第13章 三角形 章末测试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学八年级上学期三角形章末同步练，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的梯度训练，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|三角形定义、三边关系、内角和等单一知识点|单选题1-5直接考查概念辨析，如第1题三边关系判断，夯实基础认知| |能力提升|中线、角平分线、面积计算等跨知识点综合|填空题11-15结合平行线与角平分线（第11题），解答题16-18等腰三角形分类讨论，提升推理运算能力| |综合拓展|重心性质、折叠变换等复杂情境探究|解答题21-23融合教材拓展（第23题重心面积问题），培养空间观念与创新意识|

第13章 三角形 章末测试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上学期 一、单选题 1．下列三条线段不能构成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．已知△ABC中，则△ABC一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 6．如图所示的蜂巢由许多六边形构成，每个六边形至少可以分割成三角形的个数为（　） A．6 B．5 C．4 D．3 7．在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 8．如图，在中，，点E、F在的延长线上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线.4个结论中正确的有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在△ABC中，已知点 D，E，F 分别是 BC，AD，CE 的中点，且SΔABC＝8，则SΔBEF的值是（ 　　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度． 12．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 13．如图，在中，，的平分线与的平分线相交于点E，则的度数为_________． 14．一个三角形的三边长分别为，，，则的取值范围是_____． 15．如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 三、解答题 16．已知、、是三角形的三边长． (1)化简； (2)用一条长的细绳围成一个等腰三角形，已知一条边长为，求这个三角形的三边长． 17．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 18．如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 19．如图，是的角平分线，在上取点，使． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．如图，，分别是的角平分线和高． (1)已知，求的度数．你还能求出哪些角的度数？ (2)与有怎样的关系？为什么？ 21．【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 22．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 23．综合与实践 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D B C D B B A 1．B 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，灵活利用三角形三边的关系是判断能否构成三角形的关键．根据三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：．∵， ∴，，能组成三角形，故不符合题意； ．∵， ∴，，不能组成三角形，故符合题意； ．∵， ∴，，能组成三角形，故不符合题意； ．∵， ∴，，能组成三角形，故不符合题意． 故选：． 2．A 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，由，可知，利用三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】根据三个内角的比，利用三角形内角和定理可求出最大的角的度数，即可得答案． 【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=3：4：7， ∴△ABC中最大的角为∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=180°×=90°， ∴△ABC一定是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 6．C 【分析】本题主要考查了多边形对角线分三角形个数问题，根据n边形最少可以分个三角形即可得到答案， 【详解】解：如图所示，过点A的所有对角线，可分割六边形得到， ∴每个六边形至少可以分割成三角形的个数为4个， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 8．B 【分析】本题考查三角形的内角和，平行线的性质，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据，可求出，继而求出，再利用邻补角的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 9．B 【详解】（1）∵AD是△ABC的角平分线，可得∠BAO=∠CAO，∴①“AO是△ABE的角平分线”这种说法是正确的； （2）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，但不能确定AO=DO，∴②“BO是△ABD的中线”这种说法是错误的； （3）由BE是△ABC的中线可得AE=CE，∴③“DE是△ADC的中线”这种说法是正确的； （4）∵由题中条件不能得到∠ADE=∠CDE，∴④“ED是△EBC的角平分线”这种说法是错误的； 即上述说法中正确的个数为：2． 故选B． 10．A 【分析】由三角形中线的性质可得：，是等底同高的三角形，利用等底同高的三角形的面积相等即可解答． 【详解】解：点D为BC中点， ， ， ， 点E为AD中点， ， ， ， 点F为CE中点， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 11．50 【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】解：平分， ． ， ． ， ． 12．3 【分析】根据三角形面积公式，利用 得到 ，利用点 、 分别为 、 的中点得到 ，，所以阴影部分的面积 ． 【详解】解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 13．/度 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再结合三角形外角的定义和性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14． 【详解】解：由三角形的三边关系得到：， ∴， ∴． 15． 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．(1) (2)． 【分析】此题考查了三角形三边关系、等腰三角形的定义、整式的加减等知识，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形三边关系定理可得，，，再去绝对值符号，最后合并同类项即可； （2）根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，，， ∴ ； （2）若腰长为，则底边长为，此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为，则腰长为，此时，能构成三角形，符合题意；此时这个三角形的三边长分别为． 17．（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理； （1）根据角平分线性质得到，根据，得到，求出，即可证出结论； （2）根据三角形内角和定理得到，根据，得到，根据角平分线得到，推出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20．(1) ， 还可以求，，． (2)解：与的关系为． ∵在中，， ∵是角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又∵， 代入得：， ∴与的关系为：． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的性质可求解的度数，再由直角三角形可求解的度数，由此可求的度数，再根据三角形内角和定理还可以求解，，的度数． （2）先由三角形内角和得到，以及，再根据，代入表示即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， ∴， 还可以求解，，的度数， 在中，， ∴， 在中，． （2）略 21．(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 22．(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $