课时三十六 对数函数的图象与性质(一) 课后练习-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，覆盖对数函数定义域、单调性等核心知识点，从概念理解到综合推理，培养数学抽象与运算能力，适配初升高衔接教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义域、定点、单调性比较|选择1-5（如定点问题）、填空8-9（基础计算），夯实概念理解| |进阶层|不同对数比较、恒成立问题|选择6-7（多函数比较）、填空10-11（参数范围），提升推理能力| |提高层|函数性质综合、不等式应用|解答14-15（奇偶性与单调性证明），培养综合应用意识|

课时三十六　对数函数的图象和性质（一） 课后练习 一、选择题 1.函数f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P在函数(　　)的图象上. A.y=3x+2 B.y=4-x2 C.y=2x D.y=log2x 2.函数y=的定义域是(　　) A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,1] D.(0,1] 3.若loga>1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0,1)∪(1,+∞) 4.已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象可能为(　　) 5.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则(　　) A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 6．已知a＝e，b＝ln 2，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a 7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)是增函数，记a＝f()，b＝f(log3)，c＝f(log5)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b 二、填空题 8.若指数函数f(x)=ax(x∈R)的部分对应值如下表: x -2 0 2 f(x) 4 1 0.25 则不等式loga(x-1)>0的解集为　　　　　.  9.已知函数f(x)=loga(2-ax)(a>0,且a≠1),若存在实数a,使函数f(x)在区间[0,1]上是关于x的减函数,则实数a的取值范围是　　　　　.  10．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是________． 11．若不等式x2－logmx<0在区间(0，)内恒成立，则实数m的取值范围是________． 三、解答题 12.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0<a<1. (1)求函数f(x)的定义域. (2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值. 13.已知函数f(x)=loga(x2-2),且f(2)=1. (1)求a的值; (2)求f(3)的值; (3)解不等式f(x)<f(x+2). 14.已知函数f(x)=ln是奇函数. (1)求m的值. (2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明. 15．已知a＞0且满足不等式22a+1＞25a-2. (1)求实数a的取值范围； (2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集； (3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值． 课时三十六　对数函数的图象和性质（一） 课后练习（答案） 一、选择题 1.函数f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P在函数(　　)的图象上. A.y=3x+2 B.y=4-x2 C.y=2x D.y=log2x 解析:令x+1=1,得x=0.又f(0)=loga1+1=1. 所以P(0,1),将P(0,1)代入各选项,可知只有选项C符合,故选C. 答案:C 2.函数y=的定义域是(　　) A.[1,+∞) B.(0,+∞) C.[0,1] D.(0,1] 解析:要使函数有意义,只需lo(2x-1)≥0=lo1. ∴0<2x-1≤1,解得0<x≤1.故所求函数的定义域为(0,1]. 答案:D 3.若loga>1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0,1)∪(1,+∞) 解析:由loga>1得loga>logaa, 则有解得<a<1. 答案:A 4.已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图象如图所示,则函数g(x)=logb(x+a)的图象可能为(　　) 解析:由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)为增函数,排除A,D.又0<a<1,结合选项可知选B. 答案:B 5.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则(　　) A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析:因为log45>log44=1,1=log55>log54>log53>(log53)2,所以c>a>b. 答案:D 6．已知a＝e，b＝ln 2，c＝log32，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>b>a 解析：∵a＝e>e0＝1，b＝ln 2<ln e＝1， c＝log32<log33＝1，∴a最大， ∵b－c＝ln 2－log32＝－ ＝lg 2·(－)>0，∴b>c，∴a>b>c. 答案：B 7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)是增函数，记a＝f(())，b＝f(log3)，c＝f(log5)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b 解析：∵0<()<()0＝1＝log33<log3<log35，f(x)在(0，＋∞)是增函数， ∴f(log35)>f(log3)>f(())，又f(x)为偶函数，∴f(log35)＝f(－log35)＝f(log5)， ∴f(log5)>f(log3)>f(())，即c>b>a. 答案：A 二、填空题 8.若指数函数f(x)=ax(x∈R)的部分对应值如下表: x -2 0 2 f(x) 4 1 0.25 则不等式loga(x-1)>0的解集为　　　　　.  解析:因为f(-2)=4,所以a-2=4,故a=, 故loga(x-1)>0,即lo(x-1)>0. 所以得1<x<2. 故不等式loga(x-1)>0的解集为(1,2). 答案:(1,2) 9.已知函数f(x)=loga(2-ax)(a>0,且a≠1),若存在实数a,使函数f(x)在区间[0,1]上是关于x的减函数,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:令u=2-ax,∵a>0,且a≠1,∴u=2-ax在区间[0,1]上是关于x的减函数. 又f(x)=loga(2-ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数,∴函数y=logau是关于u的增函数,∴a>1. ∵x∈[0,1]时,u=2-ax恒为正数,∴2-a>0. ∴即1<a<2,故实数a的取值范围为(1,2). 答案:(1,2) 10．已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，且当x≤2时，y＝3－x≥1， 所以解得1＜a≤2. 答案：(1，2] 11．若不等式x2－logmx<0在区间(0，)内恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由x2－logmx<0得x2<logmx. 要使x2<logmx在区间(0，)内恒成立，只要y＝logmx在区间(0，)内的图象在y＝x2的图象的上方，于是0<m<1. 在同一平面直角坐标系中作出y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示． 当x＝时，y＝x2＝. 所以只需当x＝时，logm≥＝logmm成立. 所以≤m，即m≥.又因为0<m<1， 所以≤m<1.故实数m的取值范围是. 答案： 三、解答题 12.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0<a<1. (1)求函数f(x)的定义域. (2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值. 解:(1)要使函数有意义,只需 解得-3<x<1, 所以函数f(x)的定义域为(-3,1). (2)函数f(x)可化为f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4], 因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4, 因为0<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4, 即f(x)min=loga4,故loga4=-4,得a-4=4, 所以a=. 13.已知函数f(x)=loga(x2-2),且f(2)=1. (1)求a的值; (2)求f(3)的值; (3)解不等式f(x)<f(x+2). 解:(1)因为f(2)=1,所以loga(22-2)=1, 即loga2=1,解得a=2. (2)由(1)得函数f(x)=log2(x2-2), 则f(3)=log2[(3)2-2]=log216=4. (3)不等式f(x)<f(x+2), 即log2(x2-2)<log2[(x+2)2-2], 即log2(x2-2)<log2(x2+4x+2). 因为函数y=log2x在区间(0,+∞)上为增函数, 所以解得x>, 所以原不等式的解集为(,+∞). 14.已知函数f(x)=ln是奇函数. (1)求m的值. (2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明. 解:(1)f(-x)=ln=ln, -f(x)=-ln=ln, 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x), 即ln=ln, 所以,解得m=±1. 当m=1时,=-1,函数无意义,所以m=-1. (2)f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,证明如下: 由(1)知f(x)=ln=ln. 任取x1,x2且x2>x1>1, 则. 由x2>x1>1知,x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0, 所以>0, 即>0, 所以1+>1+>0, 所以ln>ln, 即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)在区间(1,+∞)上为减函数. 15．已知a＞0且满足不等式22a+1＞25a-2. (1)求实数a的取值范围； (2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集； (3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上有最小值为－2，求实数a的值． 解：(1)∵22a+1＞25a-2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0，1). (2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)， ∴即解得<x<. 即不等式的解集为(，). (3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1，3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a-2＝＝5，解得a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $