第八周 第3天 不同函数增长的差异 暑假自学讲义-2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第八周 第 3天 不同函数增长的差异 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． (重点) 3.能根据具体问题选择合适的函数模型. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 几个函数模型增长差异的比较 ❓ 问题　把一次函数y=2x、对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象画到同一坐标系下，观察图象并思考下面问题： (1)这三个函数在区间(0，+∞)内的单调性是怎样的？ 💬 提示　都是单调递增的. (2)当x趋于无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 💬 提示　函数y=2x增长速度最快，y=2x匀速增长，y=lg x的增长速度最慢. 💡知识梳理 　三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0，+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y=kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax ⚠️ 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (3)一次函数增长速度不变，平稳变化. (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 🎯例1-1 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝2x－1，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2　　　　　　　 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2(x＋1) D．f4(x)＝2x－1 【解】由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D. 🎯例1-2 下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 【解】自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A. 常见的函数模型及增长特点： (1)线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型：指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 【解】由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数. 故选C 🎯跟踪练习 1-2 (多选)如图是某厂总产量y与时间x(月)的函数图象，则该厂(　　) A.前3个月总产量增长的速度越来越快 B.前3个月总产量增长的速度越来越慢 C.第3个月到第5个月总产量增长的速度越来越快 D.第3个月到第5个月总产量增长的速度越来越慢 【解】　AD 知识点2 函数增长速度的比较 🎯例2-1 下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y=2 025x B.y=x2 025 C.y=log2 025x D.y=2 025x 【解】比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数的增长速度最快. 故选A 🎯例2-2 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小. 【解】　(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3，曲线C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10， 所以x1<6<x2<2 026， 从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6). 当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 026)>g(2 026). 又因为g(2 026)>g(6)，所以f(2 026)>g(2 026)>g(6)>f(6). 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A.y=6x B.y=log6x C.y=x2 D.y=6x 【解】D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意. 故选B 🎯跟踪练习 2-2　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 【解】(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x). 知识点3 函数模型的选取 🎯例3-1某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 【解】　根据题意可列方程组：解得 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.① 同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t). 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好． 🎯例3-2某某汽车制造商在2025年年初公告：公司计划2025年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示： 年份(年) 2022 2023 2024 产量(万辆) 8 18 30 如果我们将年份2022，2023，2024，2025分别编号为第1，2，3，4年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0，b>0，且b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份编号x的关系？ 【解】　建立年产量y与年份编号x的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30). (1)构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)， 将点的坐标代入，可得解得 则f(x)=x2+7x， 故f(4)=44，与计划误差为1万辆. (2)构造指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0，b>0，且b≠1)， 将点的坐标代入，可得解得则g(x)=-42， 故g(4)=-42=44.4，与计划误差为1.4万辆. 由(1)(2)可得，二次函数模型f(x)=x2+7x能更好地反映该公司年产量y与年份编号x的关系. 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 　某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h=mt+b(m≠0)与h=loga(t+1)(a>0，且a≠1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度. t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 【解】　据表中数据作出散点图如图， 由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理， 将(2，1)代入到h=loga(t+1)中， 得1=loga3，解得a=3.即h=log3(t+1)， 当t=8时，h=log3(8+1)=2， 故可预测第8年松树的高度为2米. 🎯跟踪练习 3-2 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 月份 1 2 3 月产量(千件) 50 52 53.9 为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，a>0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 【解】将(1，50)，(2，52)分别代入两解析式得　(a>0且a≠1) 解得(两方程组的解相同).所以两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48. 当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54； 对于y＝2x＋48有y＝56. 由于56与53.9的误差较大， 所以选函数y＝ax＋b模拟较好． 自学小结 不同函数增长的差异 1.知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不理解三种函数增长的差异. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x　　　　　　　　 B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 【解】D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．故选B. 2．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 【解】将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出． 答案：乙、甲、丙 3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下4个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02； ③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.　 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号) 【解】画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④. 答案：④ 4．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系． 【解】函数f(x)与g(x)的图象如图所示： 根据图象易得： 当0≤x＜4时，f(x)>g(x)； 当x＝4时，f(x)＝g(x)；　 当x>4时，f(x)<g(x). 5. 现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y=x2+1，乙：y=3x-1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用 　　　　作为函数模型.  【解】把x=1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好. 故答案为 甲 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第八周 第 3天 不同函数增长的差异 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义． (重点) 3.能根据具体问题选择合适的函数模型. (难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 几个函数模型增长差异的比较 ❓ 问题　把一次函数y=2x、对数函数y=lg x和指数函数y=2x的图象画到同一坐标系下，观察图象并思考下面问题： (1)这三个函数在区间(0，+∞)内的单调性是怎样的？ (2)当x趋于无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 💡知识梳理 　三种常见函数模型的增长差异 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0，+∞)上的单调性 __________ __________ 单调递增 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过__________的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有__________ 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有__________ ⚠️ 注意点： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型. (3)一次函数增长速度不变，平稳变化. (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 🎯例1-1 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2(x＋1)，f4(x)＝2x－1，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　) A．f1(x)＝x2　　　　　B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2(x＋1) D．f4(x)＝2x－1 🎯例1-2 下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．指数函数模型 D．对数函数模型 常见的函数模型及增长特点： (1)线性函数模型：线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变. (2)指数函数模型：指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型：对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. (4)幂函数模型：幂函数y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 🎯跟踪练习 1-2 (多选)如图是某厂总产量y与时间x(月)的函数图象，则该厂(　　) A.前3个月总产量增长的速度越来越快 B.前3个月总产量增长的速度越来越慢 C.第3个月到第5个月总产量增长的速度越来越快 D.第3个月到第5个月总产量增长的速度越来越慢 知识点2 函数增长速度的比较 🎯例2-1 下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y=2 025x B.y=x2 025 C.y=log2 025x D.y=2 025x 🎯例2-2 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 026)，g(2 026)的大小. 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数. 反思 归纳 🎯跟踪练习 2-1下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A.y=6x B.y=log6x C.y=x2 D.y=6x 🎯跟踪练习 2-2　函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示． (1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 知识点3 函数模型的选取 🎯例3-1某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 🎯例3-2某某汽车制造商在2025年年初公告：公司计划2025年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示： 年份(年) 2022 2023 2024 产量(万辆) 8 18 30 如果我们将年份2022，2023，2024，2025分别编号为第1，2，3，4年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，指数型函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0，b>0，且b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份编号x的关系？ 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 反思 归纳 🎯跟踪练习 3-1 　某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h=mt+b(m≠0)与h=loga(t+1)(a>0，且a≠1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度. t(年) 1 2 3 4 5 6 h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 🎯跟踪练习 3-2 某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 月份 1 2 3 月产量(千件) 50 52 53.9 为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，a>0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由． 自学小结 不同函数增长的差异 1.知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：不理解三种函数增长的差异. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x　　　　　　　　 B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 2．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案． 3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据： x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下4个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02； ③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.　 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号) 4．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系． 5．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y=x2+1，乙：y=3x-1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用 　　　　作为函数模型.  第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $