第16讲 对数函数的图象及性质讲义 -2026-2027学年初升高数学人教A版必修第一册教材衔接

第16讲 对数函数的图象及性质 目录 一、对数函数的概念 1 二、对数函数的图象及性质 2 1.对数函数的图象及性质 2 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 2 3.反函数 2 三、指数函数、对数函数、一次函数的增长差异 2 题型1对数函数的概念 3 题型2求对数函数的解析式或函数值 4 题型3对数函数的定义域（值域）问题 5 题型4反函数问题 7 题型5对数函数的图象 8 题型6求对数（型）函数的单调区间 10 题型7已知单调性求参数 12 题型8比较两数的大小 13 题型9解简单的对数不等式 15 01 学习新知 一、对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 二、对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 3.反函数 指数函数，且和对数函数，且)互为反函数． 三、指数函数、对数函数、一次函数的增长差异 （1）在区间上，函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上． （2）在区间上随着的增大增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢． （3）存在一个，使得当时，有． 02 经典题型 题型1对数函数的概念 1. 下列函数中是对数函数的有(　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logπx 答案　D 解析　只有D满足对数函数的定义. 2. 下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式，函数为对数函数. 故选：B. 3. （多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【详解】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意； 故选：AC. 4. 若函数y=logax+a2-3a+2为对数函数，则a=　　　　　　.  答案　2 解析　函数y=logax+a2-3a+2为对数函数， 所以a>0，且a≠1，a2-3a+2=0，则a=2. 题型2求对数函数的解析式或函数值 5. 已知对数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)解方程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意设(且)， 由函数图象过点可得， 即，所以，解得，故． （2）方程，即， 所以，所以方程的解是． 6. 已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【详解】设，且，因为， 所以，解得，所以， 所以.故答案为：. 7. 已知为上的偶函数，当时，，则 ． 【答案】 【详解】因为为上的偶函数，当时，， 则.故答案为：. 题型3对数函数的定义域（值域）问题 8. (课本例1)求下列函数的定义域： (1)y=log3x2； (2)y=loga(4-x)(a>0，且a≠1). 解　(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数y=log3x2的定义域是{x|x≠0}. （2）因为4-x>0，即x<4，所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x|x<4}. 9. 　函数y=lg的定义域为　　　　.  答案　(-1，1) 解析　由题意得>0，解得-1<x<1， 所以函数的定义域为(-1，1). 10. 求函数y=log(3x-1)的定义域. 解　由解得<x<1，且x≠ 所以函数的定义域为. 11. 求函数y=的定义域. 解　由解得-1<x<0或0<x≤3. 所以函数y=的定义域为(-1，0)∪(0，3]. 12. 函数y=的定义域为　　　　.  答案　(-∞，1] 解析　要使函数有意义，则lg(2-x)≥0， ∴∴x≤1. 故函数的定义域为(-∞，1]. 13. 已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. 解　由f(x)的定义域为R， 得ax2+2x+1>0恒成立， 当a=0时，2x+1>0，x>-不符合题意； 当a≠0时， 由 解得a>1. 即实数a的取值范围为(1，+∞). 14. 已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 解　因为f(x)的值域为R，所以{y|y=ax2+2x+1}⊇(0，+∞)， (也可以说y=ax2+2x+1取遍一切正数) ①当a=0时，y=2x+1可以取遍一切正数，符合题意； ②当a≠0时，需即0<a≤1. 综上，实数a的取值范围为[0，1]. 反思感悟　(1)求形如y=的定义域时，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，结合对数函数的单调性，最后求出x的取值范围. (2)把函数f(x)=logag(x)的定义域为R的问题转化为g(x)>0恒成立问题求解. 15. 已知函数f(x)=的值域为[m，+∞)，则(　　) A.m>1 B.m=0 C.m=1 D.0<m<1 答案　B 解析　当x<-1时，f(x)=此时f(x)在(-∞，-1)上单调递减， ∴f(x)>=1； 当x≥-1时，f(x)=ln(x+2)，此时f(x)在[-1，+∞)上单调递增， ∴f(x)≥ln(-1+2)=0. 综上所述，函数f(x)=的值域为[0，+∞)，故m=0. 16. 函数 f(x)=log2x-2在[8]上的值域为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为y=log2x在[8]上单调递增， 所以log2≤log2x≤log28， 即log2x∈. 故log2x-2∈ 即函数f(x)在[8]上的值域为. 题型4反函数问题 17. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的图象与的图象关于直线对称， 故与互为反函数，故， 所以. 故选：C 18. 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(f(2))的值为(　　) A.16 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　函数y=2x的反函数是y=log2x， 即f(x)=log2x. ∴f(f(2))=f(log22)=f(1)=log21=0. 19. 函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 20. 若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.  答案　 解析　函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的值域为 因为函数g(x)是其反函数， 所以函数g(x)的定义域为. 题型5对数函数的图象 21. 函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　) A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 答案　B 解析　令函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好分别是a，b，c，d.直线y=1从左到右依次与上述四个函数的图象交于A(c，1)，B(d，1)，C(a，1)，D(b，1)(图略)，从而得出c<d<a<b.又a>1，b>1，d<1，c<1，∴c<d<1<a<b. 22. 如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　) A.m<0，n>1 B.m>0，n>1 C.m>0，0<n<1 D.m<0，0<n<1 答案　D 解析　根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数， 所以0<n<1. 又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0. 23. 在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】指数函数与轴没有交点，过点，故排除AC， 两个函数的底数互为倒数，一个在，另一个就在，所以两个函数的单调性相反，故排除B.故选：D 24. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为(　　) 答案　D 解析　由f(x)是R上的奇函数，得函数图象关于原点对称，排除A，B. 又当x>0时f(x)=ln(x+1)，排除C. 25. 已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 【答案】 【详解】由，此时. 所以函数的图象过定点. 故答案为： 26. 已知函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A，则点A的坐标为　　　　　　.  答案　(2，4) 解析　令x-1=1得x=2，此时y=4， 即函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A(2，4). 27. 若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　　　，c=　　　　.  答案　-2　2 解析　由题意，得2=loga(3+b)+c. 又当a>0，且a≠1时，loga1=0恒成立， ∴c=2，3+b=1，∴b=-2，c=2. 题型6求对数（型）函数的单调区间 28. （多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A选项，当时，，则函数在上为增函数，A满足条件； 对于B选项，当时，，则函数在上为减函数，B不满足条件； 对于C选项，函数在上为增函数，C满足条件； 对于D选项，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，函数在上不单调，D不满足条件. 故选：AC. 29. （多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 30. 函数的单调增区间为 ． 【答案】（也对） 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 31. 设函数若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，， ∵开口向下，对称轴为，在对称轴的左边单调递增， ∴，解得：； 当时，是以2为底的对数函数，是增函数，故； 综上所述，实数的取值范围是： 故答案为： 题型7已知单调性求参数 32. 若函数，在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得． 故答案为： 33. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于在上单调递增， 而在上单调递增，函数在上单调递增， 所以，所以， 故的取值范围是. 故选：A． 34. 已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为在定义域内单调递增， 由题意可得：在上单调递增，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型8比较两数的大小 35. (课本例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1). 解　(1)log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值.因为底数2>1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5. (2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值.因为底数0.3<1，对数函数y=log0.3x是减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7. (3)loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值.对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论. 当a>1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1<5.9，所以loga5.1<loga5.9； 当0<a<1时，因为函数y=logax是减函数，且5.1<5.9，所以loga5.1>loga5.9. 36. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是减函数，是增函数， 所以，，， 所以.故选：B. 37. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，，， 又，，. 故选：B. 题型9解简单的对数不等式 38. 设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选：A． 39. 已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得， 故， 所以. 故选：B 40. 已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，则，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 41. 不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】解：由对数函数的性质可得：，解得：， ，且为递减函数， ，解得：， 综上所述：不等式的解集为．故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 对数函数的图象及性质 目录 一、对数函数的概念 1 二、对数函数的图象及性质 1 1.对数函数的图象及性质 1 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 2 3.反函数 2 三、指数函数、对数函数、一次函数的增长差异 2 题型1对数函数的概念 2 题型2求对数函数的解析式或函数值 4 题型3对数函数的定义域（值域）问题 5 题型4反函数问题 7 题型5对数函数的图象 8 题型6求对数（型）函数的单调区间 10 题型7已知单调性求参数 12 题型8比较两数的大小 13 题型9解简单的对数不等式 14 01 学习新知 一、对数函数的概念 函数，且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 温馨提示：（1）对数函数是由指数函数反解后将互换得到的． （2）无论是指数函数还是对数函数，都有其底数，且 二、对数函数的图象及性质 1.对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 定点 过定点 单调性 是上的增函数 是上的减函数 2．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得. 3.反函数 指数函数，且和对数函数，且)互为反函数． 三、指数函数、对数函数、一次函数的增长差异 （1）在区间上，函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上． （2）在区间上随着的增大增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢． （3）存在一个，使得当时，有． 02 经典题型 题型1对数函数的概念 1. 下列函数中是对数函数的有(　　) A.y=lox2 B.y=log3(x-1) C.y=log(x+1)x D.y=logπx 2. 下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 3. （多选）下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 4. 若函数y=logax+a2-3a+2为对数函数，则a=　　　　　　.  题型2求对数函数的解析式或函数值 5. 已知对数函数的图象过点． (1)求的解析式； (2)解方程． 6. 已知函数是对数函数，且，则 ． 7. 已知为上的偶函数，当时，，则 ． 题型3对数函数的定义域（值域）问题 8. (课本例1)求下列函数的定义域： (1)y=log3x2； (2)y=loga(4-x)(a>0，且a≠1). 9. 　函数y=lg的定义域为　　　　.  10. 求函数y=log(3x-1)的定义域. 11. 求函数y=的定义域. 12. 函数y=的定义域为　　　　.  13. 已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围. 14. 已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1).若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围. 15. 已知函数f(x)=的值域为[m，+∞)，则(　　) A.m>1 B.m=0 C.m=1 D.0<m<1 16. 函数 f(x)=log2x-2在[8]上的值域为(　　) A. B. C. D. 题型4反函数问题 17. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 18. 若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(f(2))的值为(　　) A.16 B.0 C.1 D.2 19. 函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 20. 若函数g(x)是函数f(x)=2x，x∈[-2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为　　　　.  题型5对数函数的图象 21. 函数y=logax，y=logbx，y=logcx，y=logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　) A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b 22. 如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　) A.m<0，n>1 B.m>0，n>1 C.m>0，0<n<1 D.m<0，0<n<1 23. 在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 24. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=ln(x+1)，则函数f(x)的图象为(　　) 25. 已知且，若函数的图象经过定点，则定点坐标 ． 26. 已知函数y=loga(x-1)+2x(a>0且a≠1)恒过定点A，则点A的坐标为　　　　　　.  27. 若函数y=loga(x+b)+c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b=　　　　，c=　　　　.  题型6求对数（型）函数的单调区间 28. （多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 29. （多选）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 30. 函数的单调增区间为 ． 31. 设函数若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 题型7已知单调性求参数 32. 若函数，在上单调递增，则的取值范围为 . 33. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34. 已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为 . 题型8比较两数的大小 35. (课本例3)比较下列各题中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1). 36. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 37. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 题型9解简单的对数不等式 38. 设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39. 已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 40. 已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 41. 不等式的解集为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $