6.1平均数与方差习题课件 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“众数与算术平均数”，以射击训练情境导入，通过观察成绩统计图提问引导学生思考，先讲解众数的定义、确定方法及特别说明，再引入算术平均数公式，结合例题、变式训练和随堂小测构建完整学习支架。 其亮点在于融入射击、阅读、射箭选拔赛等现实情境，培养数据意识与应用意识，通过条形统计图分析、平均数计算等实例发展运算能力和推理意识。采用情境导入与分层训练，学生能提升数据分析能力，教师可直接使用丰富实例与完整教学流程。

第六章　数据的分析 1　平均数与方差 第2课时　加权平均数 数学·八年级上册　 1 某馄饨店每碗有10个馄饨，其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨15元/ 碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗.现 在计划推出一份 “全家福”馄饨，其中蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1 个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个.你认为这种 “全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理？你是怎么想的？ 数学·八年级上册　 　加权平均数 一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则 叫作这n个数的 ⁠. 特别说明：相同数据xi的个数wi叫作权，wi越大，表示xi的个数越多， “权”就越重.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. 加权平均数　 数学·八年级上册　 【例1】数学老师在计算同学们一学期的总评成绩时，将平时、期中和期末 的成绩按2∶3∶5的比例计算.若小明平时、期中和期末的成绩分别是90分、80 分、98分，则小明一学期的数学总评成绩是多少分？ 解：根据题意，得 ＝91（分）. 答：小明一学期的数学总评成绩是91分. 数学·八年级上册　 某校规定学生的体育成绩由三部分组成：早锻炼及体育课外活动 占成绩的20％，体育理论测试占30％，体育技能测试占50％.小颖的上述三项 成绩依次为92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是多少分？ 解：由题意，得92×20％＋80×30％＋84×50％＝84.4（分）. 答：小颖这学期的体育成绩是84.4分. 数学·八年级上册　 　加权平均数的应用 特别说明： 1. 当一组数据较大，并且这些数据都在某一常数a附近上、下波动时，一般 选用简化计算公式 ＝ ′＋a，其中 ′为新数据的平均数，a为取定的接 近这组数据的平均数的较“整”的数. 2. 平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何一个数据的变 动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 3. 算术平均数与加权平均数的区别与联系 数学·八年级上册　 （1）算术平均数是指一组数据的和除以数据个数.加权平均数是指在实际问 题中，每个数据的“重要程度”未必相同，即每个数据的权未必相同，因而 在计算上与算术平均数有所不同. （2）若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因此算术平均 数实质上是加权平均数的一种特例. 数学·八年级上册　 【例2】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态 度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，三名应聘者的测试成绩如 下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 9 8 8 经验 8 6 9 能力 7 8 8 态度 5 7 5 如果将学历、经验、能力和态度四项得分按2∶1∶2∶3的比例确定每个人的最终 得分，并以此为依据确定录用者，那么谁将被录用？ 数学·八年级上册　 解：甲的最终得分为 ＝6.875， 乙的最终得分为 ＝7.375， 丙的最终得分为 ＝7， ∵7.375＞7＞6.875， ∴乙的最终得分高，乙将被录用. 数学·八年级上册　 某学校欲招聘一名数学教师.对甲、乙两位应试者进行了面试和 笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示： 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙 92 83 （1）如果学校认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被 录取？ 解：∵学校认为面试和笔试成绩同等重要， ∴甲成绩的平均数为 ＝88，乙成绩的平均数为 ＝87.5. ∵88＞87.5，∴甲将被录取. 数学·八年级上册　 （2）如果学校认为，作为数学教师面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分 别赋予它们7和3的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 解：∵面试成绩和笔试成绩分别赋予7和3的权， ∴甲成绩的平均数为86× ＋90× ＝87.2， 乙成绩的平均数为92× ＋83× ＝89.3. ∵87.2＜89.3，∴乙将被录取. 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙 92 83 数学·八年级上册　 1. （2025•福田区红岭教育集团月考）校学生会为招募新会员组织了一次测 试，小华的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分.若依次按照 3∶2∶5的比例确定最终成绩，则小华的最终成绩为（　C　）分. A. 75 B. 80 C. 77 D. 79 C 数学·八年级上册　 2. （2024•光明区期末）某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、 乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表： 作品 项目 甲 乙 丙 丁 创新性 90 95 90 90 实用性 90 90 95 85 如果按照创新性占60％，实用性占40％计算总成绩，并根据总成绩择优推 荐，那么应推荐的作品是（　B　）. B A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 数学·八年级上册　 3. （2025•宝安区实验学校月考）某超市对员工进行三项测试：电脑操作、销 售术语、商品知识，并将三项测试按5∶3∶2的比例计算测试总分，若某员工三 项测试的得分分别是80，70，90，则他的总分为 ⁠. 4. （2025•南山区麒麟中学模考）某班级课堂从“理解”“归纳”“运 用”“综合”“参与”等五方面按2∶2∶1∶2∶3对学生学习过程进行课堂评价.某 学生在课堂上五个方面的得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 ⁠. 79　 8　 数学·八年级上册　 5. 某单位招聘员工，采取笔试和面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分 均为100分.6名选手得分如下表： 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合 成绩的满分仍为100分）. 数学·八年级上册　 （1）已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百 分比； 解：设笔试成绩和面试成绩分别占的百分比是x，y.根据题意得 解得 答：笔试成绩和面试成绩分别占的百分比是40％，60％. 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 数学·八年级上册　 （2）在（1）的条件下，求2号选手的综合成绩. 解：92×40％＋88×60％＝89.6（分）. 答：2号选手的综合成绩是89.6分. 考试方式 1号选手 2号选手 3号选手 4号选手 5号选手 6号选手 笔试成绩/分 85 92 84 90 84 80 面试成绩/分 90 88 86 90 80 85 数学·八年级上册　 6. （2025•罗湖区模考）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为 了选择一个最合适的景区，王先生对A，B，C三个景区进行了调查与评估. 他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评 分（10分制）.三个景区的得分如下表所示： 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 数学·八年级上册　 （1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区 去游玩？ 解：A景区得分为6×30％＋8×15％＋7×40％＋9×15％＝7.15（分）， B景区得分为7×30％＋7×15％＋8×40％＋7×15％＝7.4（分）， C景区得分为8×30％＋8×15％＋6×40％＋6×15％＝6.9（分）. ∵6.9＜7.15＜7.4， ∴王先生会选择B景区去游玩. 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 数学·八年级上册　 （2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生会选择哪个景 区去游玩？ 解：A景区得分为 ＝7.5（分），B景区得分为 ＝7.25（分），C景区得分为 ＝7（分）. ∵7＜7.25＜7.5， ∴王先生会选择A景区去游玩. 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 数学·八年级上册　 （3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百 分比，选择最合适的景区，并说明理由. 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 A 6 8 7 9 B 7 7 8 7 C 8 8 6 6 数学·八年级上册　 解：最合适的景区是B景区.理由如下：设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为30％，20％，40％，10％，A景区得分为 6×30％＋8×20％＋7×40％＋9×10％＝7.1（分）， B景区得分为7×30％＋7×20％＋8×40％＋7×10％＝7.4（分）， C景区得分为8×30％＋8×20％＋6×40％＋6×10％＝7（分）. ∵7＜7.1＜7.4， ∴王先生会选择B景区去游玩. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　加权平均数 例1　解：根据题意，得 ＝91（分）. 答：小明一学期的数学总评成绩是91分. 变式训练1　解：由题意，得92×20％＋80×30％＋84×50％＝84.4（分）. 答：小颖这学期的体育成绩是84.4分. 数学·八年级上册　 知识点2　 例2　解：甲的最终得分为 ＝6.875， 乙的最终得分为 ＝7.375， 丙的最终得分为 ＝7， ∵7.375＞7＞6.875， ∴乙的最终得分高，乙将被录用. 数学·八年级上册　 变式训练2　解：（1）∵学校认为面试和笔试成绩同等重要， ∴甲成绩的平均数为 ＝88， 乙成绩的平均数为 ＝87.5. ∵88＞87.5，∴甲将被录取. （2）∵面试成绩和笔试成绩分别赋予7和3的权， ∴甲成绩的平均数为86× ＋90× ＝87.2， 乙成绩的平均数为92× ＋83× ＝89.3. ∵87.2＜89.3，∴乙将被录取. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. C　2.B　3.79　4.8 5. 解：（1）设笔试成绩和面试成绩分别占的百分比是x，y. 根据题意得 解得 答：笔试成绩和面试成绩分别占的百分比是40％，60％. （2）92×40％＋88×60％＝89.6（分）. 答：2号选手的综合成绩是89.6分. 数学·八年级上册　 6. 解：（1）A景区得分为6×30％＋8×15％＋7×40％＋9×15％＝7.15 （分）， B景区得分为7×30％＋7×15％＋8×40％＋7×15％＝7.4（分）， C景区得分为8×30％＋8×15％＋6×40％＋6×15％＝6.9（分）. ∵6.9＜7.15＜7.4，∴王先生会选择B景区去游玩. 数学·八年级上册　 （2）A景区得分为 ＝7.5（分）， B景区得分为 ＝7.25（分）， C景区得分为 ＝7（分）. ∵7＜7.25＜7.5， ∴王先生会选择A景区去游玩. 数学·八年级上册　 （3）最合适的景区是B景区.理由如下： 设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面的占比分别为30％， 20％，40％，10％， A景区得分为6×30％＋8×20％＋7×40％＋9×10％＝7.1（分）， B景区得分为7×30％＋7×20％＋8×40％＋7×10％＝7.4（分）， C景区得分为8×30％＋8×20％＋6×40％＋6×10％＝7（分）. ∵7＜7.1＜7.4， ∴王先生会选择B景区去游玩. 数学·八年级上册　 $第六章　数据的分析 1　平均数与方差 第4课时　组内离差平方和 数学·八年级上册　 1 某日，A，B两地的气温如图所示. （1）不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点. （2）分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的 看法一致吗？ 数学·八年级上册　 　 组内离差平方和 组内离差平方和的概念：多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平 方和的 ⁠. 和　 数学·八年级上册　 【例】对于数据2，3，3，4，4，4，5，5，5，5，以下分组方式中组内离差 平方和最小的是（　B　）. A. 第一组2，3，3，4；第二组4，4，5，5，5，5， B. 第一组2，3，3；第二组4，4，4，5，5，5，5 C. 第一组2，3；第二组3，4，4，4，5，5，5，5 D. 第一组2；第二组3，3，4，4，4，5，5，5，5 B 数学·八年级上册　 解析：A选项，第一组数据2，3，3，4的平均数为3，组内离差平方和为2， 第二组数据4，4，5，5，5，5的平均数为4.67，组内离差平方和为1.33，两 组组内离差平方和为3.33；B选项，第一组数据2，3，3的平均数为2.67，组 内离差平方和为0.67，第二组数据4，4，4，5，5，5，5的平均数为4.57，组 内离差平方和为1.71，两组组内离差平方和为2.38；C选项，第一组数据2， 3的平均数为2.5，组内离差平方和为0.5，第二组数据3，4，4，4，5，5， 5，5的平均数为4.375，组内离差平方和为3.875，两组组内离差平方和为 4.375；D选项，第一组数据2的平均数为2，组内离差平方和为0，第二组数据3，3，4，4，4，5，5，5，5的平均数为4.22，组内离差平方和为5.56，两组组内离差平方和为5.56.故组内离差平方和最小的是选项B. 数学·八年级上册　 为考察某品种小麦的长势，测量了8株麦苗的高（单位：cm），结 果如下：21，21，22，23，23，24，25，25.按照“组内离差平方和达到最 小”的方法，把这8个数据分成两组. 解：把这8个数据分成两组，共有7种情况： 第一组1个数据{21}，第二组7个数据{21，22，…，25}； 第一组2个数据{21，21}，第二组6个数据{22，23，…，25}； …； 第一组7个数据{21，21，22，23，23，24，25}，第二组1个数据{25}. 分别计算每种分法的组内离差平方和，依次为 ， ， ， ， ， ， ，其中组内离差平方和最小的分组是{21，21，22}，{23，23，24，25， 25}和{21，21，22，23，23}，{24，25，25}. 数学·八年级上册　 1. 下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（　B　）. A. 比较动物兽药的疗效 B. 将学生按期末成绩分组 C. 分析股票价格波动 D. 预测天气随海拔的变化 B 数学·八年级上册　 2. 如果组内离差平方和很大，说明（　B　）. A. 组间差异大 B. 组内差异大 C. 总差异小 D. 均值相等 B 数学·八年级上册　 3. 把5个数据－1，3，1，5，4分成{－1，1}和 {3，4，5}两组，则这种分组情 况的组内离差平方和为 ⁠. 解析：组{－1，1}的平均数为 ＝0， 则组{－1，1}的离差平方和为（－1－0）2＋（1－0）2＝1＋1＝2， 组{3，4，5}的平均数为 ＝4， 则组{3，4，5}的离差平方和为（3－4）2＋（4－4）2＋（5－4）2＝1＋0＋1 ＝2， ∴这种分组情况的组内离差平方和为2＋2＝4. 4　 数学·八年级上册　 4. 学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培 养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成 两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植 物的最优分组序号是 ⁠. 序号 分组情况 组内离差平方和 ① 第一组1个，第二组3个 44 ② 第一组2个，第二组2个 28 ③ 第一组3个，第二组1个 16.67 ③　 数学·八年级上册　 解析：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差平方和 最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得16.67＜28＜44， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 数学·八年级上册　 5. 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小张将一组数据分成了两组 {2，4}和{8，10，12}，求这两组数据的组内离差平方和. 解：第一组数据： ＝ ＝3，离差平方和为（2－3）2＋（4－3）2＝2； 第二组数据： ＝ ＝10，离差平方和为（8－10）2＋（10－10）2＋ （12－10）2＝8. 故这两组数据的组内离差平方和为2＋8＝10. 数学·八年级上册　 6. （根据教材P153例3改编）把数据8，4，2，3，10分成三组，根据“组内 离差平方和最小”的原则，应该如何分？ 解：将5个数据分成3组，有“1，2，2”“1，1，3”两种分组方式，将数据 按从小到大排序为2，3，4，8，10.当按“1，2，2”进行分组时，要使组内 离差平方和最小，必须使组内数据间差值最小， 所以应该分组为{2，3}，{4}，{8，10}或{2} ，{3，4} ，{8，10}. 按{2，3}，{4}，{8，10}分组时，第一组的平均数为 ＝2.5，离差平方和 为（2.5－2）2＋（2.5－3）2＝0.5； 数学·八年级上册　 第二组离差平方和为0；第三组的平均数为 ＝9，离差平方和为（9－ 8）2＋（9－10）2＝2. 按{2}，{3，4}，{8，10}分组时，第一组离差平方和为0；第二组的平均数为 ＝3.5， 离差平方和为（3.5－3）2＋（3.5－4）2＝0.5； 第三组的平均数为 ＝9，离差平方和为（9－8）2＋（9－10）2＝2. 当按“1，1，3”进行分组时，要使组内离差平方和最小，必须使组内数据间 差值最小， 数学·八年级上册　 所以应该分组为{2，3，4}，{8} ，{10}， 第一组的平均数为 ＝3， 离差平方和为（3－2）2＋（3－3）2＋（3－4）2＝2； 第二组离差平方和为0； 第三组离差平方和为0. 按{2，3} ，{4}，{8，10}分组和按{2} ，{3，4}，{8，10}分组，组内离差平方 和均为0.5＋2＝2.5； 按{2，3，4}，{8}，{10}分组，组内离差平方和为2. 因为2＜2.5，所以最优分组为{2，3，4}，{8}，{10}. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点　和 例　B　解析：A选项，第一组数据2，3，3，4的平均数为3，组内离差平方 和为2，第二组数据4，4，5，5，5，5的平均数为4.67，组内离差平方和为 1.33，两组组内离差平方和为3.33；B选项，第一组数据2，3，3的平均数为 2.67，组内离差平方和为0.67，第二组数据4，4，4，5，5，5，5的平均数为 4.57，组内离差平方和为1.71，两组组内离差平方和为2.38；C选项，第一 组数据2，3的平均数为2.5，组内离差平方和为0.5，第二组数据3，4，4， 4，5，5，5，5的平均数为4.375，组内离差平方和为3.875，两组组内离差平 方和为4.375；D选项，第一组数据2的平均数为2，组内离差平方和为0，第 二组数据3，3，4，4，4，5，5，5，5的平均数为4.22，组内离差平方和为 5.56，两组组内离差平方和为5.56.故组内离差平方和最小的是选项B. 数学·八年级上册　 变式训练　解：把这8个数据分成两组，共有7种情况： 第一组1个数据{21}，第二组7个数据{21，22，…，25}； 第一组2个数据{21，21}，第二组6个数据{22，23，…，25}； …； 第一组7个数据{21，21，22，23，23，24，25}，第二组1个数据{25}. 分别计算每种分法的组内离差平方和，依次为 ， ， ， ， ， ， ， 其中组内离差平方和最小的分组是{21，21，22}，{23，23，24，25，25}和 {21，21，22，23，23}，{24，25，25}. 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. B　2.B 3.4　解析：组{－1，1}的平均数为 ＝0， 则组{－1，1}的离差平方和为（－1－0）2＋（1－0）2＝1＋1＝2， 组{3，4，5}的平均数为 ＝4， 则组{3，4，5}的离差平方和为（3－4）2＋（4－4）2＋（5－4）2＝1＋0＋1 ＝2， ∴这种分组情况的组内离差平方和为2＋2＝4. 数学·八年级上册　 4. ③　解析：由题意可知，要使同组内植物株高尽量接近，需选择组内离差 平方和最小的分组. 比较表格中三组的组内离差平方和，得16.67＜28＜44， 因此序号③的组内离差平方和最小，为最优分组. 5. 解：第一组数据： ＝ ＝3，离差平方和为（2－3）2＋（4－3）2＝2； 第二组数据： ＝ ＝10，离差平方和为（8－10）2＋（10－10）2＋ （12－10）2＝8. 故这两组数据的组内离差平方和为2＋8＝10. 数学·八年级上册　 6. 解：将5个数据分成3组，有“1，2，2”“1，1，3”两种分组方式， 将数据按从小到大排序为2，3，4，8，10. 当按“1，2，2”进行分组时，要使组内离差平方和最小，必须使组内数据 间差值最小， 所以应该分组为{2，3}，{4}，{8，10}或{2} ，{3，4} ，{8，10}. 按{2，3}，{4}，{8，10}分组时，第一组的平均数为 ＝2.5， 离差平方和为（2.5－2）2＋（2.5－3）2＝0.5； 第二组离差平方和为0； 第三组的平均数为 ＝9， 数学·八年级上册　 离差平方和为（9－8）2＋（9－10）2＝2. 按{2}，{3，4}，{8，10}分组时，第一组离差平方和为0； 第二组的平均数为 ＝3.5， 离差平方和为（3.5－3）2＋（3.5－4）2＝0.5； 第三组的平均数为 ＝9， 离差平方和为（9－8）2＋（9－10）2＝2. 当按“1，1，3”进行分组时，要使组内离差平方和最小，必须使组内数据 间差值最小， 所以应该分组为{2，3，4}，{8} ，{10}， 数学·八年级上册　 第一组的平均数为 ＝3， 离差平方和为（3－2）2＋（3－3）2＋（3－4）2＝2； 第二组离差平方和为0； 第三组离差平方和为0. 按{2，3} ，{4}，{8，10}分组和按{2} ，{3，4}，{8，10}分组，组内离差平方 和均为0.5＋2＝2.5； 按{2，3，4}，{8}，{10}分组，组内离差平方和为2. 因为2＜2.5，所以最优分组为{2，3，4}，{8}，{10}. 数学·八年级上册　 $第六章　数据的分析 1　平均数与方差 第3课时　离差平方和、方差与标准差 数学·八年级上册　 1 在之前的射击问题中，甲与丁每次的射击成绩如图所示，他们的平均成绩都 是8环，两个人的射击表现一样吗？你对甲、丁的射击表现有什么评价？ （1）你觉得谁发挥得更稳定？你的理由是什么？ （2）你能设法通过计算说明两人成绩的稳定程度吗？ 数学·八年级上册　 　离差平方和 离差平方和的概念：离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即 S2＝① ⁠. （x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2　 数学·八年级上册　 【例1】（2025•青岛市期末）有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位： 分）分别是80，80，90，75，75，80.这组数据的离差平方和是（　D　）. A. 5 B. 25 C. 125 D. 150 解析：数据总和＝80＋80＋90＋75＋75＋80＝480， 平均值＝480÷6＝80， ∴离差平方和＝（80－80）2×3＋（90－80）2×1＋（75－80）2×2 ＝0×3＋100×1＋25×2＝0＋100＋50＝150. D 数学·八年级上册　 为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每 人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为 ⁠. 解析：数据的平均数为 ＝ ＝4. 离差平方和为（5－4）2＋（5－4）2＋（4－4）2＋（3－4）2＋（3－4）2 ＝1＋1＋0＋1＋1＝4. 4　 数学·八年级上册　 　方差与标准差 方差的概念：方差是各个数据与它们平均数之差的平方的平均数，即② ⁠ ，其中， 是x1， x2，…，xn的平均数，s2是方差. 标准差的概念：方差的③ 叫标准差，用符号s表示，即s＝ . 特别说明：一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组 新数据的方差不变；一组数据的每一个数都变为原来的k倍，则所得的一组 新数据的方差变为原来的k2倍. s2 ＝ ［（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2］　 算术平方根　 数学·八年级上册　 【例2】若数据甲1，2，3，4，5的方差为 ，数据乙2，3，3，3，4的方差 为 ，则（　A　）. A. ＞ B. ＝ C. ＜ D. 无法确定 A 数学·八年级上册　 已知一组数据3，a，4，6，7，它们的平均数是5，求a的值及该 组数据的方差. 解：∵它们的平均数是5， ∴3＋a＋4＋6＋7＝5×5，解得a＝5， ∴s2＝ ×［（3－5）2＋（5－5）2＋（4－5）2＋（6－5）2＋ （7－5）2］＝2. 数学·八年级上册　 　方差的意义 方差反映了一组数据的波动大小，方差越④ ，波动性越大；方差越 ⑤ ，波动性越小，即这组数据越稳定. 特别说明：一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定. 大　 小　 数学·八年级上册　 【例3】某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数 学成绩的平均分都是129分，方差分别是 ＝3.6， ＝4.6， ＝6.3， ＝7.3，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是（　A　）. A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方 差是0.12，乙的方差是0.05，这5次短跑训练成绩较稳定的是 .（填 “甲”或“乙”） A 乙　 数学·八年级上册　 1. （2025•深圳外国语学校期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员 最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩 好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　A　）. 甲 乙 丙 丁 平均数/cm 186 182 186 182 方差 3.2 3.2 6.5 6.0 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 A 数学·八年级上册　 2. （2025•福田区红岭中学月考）甲、乙、丙三名学生参加掷实心球体育项目 测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下： ＝1.5， ＝0.8， ＝3.2，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是 ⁠. 3. （2024•罗湖外国语初中学校模考）下列有关个人收入的统计量中，最能体 现共同富裕要求的是（　C　）. A. 平均数小，方差大 B. 平均数小，方差小 C. 平均数大，方差小 D. 平均数大，方差大 乙　 C 数学·八年级上册　 4. 已知一组数据的离差平方和S2＝（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋（x3－ ）2 ＋（x4－ ）2＝20，则这组数据的方差s2的值是 ⁠. 解析：一组数据的离差平方和S2＝（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋（x3－ ）2 ＋（x4－ ）2＝20， ∴这组数据的方差s2的值是s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋（x3－ ）2＋ （x4－ ）2]＝ ×20＝5. 5　 数学·八年级上册　 5. （2025•深圳市模考）《义务教育劳动教育课程标准》（2022年版）首次 把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有5名学生已经学 会炒的菜品的种数依次为3，4，3，5，5，则这组数据的方差是 ⁠. 解析：平均数为3＋4＋3＋5＋5＝4， ∴方差为 ×[（3－4）2＋（4－4）2＋（3－4）2＋（5－4）2＋（5－42）] ＝ ×（1＋0＋1＋1＋1）＝0.8. 0.8　 数学·八年级上册　 6. 在某校举办的演讲比赛中，六位评委给甲选手的评分分别为（单位：分） 8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则甲选手此次演讲比赛得分的离差平方和 为 　 　，方差是 　 　，标准差是 　 　. 　 　 　 数学·八年级上册　 7. （2024•深圳市适应性考试）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果 及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和 投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两 家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司 的相关评价，并整理、描述、分析如下： a.配送速度得分（满分10分）： 甲：6　6　7　7　7　8　9　9　9　10 乙：6　7　7　8　8　8　8　9　9　10 数学·八年级上册　 b.服务质量得分统计图（满分10分）： c.配送速度和服务质量得分统计表： 　　　项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 数学·八年级上册　 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的m＝ ； （填“＞”“＝”或“＜”）. 7.5　 ＜　 　　　项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 数学·八年级上册　 解：7.5　＜ 解析：由题意可得m＝ ＝7.5， ＝ ×［3×（7－7）2＋4×（8－7）2 ＋2×（6－7）2＋（5－7）2］＝1， ＝ ×［（4－7）2＋（8－7）2＋ 2×（10－7）2＋2×（6－7）2＋（9－7）2＋2×（5－7）2＋（7－7）2］ ＝4.2， ∴ ＜ .故答案为7.5；＜. 数学·八年级上册　 （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由. 解：甲公司.理由：∵配送速度甲公司和乙公司的得分相差不大，服务质 量甲公司和乙公司得分的平均数相同， 但是甲公司的方差明显小于乙公司的 方差， ∴甲公司更稳定， ∴小丽应选择甲公司. 　　　项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 数学·八年级上册　 （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信 息？（列出一条即可） 解：还应收集甲、乙两家公司的 收费情况.（答案不唯一，合理即可） 　　　项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　① ＋ ＋…＋ 例1　D　解析：数据总和＝80＋80＋90＋75＋75＋80＝480， 平均值＝480÷6＝80，∴离差平方和＝（80－80）2×3＋（90－80）2×1＋ （75－80）2×2＝0×3＋100×1＋25×2＝0＋100＋50＝150. 变式训练1　4　解析：数据的平均数为 ＝ ＝4. 离差平方和为（5－4）2＋（5－4）2＋（4－4）2＋（3－4）2＋（3－4）2 ＝1＋1＋0＋1＋1＝4. 数学·八年级上册　 知识点2　②s2＝ [＋ ＋…＋ ]　③算术 平方根 例2　A 变式训练2　解：∵它们的平均数是5， ∴3＋a＋4＋6＋7＝5×5，解得a＝5， ∴s2＝ ×[（3－5）2＋（5－5）2＋（4－5）2＋（6－5）2＋（7－5）2]＝2. 知识点3　④大　⑤小 例3　A 变式训练3　乙 数学·八年级上册　 【随堂小测】 1. A　2.乙　3.C 4.5　解析：一组数据的离差平方和S2＝（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋（x3－ ）2＋（x4－ ）2＝20， ∴这组数据的方差s2的值是s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋（x3－ ）2＋ （x4－ ）2]＝ ×20＝5. 数学·八年级上册　 5. 0.8　解析：平均数为3＋4＋3＋5＋5＝4， ∴方差为 ×[（3－4）2＋（4－4）2＋（3－4）2＋（5－4）2＋（5－42）]＝ ×（1＋0＋1＋1＋1）＝0.8. 6. 　 　 数学·八年级上册　 7. 解：（1）7.5　＜　解析：由题意可得m＝ ＝7.5， ＝ ×[3×（7 －7）2＋4×（8－7）2＋2×（6－7）2＋（5－7）2]＝1， ＝ ×[（4－ 7）2＋（8－7）2＋2×（10－7）2＋2×（6－7）2＋（9－7）2＋2×（5－7）2 ＋（7－7）2]＝4.2，∴ ＜ .故答案为7.5；＜. （2）甲公司.理由：∵配送速度甲公司和乙公司的得分相差不大，服务 质量甲公司和乙公司得分的平均数相同，但是甲公司的方差明显小于乙 公司的方差， ∴甲公司更稳定，∴小丽应选择甲公司. （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况.（答案不唯一，合理即可） 数学·八年级上册　 $第六章　数据的分析 1　平均数与方差 第1课时　众数与算术平均数 数学·八年级上册　 1 在某次的射击训练中，甲、乙、丙、丁四人的成绩如图所示： （1）观察统计图，甲的哪个射击成绩出现次数最多？其他选手呢？ （2）不计算，请你尝试判断谁的射击成绩最好.你是怎么判断的？ （3）算一算，验证你的判断是否正确. 数学·八年级上册　 众数 一组数据中，出现次数① 的那个数据叫作这组数据的众数. 特别说明： 1. 一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个； 如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. 2. 众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是数据出现的次数. 3. 确定众数的两种方法：（1）当数据不多时，找一组数据的众数可以用观 察法； （2）当一组数据众多，不易观察时，可以用列表的形式先把各数据出现的 次数全部统计出来，再确定众数. 最多　 数学·八年级上册　 【例1】已知一组数据：3，1，4，2，1，3，1，则这组数据的众数为 （　A　）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动 中，随机调查了本校八年级7名同学在近5个月内每人阅读课外书的数量，数 据如下：14，15，13，13，18，15，15.请问阅读课外书数量的众数是 （　C　）. A. 13 B. 14 C. 15 D. 18 A C 数学·八年级上册　 　平均数 一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把 （x1＋x2＋…＋xn）叫作这 n个数的② ，简称平均数，记为 .计算公式为③ ⁠ ⁠. 特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集 中趋势. 算术平均数　 ＝ （x1＋x2＋…＋xn）　 数学·八年级上册　 【例2】在一次体操比赛中，若七位评委给某参赛队打的分数分别为92，86，88，87，92，94，86，则去掉一个最高分和一个最低分后，余下分数的平均数是 ⁠. （2025•南山区前海学校模考）一组数据7，5，－2，5，10的平 均数是 ⁠. 89　 5　 数学·八年级上册　 1. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为25，26，26，27，27， 27，30，30，则这组数据的众数是（　C　）. A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 2. 一组数据5，7，6，3，4的平均数是（　A　）. A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 C A 数学·八年级上册　 3. 如图是根据某次射箭选拔赛中选手的成绩绘制的条形统计图，则这次选拔 赛的成绩数据正确的是（　B　）. A. 众数是8 B. 众数是9 C. 平均数是9.7 D. 平均数是9.2 解析：平均数为（2×7＋7×8＋8×9＋1×10）÷（2＋7＋8＋1）≈8.4 （环），其中出现次数最多的是9，故众数是9. B 数学·八年级上册　 4. 2024年全国两会提出：以科技创新推动产业创新，以前沿技术催生新产 业、新模式、新动力，发展新质生产力，促进高质量发展.某学校数学社团 使用问卷星App发起了“人工智能（AI）知多少？”的问卷调查，把知道的 程度由低到高分别记为1分、2分、3分、4分、5分，画出的扇形统计图如图所 示，则打分的众数为 分. 1　 数学·八年级上册　 5. （2025•南京市期末）已知一组数据7，x，7，8.若这组数据的众数和平均 数恰好相等，则x的值为（　B　）. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：∵这组数据的众数和平均数恰好相等， ∴众数只有1个，这组数据中7出现的次数最多，则众数为7， ∴平均数为7， ∴ ＝7，解得x＝6. B 数学·八年级上册　 6. （2025•宝安实验中学月考）小明想调查某个高速公路入口处每天的汽车流 量（单位：辆）.一天，他从上午8：00～11：00在该入口处，每隔相等的一 段时间作一次统计，共统计了8次，数据如表： 记录的次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 3 min内通过的汽车 流量 51 50 64 62 58 55 55 53 试估计：这天上午这3 h内共有 辆汽车通过该入口. 解析：每3 min的平均汽车流量为（51＋50＋64＋62＋58＋55＋55＋53）÷8 ＝56（辆），所以可以估计这天上午这3 h通过该入口的车次大约为56× （3×60÷3）＝3 360（辆）. 3 360　 数学·八年级上册　 7. （2024•福田区三模）第七次全国人口普查显示，我国60岁及以上人口约为 26 402万人，占全国人口的18.7％，老年人已成为我们社会中不可忽视的一 个重要群体.某社区想了解本社区老年人的健康意识，随机调查了该社区 10％的老年人某一周锻炼身体的次数，并将调查结果绘制成如下条形统计图和 扇形统计图（均不完整）. 数学·八年级上册　 （1）请将上述条形统计图和扇形统计图补充完整. 解：根据题意得调查总人数为420÷28％＝1 500， ∴7次及以上的人数为1 500－420－720＝360，3至6次的百分比为 100％－24％－28％＝48％. 补全统计图如图. 数学·八年级上册　 （2）请根据调查结果估计本社区该周锻炼身体的次数在3至6次的老年人的 人数. 解：该社区总人数为1 500÷10％＝15 000， 15 000×48％＝7 200. 答：估计本社区该周锻炼身体的次数在3至6次的老年人的人数为7 200. 数学·八年级上册　 （3）学生小华利用课余时间从这个社区该周锻炼身体次数为4次的老年人中 随机调查了40人，对他们每次锻炼身体的平均时间进行了统计，统计结果如 下表所示. 时间/h 0.5 1 1.5 2 人数 18 12 6 4 请你计算这40位老年人每次锻炼身体的平均时间. 解：∵ ×（0.5×18＋1×12＋1.5×6＋2×4）＝0.95（h）， ∴这40位老年人每次锻炼身体的平均时间为0.95 h. 数学·八年级上册　 【新课导学】 知识点1　①最多 例1　A 变式训练1　C 知识点2　②算术平均数　③ ＝ （x1＋x2＋…＋xn） 例2　89 变式训练2　5 【随堂小测】 1. C　2.A 数学·八年级上册　 3. B　解析：平均数为（2×7＋7×8＋8×9＋1×10）÷（2＋7＋8＋1） ≈8.4（环），其中出现次数最多的是9，故众数是9. 4.1 5. B　解析：∵这组数据的众数和平均数恰好相等，∴众数只有1个，这 组数据中7出现的次数最多，则众数为7，∴平均数为7，∴ ＝ 7，解得x＝6. 6.3 360　解析：每3 min的平均汽车流量为（51＋50＋64＋62＋58＋55＋55 ＋53）÷8＝56（辆），所以可以估计这天上午这3 h通过该入口的车次大约 为56×（3×60÷3）＝3 360（辆）. 数学·八年级上册　 7. 解：（1）根据题意得调查总人数为420÷28％＝1 500， ∴7次及以上的人数为1 500－420－720＝360， 3至6次的百分比为100％－24％－28％＝48％. 补全统计图如图. 数学·八年级上册　 （2）该社区总人数为1 500÷10％＝15 000， 15 000×48％＝7 200. 答：估计本社区该周锻炼身体的次数在3至6次的老年人的人数为7 200. （3）∵ ×（0.5×18＋1×12＋1.5×6＋2×4）＝0.95（h）， ∴这40位老年人每次锻炼身体的平均时间为0.95 h. 数学·八年级上册　 $