25.2.1.1直接开平方法（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，通过“油漆刷正方体盒子”的实际问题导入，引导学生从列方程x²=25入手，逐步掌握形如x²=p及(mx+n)²=p（p≥0）的方程解法，构建从基础到复杂的知识支架。 其亮点在于以问题驱动学习，结合数学眼光观察现实问题抽象方程，通过“降次”思想培养数学思维中的推理意识，规律总结分p>0、p=0、p<0系统梳理方程根的情况。分层练习覆盖基础到综合题，助力学生发展运算能力，教师可借助清晰脉络提升教学效率。

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.2.1.1直接开平方法 2026年7月29日 人教版九年级上册25.2.1.1直接开平方法专项练习题（全文约1020字） 一、基础知识点填空（每空3分，共30分） 1. 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做________。 2. 形如$$x^2=p(p\geq0)$$的一元二次方程，解为$$x=$$________；当$$p=0$$时，方程有________实数根。 3. 形如$$(mx+n)^2=p(p\geq0,m eq0)$$的方程，可直接开平方得________，再解一元一次方程即可。 4. 若$$x^2=16$$，则$$x=$$________；若$$(x-2)^2=9$$，则$$x-2=$$________。 5. 当$$p<0$$时，方程$$x^2=p$$________实数根（填“有”或“无”）。 6. 方程$$2x^2-8=0$$化简为$$x^2=$$________，再用直接开平方法求解。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 下列方程适合用直接开平方法求解的是（） A.$$x^2+3x=0$$ B.$$(x-1)^2=4$$ C.$$x^2-2x-1=0$$ D.$$x^2+4x+1=0$$ 2. 方程$$x^2-25=0$$的解是（） A.$$x=5$$ B.$$x=-5$$ C.$$x=\pm5$$ D. 无解 3. 方程$$(x+3)^2=0$$的根为（） A.$$x=3$$ B.$$x=-3$$ C.$$x=\pm3$$ D. 无实数根 4. 若方程$$(2x-1)^2=a$$有实数根，则$$a$$的取值范围是（） A.$$a>0$$ B.$$a\geq0$$ C.$$a<0$$ D.$$a\leq0$$ 5. 方程$$3x^2=27$$的解为（） A.$$x=3$$ B.$$x=-3$$ C.$$x=\pm9$$ D.$$x=\pm3$$ 6. 解方程$$(x-2)^2=16$$，正确的步骤是（） A.$$x-2=4$$，$$x=6$$ B.$$x-2=-4$$，$$x=-2$$ C.$$x-2=\pm4$$，$$x_1=6,x_2=-2$$ D. 直接得$$x=\pm4$$ 7. 下列方程无实数根的是（） A.$$x^2-9=0$$ B.$$(x+1)^2=0$$ C.$$(2x-3)^2=-2$$ D.$$x^2=0$$ 三、解答题（共42分） 1. 用直接开平方法解下列一元二次方程（每题6分，共24分） 1. $$x^2-49=0$$ 2. $$4x^2=36$$ 3. $$(x+5)^2=16$$ 4. $$(3x-2)^2=25$$ 2. 用直接开平方法解复杂形式方程（9分） $$2(x-1)^2-8=0$$ 3. 根据题意列方程并求解（9分） 已知一个数的平方与4的差为21，求这个数。 参考答案 一、基础知识点填空 1. 直接开平方法 2. $$\pm\sqrt{p}$$；两个相等的 3. $$mx+n=\pm\sqrt{p}$$ 4. $$\pm4$$；$$\pm3$$ 5. 无 6. $$4$$ 二、选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C 7.C 三、解答题 1. 解：（1）$$x^2=49$$，$$x_1=7，x_2=-7$$ （2）$$x^2=9$$，$$x_1=3，x_2=-3$$ （3）$$x+5=\pm4$$，$$x_1=-1，x_2=-9$$ （4）$$3x-2=\pm5$$，$$x_1=\frac{7}{3}，x_2=-1$$ 2. 解：整理得$$(x-1)^2=4$$，开方得$$x-1=\pm2$$，解得$$x_1=3，x_2=-1$$ 3. 解：设这个数为$$x$$，列方程$$x^2-4=21$$，整理得$$x^2=25$$，解得$$x=\pm5$$，答：这个数为5或-5。 拓展思考题 思考：用直接开平方法解方程时，为什么必须保证等式右边的数非负？ 答：因为任何实数的平方都大于或等于0，负数没有平方根，因此当方程右边为负数时，方程无实数根。 （总字数：1019） 韦东奕介绍：韦东奕是北大青年数学家，现任数学科学学院长聘副教授。早年两度斩获国际数学奥林匹克满分金牌，保送北大深造。深耕偏微分方程领域，科研成果广受认可；平日生活简约，醉心学术，被大众亲切称作 “韦神”。 能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程. 能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. 体会“降次”的数学思想. 新课导入 导入课题 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长. 问题1：本题的等量关系是什么？ 问题2：设正方体的棱长为xdm，请列出方程并化简. 相等 6x2×10=1500 化简为：x2=25 学习目标 （1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一 元二次方程. （2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想. 推进新课 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题1 根据平方根的意义解导入列出的方程： x2=25. 解：根据平方根的意义，得 x= ±5 即 x1=5，x2=-5 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm. 巩固练习 根据平方根的意义解方程 x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8. x=±6 x1=6，x2=-6 x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 规律总结 1. 返回 一元二次方程x2－4＝0的解是(　　) A．x1＝x2＝2 B．x1＝2，x2＝－2 C．x1＝x2＝－2 D．x1＝x2＝4 B 考试考法 8 返回 2. 一元二次方程25x2－1＝0的根是(　　) A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝－5 C．x1＝ ，x2＝－ D．x1＝x2＝ C 考试考法 返回 3. 若一元二次方程4x2－9＝0的根分别是a，b，且a＜b，则a的值为________． 考试考法 知识点2 降次 你认为应怎样解方程(x+3)2=5? 由方程x2=25得x=±5. 以此类推： 由方程(x+3)2=5，可得 解方程 (x+3)2=5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解. 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 , 当p<0时，方程(mx+n)2=p . 无实数根 返回 4. 用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－25＝0； 解：移项、合并同类项，得3x2＝27，即x2＝9. 两边直接开平方，得x1＝3，x2＝－3. (2)3x2－1＝26； 考试考法 (3)49x2－7＝1. 返回 考试考法 巩固练习 (x+6)2－9=0 3(x－1)2－12=0 解：(x+6)2=9 x+6=+3 x1=－3, x2=－9 解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1 随堂演练 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 3. 若8x2-16=0，则x的值是 . D D   举一反三 一元二次方程(x＋6)2＝9可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋6＝3，则另一个一元一次方程为(　　) A．x－6＝3 B．x＋6＝－9 C．x＋6＝9 D．x＋6＝－3 返回 5. D 考试考法 如果关于x的方程(x－3)2＝m＋7可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是(　　) A．m＞3 B．m≥3 C．m＞－7 D．m≥－7 返回 6. D 考试考法 返回 7. 用直接开平方法解一元二次方程 (x－1)2＝9的步骤如下： ①(x－1)2＝36，②x－1＝6，③x＝7. 其中开始出错的步骤是________．(填序号) ② 考试考法 返回 8. [教材P6练习变式]解下列方程： (1)[无锡中考](x－2)2－4＝0； (1)解：移项，得(x－2)2＝4. 两边直接开平方，得x－2＝2或x－2＝－2， 解得x1＝4，x2＝0. (2)2(x＋3)2－10＝0； 考试考法 (3)(2x－1)2＝49； (4)x2－6x＋9＝3. 返回 解：两边直接开平方，得2x－1＝－7或2x－1＝7， 解得x1＝－3，x2＝4. 考试考法 返回 9. 若关于x的方程(ax－1)2－16＝0的一个根是2，则a的值为(　　) D 考试考法 22 返回 10. 若一元二次方程ax2＝1(a>0)的两根分别是m＋1与2m－4，则这两根分别是(　　) A．1，4 B．1，－1 C．2，－2 D．3，0 C 考试考法 23 返回 11. 已知某三角形的两边长分别是5和6，第三边的长是方程(x－3)2＝4的根，则此三角形的周长为(　　) A．18 B．12 C．16 D．12或16 C 考试考法 24 返回 12. [保定校级期末]若关于x的一元二次方程(x－a)2＝4的两个根均为正整数，写出满足条件的一个a的值为____________． 4(答案不唯一) 考试考法 25 13. 【新考法 整体思想】已知(a＋b＋3)(a＋b－3)＝72，则a＋b＝________． ±9 返回 考试考法 14. [教材P6练习变式]解下列方程： (1)4x2＋12x＝－9；    (2)9(2x＋1)2－1＝19； 解：整理，得(2x＋3)2＝0. 两边直接开平方，得2x＋3＝0， 解得x1＝x2＝－ . 返回 考试考法 (3)4(x＋3)2＝25(x－2)2. 返回 解：两边直接开平方，得2(x＋3)＝±5(x－2)， ∴2(x＋3)＝5(x－2)或2(x＋3)＝－5(x－2)， 考试考法 课堂小结 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 , 当p<0时，方程(mx+n)2=p . 无实数根 谢谢观看 THANKS － 解：移项，得9x2＝25，即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. 解：移项、合并同类项，得49x2＝8， 即x2＝. 两边直接开平方，得x1＝，x2＝－. (2)解：移项，得2(x＋3)2＝10，即(x＋3)2＝5. 两边直接开平方，得x＋3＝或x＋3＝－，解得x1＝－3，x2＝－－3. 解：整理，得(x－3)2＝3. 两边直接开平方，得x－3＝±， 解得x1＝3－，x2＝3＋. A． B．－ C．－或 D．或－ 解：移项、合并同类项，得9(2x＋1)2＝20，即(2x＋1)2＝. 两边直接开平方，得2x＋1＝±， 解得x1＝－，x2＝－－. 解得x1＝，x2＝. $