专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角的A字、8字、燕尾模型，通过通法提炼-题型归纳-压轴挑战的三层架构，系统构建模型特征识别、内外角转化、辅助线添加的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|模型特征识别；内角和/外角性质；对顶角转化；易错提醒|从图形结构（A/X/燕尾形）到边角关系推导，建立“特征-原理-应用”逻辑链| |题型归纳|3类（各含1典例+3变式）|A字：平行线性质+内角和；8字：对顶角+内角和；燕尾：外角=不相邻内角和|以模型本质为核心，通过变式拓展（折叠/角平分线/综合图形）深化理解| |压轴挑战|12题（选择/填空/解答）|多模型综合应用；辅助线构造；代数化角关系|从单一模型到跨模型综合，衔接中考高频考点，提升问题解决能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类 综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、 三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 刁通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：图形呈A形、X形(8字)或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。 解题方法：A字模型用三角形内角和180°或外角性质；8字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化： 燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。 -易错提醒：混淆8字模型中内角与外角的对应关系：燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角：辅助线 添加不恰当导致关系链断裂。 刁题型归纳一精讲鼻型题法，务失解题根基 题型一、三角形仲的倒角模型之“A”字模型 典例1.(25-26八年级上·云南红河期中)【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，求证：∠1+∠2=180°+∠A. 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【推理证明】 B 83 D D 图① 图② 图③ (1)补全证明过程. 证明：：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， .∠1=∠A+,∠2=∠A+ ∴.∠1+∠2= ∠3+∠4+∠A=180°， .∠1+∠2=180°+∠A (2)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE.若∠I=130°，则∠2-∠A的大小为度】 (3)如图③，在△ABC中，BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，写出∠P与∠A之间的数量关系， 并说明理由. 题型模版 1特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。 2方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。 变式1-1.(2425八年级上江西吉安·期中)如图，在△ABC中，沿虚线剪去∠C,若4+∠2=250°，则 ∠C的度数为 B 变式1-2.(2025八年级上：全国·专题练习)探索归纳： 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图1 图2 图3 (1)如图1，己知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，已知△ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2=】 (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明： (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠I+∠2与∠A的数量关系，并说明理由. 变式1-3.(25-26八年级上：广西柳州期中)实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC,点M,N分别是边AC, BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC,点C的对应点为点D. 4 图1 图2 图3 (I)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠I与∠ACB的数量关系是 (2)若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB=35°，求∠1+∠2的度数： (3)若如图3所示，点D在△ABC外部，则∠1，∠2和∠ACB之间有怎样的数量关系？请证明. 类型二、三角形仲的倒角模型之“8”字模型 典例2.(25-26七年级下·江苏盐城阶段检测)如图，AD,BC相交于点O,连接AB,CD D (1)求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)若∠A=57°，∠B=35°，∠C=60°，求∠D的度数. 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。 2方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角同位角推导角关系。 变式2-1.(25-26八年级上安徽安庆·期中)(1)生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图 形我们称之为“和谐8字形”，则∠A,∠B,∠C,LD之间的数量关系 (2)在图2中∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若 ∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是」 D D 04 图1 图2 变式2-2.(25-26七年级下山东菏泽阶段检测)如图①，已知线段AB,CD相交于点O,连接AC, BD,我们把形如这样的图形称为“8字型”. B B D ① ② (I)试说明：∠A+∠C=∠B+∠D: (2)如图②，若∠CAO和∠BDO的平分线AP和DP相交于点P,与CD,AB相交于点M,N.若 ∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数. 变式23.(2026七年级下上海专题练习)如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有 ∠A+∠B=∠C+∠D: 新定义：在图1中，我们把AB,CD,BC,AD叫做“8字形”的边，∠A,∠B,∠C,∠D叫做“8字 形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角.例如，图2中，∠BAD,∠BCD 为“8字形”的内角，图3中，∠BCE,∠FAD为“8字形”的外角. 4/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 图5 ()在图2中，∠BAD的平分线和∠BCD的平分线相交于点P,若∠B=36°，∠D=16°，求∠P的度数. (2)在图3中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P,猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说 明理由。 (3)在图4中，∠BCE的平分线和∠FAD的平分线相交于点P,猜想∠P与∠B、∠D的关系，并说明理由. (4)在图5中，∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P,用∠B、∠D来表示出∠P,直接写出结论， 无需说明理由， 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例3.(24-25七年级下·上海青浦期中)如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们把 这样的图形叫做“规形图”. 图1 图2 图3 (1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A∠B、∠C之间的关系，并说明理由： (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边YXZ恰好经过点B、C,若 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=36°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果： ②如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠A=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数. 题型棋版 1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。 2方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求 解。 变式3-1.(25-26七年级下江苏盐城阶段检测)如图，∠ABE、∠ACE的角平分线BFCF交于点F, 己知∠BEC=130°，∠BAC=30°，则LBFC= 变式3-2.(25-26七年级下·河南洛阳期末)【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖” 模型。 5 E 3 /6D4 7 D 图1 B 图2 【初步探索】 (1)如图1，已知∠1=40°，∠2=25°，∠3=33°，求∠4的度数. 【归纳结论】 (2)∠1、∠2、∠3和∠4的数量关系是 【深入探究】 (3)如图2，若∠5=46°，∠6=96°，∠1=∠2且∠3=∠4，直接写出∠7的度数. 变式3-3.(2425七年级下·山西长治期末)综合与探究. 问题背景：已知如图1，凹四边形ABDC. 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图(1) 图(2) 图(3)》 初探： (I)试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的数量关系，并说明理由： 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题. 如图2，把一块三角尺EFG放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边EG,FG恰好经过点B,C,若 ∠A=38°，则∠ABG+∠ACG=一： 拓展 3)如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=70°，∠DBE=120°，求∠DCE的度数. ◆◆ ◆◆ 同压轴挑战一或克离难压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(2026年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷)如图，AB和CD交于点O,AC⊥AB于 点A,连接BD.若∠B=40°，∠D=75°，则∠C的度数是() A.250 B.30° C.35 D.40° 2.(25-26七年级上山东烟台期中)如图，∠B+∠C与∠1+∠2的数量关系正确的是() 7/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20 B4 A.∠B+∠C<∠1+∠2 B.∠B+∠C>∠1+∠2 C.∠B+∠C=∠1+∠2 D.∠B+∠C+∠1+∠2=360° 3.(2026广东深圳·二模)如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为() A.70° B.90° C.105 D.140° 二、填空题 4.(25-26八年级上·全国期末)如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内部时，则∠A与 ∠1，∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：一· C>A 5.(25-26八年级上河北保定·期末)某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说： “这四个数据中有一个标错了.”经测量∠A,∠B,∠BCD所标数据正确，则图中∠D所标数据应改为 度 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 20° 155 C 40>B 6.(25-26八年级上浙江绍兴期末)如图，数学活动课上，小李同学分别延长△ABC和△DEF的边，边 AC、DF的延长线交于点H,边BC、EF的延长线交于点G,测得∠G=126°，∠H=84°，则 ∠A+∠B+∠D+∠E的值为 A D B E 三、解答题 7.(25-26七年级下·全国课后作业)如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，使点C落在点C'的 位置 (1)当∠C=45°时，求∠1+∠2的度数. (2)若∠C=“,请直接写出∠1+∠2的度数.（用含的代数式表示） 8.(2425七年级下·甘肃天水期末)【模型建立】(1)如图①，凹四边形AB0C.因为酷似燕尾，所以 称之为“燕尾型”求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C: 【模型应用】(2)一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠A=38°，∠D=12°，∠ABC=64°， ∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数： 【模型迁移】(3)如图③，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数， 9/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F E D A7E0130° 100°0B B ② ③ 9. (25-26八年级上河北保定·期中)【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系， 【解决问题】 (1)如图1，探究 ABC(∠ABC<180)与∠A,∠D,∠C三个角之间的等量关系. 小明得出的结论是∠ABC=∠A+∠D+∠C,他的证明过程如下： 证明：连接DB,并延长到点P … 请你将小明的证明过程补充完整， 【类比探究】 (2)如图2，∠A+∠C+∠E=90°，∠B+∠D=150°，求∠AFE的度数. 【拓展延伸】 (3)如图3，AM∥EN,LB+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为 M B D D 图1 图2 图3 10.(25-26七年级下江苏苏州期中)如图1，已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们 把形如这样的图形称为“8字型”. 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)由图1可知：∠A+=∠B+∠D: (2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别相交于点MN. ①以线段AC为边的“8字型”有 个，以点O为交点的“8字型”有个： ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=n∠CAP,∠CDB=n∠CDP”,试探究∠P与∠B、∠C之间存在 的数量关系（用含的等式来表示），并证明理由 (3)如图3，在四边形ABCD中，ADI‖BC,AB‖CD,若点E是AB延长线上的一点，DE交CB于点F, 分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线交于点G,直线GB交CD于点M,若∠DFC=I1O°，则 ∠DGB=。 11.(25-26八年级上：辽宁丹东期末)【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成.如图1， AD,BC 180° 交于点，根据“三角形内角和是 ”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：① ∠DOC=∠AOB(对顶角相等)；②∠D+∠C=∠A+∠B D E B B 图1 图2 图3 【提出问题】分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E,如图2，∠E与∠D,∠B之间 是否存在某种数量关系呢？ 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究.己知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点 E (1)如图2，∠D=30°，∠B=50°，则∠E的度数是多少呢？ 易证∠D+1=∠E+∠3，∠B+∠4=∠E+∠2 请你完成后续的推理过程： ∴.∠D+∠1+∠B+∠4= :CE,AE分别是∠BCD,∠BAD的平分线 ∴.∠1=∠2，∠3=∠4 ∴.2∠E 又：∠D=30°，∠B=50° ∴∠E=度. (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出∠E与∠D，∠B之间的数量关系是： 【类比应用】 (3)如图3，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E. 己：∠D=a,∠B=B,(a<)则∠E= (用a、B 表示) 12.(25-26八年级上全国单元复习)阅读材料，回答下列问题： B 4 图1 图2 -D 图3 图4 B D B 图5 图6 图7 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成。 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 探索二：如图2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度数为 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD,AG反向延长线交CP于点P,则LP、∠B、∠D 之间的数量关系为 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、CN,交于点A,在四边形MNCB中，设∠M=a,∠N=B,a+B>180°， 四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP,CP相交于点P,则∠A= (用含有和 B ∠P= a B 的代数式表示)， (用含有和的代数式表示) 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M=a,∠N=B,a+B<180°，四边形的内角∠MBC与外角 ∠NCD P∠P= B 的角平分线所在的直线相交于点， (用含有和的代数式表示) 【拓展延伸】 拓展-：图6，若设∠C,B=y,∠CP-号CB,∠CDP-号CD8,武间∠p与∠C、∠B之 间的数量关系为 一·（用x、'表示∠P) 拓展二：如图7，AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的邻补角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写 出结论 13/13 专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形呈A形、X形（8字）或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。 - 解题方法：A字模型用三角形内角和180°或外角性质；8字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化；燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。 - 易错提醒：混淆8字模型中内角与外角的对应关系；燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角；辅助线添加不恰当导致关系链断裂。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 典例1．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。 2.方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。 变式1-1．（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ______． 【答案】 【分析】由平角的定义得到，结合，求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式1-2．（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳： (1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________； (2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________； (3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明； (4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．证明见解析 (4)．理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． ()利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； ()利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； ()根据()、()中思路即可求解； ()根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示： 在中，由外角性质可知： ； ∵ ∴ 故答案为： （3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知： ，； ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：； （4）． 理由：连接． ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系为：． 变式1-3．（25-26八年级上·广西柳州·期中）实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______； (2)若如图所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质可得出数量关系． （2）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相加即可求解． （3）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相减即可证明其数量关系． 【详解】（1）解：∵点D恰好在上， ∴C，D，N三点在一条直线上， ∴， 由折叠可知，，， ∴， 故答案为：． （2）连接，如下图所示： 由折叠可知，， ， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）． 证明：连接，如下图所示： 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴． 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 典例2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，，相交于点，连接，． (1)求证：． (2)若 ，，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∵ ，，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。 2.方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角/同位角推导角关系。 变式2-1．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则，之间的数量关系_____． （2）在图2中和的平分线和相交于点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是_____． 【答案】 【分析】（1）根据三角形的内角和得到，由对顶角相等即可得到结论； （2）根据题意可得，得到，根据角平分线得到，再根据得到，即可得到答案． 【详解】解：（1） 而， ； （2），， ， ， 和的平分线和相交于点， ， ， ． 变式2-2．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． 变式2-3．（2026七年级下·上海·专题练习）如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角． (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接，根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解； （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解． 【详解】（1）解：，分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ． （2）解：∵的平分线和的平分线所在直线相交于点， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴， ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵，， ∴， 同理得到：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （4）解：直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； (2)①；② 【分析】（1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据（1）的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】（1）略； （2）解：∵， 由（1）知：， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。 2.方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求解。 变式3-1．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【答案】 【分析】连接，根据三角形内角和为，在和中得出，，即可求出，结合是、的角平分线，求出，在中，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线， ∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 变式3-2．（25-26七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长到点E，由三角形外角的性质可得，，则可推出，据此代入求解即可； （2）由（1）可得答案； （3）由（1）得，，求出的度数，则可得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图1所示，连接并延长到点E， ∴，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解；由（1）可得； （3）解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴． 变式3-3．（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，和交于点，于点，连接．若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由三角形内角和定理求出的度数，再由对顶角相等可得的度数，然后根据垂直的定义得到，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， ． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，与的数量关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理得，，即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形中，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作射线，根据三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，作射线， ∵，，而， ∴ ． 二、填空题 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则与，之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，由平角的定义可推出，由三角形内角和定理可得，据此可得，即． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 5．（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为___________度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键是辅助线的作法；延长交于点即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键． 连接，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 9．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 【答案】(1) (2)①3，4； ②； ③，理由如下： 由（1）可知，， ∵，， ∴，，， ∴， 由（2）②可知，， ∴， ∴ ， ∴． (3)125 【分析】（1）根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）①根据“8字型”的定义即可得； ②根据“8字型”的定义可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得； ③先求出，，，从而可得，再根据计算即可得； （3）根据平行线的性质求出，设，则，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，最后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：①线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 故答案为：3，4； ②以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴； ③ 略 （3）解：，， ，， ， ， ， 设， ， 是的角平分线，是的角平分线， ，， 又， ， ， 故答案为：125． 11．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 12．（25-26八年级上·全国·单元复习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $