第13章三角形【三角形三边关系进阶】训练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦三角形三边关系应用，通过整数边长求解与绝对值化简两类题型，系统强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形整数边长问题|2题|已知周长/边长范围求整数三角形个数|三角形三边关系→整数解约束条件→分类讨论| |三边关系绝对值化简|≥6题|利用三边关系化简含绝对值的代数式|三边关系→绝对值性质→代数化简|

1. 已知在正整数，，中，的值为，且，则以，，为三边的三角形共有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知在正整数，，中，，且的最大值为，则以，，为三边的三角形共有 个． 3. 从，，…中任选个数，使所选的个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的的最小值是 ． 1. 如图，四边形是任意四边形，与相交于点． 求证：． 证明： 在中有， 在中有 ， 在中有 ，在 中有 ， ∴， ∴ ， 即：． 2. 如图，（填“ ”或“”或“”）． （填“ ”或“ ”或“”），并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 已知：如图，和相交于点，说明：． 4. 如图，在锐角中，，于点，于点，求证： ． 5. 已知：右图所示，在中，，是边上一点． （ 1 ）通过度量、、的长度，写出与（）的大小关系． （ 2 ）试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的． $ 1. 把长的铁丝截成三段，围成不等边三角形，且使三边长均为整数，那么（ ）． A. 只有一种截法 B. 有两种截法 C. 有三种截法 D. 有四种截法 2. 已知三角形的三边，，的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有 个． 1. 已知 的边长分别为、 、 ，化简 的结果是（ ）． A. B. C. D. 2. 若的三边长分别为，，，则 ． 3. 、、是三角形的三边，化简 ． 4. 已知 ， ， 是 的三边，化简 得 ． 5. 已知 ， ， 是 的三边，则 ． 6. 已知 、 、 为 的三边，则化简 ． 7. 若、 、 、是 的三边，化简： 的值． 8. 已知，，分别是的三边，化简： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 把长的铁丝截成三段，围成不等边三角形，且使三边长均为整数，那么（ ）． A. 只有一种截法 B. 有两种截法 C. 有三种截法 D. 有四种截法 A 设三边长为 、 、 ，则 ，而 的不等分法有 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ．其中符合三角 形三边关系的只有 、 、 这一种． 【知识点】判断能否构成三角形 2. 已知三角形的三边，，的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有 个． ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴当当当当 若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即 ， ， ，三角形的三边 ， ， 的长都是整数， ， ， ， ， ． ． 时， 时，时，时， ∴一共有 故答案为： ，此时， ，此时， ，此时， ，此时， 个． ； ， ； ， ， ； ， ， ， ； ． 【知识点】与三边关系有关的证明 1 学科网（北京）股份有限公司 1. 已知的边长分别为、、，化简的结果是（ ）． A. B. C. D. D 由题意知， ， ． 所以 ． 故选 ． 【知识点】三角形的三边关系 2. 若的三边长分别为，，，则 ． ∵ ， ∴ ∴ ， ， ， ． 【知识点】判断能否构成三角形 3. 、、是三角形的三边，化简 ． ，根据三角形两边之和大于第三边得原式 ． 【知识点】与三边关系有关的证明 4. 已知，，是的三边，化简得 ． ∵ ， ， 是 ∴ ， ∴原式 的三边， ， ． 【知识点】与三边关系有关的证明 5. 已知，，是的三边，则 ． 三角形第三边小于另外两边之和． 原式 ， ． 【知识点】与三边关系有关的证明 6. 已知、、为的三边，则化简 ． ， ∵ 、 、 为 ∴ ∴原式 ． ， 的三边， ， ， 【知识点】绝对值的非负性 【知识点】三角形的三边关系 【知识点】与三边关系有关的证明 【知识点】二次根式的四则混合运算 【能力】运算能力 7. 若、、、是的三边，化简： 的值． ． ∴ ∴原式 ∵ 、 、 、是 ， 的三边， ， ， ， ， ． 【知识点】与三边关系有关的证明 8. 已知，，分别是的三边，化简： ． 根据三角形的三边关系得： ， ， ． ∴原式 ． 故答案为： ． 【知识点】与三边关系有关的证明 $ 1. 已知在正整数，，中，的值为，且，则以，，为三边的三角形共有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 A ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， 为正整数， ∴所有情况为 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ． 这些组合中只有 ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， 可以组成三角形，故选 【知识点】判断能否构成三角形 2. 已知在正整数，，中，，且的最大值为，则以，，为三边的三角形共有 个． 根据已知条件有：① ② ③ ④ ， 由②③得： ( ) ( )当 （ ） ( ) （ ） 时， ， 时， ，即有 ， ， ，( ) ，讨论： ． ． ， 根据 ， ， ，此时有四个三角形； ． ，此时没有 符合条件，( ) ， ， ，此时有两个三角形； 时， ，可知 ，此时有一个三角形，可知总共 个三角形． 故答案为： ． 【知识点】与三边关系有关的证明 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 从，，…中任选个数，使所选的个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的的最小值是 ． 为使 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ①共 个数，对符合上述条件的任数组， ， ，… 显然总有 大于等于①中的第 个数，所以 ，从而知 的最小值为 ． 故答案为： ． 【知识点】与三边关系有关的证明 1. 如图，四边形是任意四边形，与相交于点． 求证：． 证明： 在中有， 在中有 ， 在中有 ，在 中有 ， ∴， ∴ ， 即： ． ; ; ; ; 略 【知识点】与三边关系有关的证明 2. 如图， （填“ ”或“”或“”）． （填“ ”或“ ”或“”），并说明理由．; 略 【知识点】与三边关系有关的证明 3. 已知：如图，和相交于点，说明：． 证明见解析． 在 中， ①， 在 中， ②， 由① ∴ ②得， ， ． 【知识点】与三边关系有关的证明 4. 如图，在锐角中，，于点，于点，求证： ． 证明见解析． 方法一：设 由题可知， 根据三角形面积相等可知 ， ，，， ， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． ， ． ，即 ． ． ． ，得证． 方法二：∵ ∴ ， ， 5. 已知：右图所示，在中，，是边上一点．． 【知识点】与三边关系有关的证明 （ 1 ）通过度量、、的长度，写出与（）的大小关系． （ 2 ）试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ） （ 2 ）在 ∴ 即又∵ ． 中，∵ ， ． ， ，∴ ． 【知识点】与三边关系有关的证明 $