 是 AB 的垂直平分线，因此，可得； 是的外角，因此。 13. 答案： 解析：设： DE 是 AB 的垂直平分线，因此，可得； BD 平分，因此； 因为，所以； 根据三角形内角和：，解得。 14. 答案： 解析： 在中，； AD 平分，因此； ，因此在中，； 是的外角，因此，解得。 三、解答题 15. 证明： 连接 BD、CD。 因为点 D 在 BC 的垂直平分线上， 根据垂直平分线的性质，可得； 因为 AD 是的平分线，且，， 根据角平分线的性质，可得； 在和中： 因此（HL）， 所以，得证。 16. 解答： 当最小时，，理由如下： 等腰中，，因此 AD 是 BC 的垂直平分线，B、C 关于 AD 对称，，因此； 根据垂线段最短，当时，取得最小值，此时 Q 为 C 到 AB 的垂足，P 为 CQ 与 AD 的交点； 已知，，因此； 在中，，因此； 因为，所以。 17. 解答： (1) 证明：连接 AD、BD、CD。 因为 DE 是 AB 的垂直平分线，所以； 因为 DF 是 AC 的垂直平分线，所以； 因此，根据垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点 D 在 BC 的垂直平分线上。 (2) 是等腰三角形，理由如下： 因为，所以； 因为 DE 是 AB 的垂直平分线，所以，因此，同理，； 因此，，结合，可得； 因此，所以是等腰三角形。 18. 证明：因为，所以在中，； 因为，所以在中，； 因为 BF 平分，所以； 因此，又因为（对顶角相等），所以； 因此，得证。 19. 证明：在 BC 上截取，连接 OM。 因为 BD 平分，所以，又，，因此（SAS）； 因此； 已知，BD、CE 是角平分线，所以，因此； 所以，因此，进而； 又因为，所以； 因为 CE 平分，所以，又，因此（ASA）； 因此，所以，得证。 学科网（北京）股份有限公司 $